Дипломная работа по дифференциальным уравнениям

Исследование решений дифференциальных уравнений — диплом по математике

Тип: Диплом Предмет: Математика Все дипломы по математике » Язык: Русский Дата: 7 авг 2021 Формат: RTF Размер: 128 Кб Страниц: 46 Слов: 7042 Букв: 33832 Просмотров за сегодня: 1 За 2 недели: 11 За все время: 665

Тезисы:

• Исследование решений дифференциальных уравнений в окрестности полюсов и особых точек.
• Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.
• Рассмотрим задачу Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
• Общее дифференциальное уравнение Риккати.
• Для четырех частных решений этого уравнения y1, y2, y3, y4 двойное отношение постоянно.
• Исследование решений в окрестности полюса и существенно особой точки.
• Определим все полюсы решения задачи Коши для уравнения Риккати.
• Решение этого уравнения ищем в виде ряда.
• Лоран дифференциальный рикатти уравнение.
• Нули которого будут являться полюсами исходного уравнения (4.1) и наоборот.

Похожие работы:

85 Кб / 4 стр / 1227 слов / 7177 букв / 4 дек 2006

910 Кб / 46 стр / 2624 слов / 17550 букв / 8 июл 2015

362 Кб / 32 стр / 2118 слов / 13519 букв / 19 июл 2021

433 Кб / 45 стр / 5013 слов / 30439 букв / 24 авг 2016

1 Мб / 16 стр / 1324 слов / 9029 букв / 12 мая 2016

109 Кб / 48 стр / 776 слов / 5362 букв / 16 фев 2016

626 Кб / 17 стр / 1503 слов / 9000 букв / 26 авг 2020

209 Кб / 40 стр / 4323 слов / 25943 букв / 12 сен 2020

68 Кб / 20 стр / 1577 слов / 10566 букв / 1 дек 2021

194 Кб / 21 стр / 1958 слов / 12539 букв / 5 апр 2014

Дипломная работа: Линейные дифференциальные уравнения

Введение

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.

Таким образом, большинство физических явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.

В работе рассматриваются понятия простейших дифференциальных уравнений, а также линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка и систем таких уравнений. Особое внимание уделяется изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных уравнений.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения.

Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.

Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения простейших обыкновенных дифференциальных уравнений , качественное исследование решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения их явного вида.

Цель дипломной работы – изучить понятие линейных дифференциальных уравнений.

В связи с поставленной целью необходимо выполнить следующие задачи:

1) Рассмотреть понятие линейных систем;

2) Изучить линейные дифференциальные уравнения различных порядков, в том числе с аналитическими коэффициентами;

3) Решить предложенные практические задания.

1. Линейные системы

1.1 Предварительные определения и обозначения

Пусть А = (a_ij ) – квадратная матрица порядка n, где a_ij – комплексные числа. Определим норму А следующим образом:

. (1.1)

Если n-мерный вектор х представлять как матрицу с n строками и одним столбцом, то норма вектора совпадает с нормой x, определенной по формуле (1). Легко видеть, что норма обладает следующими свойствами:

(I) |A+B| |A|+|B|,

(II) |AB| |A|*|B|,

(III) |Ax| |A|*|x|,

где А и В – матрицы, х – n-мерный вектор.

По определению, расстояние между двумя матрицами А и В равно |A-B|, и это расстояние удовлетворяет обычным свойствам метрики.

Нулевая матрица будет обозначаться через О, единичная – через Е. В случае опасности смешения размерностей эти квадратные матрицы порядка n будут обозначаться соответственно через О_n и Е_n .

Заметим, что | О_n | = 0 и | Е_n | = n, а не 1.

Комплексно сопряженной матрицей для А = (a_ij ) называется матрица , где — комплексно сопряженные числа для a_ij . Транспонированная матрица обозначается через и определяется так: . Сопряженная матрица для А определяется так: . Заметим, что |A*|=||=||=|A|. Далее, (АВ)*=В*А*. Определитель матрицы А обозначается как det А.

Если det А = 0, то матрица А называется особой. Не особая матрица имеет обратную матрицу А -1 , которая удовлетворяет соотношениям

Многочлен det (λЕ-А) степени n от λ называется характеристическим многочленом для матрицы А, а его корни – характеристическими корнями А. Если эти корни обозначены λ_i (i = 1, …, n), то

det (λЕ-А) =

Две квадратные матрицы А и В порядка n называются подобными, если существует Неособая квадратная матрица Р порядка n, такая что

Если А и В подобны, то они имеют один и тот же характеристический многочлен, ибо

det (λЕ-В) = det (Р(λЕ-А)Р -1 )= det Р* det (λЕ-А)* det Р -1 = det (λЕ-А).

В частности, коэффициенты многочлена det (λЕ-А) при степенях λ инвариантны относительно преобразования подобия. Два наиболее важных инварианта — det А и sp A – определитель и след А соответственно.

Приведем следующий фундаментальный результат о канонической форме матрицы.

Теорема 1.1 Каждая квадратная матрица А порядка n и подобная матрица вида

где J₀ – диагональная матрица с элементами λ₁ , λ₂ ,…, λ_q и

(i = 1, …, s).

Здесь λ_j , j = 1, …, q+s, — характеристические корни А, не обязательно различные. Если λ_j – простой корень, то он встречается в J₀ и поэтому, если все корни различны, А подобна диагональной матрице

Из теоремы 1.1 непосредственно следует, что

det А = , spA =

где произведение и сумма распространены на все корни, причем каждый корень считается столько раз, каков а его кратность. Матрицы J_i имеют вид

где J_i – квадратная матрица порядка r_i и

Матрицы J_i можно представить также в виде λ_{q + i} Е_ri +γZ_i , где γ – любая постоянная, отличная от нуля.

Последовательность матриц <А_m > имеет своим пределом А, если для любого ε > 0 существует такое целое число N, что при p, q > N

|A_q — A_p | А , сходится для всех А, июо для любых положительных целых p и q

а последнее выражение есть разность Коши для ряда е А , сходящегося для всех конечных |A|. Далее,

|е А |(n-1) + е |А| . (1.3)

Для матриц, вообще говоря, равенство е А+В = е А е В неверно. Это равенство верно, если А и В коммутируют. Далее будет показано, что

det е А = е sp А , (1.4)

и поэтому е А есть неособая матрица для всех А. Так как –А коммутирует с А, то е -А = (е А ) -1 .

Каждая матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению det (λЕ-А) = 0, и это замечание часто бывает полезно для эффективного вычисления е А .

