Дифракционная решетка основное уравнение дифракционной решетки

5.5. Дифракционная решетка

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

Пусть а — ширина щели, a b — ширина непрозрачного промежутка (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Дифракция от двух щелей

Период дифракционной решетки — это расстояние между серединами соседних щелей:

Разность хода двух крайних лучей равна

Если разность хода равна нечетному числу полуволн

то свет, посылаемый двумя щелями, вследствие интерференции волн будет взаимно гаситься. Условие минимумов имеет вид

Эти минимумы называются дополнительными.

Если разность хода равна четному числу полуволн

то волны, посылаемые каждой щелью, будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (5.36) имеет вид

Это формула для главных максимумов дифракционной решетки.

Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, то есть главные минимумы решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (5.21) для одной щели:

Если дифракционная решетка состоит из N щелей (современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют до 200 000 штрихов, и период d = 0.8 мкм, то есть порядка 12 000 штрихов на 1 см), то условием главных минимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (5.41), условием главных максимумов — соотношение (5.40), а условие дополнительных минимумов имеет вид

Здесь k’ может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, . . Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N–1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими относительно слабый фон.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то время как спектральная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее отклоняет красные лучи.

Важной характеристикой всякого спектрального прибора является разрешающая способность.

Разрешающая способность спектрального прибора — это безразмерная величина

Дифракционная решётка

Дифракциейназывается любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением и преломлением. Качественный метод расчета дифракционной картины предложил Френель. Основной идеей метода является принцип Гюйгенса — Френеля:

Каждая точка, до которой доходит волна, служит источником когерентных вторичных волн, а дальнейшее распространение волны определяется интерференцией вторичных волн.

Геометрическое место точек, для которых колебания имеют одинаковые фазы, называют волновой поверхностью. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

Дифракционная решеткапредставляет собой совокупность большого числа параллельных щелей или зеркал одинаковой ширины и отстоящих друг от друга на одинаковом расстоянии.Периодом решетки (d)называется расстояние между серединами соседних щелей, или что то же самое сумма ширины щели (а) и непрозрачного промежутка (b)между ними (d = a + b).

Рассмотрим принцип действия дифракционной решетки. Пусть на решетку нормально к её поверхности падает параллельный пучок лучей белого света (рис. 1). На щелях решетки, ширина которых соизмерима с длиной волны света, происходит дифракция.

Рис. 1. Ход лучей в дифракционной решетке

В результате за дифракционной решеткой согласно принципу Гюйгенса-Френеля от каждой точки щели световые лучи будут распространяться во всех возможных направлениях, которым можно сопоставить углы отклонения φ световых лучей (углы дифракции) от первоначального направления. Параллельные между собой лучи (дифрагирующие под одинаковым углом φ) можно сфокусировать, установив за решеткой собирающую линзу. Каждый пучок параллельных лучей соберется в задней фокальной плоскости линзы в определённой точке А. Параллельные лучи, соответствующие другим углам дифракции, соберутся в других точках фокальной плоскости линзы. В этих точках будет наблюдаться интерференция световых волн, исходящих от разных щелей решетки. Если оптическая разность хода между соответствующими лучами монохроматического света будет равна целому числу длин волн , κ = 0, ±1, ±2, …, то в точке наложения лучей будет наблюдаться максимум интенсивности света для данной длины волны, Из рисунка 1 видно, что оптическая разность хода Δ между двумя параллельными лучами, выходящими из соответствующих точек соседних щелей, равна

, (1)

где φ – угол отклонения луча решеткой.

Следовательно, условие возникновения главных интерференционных максимумов решетки или уравнение дифракционной решетки

, (2)

где λ – длина световой волны.

В фокальной плоскости линзы для лучей, не испытавших дифракции, наблюдается центральный белый максимум нулевого порядка (φ = 0, κ = 0), справа и слева от которого располагаются цветные максимумы (спектральные линии) первого, второго и последующих порядков (рис. 1). Интенсивность максимумов уменьшается с ростом их порядка, т.е. с увеличением угла дифракции.

Уравнение (1) позволяет рассчитать длину волны падающего света, если измерен угол дифракции φ, для данной спектральной линии, известны период дифракционной решетки d и порядок спектра k.

