Дипломная работа решение тригонометрических уравнений
Дипломная работа: Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа
Название: Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа Добавлен 14:06:28 11 мая 2010 Похожие работы Просмотров: 7256 Комментариев: 21 Оценило: 4 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
«Поморский государственный университет имени М.В.Ломоносова»
Кафедра методики преподавания математики
Работа допущена к защите
Выпускная квалификационная работа
Методика формирования умений решать тригонометрические уравненияи неравенства в курсе алгебры и начал анализа
Глава 1 Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики.
1.1 Этапы развития тригонометрии как науки
1.2 Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках
1.3 Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики
1.4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения
1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения
Глава 2 Формирование умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.
2.1 Основы формирования умений, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств
2.2 Методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические уравнения
2.3 Методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические неравенства
2.4 Эксперимент, его проведение и обработка результатов
В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.
Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.
Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук. Поэтому и мы не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.
Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.
В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:
1. Решение уравнений и неравенств;
2. Решение систем уравнений и неравенств;
3. Доказательство неравенств.
Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что
большое внимание уделяется первому и второму направлениям.
Требованием нашего времени является необходимость усиления прикладных направлений в обучении математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств в этом плане достаточно широки.
Так же следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.).[1]
Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.
Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 – 11 классов разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и неравенств, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида, развивая тем самым общие тригонометрические представления.
Цель исследования: Разработать методику, направленную на формирование у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Объект исследования: процесс обучения математике.
Предмет исследования: методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Гипотеза исследования: Если выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному научению решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Под осознанным и качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения, осуществляемый с учетом идей личностно ориентированного обучения, при реализации которого не допускается формальной передачи знаний и схоластической отработки умений, т.е. изучение тригонометрии должно опираться как на логическую, так и на образную составляющие мышление, при этом учащимся должны быть предоставлены возможности для дифференциации и индивидуализации.
В процессе исследования и проверке достоверности гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
1. Провести анализ психолого-педагогической, учебной и методической литературы по проблеме исследования.
2. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств в обучении математики.
3. Выделить основы формирования умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
4. Классифицировать методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.
5. Разработать методику формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства.
6. Провести экспериментальное исследование разработанной методики.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
1. Анализ психолого-педагогической и методической литературы.
2. Анализ учебно-методических пособий, учебников, дидактических материалов.
3. Наблюдения, беседы с учителями.
4. Педагогический эксперимент.
Структура работы. Работа состоит из двух глав, введения и заключения. Во введении подчеркнута актуальность изучения проблемы. Первая глава посвящена рассмотрению значимости тригонометрического материала в школьном курсе математики, классификации тригонометрических уравнений и неравенств, а так же методов их решений. Во второй главе описаны основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства. Список литературы включает 32 источника.
Глава 1 Тригонометрические уравнения и неравенства в ШКМ
1.1 Этапы развития тригонометрии как науки
Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.). Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).
Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение.
Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов — соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщённую формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики.
Сочинение Л. Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии. Одно из первых руководств, «Сокращённая математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим образом: «Тригонометрия плоская есть знание через Арифметические выкладки сыскивать треугольники, которые геометрия черченьем находит». Всё изложение сводится к решению треугольников (самые простые случаи), вычисления проводятся весьма сложным путём, учение о функциях отсутствует.
Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.[25]
Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи . Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.
Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.
Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока. Как показал Ж. Фурье (1768 – 1830), всякое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармонических) колебаний. Если в начале развития тригонометрии соотношение лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последующем это отношение стало отражать также сложение двух колебательных движений с происходящей при этом интерференцией.
Таким образом, на первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных геометрических задач. Ее содержанием считалось вычисление элементов простейших геометрических фигур, то есть треугольников. Но в современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет изучение свойств тригонометрических функций. Этот период развития тригонометрии был подготовлен всем ходом развития механики колебательных движений, физики звуковых, световых и электромагнитных волн.
