Движение тела с переменной массой
Для начала сформулируем, что такое переменная масса.
Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.
Уравнение движения материальной точки с переменной массой
Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.
Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m ( t ) , а ее скорость как v ( t ) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0 ). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:
( m + d m ) ( v + d v ) .
Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з . Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.
Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).
В итоге мы можем записать следующее:
( m + d m ) ( v + d v ) + d m г а з + v г а з — m v = F d t .
Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:
d m + d m г а з = 0 .
Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з — v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:
d m v = v о т н d m + F d t .
Теперь разделим его на d t и получим:
m d v d t = v о т н d m d t + F .
Уравнение Мещерского
Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.
Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.
Формула Циолковского
Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н . Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна — v о т н . Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:
m d v = v о т н d m .
Тогда равенство примет вид:
d v d m = — v о т н m .
Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.
Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:
C = v о т н ln m 0 m .
Тогда мы получим соотношения следующего вида:
v = v о т н ln m 0 m или m 0 m = e v v о т н .
Это соотношение и является формулой Циолковского.
Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.
Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.
Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н . Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .
Решение
Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .
Значит, уравнение движения будет выглядеть так:
m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = — v о т н d m .
Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:
a = v о т н v ln m 0 m .
Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .
Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г . Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с , а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с . Поле тяготения Земли можно считать однородным.
Решение
Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:
m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н — m g .
Здесь m = m 0 — μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:
∆ v 0 = μ v о т н m 0 — μ t — g ∆ t .
Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:
v 0 = v о т н ln m 0 m 0 — μ t — g t .
С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:
H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 .
Добавим заданные значения и найдем ответ:
H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 = 3177 , 5 м .
Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м .
Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского
Вы будете перенаправлены на Автор24
Уравнение движения тела с переменной массой
Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.
Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.
Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_ <газ>v_ <газ>$, где $dm_ <газ>$- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_ <газ>$- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:
Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_ <газ>=0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_ <газ>$. А разность $v_ <отн>=v_ <газ>-v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты — скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:
Готовые работы на аналогичную тему
Разделив на $dt$, получаем:
Уравнение Мещерского
По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_ <отн>\frac
Формула Циолковского
Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:
Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_ <отн>$. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_ <отн>$ на это направление будет отрицательной и равной $-v_ <отн>$. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_ <отн>dm$. Тогда:
Скорость газовой струи $v_ <отн>$ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:
Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_ <0>$. Тогда из предыдущего уравнения получаем:
Последнее соотношение называется формулой Циолковского.
Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость $\upsilon $.
Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.
Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.
Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.
Примеры
Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_ <отн>$ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_ <0>$, а конечная $m$.
Решение:
Ускорение корабля по абсолютной величине равно:
$a=\omega ^ <2>r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:
$m\frac
Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:
Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac
Ракета перед стартом имеет массу $m_ <0>=250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_ <отн>$$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.
Дано: $m_ <0>=250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_<отн>=1500$м/с.
Решение:
Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:
где $m=m_ <0>-\mu t$, а $v_ <0>$- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:
Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_ <0>=0$ при $t=0$, имеет вид:
Учитывая что $H_ <0>=0$ при $t=0$ получим:
Подставляя начальные значения, получаем:
Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 04 2021
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Методы Мещерского для изучения движения точки переменной массы
Магистерская диссертация И. В Мещерского (фото с экземпляра, подаренного автором Н. Е. Жуковскому).
Дадим краткую характеристику новых методов изучения движения точки переменной массы, предложенных Мещерским в его работе «Динамика точки переменной массы». В этой работе Мещерский подверг особо тщательному анализу тот случай движения точки переменной массы, когда относительная скорость отбрасываемых частиц равна нулю. Исходное уравнение в этом случае будет совпадать со вторым законом Ньютона. Если для такого класса задач допустить, что равнодействующая внешних сил пропорциональна массе точки, то мы получим, что результирующее ускорение точки не зависит от закона изменения массы. Таким образом, «при действии сил, равнодействующая которых пропорциональна массе точки, точка переменной массы, по какому бы закону ее масса ни изменялась при отсутствии ударов, движется так же, как движется точка постоянной массы при действии тех же сил и при тех же начальных данных».
Мещерский подверг обстоятельному исследованию движение точки переменной массы под действием центральных сил, заложив тем самым основы небесной механики тел переменной массы. Если закон изменения массы точки известен, то для исследования геометрических, кинематических и динамических характеристик движения весьма плодотворным оказался метод отображения движения, впервые предложенный Мещерским. Идея метода состоит в следующем: находятся такие преобразования переменных реальной задачи к новым переменным в некотором вспомогательном пространстве, при которых в этом новом пространстве уравнения движения точки переменной массы переходят в уравнения движения «отображенной» точки постоянной массы. Между элементами движения вспомогательной точки в преобразованном («искаженном») пространстве и элементами движения реальной точки формулами преобразования устанавливается простое соответствие.
Проиллюстрируем этот метод на следующей задаче: определить движение точки, притягиваемой к началу координат силой, пропорциональной массе точки и обратно пропорциональной квадрату расстояния от выбранного начала, предполагая, что масса точки увеличивается по закону:
и абсолютная скорость присоединяющихся частиц равна нулю.