Зная период решетки, можно рассчитать число штрихов n, нанесенных на 1 мм ширины решетки:

. (3)

Одной из основных характеристик дифракционной решетки является её угловая дисперсия. Угловая дисперсия решетки определяет угловое расстояние dφ между направлениями для двух спектральных линий, отличающихся по длине волны на 1 нм ( = 1 нм), и характеризует степень растянутости спектра вблизи данной длины волны:

. (4)

Формула для расчета угловой дисперсии решетки может быть получена при дифференцировании уравнения (2) . Тогда

. (5)

Из формулы (5) следует, что угловая дисперсия решетки тем больше, чем больше порядок спектра.

Для решеток с разными периодами ширина спектра больше у решетки, характеризующейся меньшим периодом. Обычно в пределах одного порядка меняется незначительно (особенно для решеток с небольшим числом штрихов на миллиметр), поэтому дисперсия в пределах одного порядка почти не меняется. Спектр, полученный при постоянной дисперсии, растянут равномерно во всей области длин волн, что выгодно отличает спектр решетки от спектра, даваемого призмой.

Угловая дисперсия связана с линейной дисперсией . Линей­ную дисперсию можно также вычислить по формуле

, (6) где – линейное расстояние на экране или фотопластинке между спектральными линиями, f – фокусное расстояние линзы.

Дифракционная решетка также характеризуется разрешающей способностью. Этавеличина, характеризующая способность дифракционной решетки давать раздельное изображение двух близких спектральных линий

R = , (7)

где l – средняя длина волны разрешаемых спектральных линий; dl – разность длин волн двух соседних спектральных линий.

Зависимость разрешающей способности от числа щелей дифракционной решетки N определяется формулой

R = = kN, (8)

где k – порядок спектра.

Из уравнения для дифракционной решетки (1) можно сделать следующие выводы:

1. Дифракционная решетка будет давать заметную дифракцию (значительные углы дифракции) только в том случае, когда период решетки соизмерим с длиной световой волны, то есть d »l» 10 –4 см. Решетки с периодом меньше длины волны не дают дифракционных максимумов.

2. Положение главных максимумов дифракционной картины зависит от длины волны. Спектральные составляющие излучения немонохроматического пучка отклоняются решеткой на разные углы (дифракционный спектр). Это позволяет использовать дифракционную решетку в качестве спектрального прибора.

3. Максимальный порядок спектра, при нормальном падении света на дифракционную решетку, определяется соотношением:

Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем и частотой штрихов, что позволяет перекрыть область спектра от ультрафиолетовой его части (l » 100 нм) до инфракрасной (l » 1 мкм). Широко используются в спектральных приборах гравированные решетки (реплики), которые представляют собой отпечатки решеток на специальных пластмассах с последующим нанесением металлического отражательного слоя.

Дата добавления: 2015-06-10 ; просмотров: 10867 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Спектральные приборы. Дифракционная решетка

В состав видимого спектра света включены монохроматические волны с различными длинами. В излучении нагретых объектов (к примеру, нити лампы накаливания) длины волн беспрерывно заполняют весь диапазон видимого света. Данное излучение называют белым светом.

Свет, излучаемый, например, газоразрядными лампами или одним из множества других подобных им приборами, включает в свой состав отдельные монохроматические составляющие с некоторыми выделенными значениями длин волн.

Комплекс монохроматических компонент в излучении называется спектром.

Белый свет имеет непрерывный спектр, излучение источников, в которых он испускается атомами вещества, и дискретный спектр.

Спектральные приборы – это устройства, с помощью которых изучаются спектры излучения источников.

Для разложения излучения в спектр в простейшем спектральном приборе используется призма избраженная на картинке 3 . 10 . 1 .

Действие призмы базируется на таком явлении, как дисперсия, то есть на привязанности показателя преломления n вещества к длине волны света λ .

Рисунок 3 . 10 . 1 . Разложение излучения в спектр с помощью призмы.

Щель S , на которую падает рассматриваемое излучение, располагается в фокальной плоскости линзы Л 1 . Этот элемент прибора называется коллиматором.

Выходя из линзы, параллельный пучок света падает на призму P . По причине дисперсии, свет различных длин волн излучается из призмы под разнящимися углами. В фокальной плоскости линзы Л 2 устанавливают экран или фотопластинку, для фокусировки места излучения. Таким образом, в разных частях экрана появляется проекция входной щели S в свете различных длин волн.