В этот период даны обобщения многим терминам тригонометрии и, в частности, выведены соотношения для , где n – натуральное число, и др. Функции и рассматриваются теперь как суммы степенных рядов:
Почти также изложен и учебник В. Никитина и П. Суворова. Вполне научное изложение тригонометрии даёт акад. М. Е. Головин в своём учебнике «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», 1789. В этой книге можно найти все важнейшие формулы тригонометрии почти в том виде, в каком принято излагать их в XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций). Автор не нашёл нужным загромождать изложение введением секанса и косеканса, так как эти функции в редких случаях применяются на практике. В 1804 г. выходит учебник Н. Фусса. Книга предназначена для гимназий. «Плоская тригонометрия,— говорит автор,— есть наука, имеющая предметом из трёх данных и числами изображённых частей прямолинейного треугольника определять три прочие его части». Учебник состоит из 4 равных частей. Общие понятия, решение треугольников, приложение тригонометрии к практической геометрии и геодезии и, наконец, теорема сложения. Учебник Н. Фусса отмежёвывается от сферической тригонометрии.
Шаг вперёд делает академик М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях он выступает как сторонник определения тригонометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямоугольном треугольнике с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой величины. [24]
1.2 Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках
Анализ материала, посвящённого решению тригонометрических уравнений и неравенств, в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под ред. А.Н.Колмогорова и в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов авторов Ш.А. Алимова и др. свидетельствует, что различные виды тригонометрических уравнений и неравенств представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида.
Рассмотрим содержание материала по тригонометрии изложенного в различных учебниках по математике за курс 10 – 11 класс средней школы, с целью его сравнения, анализа и формироваания наиболее приемлемой методики внедрения данной темы в школьном курсе математики.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11
Учебник разбит на 6 глав. Каждая глава открывается списком вопросов и задач. Затем коротко формулируются результаты, которые необходимо достичь после изучения главы. Материал, касающийся темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» представлен в главе III «Тригонометрические функции» после изучения глав «Функции и графики» и «Производная и её применение».
Четвёртая глава «Показательная и логарифмическая функции» и пятая глава «Интеграл и его применение» не содержат обращений к области тригонометрии вообще, а в шестой главе «Уравнения и неравенства» встречаются и тригонометрические уравнения, и тригонометрические неравенства.
Обращаясь в главе III к теме «Тригонометрические функции» М.И. Башмаков считает нужным повторить такие темы как: измерение углов; соотношения в треугольнике; вращательное движение; техника вычислений. Далее вводятся: определения и простейшие свойства тригонометрических функций; формулы приведения; значения тригонометрических функций.
Причём, здесь же вводится основное тригонометрическое тождество.
Здесь же М.И Башмаков рассматривает вопрос решения простейших тригонометрических уравнений по тригонометрической окружности.
Следующие разделы данной темы «Исследование тригонометрических функций» и «Тождественные преобразования». Лишь после этого в разделе «Решение уравнений и неравенств» вводятся различные виды уравнений и некоторые виды неравенств. И соответственно здесь же говорится о способах и методах их решения.
Схема изучения темы «Решение тригонометрические уравнений и неравенств» определяется следующим образом: функция → уравнения → преобразования. [3]
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11
Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус, основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».
Здесь схема изучения выглядит следующим образом: функция → уравнения → преобразования.
С точки зрения применения учебник Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т.к. он содержит сильную теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётся очень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятий в классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что заставить их запомнить, а что предложить им просто прочесть дома.
К недостаткам можно отнести не очень большое количество упражнений по этой теме в самом учебнике.[19]
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа
Учебник содержит 4 главы. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. В этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Автор не называет методов решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их решения. Тоже касается и решения тригонометрических неравенств.
Таким образом, схема изучения выглядит так: преобразования → функции → уравнения.
Стоит отметить, что учебник содержит достаточно много дидактических материалов, как простых так и более сложных. Это естественно обеспечивает учителю возможность варьировать задания для учащихся.
С точки зрения изложения теоретического материала нельзя сказать, что учебник идеально подходит для самостоятельного изучения.[14]
Анализ содержания набора задач в теме «Тригонометрические уравнения» приводит к следующим выводам:
1) преобладающими являются простейшие тригонометрические уравнения, решение которых основано на определениях соответствующих функций в понятиях арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа;
2) фактически отсутствуют тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на свойстве ограниченности синуса и косинуса;
3) если говорить о связях приемов решения тригонометрических уравнений с приемами тождественных преобразований тригонометрических и алгебраических выражений, то следует отметить, что эти приемы в учебном пособии представлены бедно и однообразно. Рассматриваются приемы тождественных преобразований:
а) тригонометрические выражения:
— прием использования основного тригонометрического тождества;
— прием использования формул двойного и половинного аргументы;
— прием преобразования суммы тригонометрических выражений в произведение;
б) алгебраических выражений:
— прием разложения на множители;
— прием преобразования тригонометрического выражения, представляющего собой однородный многочлен относительно синуса и косинуса.