Векторное уравнение движения точки можно написать в виде
(1)
Так как в этом случае траектория точки есть плоская кривая, то, располагая оси Ох и Оу в этой плоскости и проектируя на эти оси уравнение (1), получим следующие два скалярных уравнения:
(2)
Введем новые переменные ξ, η, τ, положив
Уравнения отображенного движения во вспомогательном пространстве ( ξ, η) с новым временем τ будут:
(3)
Уравнения (3) суть уравнения движения точки постоянной массы под действием центральной силы, и интегралы этих уравнений изучены достаточно подробно. Зная решения уравнений (3), формулы преобразования координат и времени, легко найти все характеристические свойства движения точки переменной массы.
В задачах небесной механики Мещерский первый рассмотрел ряд частных законов изменения массы, полагая
где α и β — некоторые постоянные.
Эти предположения Мещерского, сделанные из чисто теоретических соображений, были подвергнуты обстоятельной проверке в большом числе работ крупнейших астрономов, получили хорошее подтверждение, и сейчас эти гипотезы носят в литературе по небесной механике название «законов Мещерского».
Приведем еще один из результатов Мещерского, относящийся к исследованию движения комет. «Пусть, например, рассматривается движение кометы при приближении ее к перигелию, допуская, что масса кометы уменьшается и может быть выражена некоторой функцией расстояния кометы от Солнца; тогда уравнения движения интегрируются в квадратурах, если предположить, что скорость центра инерции отделяющихся частиц или равна нулю, или направлена по одной прямой со скоростью кометы, причем отношение этих скоростей есть или величина постоянная, или некоторая функция расстояния между кометой и Солнцем».
Мещерский первый поставил и частично исследовал задачи следующего типа: найти закон изменения массы точки, при котором она под действием заданных внешних сил описывает заданную траекторию. Эти задачи Мещерский называет обратными. Мы приведем здесь общее решение класса обратных задач для прямолинейных траекторий. Рассмотрим для определенности вертикальный подъем точки переменной массы в однородном поле силы тяжести и в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости.
Уравнение движения точки будет иметь вид:
(4)
Дифференциальное уравнение (4) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно М, и его общий интеграл можно записать в виде
(5)
где С — постоянная интеграции.
Соотношение (5) позволяет весьма просто рассчитать необходимый закон изменения массы (т. е. режим работы реактивного двигателя), если закон движения точки по прямолинейной траектории известен. Как видно из предыдущего, формула (5) легко обобщается на переменное поле тяготения и произвольные законы сопротивления среды. Для иллюстрации приведем два простых примера на определение закона изменения массы по формуле (5), если характеристики движения точки заданы. Пусть ускорение точки, поднимающейся вертикально вверх в однородном поле тяготения и при отсутствии сил сопротивления, равно нулю. Требуется найти, как должна изменяться масса точки, чтобы обеспечить такой закон движения. Полагая в (5)
(6)
Так как при t=0 М=М0, то окончательно будем иметь:
(7)
Таким образом, движение точки с постоянной скоростью в однородном поле тяготения будет иметь место в том случае, когда масса точки изменяется по показательному закону (7).
Если мы хотим обеспечить в однородном поле тяготения равноускоренное движение точки с ускорением, равным а, то из (5) легко находим, что масса должна изменяться по закону:
(8)
Для некоторых частных задач ракетной техники обратный метод Мещерского представляет несомненный интерес.
В магистерской диссертации Мещерского 1897 года впервые было рассмотрено уравнение вертикального подъема ракеты. Но так как в те годы в среде научной интеллигенции интерес к задачам теории движения ракет был весьма мал, то Мещерский ограничился при рассмотрении движения ракеты буквально следующим:
«Пусть m обозначает массу ракеты, 
—сопротивление воздуха, р— давление газов и w— величину относительной скорости, которую имеют сгорающие частицы в момент их отделения.
Рассматривая вертикальное движение ракеты до тех пор, пока в ней происходит сгорание, мы приходим к следующей задаче.
Определить восходящее вертикальное движение точки переменной массы m, на которую, кроме силы тяжести, действует сила, вообще говоря, переменной величины р, направленная по вертикали вверх, и сопротивление среды ,изменяющееся в зависимости только от скорости точки; при этом предполагается, что геометрическая разность между скоростями отбрасываемой массы и точки направлена по вертикали вниз и равна данной, вообще говоря, переменной величине w.
Направим ось Ох по вертикали вверх, тогда уравнение движения точки будет:
Если масса m, давление р и скорость w выражены как некоторые функции времени, то решение задачи, как видно из уравнения, приводится к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка относительно 
.Это уравнение будет уравнением Риккати, если сопротивление воздуха принять пропорциональным квадрату скорости».
Теория прямолинейных движений ракет была в значительной степени создана трудами знаменитого деятеля русской науки К. Э. Циолковского, хотя в уравнениях Мещерского было все необходимое для создания вполне законченной динамики ракет.
Из основного дифференциального уравнения движения точки переменной массы Мещерский простыми преобразованиями получает следующий вывод: «Всё формулы динамики, которые относятся к движению как свободной, так и несвободной точки постоянной массы, будут иметь место для точки переменной массы, не зависящей от скорости, после того как в этих формулах мы положим массу точки равной единице и равнодействующую задаваемых сил равною рассчитанной на единицу массы равнодействующей сил задаваемых приложенных к точке переменной массы и силы прибавочной».
http://spravochnick.ru/fizika/dinamika/dvizhenie_tela_s_peremennoy_massoy_uravnenie_mescherskogo_formula_ciolkovskogo/
http://prosopromat.ru/istoriya-sopromata/ocherki-iz-istorii-nauki/i-v-meshherskij/metody-meshherskogo-dlya-izucheniya-dvizheniya-tochki-peremennoj-massy.html