Диофантовы уравнения и методы их решения презентация

Презентация урока «Диофантовы уравнения» в 8 классе
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Презентация предназначена для класса с углублённым изучением математики

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Презентация урока алгебры 9 класса. Подготовила Перевезенцева Л.Г. МОУ СОШ № 10 г.Жуковский Московской области. Диофантовы уравнения.

Цели и задачи. Определение диофантова уравнения Биография Диофанта Диофантовые уравнения первой степени Диофантовые уравнения высших степеней Проект учащихся «Метод бесконечного спуска» Другие методы решения диофантовых уравнений Содержание.

Цели урока: Образовательные: 1.Познакомить учащихся с уравнениями, которые решаются в целых числах. 2.Организовать самостоятельный поиск решений диофантовых уравнений. 3.Рассмотреть различные приёмы решения. 4.Научить решать текстовые задачи, по которым можно составить диофантово уравнение. Развивающие. 1. Формирование умений обобщать, сравнивать, оценивать, контролировать, анализировать, делать выводы, 2. Развитие познавательных возможностей, творческих способностей, креативности личностных качеств, 3.Организация способности общения (живого, виртуального, обоюдного, группового и т.д.),. 4. Развитие инициативы, познавательного интереса, 5. Обучение методам исследовательского поиска, 6. Развитие мыслительной деятельности, 7.Развитие практической направленности изучаемого материала 8. Привитие любви к математике 3

Задача. У мальчика было 50 р., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 р. и по 3 р., но у киоскера совсем не было сдачи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося затруднения. 4

Решение. Пусть марок по 4 р. х штук, по 3 р. – у штук. 5 Всего имеется 50 р., отсюда уравнение: 4 х + 3 у = 50 Эта задача имеет не одно, а несколько решений. х 2 5 8 11 у 14 10 6 2

Первым начал рассматривать такие уравнения Диофант ( II – III вв. до нашей эры). Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так: ax + by = c ; (1) где a, b и c целые числа, и ответ должен быть дан только в целых числах. Такие уравнения называют « диофантовыми ».

Диофант пытался ответить на следующий вопрос: « Дано уравнение с целыми коэффициентами. Имеет ли оно целые решения ?» Диофантовы уравнения — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Примеры диофантовых уравнений: ax+by=c , x 2 +y 2 =d 2 .

Биографических данных о древнегреческом ученом-математике Диофанте из Александрии практически не сохранилось. До наших времен дошла лишь часть математического трактата Диофанта «Арифметика», 6 книг из 13, а также отрывки книги о многоугольных числах. В «Арифметике», Диофант излагал начала алгебры, привел множество задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и отметил методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел — теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений. 8

9 Рассмотрим линейное диофантово уравнение 2х + 3у = 1. Найдите целые решения. Одно из решений – пара чисел х = 5, у = -3 Проверка: 2 · 5 + 3 · (-3) = 1 Любое решение диофантова уравнения называется частным решением

При с = 0 уравнение (1) имеет вид ах + b у = 0 и называется однородным диофантовым уравнением. Пример. 2х + 3у = 0 2х = -3у Левая часть равенства делится на 2, а правая – на 3. Числа 2 и 3 взаимно просты. Поэтому у = 2 n, x = -3n , где 10

В общем виде решением уравнения ах + b у = 0 является пара (- b n, an) Общим решением диофантова уравнения 2х + 3у = 1 является х = 5 – 3 n, y = -3 + 2n, 11

Работа в группах. 1 группа. Предложите как можно подобрать частное решение уравнения 31х + 11 у = 1 2 группа. Решите уравнение: 6х + 9у = 2 3 группа. Решите уравнение: 6х + 9у = 3 4 группа. Решите уравнение:2х + 3у = 7 12

= 5·(31 – 11 · 2) – 4 · 11= 5 · 31+ 11· (- 14). х=5; у =- 14(частное решение) Проверка. Группа 1. Частное решение уравнения 31х + 11 у = 1 можно найти с помощью алгоритма Евклида: 31 11 22 2 11 9 9 1 9 2 8 4 1 1 = 9 – 4 · 2 2 = 11 – 9 · 1 9 = 31 – 11 · 2 подставим 1 = 9 – 4 ·(11 – 9) = 5 · 9 – 4 ·11 подставим