Использование указанных приемов приводит к тригонометрическим уравнениям, которые условно можно разделить на следующие виды:
а) сводящиеся к квадратным относительно тригонометрической функции;
б) сводящиеся к дробно-рациональным относительно тригонометрической функции;
в) сводящиеся к однородным;
г) сводящиеся к виду , где — тригонометрическая функция . [16, c/55]
1.3 Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в ШКМ
Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. И этот курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя целенаправленную специальную подготовку.
Анализ школьных учебников по математике в полной степени определяет место тригонометрических уравнений и неравенств в линии изучения уравнений и линии изучения неравенств.
Изучению темы «Решение тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких тем как «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций». В разделе «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» мы знакомим учащихся с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс.
Опыт преподавания математики показывает, что осознание важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т.е. тогда когда он становится средством для решения других задач.
Так, например, решение уравнения , сводится к простейшему уравнению , причём частному виду простейшего, после элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по формулам сложения косинуса. Аналогичная ситуация может возникнуть и при решении тригонометрических неравенств. Неравенства вида , в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.
Мы видим, что именно здесь школьники могут наблюдать пользу от изучения формул тригонометрии. С их помощью нерешаемое на первый взгляд уравнение или неравенство принимает достаточно простой и, главное знакомый вид. Примерно то же самое происходит и при решении тригонометрических неравенств.
При таком подходе изучения тригонометрии, когда уравнения и неравенства изучаются после формул преобразования тригонометрических выражений, место тригонометрических уравнений и неравенств определяется через систематизацию знаний по темам «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций».
Если же тригонометрические уравнения и неравенства изучаются до темы «Преобразование тригонометрических выражений», то здесь место их изучения определяется совершенно противоположным образом. Здесь на изучение тригонометрических уравнений отводится больше времени: как только появляется новая формула, она сразу же используется для решения уравнений или неравенств. То есть в данном случае не формула преобразования является средством для решения тригонометрического уравнения или неравенства, а уравнение выступает как средство закрепления тригонометрических формул.
Таким образом, при любом подходе к изучению тригонометрии, роль изучения уравнений и неравенств неизмеримо велика, не зависимо от места их изучения. Ну и как следствие из этого велико и неизмеримо место изучения методов решения и тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств. Т.к. авторы учебников не уделяют должного внимания обозначению методов решения тригонометрических уравнений и неравенств, попробуем классифицировать уравнения и неравенства, и соответственно методы их решения.
1.4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения
Материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет.
Необходимость классификации уравнений и неравенств вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения и неравенства имеет смысл с опорой на методы их решения. Мы будем рассматривать типы уравнений и неравенств в той последовательности, которая представляется нам наиболее приемлемой для обучения школьников, то есть в последовательности, построенной в соответствии с принципом «от простого к сложному».
1.4.1 Уравнения, сводящиеся к простейшим
Практически все тригонометрические уравнения считаются «сводящимися к простейшим», но можно выделить ряд уравнений которые сводятся к простейшим достаточно просто. Рассмотрим сначала виды простейших уравнений.
К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида: , , , .
На эти уравнения следует обратить особое внимание, так как без умения их решать невозможно решить никакое другое тригонометрическое уравнение. Лучше всего, если учащиеся будут иметь схемы решения каждого из простейших уравнений
Уравнение вида .
Если , то
Если , то (рис 1, а)
;
;
;
Любая из этих формул может быть заменена формулой общего вида, однако они проще и их выгоднее применять при решении уравнений.
Полезно помнить, что при; ;
.
Уравнение вида .
Если , то
Если , то (рис 1, д)
;
;
;
Нужно помнить, что при ;
;
.
Уравнение вида .
(рис 1, и)
Нужно помнить, что при ; ;
Уравнение вида .