У любого прозрачного твердого вещества (стекло, кварц), из которого изготавливаются призмы, показатель преломления n в диапазоне видимого света уменьшается с возрастанием длины волны λ , из-за чего призма наиболее сильно отклоняет, от их изначального направления, синие и фиолетовые лучи, а красные – наименее. Убывающая без ускорения зависимость n ( λ ) носит название нормальной дисперсии.

Первый опыт по разложению белого света в спектр осуществил известный физик И. Ньютон в 1672 году.

Дифракционные решетки

В спектральных приборах, относящихся к высокому классу точности, место призм занимают дифракционные решетки. Они представляют из себя периодические конструкции, которые гравируют, посредством использования особой делительной машины, на поверхности стеклянной или металлической пластинки (рис. 3 . 10 . 2 ).

У качественных решеток штрихи, параллельные друг другу, имеют длину около 10 с м , где на каждый миллиметр решетки приходится до 2000 штрихов. Причем, общая длина решетки может достигать 10 – 15 с м . Создание подобных решеток требует применения технологий самого высокого класса. Практически используются и более грубые версии решетки с 50 – 100 штрихами на миллиметр, которые нанесены на поверхность прозрачной пленки. В роли дифракционной решетки может применяться небольшая часть компакт-диска или даже осколок граммофонной пластинки.

Рисунок 3 . 10 . 2 . Дифракционная решетка.

Самый простой тип дифракционной решетки производится из прозрачных участков, то есть щелей, которые разделены непрозрачными промежутками. С помощью коллиматора, на решетку направляется параллельный пучок исследуемого света. Наблюдение проводится в фокальной плоскости линзы, установленной за плоскостью решетки (рис. 3 . 10 . 3 ).

Рисунок 3 . 10 . 3 . Дифракция света на решетке.

В каждой точке P на экране в фокальной плоскости линзы сходятся лучи, который до линзы являлись параллельными между собой и расходились под некоторым углом θ к направлению падающей волны.

Интерференция волн

Колебание в точке P представляют собой следствие интерференции вторичных волн, которые сходятся в эту точку от разных щелей.

Для того, чтобы в точке P прослеживался интерференционный максимум, разность хода Δ между волнами, который испускают соседние щели, должна быть эквивалентной целому числу длин волн:

∆ = d sin θ m = m λ ( m = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

Где d – это период дифракционной решетки, а m – целое число, носящее название порядка дифракционного максимума. В точках экрана, для которых это условие выполнено, расположены главные максимумы дифракционной картины.

В фокальной плоскости линзы, расстояние y m между максимумами нулевого порядка ( m = 0 ) и m -го порядка при сравнительно малых углах дифракции равняется:

где F – фокусное расстояние.

Также следует обратить внимание на то, что в каждой точке фокальной плоскости линзы, имеет место интерференция N волн, которые приходят в эту точку от N щелей решетки. Данный феномен является так называемой многоволновой или же «многолучевой» интерференцией.

Распространение световой энергии в плоскости наблюдения значительно отличается от того, которое выходит в обыкновенных «двухлучевых» интерференционных схемах. В главные максимумы все волны приходят в фазе, из-за чего амплитуда колебаний увеличивается в N раз, а интенсивность в N 2 раз, относительно колебания, которое провоцирует волна только от одной конкретной щели.

В условиях смещения из главных максимумов, стремительно теряется интенсивность колебаний. Для того, чтобы N волн погасили друг друга, значение разности фаз должно измениться на 2 π N , а не на π , как в случае интерференции двух волн.

На рис. 3 . 10 . 4 можно увидеть векторную диаграмму колебаний, возбуждаемых волнами от всех N щелей, если сдвиг фаз волн от соседних щелей равен 2 π N , а соответствующая разность хода равна отношению λ N .

Векторы, иллюстрирующие N колебаний, в данной ситуации формируют замкнутый многоугольник. Следовательно, при переходе из главного максимума в соседний минимум, разность хода Δ = d sin θ смениться на λ N . Исходя из данного условия, справедливым будет оценить угловую полуширину δ θ главных максимумов:

δ ∆ = δ ( d sin θ ) = d cos θ δ θ ≈ d · δ θ = λ N .

