Диофантово уравнение решение на питоне
Цикл for , также называемый циклом с параметром, в языке Питон богат возможностями. В цикле for указывается переменная и множество значений, по которому будет пробегать переменная. Множество значений может быть задано списком, кортежем, строкой или диапазоном.
Вот простейший пример использования цикла, где в качестве множества значений используется кортеж:
В этом примере переменная color последовательно принимает значения ‘red’ , ‘orange’ и т.д. В теле цикла выводится сообщение, которое содержит название цвета, то есть значение переменной color , а также номер итерации цикла число, которое сначала равно 1, а потом увеличивается на один (инструкцией i += 1 с каждым проходом цикла).
В списке значений могут быть выражения различных типов, например:
При первых трёх итерациях цикла переменная i будет принимать значение типа int , при последующих трёх — типа str .
Функция enumerate
Вернёмся к первому примеру. В случаях, когда вместе с элементами нужны также и их индексы, идеоматический подход в питоне выглядит так:
Функция enumerate возвращает пары из порядкового номера элемента начиная с нуля и собственно самого элемента. В данном примере ещё лучше воспользоваться параметром start , тогда нумерация начнётся не с нуля, а с указанного в параметре start значения:
Функция range (перебор членов арифметической прогрессии)
Как правило, циклы for используются либо для повторения какой-либо последовательности действий заданное число раз, либо для изменения значения переменной в цикле от некоторого начального значения до некоторого конечного.
Для повторения цикла некоторое заданное число раз n можно использовать цикл for вместе с функцией range :
В качестве n может использоваться числовая константа, переменная или произвольное арифметическое выражение (например, 2 ** 10 ). Если значение n равно нулю или отрицательное, то тело цикла не выполнится ни разу.
Код выше эквивалентен такому:
В этом примере можно «пощупать» эту конструкцию по шагам.
Если задать цикл таким образом:
то индексная переменная i будет принимать значения от a до , то есть первый параметр функции range , вызываемой с двумя параметрами, задаёт начальное значение индексной переменной, а второй параметр — значение, которая индексная переменная принимать не будет. Если же a ⩾ b , то цикл не будет выполнен ни разу. Например, для того, чтобы просуммировать значения чисел от 1 до n можно воспользоваться следующей программой:
В этом примере переменная i принимает значения 1, 2, . n , и значение переменной sum последовательно увеличивается на указанные значения.
Наконец, чтобы организовать цикл, в котором индексная переменная будет уменьшаться, необходимо использовать функцию range с тремя параметрами. Первый параметр задаёт начальное значение индексной переменной, второй параметр — значение, до которого будет изменяться индексная переменная (не включая его!), а третий параметр — величину изменения индексной переменной. Например, сделать цикл по всем нечётным числам от 1 до 99 можно при помощи функции , а сделать цикл по всем числам от 100 до 1 можно при помощи .
Более формально, цикл при d > 0 задаёт значения индексной переменной i = a , i = a + d , i = a + 2 * d и так для всех значений, для которых i . Если же d , то переменная цикла принимает все значения i > b .
Упражнения
A: Ряд
Дано натуральное число n . Напечатайте все n -значные нечётные натуральные числа в порядке убывания.
Линейные диофантовы уравнения
Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение, обычно с двумя или более неизвестными, так что требуются только интегральные решения. Интегральное решение — это такое решение, при котором все неизвестные переменные принимают только целые значения.
Даны три целых числа a, b, c, представляющих линейное уравнение вида: ax + by = c. Определите, имеет ли уравнение такое решение, чтобы x и y были целыми значениями.
Примеры :
Решение:
Для линейных уравнений диофантовых уравнений интегральные решения существуют тогда и только тогда, когда GCD коэффициентов двух переменных делит постоянный член идеально. Другими словами, интегральное решение существует, если GCD (a, b) делит c.
Таким образом, алгоритм определения наличия интегрального решения уравнения довольно прост.
- Найти ГКД а и б
- Проверьте, если c% GCD (a, b) == 0
- Если да, то напечатайте Возможно
- Иначе печать невозможна
Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода.