Группа 2. 6х + 9у = 2 (6х + 9у) ⫶ 3; 2 не делится на 3⟾ это уравнение не имеет решений. Группа 3. 6х + 9у = 3. Разделим обе части уравнения на 3. 2х + 3у = 1. Частное решение: х = 5; у = — 3. 2х + 3у = 2 ∙ 5 + 3 ∙ (-3) 2 ( х – 5) + 3 (у + 3) = 0. Сделаем замену: х´= х – 5, у´= у + 3; 2х´ + 3у´= 0; х´=-3 n, у´=2 n х = 5 + х´= 5 – 3 n ; у = -3 + у´= -3 + 2 n. Ответ: (5 – 3 n ; -3 + 2 n) , 14

Группа 4. 2х + 3у = 7 Частное решение х = 2; у = 1 Решение соответствующего однородного уравнения: х = 3 n ; у = — 2 n . Ответ: (2 + 3 n ; 1 — 2 n ), 15

Другой способ решения. 2х + 3у = 7 х = 16 3 – у + ; = n у = 1 – 2 n ; х = 3 – (1 – 2 n) + n = 2 + 3n Ответ: (2 + 3 n; 1 – 2n) ,

Диофантовы уравнения высших степеней. 1. Метод разложения на множители Задача 1. Доказать : что уравнение ( x — y ) 3 + ( y — z ) 3 + ( z — x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах. Решение: Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду ( x — y )( y — z )( z — x ) = 10. Заметим, что ( x — y ) + ( y — z ) + ( z — x ) = 0. С другой стороны, делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из этого множества, дающих в произведении 10, не будет равняться 0.

Задача 2. Решите уравнение в целых числах : 3ху + 2х + 3у = 0 Решение: 3ху + 2х + 3у + 2 = 2 3у ( х + 1) + 2 ( х + 1) = 2 (3у + 2)( х + 1) = 2 3у + 2 = 2 х + 1 = 1 3у + 2 = 1 х + 1 = 2 3у + 2 = -2 х + 1 = — 1 3у + 2 = -1 х + 1 = -2 Решите системы и отберите целые решения 18 Ответ: (0;0); (-3; -1)

19 Проект учащихся «Метод б есконечного спуска»

2. Метод «бесконечного спуска» Предположим, что уравнение имеет решение, строим бесконечный процесс, в то время как по смыслу задачи этот процесс должен на чём-то закончиться. Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположим, что мы уже добрались до естественного конца, и видим, что «остановиться» невозможно. 20

21 Историческая справка. Метод бесконечного спуска изобрели, по-видимому, древнегреческие математики. Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма . Есть основания полагать, что Ферма пытался доказывать свою Великую теорему именно этим методом.

Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска. Чтобы доказать, что уравнение не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах x = X1, y = Y1, z = Z1. При изучении свойств чисел (X1, Y1, Z1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X2, Y2, Z2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X3, Y3, Z3) и т.д. Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при =3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая =3. 22

Задача. 23 Решите уравнение в целых числах: Решение. 1 4 — 2 — 8 z 1 3 = 0 2 х 3 – у 3 – 4 z 1 3 =0 у 3 = 2(х 3 – 2 z 1 3 ) у 3 – чётное , у ⫶ 2, у = 2 у 1 2х 3 – 8у 1 3 – 4 z 1 3 = 0 х 3 – 4 у 1 3 – 2 z 1 3 = 0 х 3 — чётное число, х ⫶ 2, х = 2 х 1 1

Значит числа х 1 , у 1 и z 1 – тоже делятся на 2. Сколько бы раз мы не делили на 2,получаем числа, которые снова делятся на 2. Таким свойством обладает только 0. Ответ: (0;0;0). 24

Задание для самостоятельной работы. Доказать, что уравнение x 3 + 2 y 3 + 4 z 3 — 6 xyz = 0 в целых числах не имеет решений, не равных нулю одновременно. 25