(рис 1, к)
Нужно помнить, что при ; ;
;
Уравнения, сводящиеся к простейшим, имеют вид , , , .
Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x) , а затем полученные уравнения решаются относительно х.
1. ;
2.
3.
1.4.2 Уравнения, являющиеся равенством двух одноимённых тригонометрических функций:
а) уравнения вида равносильно совокупности уравнений:
б) уравнения вида равносильно системе уравнений:
в) уравнения вида равносильно системе уравнений:
1. Решите уравнение:
2. Решите уравнение:
1.4.3 Тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом подстановки
Уравнения данного вида , где тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учётом допустимых значенийt в зависимости от области значения функции.
Пример: Решите уравнение:
Пусть тогда уравнение примет вид:
Оба корня уравнения удовлетворяют условию допустимого значения t , следовательно, переходим к обратной замене.
[29]
1.4.4 Однородные уравнения
Предварительно можно показать учащимся вид однородной функции от двух переменных U и V первой степени, например, 3U+ 2V ; второй степени: ; третьей степени: и т.д., сформировав понятия выражения, однородного относительно переменных U и V .
Для лучшего усвоения и закрепления идеи необходимо решить с учащимися следующее уравнение:
.
Обозначим
Получается однородное уравнение второй степени:
;
Имеем 2 случая: U = Vили V = 0,5 U
Как правило, на практике очень часто встречается .
1. .
Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cosx . При этом получится равносильное уравнение. Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cosx= 0 не содержит корней данного уравнения.
, то .
Но это невозможно, т.к. .
Следовательно, имеем равносильное уравнение
2. .
Это однородное уравнение второй степени. Получим равносильное уравнение после деления обеих частей уравнения на .
[5, c.9]
1.4.5 Уравнения, решающиеся разложением на множители
При решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
1.
Используя данное правило получим:
или
2.
Сгруппируем соответствующие слагаемые, получим:
1.4.6 Уравнения вида
Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле:
1.
;
, т.к. это решение системы
Подставляя в формулу, получаем:
2.
, т.к. это решение системы
Подставляя в формулу, получаем
К сожалению, внимание учащихся нечасто обращается на преобразование выражения .
В некоторых пособиях эта формула приведена в таком виде
где .
Такая запись приведёт к ошибке, если, например, a и b отрицательны.[10]
Выделенные виды тригонометрических уравнений представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения каждого вида.
1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения
1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств
Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.
Между тем, решение неравенств вида , , , можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток (), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: (). При этом значение находится легко, т.к. или . Поиск же значения опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.
Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.
Изучение данной темы осуществляем таким образом:
1. Строим графики и у = а , считая, что .
Затем записываем уравнение и его решение . Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: . Значения являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и у = а . очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство , а на интервале () – неравенство .
Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства в виде: ; а во втором случае – решение неравенства в виде:
2. Далее проводим аналогичные рассуждения для косинуса
Только в отличие от синуса из формулы , являющейся решением уравнения , при n = 0 получаем два корня , а третий корень при n = 1 в виде . И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . В интервале () выполняется неравенство , в интервале () – неравенство
Теперь нетрудно записать решения неравенств и . В первом случае получим: ;
а во втором: .
Подведём итог. Чтобы решить неравенство или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .
При решении неравенств , из формулы корней соответствующего уравнения находим корни и , и записываем ответ неравенства в виде: .
Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.
Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.
Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство . Составим соответствующее уравнение и решим его:
Найдём значения и .
При n= 1
При n= 2
Записываем окончательный ответ данного неравенства:
или
.
В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один – наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.[11]
Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств. К таковым относится и метод интервалов.
Рассмотрим его сущность.
1.5.2 Метод интервалов
Многолетний опыт преподавателей математики убеждает, что учащиеся, успешно решающие тригонометрические уравнения, часто испытывают серьезные затруднения при решении тригонометрических неравенств, допуская много ошибок в окончательном отборе решений, после того как выполнена основная часть работы. Ошибки появляются из-за невнимательности или в силу того, что учащиеся не поняли каких-то специфических особенностей неравенства. Не помогает и проверка. Она не всегда достаточна, для того чтобы обнаружить ошибку. К тому же при наличии в ответе одного-двух интервалов проверка утомительна, а при большем количестве интервалов техническая сложность проверки многократно возрастает.