// C ++ программа для проверки растворов диофанта
// уравнения
#include
using namespace std;
// функция полезности для поиска GCD из двух чисел
int gcd( int a, int b)
return (a%b == 0)? abs (b) : gcd(b,a%b);
// Эта функция проверяет, являются ли интегральные решения
// возможно
bool isPossible( int a, int b, int c)
return (c%gcd(a,b) == 0);
int a = 3, b = 6, c = 9;
isPossible(a, b, c)? cout «Possible\n» :
cout «Not Possible\n» ;
isPossible(a, b, c)? cout «Possible\n» :
cout «Not Possible\n» ;
isPossible(a, b, c)? cout «Possible\n» :
cout «Not Possible\n» ;
// Java-программа для проверки решений
// диофантовы уравнения
// Сервисная функция для поиска GCD
static int gcd( int a, int b)
// Эта функция проверяет, является ли интеграл
static boolean isPossible( int a,
return (c % gcd(a, b) == 0 );
public static void main (String[] args)
int a = 3 , b = 6 , c = 9 ;
if (isPossible(a, b, c))
System.out.println( «Not Possible» );
a = 3 ; b = 6 ; c = 8 ;
if (isPossible(a, b, c))
System.out.println( «Not Possible» );
a = 2 ; b = 5 ; c = 1 ;
if (isPossible(a, b, c))
System.out.println( «Not Possible» );
// Этот код предоставлен anuj_67.
# Программа Python 3 для проверки решений
# диофантовых уравнений
from math import gcd
# Эта функция проверяет, является ли интеграл
# возможны решения
def isPossible(a, b, c):
return (c % gcd(a, b) = = 0 )
if __name__ = = ‘__main__’ :
if (isPossible(a, b, c)):
print ( «Not Possible» )
if (isPossible(a, b, c)):
print ( «Not Possible» )
if (isPossible(a, b, c)):
print ( «Not Possible» )
# Этот код предоставлен
# Surendra_Gangwar
// C # программа для проверки
// растворы диофантина
// уравнения
// Сервисная функция для поиска
// ГКД из двух чисел
static int gcd( int a, int b)
// Эта функция проверяет
// если интегральные решения
static bool isPossible( int a,
return (c % gcd(a, b) == 0);
public static void Main ()
int a = 3, b = 6, c = 9;
if (isPossible(a, b, c))
Console.WriteLine( «Not Possible» );
if (isPossible(a, b, c))
Console.WriteLine( «Not Possible» );
if (isPossible(a, b, c))
Console.WriteLine( «Not Possible» );
// Этот код предоставлен anuj_67.
// PHP программа для проверки решений
// диофантовы уравнения
// функция полезности для поиска
// GCD из двух чисел
function gcd( $a , $b )
return ( $a % $b == 0) ?
abs ( $b ) : gcd( $b , $a % $b );
// Эта функция проверяет, является ли интеграл
// возможны решения
function isPossible( $a , $b , $c )
return ( $c % gcd( $a , $b ) == 0);
if (isPossible( $a , $b , $c ) == true)
echo «Not Possible\n» ;
if (isPossible( $a , $b , $c ) == true)
echo «Not Possible\n» ;
if (isPossible( $a , $b , $c ) == true)
echo «Not Possible\n» ;
// Этот код предоставлен ajit ..
?>
Выход :
Как это работает?
Пусть GCD из «a» и «b» будет «g». г делит а и б. Это означает, что g также делит (ax + на) (если x и y являются целыми числами). Это подразумевает, что gcd также делит ‘c’, используя отношение ax + by = c. Обратитесь к этой вики-ссылке для более подробной информации.
Библиотека Sympy: символьные вычисления в Python
Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.
Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.
Первые шаги с SymPy
Используем SymPy как обычный калькулятор
В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .
Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.
Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.
В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .
Символы
В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:
После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.
С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | ,
Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:
Алгебраические преобразования
SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.
Раскрытие скобок
Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:
При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.
Упрощение выражений
Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .
Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .
Вычисления
Вычисления пределов
Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .
Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.
Дифференцирование
Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.
Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.
tan 2 (?)+1 Результат тот же.
Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.
Разложение в ряд
Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .
Интегрирование
В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:
Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:
Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.
Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).
Решение уравнений
При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .
Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.
Системы линейных уравнений
SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.
Факторизация
Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.
Булевы уравнения
Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .
Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .
Линейная алгебра
Матрицы
Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :
В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:
И производить с ними разные манипуляции:
Дифференциальные уравнения
При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .
Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .
Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:
Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .
Английский для программистов
Наш телеграм канал с тестами по английскому языку для программистов. Английский это часть карьеры программиста. Поэтому полезно заняться им уже сейчас
http://espressocode.top/linear-diophantine-equations/
http://pythonist.ru/biblioteka-sympy-simvolnye-vychisleniya-v-python/