Пусть В – неособая матрица. Покажем, что существует матрица А (называемая логарифмом В), такая, что е А = В. В самом деле, если в имеет каноническую форму J теоремы 1, то А, очевидно, можно представить в виде

при условии, что е А i = J_j , j = 0, 1, …, s. Легко также проверить, что А₀ можно представить в виде

где Z_j – нильпотентная матрица, определенная в теореме 1.1. так как высшие степени Z_j равны нулю, то ряд

содержит лишь конечное число членов и поэтому сходится. Положим, по определению, сумму этого ряда, который на самом деле является многочленом от, равной

есть многочлен от . С другой стороны. Из тождества

(|x| k , k2, равны нулю, а коэффициент при х равен единице. Отсюда следует тот же результат для F, и поэтому

Отсюда легко получаем, что А_j можно представить в виде

Пользуясь тем, что для каждой матрицы М

(PMP -1 ) k = PM k P -1 (k = 1, 2, …),

нетрудно видеть, что

Отсюда следует, что результат, полученный для канонической матрицы В, переносится на произвольную неособую матрицу В. В самом деле, если J = e A и B = PJP -1 , то В = , где = PАP -1 . естественно, что матрица А не единственна.

Если Ф – произвольная квадратная матрица порядка n из функций, определенная на действительном i-интревале I (элементы матрицы могут быть действительными или комплексными функциями), то Ф называется непрерывной, дифференцируемой ли аналитической на I, если все элементы Ф соответственно непрерывны, дифференцируемы или аналитичны на I. Если Ф на I дифференцируема, то через обозначается произвольная матрица. Заметим, что если матрицы Ф, Ψ дифференцируемы, то

(1.5)

и, вообще говоря, .

Если в точке t производная матрица (t) существует и матрица Ф – неособая, то матрица Ф -1 в точке t дифференцируема. Это следует из равенства

где , а — алгебраические дополнения элементов . Из равенств (1.5) и Ф Ф -1 =Е следует, что

(1.6)

Если матрица А на t-интервале Iнепрерывна и Ф удовлетворяет уравнению (t) = А(t)Ф(t), то

(1.7)

а в интегральной форме

(1.8)

1.2 Линейные однородные системы

Пусть А – непрерывная квадратная матрица порядка n, элементами которой служат непрерывные комплексные функции, определенные на t-интервале I. Линейная система

(ЛО)

Называется линейной однородной системой порядка n. Для любого ξ и для τI существует единственное решение φ системы (ЛО) на интервале I, удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. Замечание: если каждый элемент матрицы А измерим на I и

, (*)

где m интегрируема по Лебегу на I, то существует единственное решение φ системы (ЛО), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. В дальнейшем будем полагать, что для А выполняется по крайней мере условие (*).

Нулевая вектор-функция на I является решением системы (ЛО). Это решение называется тривиальным. Если решение системы (ЛО) равно нулю для некоторого , то в силу теоремы единственности оно равно нулю тождественно на I.

Теорема 2.1. Множество всех решений системы (ЛО) на интервале I образует n-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел.

Доказательство. Если φ₁ и φ₂ – решения (ЛО) и с₁ , с₂ – комплексные числа, то с₁ φ₁ + с₂ φ₂ также является решением (ЛО). Это показывает, что решения образуют векторное пространство.

Чтобы доказать, что это пространство n-мерно, следует показать, что существует n линейно зависимых решений φ₁ , φ₂ , …, φ_n , таких, что каждое другое решение системы (ЛО) есть линейная комбинация (с комплексными коэффициентами) этих φ_i . Пусть ξ_i , i=1, 2, …, n – линейно независимые векторы n-мерного х-пространства. Например, за ξ_i можно взять вектор со всеми компонентами, равными нулю, кроме i-й, которая равна 1. Тогда, по теореме существования, если , то существуют решения φ_i , i=1, 2, …, n, системы (ЛО), для которых φ_i (τ) = ξ_i . Покажем, что эти решения удовлетворяют поставленному выше условию.

Если бы решения φ_i были линейно зависимы, то существовали бы n комплексных чисел , не равных одновременно нулю и таких, что

.

Отсюда следует равенство

противоречащее предположению о том, что векторы ξ_i линейно независимы.

Если φ – некоторое решение (ЛО) на I, такое, что φ(τ)=ξ , то можно найти (единственным образом определенные) постоянные с_i , удовлетворяющие равенству

,

ибо векторы ξ_i образуют базис n-мерного х-пространства. Поэтому функция

есть решение (ЛО), принимающее при t = τ значение ξ, и, следовательно, в силу теоремы единственности

Итак, каждое решение φ есть (единственная) линейная комбинация φ_i и теорема 2.1 полностью доказана.

Всякое множество φ₁ , φ₂ , …, φ_n линейно зависимых решений системы (ЛО) называется базисом или фундаментальным множеством решений системы (ЛО).

Если Ф – матрица, n столбцов которой являются n линейно независимыми решениями (ЛО) на I, то Ф называется фундаментальной матрицей системы (ЛО). Очевидно, Ф удовлетворяет матричному уравнению

. (2.1)

Под матричным дифференциальным уравнением, соответствующим системе (ЛО) на I, подразумевается задача отыскания квадратной матрицы Ф порядка n, столбцы которой являются решениями системы (ЛО) на I. Эта задача обозначается так:

. (2.2)

Матрица Ф называется решением задачи (2.2) на I, и Ф удовлетворяет уравнению (2.1). Из теоремы 2.1. следует, что зная фундаментальную матрицу системы (ЛО), которая является, разумеется, частным решением уравнения (2.2), мы будем знать полную систему решений системы (ЛО).

Теорема 2.2. Для того, чтобы решение-матрица уравнения (2.2) была фундаментальной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы det Ф(t) 0 для .

Замечание. Если det Ф(t) 0 для некоторого , то в силу (1.8) det Ф(t) 0 для всех t.

Доказательство теоремы 2.2. Пусть Ф – фундаментальная матрица, столбцами которой являются векторы φ_j , и пусть φ – некоторое нетривиальное решение системы (ЛО). В силу теоремы 2.1 существуют единственным образом определенные постоянные с₁ , с₂ , …, с_n , не равные все нулю и такие, что

или, выражая при помощи матрицы Ф,

где с – вектор-столбец с элементами с₁ , с₂ , …, с_n . Это соотношение при каждом есть система n линейных уравнений с неизвестными с₁ , с₂ , …, с_n , имеющая единственное решение для каждого φ(τ). Поэтому det Ф(τ) 0 и, по сделанному выше замечанию, det Ф(t) 0 для каждого . Заметим, что это доказывает линейную независимость векторов-столбцов фундаментальной матрицы для каждого .

Наоборот, пусть Ф – матрица-решение уравнения (2.2) и пусть det Ф(t) 0 для каждого . Таким образом, векторы-столбцы матрицы Ф линейно независимы для каждого .

Матрица из векторов-столбцов может иметь определитель, тождественно равный нулю на интервале I, даже при линейно независимых векторах.

для каждого действительного интервала I. Содержание теоремы 2.2 состоит в том, что этого не может случиться для векторов, которые являются решениями системы (ЛО).