Другие методы решения диофантовых уравнений Задача: Доказать, что уравнение x 3 + y 3 + z 3 = 2 имеет бесконечно много решений в целых числах. Решение: Положим x = a + b , y = a — b . Тогда x 3 + y 3 = 2 a 3 + 6 ab 2 . С учетом последнего равенства исходное уравнение принимает вид 2 a 3 + 6 ab 2 + z 3 = 2. Положив a = 1, получим z 3 = -6 b 2 . Положим теперь b = 6 t 3 . Отсюда z = — 6 t 2 , x = 1 + 6 t 3 , y = 1 — 6 t 3 . Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t

Домашнее задание. № 1 Решите в целых числах уравнение: а)8х + 14у = 32; б)6х – 15у = 27; в)19х – 5у = 119 № 2. Найдите общий вид целых неотрицательных чисел, дающих при делении на 7 остаток 3, а при делении на 11 остаток 4. № 3. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одного на 6, а другого на 11 получились соответственно остатки 5 и 4. 27

За что ты можешь себя ПОХВАЛИТЬ? Что тебе УДАЛОСЬ на уроке? Над чем еще нужно ПОРАБОТАТЬ? Зачем нам нужен был этот урок? Итоги урока

29 Удачи! Урок окончен!

Литература Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9кл. общелюразоват . учреждений.- М.: Просвещение, 1999.-237 с. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 кл . общеобразоват . учреждений. – М. : Просвещение, 1994.- 190с. http ://garshin.ru/evolution/mathematics/math-history.html http://www.math.md/school/krujok/diofantr/diofantr.html http://virlib.eunnet.net/books/numbers/text/5.html http://maths3.narod.ru/algteo4.html

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

презентация»Решение уравнений 6 класс.»

Математика – серьезная наука и нельзя упускать возможности, чтобы сделать ее занимательной и увлекательной. Оживляет урок и использование различных форм ИКТ, но наиболее простой из них является презен.

Презентация «Линейные уравнения» для подготовки к ГИА в 9 классе

Презентация «Линейные уравнения» 9 класс для подготовки к ГИА.

Конспект урока и презентация для 8 класса по теме: «Формулы корней квадратных уравнений»

Урок алгебры. Тема: «Формулы корней квадратных уравнений». Урок «открытия» детьми нового знания. Цели урока: Деятельностные: формирование способности к построению нового метода решения ква.

Презентация «Решение уравнений», математика 6 класс.

На уроке математике представлено высказывание А. Эйнштейна про уравнения. Учащимся предлагается вспомнить ранее изученный материал, то есть устный счет на раскрытие скобок, решение простых уравнений.З.

Презентация: Алгебра 10 класс «Решение тригонометрических уравнений»

Основные способы решения тригонометрических уравнений.

Презентация ученицы 10го класса на тему «Виды тригонометрических уравнений».

Презентация ученицы 10го класса на тему «Виды тригонометрических уравнений». Выполнила Назарова Марина.

Презентация «Решение уравнений» 5 класс

Презентация предназначена для проведения урока математики в 5 классе по ФГОС. УМК Виленкин Н.Я. .

Презентация на тему: Диофантовы уравнения

Проблема подтолкнувшая на создание работы: Диофантовы уравнения Глобально не изучаются в школьной программе, а присутствуют на экзамене!

Актуальность моего исследования обусловлена трудностями решения уравнений и задач на составление «Диофантовых уравнений»

Целью моей работы является: -Исследовать варианты решения уравнений с одной неизвестной;-Исследовать варианты уравнений с двумя неизвестными;-Найти общие закономерности результатов решений поставленных задач.

Немного истории… О прожитых годах жизни Диофанта Александрийского можно только предполагать, по написанному стихотворению:Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень.Мудрым искусством его скажет усопшего век.Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.И половину шестой встретил с пушком на щеках.Только минула седьмая. С подругой он обручился.С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;Только полжизни отцовской, возлюбленный сын его прожил.Отнят он был у отца ранней могилой своей.Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Мы узнаем годы жизни Диофанта Александрийского.Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение: Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Арифметика… Основное произведение Диофанта Александрийского– «Арифметика» в тринадцати книгах. К сожалению, до наших дней сохранились только шесть первых книг из тринадцати. «Арифметика» Диофанта – это сборник задач их всего 189, каждая из которых снабжена решением или несколькими способами решения и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов.

Диофантовы уравнения с одним неизвестным. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем числа свободного члена уравнения. Таким образом, при отыскании целых корней уравнения с целыми коэффициентами достаточно испытать лишь делители свободного члена.