В связи с этим разработан особый методический подход к заключительному этапу решения тригонометрического неравенства, который удобно разъяснять учащимся с помощью специально составленного алгоритмического предписания.
1. Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части (например, в правой) стоял ноль.
2. Определить нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.
3. Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел.
4. Выбрать произвольное число (значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел.
5. Провести луч под углом к координатному лучу Ох .
6. На луче получить контрольную точку . Для этого подставить число в левую часть неравенства и определить знак получившегося выражения.
Если выражение больше нуля, то — это произвольная точка луча , лежащая вне единичной окружности.
Иначе — это произвольная точка луча внутри единичной окружности.
7. Начиная с точки провести плавную линию так, чтобы она пересекала единичную окружность во всех отмеченных точках последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку .
8. Выбрать нужные участки конфигурации, которую образовала проведённая линия. Для этого:
Если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше нуля, то выбрать участки фигуры, лежащие вне единичной окружности.
Иначе – выбрать те участки фигуры, которые расположены внутри единичной окружности.
9. Отметить стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам. Эти дуги соответствую множеству решений неравенства.
Проиллюстрируем данный метод интервалов решения тригонометрических неравенств.
Пример 1. Решите неравенство .
Приведём левую часть неравенства к виду и рассмотрим уравнение , которое равносильно совокупности уравнений: .
Первое из уравнений этой совокупности даёт I серию значений х : ,
Второе из уравнений совокупности приводит ко II серии .
Далее заполним тригонометрическую окружность соответствующими точками. Для I серии достаточно взять . Тогда значения соответственно равны (при остальных значениях n точки будут повторяться). Значения из серии на единичной окружности можно представить точками и , которые получены при n=0 и n=1.
Выберем теперь контрольную точку, положив . Тогда .
Значит, в данном случае луч совпадает с координатным лучом Ох (угол между ними равен нулю). Выберем на луче произвольную точку , находящуюся вне единичной окружности.
Соединим точку со всеми отмеченными точками на единичной окружности так, как показано на рисунке
Решению исходного неравенства соответствуют дуги единичной окружности в тех областях, которые отмечены на рисунке знаком « + « . При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей (она показана пунктирной стрелкой) нарушается переход от меньших значений х к большим. В таком случае следует к меньшему значению прибавить . Итак, окончательное решение можно записать в виде совокупности промежутков:
, nÎZ
Заметим, что если волнообразную линию после обхода ею всех отмеченных на единичной окружности точек не удаётся вернуть в точку , не пересекая окружность в «незаконном» месте, то это означает, что в решении допущена ошибка, а именно пропущено учётное количество корней.
Приведённый пример имеет одну особенность. Серии и дают на единичной окружности несовпадающие точки. Если же некоторые точки разных серий совпадают, то будем называть их кратными. Точки, которые повторяются в чётном числе серий, будем называть точками чётной кратности, а те, что повторяются в нечётном числе серий, — точками нечётной кратности. Волнообразная линия, идущая от точки , после встречи с точкой нечётной кратности обязана перейти в иную область, т.е. если она находилась вне единичной окружности, то теперь будет внутри неё и наоборот. Но точка чётной кратности не даёт нашей линии возможности перейти в иную область. Поясним данный факт на конкретном примере:
Пример 2: Решите неравенство
Рассмотрим совокупность уравненийОтсюда
На единичной окружности значения серии представлены двумя точками 0 и . Серия даёт точки Из серии получаем точки Нанесём все эти точки на единичную окружность указав в скобках рядом с каждой из них её кратность.
Пусть теперь число будет равным . Делаем прикидку по знаку:
. Значит, точку следует выбрать на луче, образующем угол с лучом Ох , вне единичной окружности. (Заметим, что вспомогательный луч совсем не обязательно изображать на рисунке. Точка выбирается приблизительно). Теперь от точки ведём волнообразную непрерывную линию последовательно ко всем отмеченным точкам. Причём в точках наша линия переходит из одной области в другую: если она находилась вне единичной окружности, то переходит внутрь неё. Подойдя к точке линия возвращается во внутреннюю область, так как кратность этой точки чётная. Аналогично в точке (с чётной кратностью) линию приходится повернуть во внешнюю область. Итак, мы начертили некую картинку.