Теорема 2.3. Если Ф – фундаментальная матрица для системы (ЛО) и С – (комплексная) постоянная неособая матрица, то ФС также является фундаментальной матрицей системы (ЛО). Каждая фундаментальная матрица системы (ЛО) может быть представлена в такой форме при помощи некоторой неособой матрицы С.

Доказательство. Из (2.1), если Ф – фундаментальная матрица, вытекает, что

,

и, следовательно, ФС есть матрица-решение уравнения (2.2). Так как

det (ФС)=( det Ф)( det С) 0,

то ФС – фундаментальная матрица.

Наоборот, если Ф₁ и Ф₂ – две фундаментальные матрицы , то Ф₂ = Ф₁ С, где С – некоторая постоянная неособая матрица. Для доказательства этого положим Ф₁ -1 Ф₂ = Ψ(t). Тогда Ф₂ = Ф₁ Ψ. Дифференцируя это равенство, получим, что . Отсюда и из (2.1) следует, что , или . Поэтому и, следовательно, матрица ψ = С постоянна. Она неособая, так как этим свойством обладают Ф₁ и Ф₂ .

Замечания. Если предполагать, что Ф₂ – решение, то матрица С может быть особой.

Заметим, что если Ф – фундаментальная матрица системы (ЛО) и С – постоянная неособая матрица, то СФ, вообще говоря, не является фундаментальной матрицей.

Две различные однородные системы не могут иметь одну и ту же фундаментальную матрицу, ибо из уравнения (ЛО) следует, что Поэтому матрица Ф определяет матрицу А однозначно, хотя обратное утверждение и неверно.

Сопряженные системы. Если Ф — фундаментальная матрица для системы (ЛО), то

или, переходя к сопряженным матрицам,

Поэтому — фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и матричное уравнение

. (2.3)

Система (2.3) называется сопряженной для системы (ЛО) и матричное уравнение

(2.4)

называется сопряженным для уравнения (2.2.). Это соответствие симметрично, ибо (ЛО) и (2.2) сопряжены (2.3) и (2.4) соответственно.

Теорема 2.4. Если Ф — фундаментальная матрица для системы (ЛО), то Ψ есть фундаментальная матрица для сопряженной системы (2.3) в том и только в том случае, когда

(2.5)

где С – постоянная неособая матрица.

Доказательство. Если Ф — фундаментальная матрица для системы (ЛО) и Ψ есть фундаментальная матрица системы (2.3), то так как — фундаментальная матрица частного вида уравнения (2.3),

где D – некоторая постоянная неособая матрица (теорема 2.3). Поэтому

и можно принять С = D * .

Наоборот, если Ф — фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и удовлетворяет (2.5), то или и, следовательно, в силу теоремы 2.3 Ψ — фундаментальная матрица сопряженной системы (2.3).

Если А = — А * , то , будучи фундаментальной матрицей для системы (2.3), является также фундаментальной матрицей для системы (ЛО). Поэтому в силу теоремы 2.3 или

(2.6)

где С – постоянная неособая матрица. Из уравнения (2.6), в частности, следует, что эвклидова длина каждого вектора-решения системы (ЛО) постоянна.

Понижение порядка однородной системы. Если известно m (0 -1 , то утверждение для х следует из доказанного уже утверждения для .

1.3 Неоднородные линейные системы

Пусть А – неособая квадратная матрица порядка n из непрерывных функций, определенных на действительном t-интервале I и b – непрерывный вектор на I, не равный тождественно нулю. Система уравнений

+b(t) (ЛН)

называется линейной неоднородной системой порядка n. Если элементы А и b непрерывны и даже измеримы и мажорируются суммируемой функцией на I, то существует единственное решение φ системы (ЛН), для которого

где и | ξ | t А _, и решение, которое при t = τ равно ξ , имеет вид е ( t -τ)А ξ . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, ξ являются векторами произвольной конечной размерности и А – квадратная матрица порядка n.

Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой

Ф(t) = е t А (|t| ( t -τ)А ξ (|t| ( t -Δ t )А = е t А е Δ t А , то из определения производной легко получаем, что

Поэтому Ф(t) = е t А есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = е tsp А . Итак, Ф – фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.

Замечание. Заметим, что выражение не обязано быть решением системы , если матрицы А(t) и не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.

Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J – каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р – неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.

(4.4)

(4.5)

где J₀ – диагональная матрица с элементами λ₁ , λ₂ ,…, λ_q и

(i = 1, …, s). (4.6)

(4.7)

и легкое вычисление показывает, что

(4.8)

Так как , то . Таким образом,

(4.9)

где — квадратная матрица порядка r_i (n = q + r₁ + … + r_s ). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица е t А системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой е tJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).

Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:

Ψ(t) = е t А P = P е tJ . (4.10)

Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р₁ , …, р_n . Столбцы матрицы Ψ. Которые мы обозначаем через ψ₁ , ψ ₂ , …, ψ_n , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем

, , …, ,

,

,

,

,

.

Так как АР = PJ, то векторы р₁ , …, р_n удовлетворяют соотношениям

Решения ψ_j выражаются посредством независимых векторов р₁ , …, р_n из предыдущей последовательности уравнений.

Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе

+b(t) , (4.11)

где А – постоянная матрица, дает для решения φ системы (4.11), удовлетворяющего условию φ(τ) = 0, , выражение

.

Решение φ системы (4.11), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ , где , | ξ | tR . (5.3)

Доказательство. Так как

,

.

Поэтому Ψ есть матрица-решение системы (5.1), и эта матрица фундаментальная, так как det Ψ(t) = det Ф(t+ω) 0 для .

Следовательно, существует постоянная матрица С, такая что

и, сверх этого, существует постоянная матрица R, такая что

Из (5.4) и (5.5) получаем

Ф(t+ω) = Ф(t) е ωR . (5.6)

Определим матрицу Р по формуле

Р(t) = Ф(t) е — tR . (5.7)

Тогда, используя (5.6), получаем

Р(t+ω) = Ф(t+ω) е -( t + ω ) R = Ф(t) е ωR е -( t + ω ) R = Ф(t) е — tR =Р(t).

Так как матрицы Ф(t) и е — tR для неособые, то Р(t) такая же, и это завершает доказательство.

Значение теоремы 5.1 состоит в том, что значение фундаментальной матрицы Ф на интервале длины ω, например , дает возможность определить Ф на всей числовой прямой. В самом деле, матрица С в (5.5) определяется как формула Ф -1 (0)Ф(ω), а отсюда R определяется как (lnC)/ω. Теперь матрица Р(t) определена на интервале (0,ω) по формуле (5.7), а так как Р(t) имеет период ω, то она определяется на интервале . Теперь матрица Ф определена на интервале по формуле (5.3).