Например: Решить в целых числах уравнение:Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители Среди этих чисел и будем искать целые корни данного уравнения. Подстановкой убеждаемся, что корнями являются числа 1 и – 3.

Неопределенные уравнения II-ой степени вида x2 + y2 = z2 Существует еще одна частная задача на неопределенные уравнения – теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте.Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы

В точке С где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали колышек в точке В при СВ = 4 и натягивали веревку так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Мы, конечно, понимаем, что безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора. Действительно,32 + 42 = 52 . Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения

Запишем подряд квадраты натуральных чисел, а под ними разность между последовательными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 … . 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 … . Найдем в нижнем ряду квадратные числа. Первое из них 32 = 9 , над ним 42 = 16 и 52 =25, знакомая нам тройка 3, 4, 5.Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Отсюда мы имеем право сформулировать такую теорему:

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов

Числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Мои исследования: Заключались в изучении решений задач и уравнений…. И я понял, что для решения задач есть много подходов. Диофант Александрийский не останавливался на одном решении, он находил каждый раз новые и более сложные пути получения результатов.

Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей? Именно эта задача проявила мой интерес к изучению «Диофантовых уравнений» и с неё начались мои исследования!

Решение: Пусть х – число фломастеров, у – число карандашей, тогда по условию 7х+ 4у=53. Частное решение этого линейного диофантова уравнения есть: х=7, у=1. Тогда общее решение его имеет вид: х=7-4t, y=1+7t. Однако условию х> 0, y>0, то значениями параметра t могут быть лишь t=0 и t=1. При t=0 получаем х=7, у=1, а при t=1 имеем: х=3, у=8. Таким образом, решений два, т.е. возможны два варианта покупки фломастеров и карандашей на сумму 53 рубля.

Решить диофантово уравнение: 23х-13у+7z=5 Выбираем наименьший по модулю коэффициенты x,y,z. В нашем случае это 7, затем остальные коэффициенты 23 и 13, при неизвестных представляем в виде: 23= 7*3+2, 13=7*2+(-1), тогда преобразуем уравнение следующим образом: (7*3+2)х-(7*2-1)у+7z=5, Откуда 2х+у+7(3х-2у+z)=5. Полагая теперь t= 3х-2у+z, получаем уравнение: 2х+у+7t=5. Далее находим у из последнего равенства, т.е. у=5-2х-7t и z=-3x+2у+t. Подставляя в последние равенство выражение для у, находим, что z=-3х+2(5-2х-7t)+t=-7х -13t+10. Таким образом, окончательно получаем: У= 5-2х-7t, z=10-7х-13t, где параметры х, и Є Z дают общее решение предположенного диофантова уравнения. Этот метод «наименьшего коэффициента» применим и для решения диофантовых уравнений вида ax+by=c.

Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение вида: (х-у)(х+у)=69 Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1*69 и 69=3*23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа: или Первая система имеет решение х=35, у=34 , а вторая система имеет решение х=13, у=10. Ответ: (35;34) и (13;10)

В заключительной части своей работы мне особенно хотелось подчеркнуть, что изучив специальную литературу, посвященную диофантовым уравнениям, я расширил свои математические навыки и получил дополнительные знания о самом Диофанте, также о влиянии его научных трудов на дальнейшее развитие научной математической мысли. Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. Методы Диофанта растягиваются еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история Диофантова анализа показалась мне особенно интересной.

Диофантовы уравнения и их решения и по сей день остаются актуальной темой. Умение решать такие уравнения позволяет найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени. Проведя данное исследование, я овладел новыми математическими навыками, рассмотрел некоторые методы решения неопределенных уравнений. Изучая диофантовы уравнения, показал практическое им применение, решив несколько задач.

Спасибо за внимание! До скорых встреч. Работу подготовил: Калита Виталий Алексеевич

Презентация на тему Диофантовы уравнения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цели и задачи.
Определение диофантова уравнения
Биография Диофанта
Диофантовые уравнения первой степени
Диофантовые уравнения высших степеней
Проект учащихся «Метод бесконечного спуска»
Другие методы решения диофантовых уравнений
Содержание.