Здесь, дифракционные углы считаются достаточно малыми. Таким образом,

Где N d – это полный размер решетки. Данное выражение находится в полной симметрии с теорией дифракции в параллельных лучах. Согласно этой теории, дифракционная расходимость параллельного пучка лучей эквивалентна отношению длины волны λ к поперечному размеру препятствия.

Рисунок 3 . 10 . 4 . Сложение колебаний в максимуме и минимуме интерференционной картины: a – интерференция двух волн, b – интерференция N волн ( N = 8 ) .

Из описанного выше, можно сделать однозначный вывод: при дифракции света на решетке главные максимумы крайне узки. Рис. 3 . 10 . 5 иллюстрирует изменение остроты главных максимумов при возрастании количества щелей решетки.

Рисунок 3 . 10 . 5 . Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. I 0 – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели.

Исходя из формулы дифракционной решетки, мы можем заявить, что положение главных максимумов, кроме нулевого, зависит от длины волны λ . По этой причине решетка может разбивать излучение в спектр. Следовательно, она является спектральным прибором. В случае, если на решетку попадает не монохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции, а именно при каждом значении m , проявляется спектр исследуемого излучения.

Также стоит обратить внимание на то, что фиолетовая часть спектра расположена ближе к максимуму нулевого порядка. На рис. 3 . 10 . 6 для белого света проиллюстрированы спектры различных порядков. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.

Рисунок 3 . 10 . 6 . Разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки.

Используя дифракционную решетку, мы получаем возможность производить крайне точные измерения длины волны. При условии, что период d решетки известен, нахождение искомой величины (длины) приводится к измерению угла θ m , соответствующего направлению на выбранной линии в спектре m-го порядка. На практике, чаще всего применяются спектры 1 -го или 2 -го порядков.

Решетка в любом спектральном порядке (кроме m = 0 ) имеет возможность отсоединить одну волну от другой в случае, если в спектре изучаемого излучения есть две спектральные линии, обладающие длинами волн λ 1 и λ 2 .

Разрешающая способность дифракционной решетки — это одна из основных ее характеристик. Ей характеризуется возможность разделения при использовании решетки двух близких спектральных линий с длинами волн λ и λ + Δ λ .

Спектральная разрешающая способность R является отношением длины волны λ к минимальному реальному значению Δ λ , то есть: R = λ ∆ λ

Волновая природа света

Волновая природа света определяет разрешающую способность спектральных приборов, в частности, дифракционной решетки, так же от нее зависит предельное разрешение различных оптических инструментов, которые создают изображение объектов, таких как телескоп, микроскоп и др.

Считается, что если главный максимум для длины волны λ + Δ λ отступает от главного максимума для длины волны λ не менее, чем на полуширину главного максимума, т. е. на δ θ = λ N d , то две ближайшие линии в спектре m-го порядка различимы. Вывод выше является критерием Релея, примененным к спектральному прибору.

Из формулы решетки следует:

d d · cos θ · ∆ θ = m ∆ λ или ∆ θ = m δ cos θ ∆ λ ≈ m d ∆ λ

Где Δ θ является угловым расстоянием между двумя главными максимумами в спектре m -го порядка для двух близких спектральных линий с разницей длин волн Δ λ . Для упрощения, углы дифракции предполагаются незначительно малыми ( cos θ ≈ 1 ) . Уравнивая Δ θ и δ θ , получаем оценку разрешающей силы решетки:

λ N d = m d ∆ λ или R = λ ∆ λ = m N .

Из описанного выше следует, что предельное разрешение дифракционной решетки может зависеть только от порядка спектра m и от количества периодов решетки N .

Пускай период решетки d = 10 – 3 м м , а ее длина L = 10 с м .

В таком случае, N = 10 5 .

Исходя из данных показателей, можно с уверенностью сказать, что это хорошая решетка. В спектре 2 -го порядка разрешающая способность решетки равна R = 2 · 10 5 . Это указывает на то, что минимально разрешенный диапазон длин волн в зеленой части спектра (т.е. при λ = 550 н м ) равен Δ λ = λ R ≈ 2 , 8 · 10 – 3 н м , а предельное разрешение решетки с d = 10 – 2 м и L = 2 с м было бы равным Δ λ = 1 , 4 · 10 – 1 н м .

Рисунок 3 . 10 . 7 . Модель дифракционной решетки.