Если Ф₁ – некоторая другая фундаментальная матрица системы (5.1), для которой выполняется (5.2), то

где Т – некоторая постоянная неособая матрица. Из (5.6) следует, что

Таким образом, в силу (5.8) каждая фундаментальна матрица Ф₁ определяет матрицу Те ωR Т -1 , подобную е ωR . Наоборот, если Т – любая постоянная неособая матрица, то существует фундаментальная матрица Ф₁ системы (5.1), такая, что выполняется (5.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно матрица А, определяет однозначно все связанные с Rвеличины, инвариантные относительно подобных преобразований. В частности, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1) определяет однозначно множество характеристических корней, а именно характеристические корни матрицы С = е ωR . Обозначим эти корни через λ₁ , λ₂ ,…, λ_n и назовем их мультипликаторами, соответствующими матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо = det е ωR 0. Характеристические корни матрицы R называются характеристическим показателями.

Интересно выяснить явный вид множества n линейно независимых векторов-решений системы (5.1). Пусть Т – постоянная неособая матрица, такая что матрица Т -1 RТ = J имеет каноническую форму, указанную в теореме 1.1, и положим Ф₁ = ФТ, Р₁ = РТ. Тогда из (5.3) следует

Поэтому, если ρ_i – характеристические корни R, то матрица е tJ имеет вид

(i = 1, …, s; q+= n).

Очевидно, что λ_i = е ωρi , и поэтому, хотя сами корни ρ_i определяются неоднозначно, но их действительные части определяются однозначно. Из (5.9) следует, что столбцы φ₁ , φ₂ , …, φ_n матрицы Ф₁ , которые образуют множество n линейно независимых решений системы (5.1), имеют вид:

,

,

,

,

, (5.10)

,

,

.

В этих формулах р₁ , р₂ , …, р_n — периодические векторы-столбцы матрицы Р₁ .

Из (5.10) очевидно, что если Reρ_i ωR , и поэтому λ_i можно рассматривать как характеристические корни матрицыФ -1 (0)Ф(ω). В частности, если Ф(0) = Е, то е ωR = Ф(ω) и λ_i являются характеристическими корнями матрицы Ф(ω). Так как

(5.11)

то n-й корень можно определить из (5.11), если известны n-1 корней λ_i .

Действительная неособая матрица С не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица В, такая что е В = С. В самом деле, матрица с одной строкой и одним столбцом С = -1 доставляет соответствующий пример. Однако справедливо утверждение, что для действительной матрицы С существует действительная матрица В, такая, что С 2 = е В .

Используя это при доказательстве теоремы 5.1, нетрудно получить следующий результат6 если в системе (5.1) матрица А (t) действительная периодическая с периодом ω, то каждой действительной фундаментальной матрице Ф соответствует действительная матрица Р периода 2ω и действительная постоянная матрица R, такие, что

2. Линейные дифференциальные уравнения

2.1 Линейные дифференциальные уравнения порядка n

Предположим, что n+1 коэффициентов а₀ , а₁ , …, а_n представляют собой непрерывные (комплексные) функции, определенные на действительном t-интервале I, и пусть L_n обозначает формальный дифференциальный оператор

;

это означает, что если функция g имеет n производных на I, то

Далее предположим, что а₀ (t) 0 для . Тогда, по определению, уравнение

(в подробной записи ()) есть дифференциальное уравнение

;

оно называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система есть векторное уравнение

(6.1)

(6.2)

Так как (6.1) – линейная система с непрерывной на I матрицей коэффициентов А, то существует единственный вектор-решение φ на I системы (6.1), удовлетворяющий условию

где , |ξ| ( n ) , равным единице), для которого эти функции образуют фундаментальное множество, а именно:

(6.6)

Замечание. Вронскиан W(х, φ₁ , …, φ_n ) представляет собой определитель матрицы, первая строка которой состоит из элементов х, φ₁ , …, φ_n , а последующие строки являются последовательными производными первой строки до порядка n включительно.

Доказательство. Очевидно, что W(φ_i , φ₁ , …, φ_n ) = 0 (i = 1, …, n), ибо в этом определителе имеются два одинаковых столбца. Разложение числителя W(х, φ₁ , …, φ_n ) левой части уравнения (6.6) по элементам первого столбца показывает, что (6.6) есть дифференциальное уравнение порядка n. Коэффициент при х ( n ) в W(х, φ₁ , …, φ_n ) равен (-1) n W(φ₁ , …, φ_n ), т.е. в (6.6) при х ( n ) равен единице. Так как W(φ₁ , …, φ_n ) 0, то из теоремы 6.1 следует, что φ₁ , …, φ_n образуют для (6.6) фундаментальное множество.

Единственность уравнения (6.6) следует из того, что соответствующие векторы с компонентами определяют матрицу коэффициентов (6.2), соответствующие системе (6.1), однозначно. Так имеется взаимно однозначное соответствие между линейными уравнениями порядка n и линейными системами вида (6.1), (6.2), то доказательство завершено.

Если одно или более из решений уравнения известно, то использование соответствующей системы (6.1) позволяет понизить порядок уравнения. Более прямо достигает цели следующий процесс, который является методом вариации постоянных применительно к уравнению . Пусть и положим х = уφ₁ . Тогда уравнение является для у линейным дифференциальным уравнением порядка n, которое имеет решение у = 1, ибо φ₁ есть решение уравнения . Поэтому в новом уравнении коэффициент при у должен обращаться в нуль. Рассматривая это уравнение относительно переменной u = , получим уравнение (n-1)-го порядка. Если φ₂ не зависит от φ₁ и , то есть решение (n-1)-го порядка для u, которое может быть аналогично сведено к уравнению (n-2)-го порядка, и т.д.

Сопряженные уравнения. С формальным оператором L_n тесно связан другой линейный оператор порядка n, называемый сопряженным для L_n и определяемый следующим образом:

Иначе говоря, если g – функция на I, для которой произведение (k = 0, 1, …, n) имеет n – k производных на I, то

(в подробной записи

),

называемое сопряженным для L_n х = 0 на I, определяется как задача отыскания функции φ (решения), на I, такой, что произведение (k = 0, 1, …, n) имеет n – k производных на I,удовлетворяющей на I уравнению

Если на Iи φ – решение уравнения, имеющее nпроизводных на I, то, используя правило дифференцирования произведения, получаем

разделив на , видим, что φ есть решение дифференциального уравнения порядка n рассмотренного выше типа.

Рассмотрим тот специальный случай оператора L_n х когда а₀ = 1. Для системы (6.1), (6.2), ассоциированной с уравнением

(6.7)

сопряженная система имеет вид

, (6.8)

(6.9)

Записывая (6.8) в компонентах, получаем в силу (6.9)

(k = 2, …, n). (6.10)

Таким образом, если φ₁ , …, φ_n – решение системы (6.10), для которого и

существуют, то дифференцируя k-е равенство (6.10) k-1 раз и решая относительно, получаем

Поэтому φ_n удовлетворяет уравнению

которое является сопряженным к (6.7).