Цели урока:
Образовательные:
1.Познакомить учащихся с уравнениями, которые решаются в целых числах.
2.Организовать самостоятельный поиск решений диофантовых уравнений.
3.Рассмотреть различные приёмы решения.
4.Научить решать текстовые задачи, по которым можно составить диофантово уравнение.
Развивающие.
1. Формирование умений обобщать, сравнивать, оценивать, контролировать, анализировать, делать выводы,
2. Развитие познавательных возможностей, творческих способностей, креативности личностных качеств,
3.Организация способности общения (живого, виртуального, обоюдного, группового и т.д.),.
4. Развитие инициативы, познавательного интереса,
5. Обучение методам исследовательского поиска,
6. Развитие мыслительной деятельности,
7.Развитие практической направленности изучаемого материала
8. Привитие любви к математике
3

Задача.
У мальчика было 50 р., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 р. и по 3 р., но у киоскера совсем не было сдачи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося затруднения.
4

Решение.
Пусть марок по 4 р. х штук,
по 3 р. – у штук.

Всего имеется 50 р., отсюда
уравнение: 4 х + 3 у = 50
Эта задача имеет не одно, а несколько решений.

Первым начал рассматривать такие уравнения Диофант (II – III вв. до нашей эры). Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так:
ax + by = c; (1)
где a, b и c целые числа, и ответ должен быть дан только в целых числах.
Такие уравнения называют «диофантовыми».

Диофант пытался ответить на следующий вопрос: «Дано уравнение с целыми коэффициентами. Имеет ли оно целые решения?»
Диофантовы уравнения — алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
Примеры диофантовых уравнений: ax+by=c, x2+y2=d2.

Биографических данных о древнегреческом ученом-математике Диофанте из Александрии практически не сохранилось. До наших времен дошла лишь часть математического трактата Диофанта «Арифметика», 6 книг из 13, а также отрывки книги о многоугольных числах. В «Арифметике», Диофант излагал начала алгебры, привел множество задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и отметил методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел — теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений.
8

9
Рассмотрим линейное диофантово уравнение 2х + 3у = 1.
Найдите целые решения.
Одно из решений – пара чисел х = 5, у = -3
Проверка: 2 · 5 + 3 · (-3) = 1
Любое решение диофантова уравнения называется частным решением

При с = 0 уравнение (1) имеет вид ах + bу = 0
и называется однородным диофантовым уравнением.
Пример. 2х + 3у = 0
2х = -3у
Левая часть равенства делится на 2, а правая – на 3. Числа 2 и 3 взаимно просты.
Поэтому у = 2n, x = -3n, где
10

В общем виде решением уравнения ах + bу = 0
является пара (-b n, an)
Общим решением диофантова уравнения
2х + 3у = 1 является х = 5 – 3n, y = -3 + 2n,

Работа в группах.
1 группа. Предложите как можно подобрать частное решение уравнения 31х + 11 у = 1
2 группа. Решите уравнение: 6х + 9у = 2
3 группа. Решите уравнение: 6х + 9у = 3
4 группа. Решите уравнение:2х + 3у = 7
12

= 5·(31 – 11 · 2) – 4 · 11= 5 · 31+
11· (- 14). х=5; у =- 14(частное
решение)
Проверка.
Группа 1. Частное решение уравнения 31х + 11 у = 1 можно найти с помощью алгоритма Евклида: 31 11
22 2
11 9
9 1
9 2
8 4
1

1 = 9 – 4 · 2
2 = 11 – 9 · 1
9 = 31 – 11 · 2
подставим
1 = 9 – 4 ·(11 – 9) = 5 · 9 – 4 ·11
подставим

Группа 2. 6х + 9у = 2
(6х + 9у) ⫶ 3; 2 не делится на 3⟾ это уравнение не имеет решений.
Группа 3. 6х + 9у = 3. Разделим обе части уравнения на 3.
2х + 3у = 1. Частное решение: х = 5; у = — 3.
2х + 3у = 2 ∙ 5 + 3 ∙ (-3)
2 (х – 5) + 3 (у + 3) = 0. Сделаем замену:
х´= х – 5, у´= у + 3; 2х´ + 3у´= 0; х´=-3n, у´=2n
х = 5 + х´= 5 – 3n; у = -3 + у´= -3 + 2n.
Ответ: (5 – 3n; -3 + 2n),
14