Важность оператора обуславливается интересным соотношением, связывающим L_n и и совершенно необходимым при изучении краевых задач.

Теорема 6.3. (Тождество Лагранжа). Предположим, что в L_n на I (k = 0, 1, …, n). Если u, v – произвольные (комплексные) функции на I, имеющие n производных, то

(), (6.11)

где [uv] – форма относительно величин (u, , …, ) и (v, , …, ), задаваемая равенством

(6.12)

Доказательство. Пользуясь правилом дифференциального произведения, имеем для m = 0, 1, …, n

Таким образом, получаем

что доказывает формулу (6.11).

Следствие (Формула Грина). Если а_к вL_n и u, v такие же как и в теореме 6.3, то для любых

(6.13)

где [u, v](t_i ) – значение [u, v] при t = t_i .

Доказательство. Следует проинтегрировать тождество (6.11) в пределах от t₁ до t₂ .

Если ψ – известное решение уравнения на I, то в силу (6.11) отыскание решения L_n х = 0 сводится к отысканию функции φ, удовлетворяющей уравнению (n-1)-го порядка

Неоднородное линейное уравнение порядка n. Предположим, что на действительном t-интервале Iа₀ 0, а₁ , …, а_n и b – непрерывные функции, и рассмотрим уравнение

,

которое совпадает с уравнением

Это уравнение (в случае b(t)0) называется неоднородным линейным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система имеет вид

, (6.14)

где А – матрица (6.2) и — вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме последнего, который равен b/а₀ . Таким образом, соответствующая уравнению L_n х = b(t) система (6.14) есть линейная неоднородная система; существование и единственность решения для системы (6.14) обеспечивает, как обычно, существование и единственность решения для уравнения L_n х = b(t).

Теорема 6.4. Если φ₁ , …, φ_n – фундаментальное множество для однородного уравнения

( на I),

то решение ψ неоднородного уравнения

L_n х = b(t) ( на I),

(, |ξ| -1 (s). Напомним, что на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы Ф(t) стоит элемент и что det Ф(t) = W(φ₁ , …, φ_n )(t). Далее, на пересечении i-й строки и n-го столбца матрицы Ф -1 стоит элемент

где — алгебраическое дополнение элемента в Ф. Поэтому

где W_k (φ₁ , …, φ_n )(s) определен в формуле теоремы. Таким образом, решение ψ уравнения L_n х = b(t) , удовлетворяющее условию = 0, имеет вид

и очевидно, что (6.15) дает решение, удовлетворяющее условию , если .

Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Рассмотрим тот случай, когда в L_n все коэффициенты а₀ = 1, а₁ , …, а_n – постоянные. В этом случае можно предполагать, что I есть вся числовая ось. Далее, уравнению

(6.16)

(6.17)

где А – постоянная матрица

(6.18)

Можно предполагать, что для (6.16) можно указать фундаментальное множество решений, и точный вид этих функций зависит от характеристического многочлена f(λ) = det (λE — A) постоянной матрицы А в (6.18).

Лемма. Характеристический многочлен для матрицы А в (6.18) имеет вид

Заметим, что f(λ) может быть получено из L_n (х) формальной заменой х ( k ) на λk.

Доказательство проводится по индукции. Для n = 1 А = — а₁ ; значит det(λE₁ — A) = λ + а₁ и, следовательно, (6.19) верно для n = 1. Предположим, что результат справедлив для n – 1. Разложим определитель

det(λE_n — A) =

по элементам первого столбца и заметим, что коэффициент при λ есть определитель (n-1)-го порядка, именно det(λE_{n -1} – A₁ ), где

Поэтому λdet(λE_{n -1} – A₁ ) = λ n + а₁ λ n -1 +…+ а_{n —1} λ. Единственный другой ненулевой элемент в первом столбце есть а_n и его алгебраическое дополнение равно 1. Поэтому det(λE_n – A) = λ n + а₁ λ n -1 +…+ а_{n —1} λ + а_n , что и требовалось доказать.

Теорема 6.5 (без доказательства). Пусть λ₁ , …, λ_n — различные корни характеристического уравнения

и пусть кратность корня λ_i равна m_i (i = 1, …, s ). Тогда фундаментальное множество для (6.16) дается n функциями

t k e λi (k = 0, 1,…, m_i – 1; i = 1, 2,…, s). (6.20)

2.2 Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами

Предположим, что А – квадратная матрица порядка n и b – n-мерный вектор, определенные и аналитические в односвязной области D z-плоскости, и пусть . Используя метод последовательных приближений, нетрудно показать, что линейная система

(7.1)

имеет в D единственное аналитическое решение .

В самом деле, пусть и пусть С – дуга длины L, лежащая в D, соединяющая точки z₀ и z₁ и имеющая непрерывно вращающуюся касательную. Обозначим через s длину дуги вдоль С, начиная от точки z₀ . Выберем постоянную К настолько большой, чтобы было | A(z) | К — вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, за исключением k-го, который равен 1, и ψ_k – вектор, определенный равенством

При фиксированном k и I₁ , I₂ , определенных согласно неравенствам (8.4), (8.5), положим

где диагональные матрицы Ψ₁ и Ψ₂ содержат элементы Ψ, соответствующие столбцам с индексами j, принадлежащим соответственно I₁ и I₂ . Тогда

(j = 1, 2). (8.10)

Рассмотрим теперь уравнение

(8.11)

Можно непосредственно проверить, что если уравнение (8.11) имеет решение φ, то

= (A + R) φ. (8.12)

Последнее уравнение имеет рассматриваемый нами вид (8.1)

Пусть φ 0 (t) = 0 и

(8.13)

Тогда φ 1 (t) = ψ k (t) и для tt₀

(8.14)

Каждый элемент диагональной матрицы имеет вид

или равен нулю. Но для t₀ τt

Поэтому для t₀ τt

Точно также для τ t получим

Используя эти неравенства, получаем из (8.13)

Из (8.8) и (8.14) теперь по индукции следует

Отсюда следует равномерная сходимость последовательности <φ j >на каждом конечном подинтервале интервала [t₀ ,). Так как φ j непрерывно, то предельная функция φ также непрерывна и, очевидно,

(8.15)

Покажем теперь, что

(8.16)

Это будет установлено, если мы покажем, что при t→ ∞

(8.17)

(8.18)

Доказательство соотношения (8.18) сразу получается из (8.15) и (8.5). Доказательство соотношения (8.17) основывается на равенстве

(8.19)

которое является следствием (8.4). Каково бы ни было ε > 0, можно подобрать такое t₁ , что

Поэтому, обозначая левую часть (8.17) через J(t), получаем

Из (8.19) следует, что

Так как ε произвольно, то (8.17) доказано. Таким образом, теорема доказана для случая A+ V(t) = A(t), если за φ взята φ_k .

Доказательство теоремы 8.1 вытекает из следующей леммы.

Лемма. Пусть A и V удовлетворяют условиям теоремы 8.1. Тогда существует матрица S(t), которая при t → ∞ стремится к постоянной неособой матрице Т, такая что

где Λ(t) – диагональная матрица с диагональными элементами λ_j (t), j = 1, 2, …, n. При t → ∞ λ_j (t) → μ_j , где μ_j – характеристические корни матрицы А. Кроме того, для некоторого t₀

(8.21)

Доказательство теоремы 8.1. Так как S(t) → T при t → ∞ и Т – неособая матрица, то S(t) – неособая матрица для всех достаточно больших t. Выберем t₀ настолько большим, чтобы не только (8.21) выполнялось, но и S -1 (t) существовала для tt₀ . Тогда, полагая в (8.1) у = S(t)х, получаем

(tt₀ ). (8.22)

Пусть = . Тогда из (8.3) и (8.21) следует, что норма интегрируема. Таким образом, данное выше доказательство теоремы 8.1 для специального случая годится для уравнения (8.22), так что (8.22) имеет решение θ_k , для которого

Поэтому (8.1) имеет решение S -1 θ_k = φ_k . Так как S -1 (t) → T -1 , то Аp_k = μ_k p_k . Это завершает доказательство теоремы 8.1.

3. Решение задач

Задача 1. Пусть матрица А и вектор b – интегрируемые функции от t на интервале [a, c]. Пусть

|A(t)| k(t),

|b(t)| k(t),

Пусть τ [a, c] и рассмотрим начальную задачу

, х(τ) = ξ.

Доказать, что существует решение φ на [a, c] в том смысле, что

на [a, c].

Используем последовательные приближения. Пусть φ₀ (t) = ξ и

, j 0.

Пусть тогда

где

Следовательно, последовательность <φ_j > сходится равномерно на [a, c].

Задача 2. Решить систему дифференциальных уравнений 2-го порядка методом Эйлера.

Система дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид:

Приведем систему к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сделаем замену:

Пусть заданы начальные условия

и выбран шаг h по оси x.

Метод Эйлера для решения системы дифференциальных уравнений 2-го порядка в общем виде:

,

где j – номер шага.

Заключение

В дипломной работе рассмотрены вопросы решения линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений.

Можно сделать вывод, что многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением.

Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение.

Линейные уравнения – это уравнения «первой степени» – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x), где p(x) и q(x) – функции, зависящие только от x. Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

В работе также проведено решение конкретных заданий, связанных с нахождением решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Таким образом, дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Список литературы

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966. – 384 с.

2. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. – 428 с.

3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967. – 439 с.

4. Дородницын А.А. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. Сборник статей. М.: Наука, 1964. – 386 с.

5. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1972. – 563 с.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – ч. 1. М.: Наука, 1973. – 591 с.

7. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1976. – 472 с.

8. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. – 475 с.

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. – 623 с.

10. Михлин С.Г., Смолицкий X.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. – 352 с.

11. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963. – 349 с.

12. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1963. – 461 с.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977. – 522 с.

14. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982. – 549 с.

15. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. – 419 с.

16. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984. – 463 с.

17. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. – 275 с.

18. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986. – 478 с.

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

_{Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов.}

Глава 1. Уравнения гиперболического типа.

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах…….………………8

§1.2. Метод разделения переменных ……………………………………………..10

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….………………………… 10

Глава 2. Уравнения параболического типа.

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа………………..17

2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.………………………. 17

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.……………………………… 19

Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице…………………………… 29

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция  U +  V при любых постоянных  и  снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

1.1.1. Уравнение колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины в начальный момент направлена по отрезку оси О x от 0 до . Предположим, что концы струны закреплены в точках . Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией , которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t .

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости , то будем предполагать, что длина элемента струны равняется ее проекции на ось Ox , т.е. . 1 Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны .

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы . Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент , будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь:

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть — линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

.

Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения

. (1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны , и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент ( t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:

(2’)

(2’’)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f ( x ). Таким образом, должно быть

(3’)

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией . Таким образом, должно быть

(3’’)

Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть или . Если же и , то струна будет находится в покое, следовательно, .

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.

Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе характеризуется величиной i ( x , t ) и напряжением v ( x , t ), которые зависят от координаты x точки провода и от времени t . Рассматривая элемент провода , можем написать, что падение напряжения на элементе равно . Это падение напряжения складывается из омического, равного , и индуктивного, равного . Итак,

(4)

где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v . Сокращая на , получаем уравнение

(5)

Далее, разность токов, выходящего из элемента и входящего в него за время , будет

Она расходуется на зарядку элемента, равную , и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на , получим уравнение

(6)

Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i ( x , t ), и уравнение, содержащее только искомую функцию v ( x , t ). Продифференцируем члены уравнения (6) по x ; члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:

Подставляя в последнее уравнение выражение из уравнения (5), получим:

(7)

Аналогичным образом получается уравнение для определения v ( x , t ):

(8)

Если пренебречь утечкой через изоляцию и сопротивлением , то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:

где обозначено: . Исходя из физических условий, формулируют граничные и начальные условия задачи.

§1.2. Метод разделения переменных.

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

удовлетворяющее однородным граничным условиям

(9)

и начальным условиям

(10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

(11)

и представимое в виде произведения

(12)

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

или, после деления на XT ,

(13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t , а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

(14)

где – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X ( x ) и T ( t )

(15)

(16)

Граничные условия (11) дают:

Отсюда следует, что функция X ( x ) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X (0) = X ( ) = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T ( t ) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X ( x ) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:

найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:

(18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен.

При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

Граничные условия дают:

Но в рассматриваемом случае – действительно и положительно, так что . Поэтому

Х (х)0.

При = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Граничные условия дают:

т. е. С ₁ = 0 и С ₂ = 0 и, следовательно,

Х (х)0.

При › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Граничные условия дают:

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D ₂ 0, поэтому

(19)

где n — любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

где D _n – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях , равных

(20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

(21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям _n соответствуют решения уравнения (9)

(22)

где A _n и B _n – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

(23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t . Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций  (x) и  (x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

(24)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить A _n и B _n . Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

(25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f ( x ), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье

(26)

(27)

Если функции  (x) и  (x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

(28)

(29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

(30)

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты A _n и B _n определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u ( x , t ), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а — один раз дифференцируемой.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнение распространения тепла в стержне.

Рассмотрим однородный стержень длины . Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = .

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

(1)

где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х ₁ и х ₂ (х ₂ – х ₁ = х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х ₁ за время t, будет равно

(2)

то же самое с абсциссой х ₂ :

(3)

Приток Q ₁ — Q ₂ в элемент стержня за время t будет равняться:

(4)

Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:

(5)

где с – теплоемкость вещества стержня, – плотность вещества стержня (xS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла , получим:

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для , следующие:

u ( , t) = ψ ₂ (t). (9)

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная ψ ₁ (t) и ψ ₂ (t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области , удовлетворяющее условиям (7) – (9).