Группа 4. 2х + 3у = 7
Частное решение х = 2; у = 1
Решение соответствующего однородного уравнения: х = 3n; у = — 2n.
Ответ: (2 + 3n; 1 — 2n),
15

Другой способ решения.
2х + 3у = 7
х =

16
3 – у +
;
= n
у = 1 – 2n ; х = 3 – (1 – 2n) + n = 2 + 3n

Ответ: (2 + 3n; 1 – 2n),

Диофантовы уравнения высших степеней.
1. Метод разложения на множители
Задача 1.
Доказать: что уравнение (x — y)3 + (y — z)3 + (z — x)3 = 30
не имеет решений в целых числах.
Решение:
Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду
(x — y)(y — z)(z — x) = 10.
Заметим, что (x — y) + (y — z) + (z — x) = 0. С другой стороны, делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из этого множества, дающих в произведении 10, не будет равняться 0.

Задача 2. Решите уравнение в целых числах : 3ху + 2х + 3у = 0

Решение:
3ху + 2х + 3у + 2 = 2
3у (х + 1) + 2 (х + 1) = 2
(3у + 2)(х + 1) = 2
3у + 2 = 2
х + 1 = 1
3у + 2 = 1
х + 1 = 2
3у + 2 = -2
х + 1 = — 1
3у + 2 = -1
х + 1 = -2
Решите системы и отберите целые решения

19
Проект учащихся
«Метод
бесконечного спуска»

2. Метод «бесконечного спуска»
Предположим, что уравнение имеет решение, строим бесконечный процесс, в то время как по смыслу задачи этот процесс должен на чём-то закончиться.
Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположим, что мы уже добрались до естественного конца, и видим, что «остановиться» невозможно.
20

21
Историческая справка.
Метод бесконечного спуска изобрели, по-видимому, древнегреческие математики.
Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма. Есть основания полагать, что Ферма пытался доказывать свою Великую теорему именно этим методом.

Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска. Чтобы доказать, что уравнение не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах x = X1, y = Y1, z = Z1. При изучении свойств чисел (X1, Y1, Z1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X2, Y2, Z2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X3, Y3, Z3) и т.д. Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при =3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая =3.
22

Задача.
23
Решите уравнение в целых числах:

Решение.
1
4
— 2
— 8z13 = 0
2х3 – у3 – 4z13 =0
у3= 2(х3 – 2 z13) у3 – чётное , у ⫶ 2, у = 2 у1

2х3 – 8у13 – 4 z13 = 0 х3 – 4у13 – 2 z13 = 0

х3- чётное число, х ⫶ 2, х = 2 х1

Значит числа х1, у1 и z1 – тоже делятся на 2.
Сколько бы раз мы не делили на 2,получаем числа, которые снова делятся на 2. Таким свойством обладает только 0.

Задание для самостоятельной работы.
Доказать, что уравнение x 3 + 2y 3 + 4z 3 — 6xyz = 0
в целых числах не имеет решений, не равных нулю одновременно.

Другие методы решения диофантовых уравнений
Задача:
Доказать, что уравнение
x 3 + y 3 + z 3 = 2
имеет бесконечно много решений в целых числах.
Решение:
Положим x = a + b, y = a — b. Тогда x 3 + y 3 = 2a 3 + 6ab 2. С учетом последнего равенства исходное уравнение принимает вид
2a 3 + 6ab 2 + z 3 = 2.
Положив a = 1, получим z 3 = -6b 2. Положим теперь b = 6t 3. Отсюда z = -6t 2, x = 1 + 6t 3, y = 1 — 6t 3. Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t

Домашнее задание.
№ 1
Решите в целых числах уравнение:
а)8х + 14у = 32; б)6х – 15у = 27; в)19х – 5у = 119
№ 2.
Найдите общий вид целых неотрицательных чисел, дающих
при делении на 7 остаток 3, а при делении на 11 остаток 4.
№ 3.
Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении
одного на 6, а другого на 11 получились соответственно остатки 5 и 4.

За что ты можешь себя
ПОХВАЛИТЬ?
Что тебе УДАЛОСЬ на уроке?
Над чем еще нужно
ПОРАБОТАТЬ?
Зачем нам нужен был этот урок?
Итоги урока