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u (x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой (аналогично формуле (1))

(10)

где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по нормали к площадке s в направлении движения тепла. Таким образом, можем записать:

где – направляющие косинусы вектора n, или

Подставляя выражение в формулу (10), получаем:

Q = -k n grad u s.

Количество тепла, протекающего за время ∆t через площадку ∆s, будет равно:

Q t = -k n grad u t s.

Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно:

(11)

где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V (или уходящего из объема V) за время t. Количество тепла, поступившего в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.

Рассмотрим элементарный объем υ. Пусть за время t его температура поднялась на u. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры элемента υ, будет равно

где с – теплоемкость вещества, ρ – плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время t, будет

Но это есть тепло, поступающее в объем V за время t; оно определено формулой (11) . Таким образом, имеет место равенство

Сокращая на t, получаем:

(12)

Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F – дивергенция векторного поля, – замкнутая поверхность)

полагая F = k grad u:

Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (12), тройным интегралом, получим:

Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим :

(14)

где P (x, y, z) – некоторая точка объема V.

Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (13) непрерывна, то равенство (14) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,

(15)

Подставляя в уравнение (15), получаем:

(16)

Если k – постоянное, то

и уравнение (15) в этом случае дает:

или, положив

(17)

Коротко уравнение (17) записывается так:

где u – оператор Лапласа. Уравнение (17) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.

Пусть имеем тело , поверхность которого . В этом теле рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 – начальное условие:

u (x, y, z, 0) = φ (x, y, z). (18)

Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности тела в любой момент времени t – граничное условие:

u ( М , t) = ψ ( М , t). (19)

(Возможны и другие граничные условия.)

Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:

(20)

уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (18) и (19), формулируются так:

u ( М , t) = ψ ( М , t),

где φ и ψ – заданные функции, М – точка границы С.

Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение

— уравнение распространения тепла в стержне.

§2.2. Температурные волны.

Задача о распространении температурных волн в почве является одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений природы.

Температура на поверхности земли носит, как известно, ярко выраженную суточную и годовую периодичность. Обратимся к задаче о распространении периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство . Эта задача является характерной задачей без начальных условий, так как при многократном повторении температурного хода на поверхности влияние начальной температуры будет меньше влияния других факторов, которыми мы пренебрегаем (например, неоднородность почвы). Таким образом, приходим к следующей задаче:

найти ограниченное решение уравнения теплопроводности

(1)

u (0, t) = A cos t. (2)

Предполагается, что функции u ( x , t ) и  ( t ) ограничены всюду, т.е.

Запишем граничное условие в виде

(2’)

Из линейности уравнения теплопроводности следует, что действительная и мнимая части некоторого комплексного решения уравнения теплопроводности каждая в отдельности удовлетворяет тому же решению.

Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее условию (2’), то его действительная часть удовлетворяет условию (2), а мнимая – условию

Итак, рассмотрим задачу:

(3)

Ее решение будем искать в виде

(4)

где и — неопределенные пока постоянные.

Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим:

,

Для u ( x , t ) имеем:

(5)

Действительная часть этого решения

(6)

удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному условию (2). Формула (6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а две функции. Однако только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем в виде

(7)

На основании полученного решения можно дать следующую характеристику процесса распространения температурной волны в почве. Если температура поверхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаются колебания температуры с тем же периодом, причем:

1.Амплитуда колебаний экспоненционально убывает с глубиной

,

т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон Фурье).

2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине

(второй закон Фурье).

3. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности. Относительное изменение температурной амплитуды равно

Эта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина проникновения температуры. Для температурных колебаний с периодами Т₁ и Т₂ глубины x ₁ и x ₂, на которых происходит одинаковое относительное изменение температуры, связаны соотношением

(третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и годовых колебаний, для которых Т₂ = 365 Т₁, показывает, что

т.е. что глубина проникновения годовых колебаний при одинаковой амплитуде на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины проникновения суточных колебаний.

Следует, однако, иметь в виду, что изложенная здесь теория относится к распространению тепла в сухой почве или горных породах. Наличие влаги усложняет температурные явления в почве, при замерзании происходит выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.

Температуропроводность является одной из характеристик тела, важных для изучения его физических свойств, а также для различных технических расчетов. На изучении распространения температурных волн в стержнях основан один из лабораторных методов определения температуропроводности.

Пусть на конце достаточно длинного стержня поддерживается периодическая температура ( t ). Представив эту функцию в виде ряда Фурье

где Т – период, и взяв температурные волны, соответствующие каждому слагаемому, получим, что температура u ( x , t ) для любого x будет периодической функцией времени и ее n -я гармоника равна

Эта формула показывает, что если произвести измерение температуры в каких-нибудь двух точках, x ₁ и x ₂, за полный период, то, находя коэффициенты a _n ( x ₁), b _n ( x ₁), a _n ( x ₂), b _n ( x ₂) при помощи гармонического анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержня а 2 .

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице. Как известно, в случае монохроматического излучения частоты система уравнений Максвелла сводится к системе уравнений для напряженностей электрического и магнитного полей:

(1)

где — волновое число для пустоты; с ₀ – скорость света в вакууме. Обозначим через k = k ₀ m – волновое число в среде с комплексным показателем преломления m = n – ix . Показатели преломления и поглощения ( n и x ) называются оптическими постоянными, их зависимость от  обычно известна из эксперимента.

Задача о разыскании шести неизвестных функций () может быть сведена к задаче о разыскании двух функций – электрического и магнитного потенциалов ( U ₁ и U ₂ ), которые являются решениями колебательного уравнения. Получим их по методу Фурье в виде бесконечных сумм частных решений с неопределенными коэффициентами, которые определяются «сшиванием» значений внутри и снаружи сферы. Через найденные потенциалы составляющие полей легко вычисляются дифференцированием.

Пусть на сферическую частицу радиуса а, центр которой совмещен с началом координат, в отрицательном напрвлении оси Oz падает линейно поляризованная плоская волна (рис 4.). Ось Ox является направлением электрических колебаний, а ось Oy – магнитных. Электрическое и магнитное поля в падающей волне описываются формулами:

(2)

где k _a = m _a k ₀ – величина волнового вектора падающего излучения во внешней среде с вещественным показателем преломления m _a .

Рис. 3.1. Сферическая система координат для изучения

дифракции света на шаре.

В дальнейшем в промежуточных формулах всюду будет опущен множитель Е ₀ , который будет внесен в окончательные выражения для полей.

В сферической системе координат, в которой естественно решать данную задачу, уравнения Максвелла (1) имеют вид:

(5)

(6)

(7)

(8)

Падающее поле возбуждает в шаре внутреннее поле, а во внешнем пространстве – дифрагированное поле, причем все эти поля должны иметь оду и ту же временную зависимость, т.е. частоту. Произвольное электромагнитное поле будем представлять как суперпозицию двух типов колебаний. Первый тип назовем электрическими колебаниями и будем считать, что у этих колебаний радиальная составляющая магнитного поля во всех точках равна нулю:

(9)

Второй тип – магнитные колебания:

(10)

В случае электрических колебаний из уравнения (6) получим

Это соотношение, очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что есть производные от некоторой третьей функции : первая – по , а вторая – по :

Подставляя эти соотношения в формулы (4) и (5) получим

Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить где — некоторая новая функция. Тогда найдем . Если теперь вместо функции ввести , то формула (3) получит вид

(11)

тогда как (7) и (8) приводятся к одному и тому же волновому уравнению для функции

Используя указанные выше соотношения и заменяя в выражении для производные по через производные по r из уравнения (12), получим следующие соотношения:

(13)

которые выражают все составляющие полей для случая через одну функцию — потенциал электрических колебаний. Подставив эти выражения в уравнение (3) – (8), легко убедиться в том, что равенства (13) образуют решение уравнений Максвелла, если U ₁ является решением волнового уравнения. Аналогично для магнитных колебаний все составляющие полей могут быть выражены через некоторую функцию — потенциал магнитных колебаний.

В общем случае в поле присутствуют колебания обоих типов. Для составляющих полей получим при этом следующие выражения:

(14)

Функции U ₁ и U ₂ являются решением волнового уравнения.

(15)

которое будем решать по методу Фурье (значок у U временно опущен, он появится при рассмотрении граничных условий, которые для U ₁ и U ₂ различны). В качестве частного решения положим

(16)

Подставляя (16) в (13) и разделяя переменные, получим для f и Y следующие уравнения:

(17)

(18)

Уравнение для Y имеет однозначное и непрерывное решение на всей сфере только для , где n = 0, 1, 2… В этом случае его решением являются сферические функции:

(19)

где а — полином Лежандра. В уравнении (17) сделаем подстановку , тогда для R _n ( x ) получим следующее уравнение ( x = kr ):

(20)

Это уравнение Бесселя и его решением являются цилиндрические функции с полуцелым индексом . Таким образом, n -е частное решение уравнения (15) будет

(21)

Из всех цилиндрических функций только бесселевы функции первого рода конечны в нуле. Поэтому только они могут быть использованы для решения внутри шара. Вне шара, в соответствии с принципом излучения, решение должно иметь характер расходящейся волны. Так как временной множитель выбран в виде , то только ханкелевская функция второго рода дает волну, расходящуюся из источника дифракции . Обозначим

(22)

тогда частное решение, очевидно, следует представить в виде суперпозиции частных решений с неопределенными коэффициентами, которые вычисляются из граничных условий. Граничные условия для потенциалов U ₁ и U ₂ на шаре получаются из требования непрерывности тангенциальных () составляющих полей. Из (14) видно, что для этого необходимо, чтобы на поверхности шара были непрерывны следующие величины: , т.е.

(23)

(24)

где U a – потенциал дифрагированного поля, а U i – внутреннего.

Представим теперь электрический и магнитный потенциалы падающей волны также в виде рядов по , используя известное разложение плоской волны по полиномам Лежандра:

(25)

Тогда после преобразований получим:

(26)

Потенциалы и должны иметь такую же угловую зависимость, как и потенциалы падающего поля. Поэтому можно записать:

(27)

(28)

Коэффициенты должны быть определены из условий (23), (24), которые образуют относительно пар коэффициентов и с данным значком две независимые системы по два линейных уравнения. Запишем их, введя следующие обозначения: ; — относительный (комплексный) показатель преломления, — длина волны излучения. Для и имеем:

(29)

Аналогичная система получается для и :

(30)

Решая эти системы относительно и , получим:

(31)

Аналогичные выражения получаются и для и . Подставляя эти выражения в (27) и (28), получаем однозначное решение уравнений для потенциалов, удовлетворяющее всем граничным условиям. Из потенциалов, в соответствии с (14), можно получить выражения для составляющих внутреннего и дифрагированного полей. Так как в дальнейшем нас будет интересовать дифрагированное поле, то выпишем только его составляющие, восстановив опущенный ранее множитель Е ₀ :

(32)

Штрихи всюду означают производные по аргументу, указанному под знаком функции ( и ). На достаточно большом расстоянии от рассматриваемой частицы, в так называемой волновой зоне, можно пренебречь составляющими E _r и H _r по сравнению с составляющими по и . Дифрагированное поле будет являться поперечной волной, распространяющейся из источника дифракции. Введя обозначения

(33)

(34)

и применяя асимптоматические выражения для функций при , получим:

(35)

Согласно этим формулам, дифрагированное поле представляется в виде сумм отдельных парциальных волн. Интенсивность возбуждения -й парциальной волны определяется числами , которые существенно зависят от .

Поле вне частицы есть суперпозиция падающего и дифрагированного полей:

(36)

Средняя по времени величина вектора потока энергии определяется

(37)

где — вектор, комплексно сопряженный к . В силу (36) поток может быть представлен в виде , где — поток падающего поля, — дифрагированного поля и — поток, обязанный интерференции падающего и рассеянного излучений. Определим величины сечений поглощения с _п и рассеяния с _р излучения частицей

(38)

где J ₀ – интенсивность падающего излучения, — радиальные составляющие потоков, — элемент телесного угла, а — элемент площади на сфере. Все интегралы распространены по сфере. Полное ослабление потока в результате прохождения им частицы будет складываться из рассеяния и поглощения, т.е. для сечения ослабления излучения частицей имеем с = с _п + с _р . Поскольку поток падающего излучения постоянен по направлению, то и для искомых сечений получим

(39)

(40)

Рассмотрим интеграл в (39). Имеем Подставляя сюда выражение (32) для полей, выполняя интегрирование по и группируя соответствующим образом члены, получим двойную сумму следующих двух типов выражений:

Сумма будет иметь общий множитель . Оба интеграла легко вычисляются. Интеграл а) равен нулю, так как его подынтегральное выражение есть , а функция равна нулю при . В интеграле б) преобразуем вначале первое слагаемое, проинтегрировав его по частям

Заключение

В дипломной работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, электрические колебания в проводах, распространение тепла в стержне и пространстве, распространение температурных волн в почве, дифракция излучения на сферической частице.

Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере – температурные волны. В третьей главе рассматривается вывод уравнения дифракции излучения на сферической частице.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной дипломной работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления», М., «Наука», 1972, том. 2.

И. М. Уваренков, М. З. Маллер «Курс математического анализа», М., «Просвещение», 1976.

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1972.

Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.

1 Это предположение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем величиной по сравнению с 1. Действительно, .