Она помогает нам выделить на единичной окружности искомые области. Они обозначены знаком « +».
Окончательный ответ запишем в виде совокупности неравенств:
Глава 2. Формирование умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств
2.1 Основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств
В методической литературе существуют различные трактовки понятия «умения». Например, Петровский А.В. под «умениями» понимает способность использовать имеющиеся данные, знания или понятия, оперировать ими для выявления существенных свойств вещей и успешного решения определенных теоретических или практических задач.[22]
По мнению Булыгиной Т.Б. «умения – это способность осознанно выполнять определенное действие».[32]
Матюхина М.В. дает следующее определение: «умение – сочетание знаний и навыков, которое обеспечивает успешное выполнение деятельности». Навыки – это автоматизированные способы выполнения действий. Знания – это разновидность субъективных образов в сознании. Понятие – это форма знания, которая отражает единичное и особенное, являющееся одновременно и всеобщим.[6]
Рассмотрим следующее понятие – «формирование умений». Под ним понимается деятельность учителя, связанная с организацией усвоения определенного элемента социального опыта учеником.
Формирование умений – это овладение всей сложной системой операций по выявлению и переработке информации, содержащейся в знаниях и получаемой от предмета, по сопоставлению и соотнесению информации с действиями.
Формирование умений выступает, прежде всего, как продукт все углубляющихся знаний. Умения формируются на основе освоения понятий о различных сторонах и свойствах изучаемых объектов. Главный путь формирования умений – это приучение учащихся видеть различные стороны в объекте, применять к нему разнообразные понятия, формулировать в понятиях многообразные отношения этого объекта. Учащихся надо научить преобразовывать объект с помощью синтеза через анализ. Применяемые преобразования зависят от того, какие отношения и зависимости требуется установить. Схема таких преобразований и есть план решения задачи.
Научение умениям может осуществляться разными путями. Один из них заключается в том, что учащемуся сообщают необходимые знания, затем перед ним ставят задачи на их применение. И учащийся сам ищет решения, обнаруживая путем проб и ошибок соответствующие ориентиры, способы переработки информации и приемы деятельности. Этот путь называют проблемным обучением. Другой путь заключается в том, что учащихся обучают признакам, по которым можно однозначно распознать тип задач и требуемые для ее решения операции. Этот путь называют алгоритмизированным обучением или обучением на полной ориентировочной основе. Наконец, третий путь заключается в том, что учащегося обучают самой психической деятельности, необходимой для применения знаний. В этом случае педагог не только знакомит учащегося с ориентирами отбора признаков и операций, но и организует деятельность учащегося по переработке и использованию полученной информации для решения поставленных задач. Это достигается систематическим проведением учащегося через все этапы деятельности, требующей ориентировки на признаки, которые закреплены в изучаемом понятии. На первом этапе эти ориентиры (существенные признаки) предмета предъявляются ученику в готовом, материализованном виде, в виде схем, символа, предметов, а операции по выделению ориентиров осуществляются в форме предметных действий. На втором этапе ориентиры и предметные операции заменяются речевыми обозначениями и действиями. На третьем этапе отпадают и словесные действия, их заменяют мыслительные операции, которые протекают по все более свернутой схеме. Эту концепцию называют методикой поэтапного формирования умственных действий.[6]
Фактически эти этапы проходит каждый человек при формировании новых понятий. Однако при обычном обучении эти этапы не организуются сознательно. Поэтому ученик вынужден сам искать и обнаруживать нужные существенные или логические признаки, а главное – сам подбирать для этого действия. Неизбежно возникают ошибки. Понятия формируются не всегда полные и верные. Традиционное обучение, основанное на «самостоятельном» осмысливании и корректировке через результаты, является следствием неполноты ориентировочной деятельности ученика.
Причем деятельность ученика не должна сводиться к созданию понятий, нахождению их признаков, а к тому, чтобы наполнить сообщаемые понятия значением, то есть усвоить способы их использования, — это деятельность не по самостоятельному отыскиванию существенных признаков вещей, закрепленных в понятиях, а по применению этих признаков. Чтобы понятия формировались полно и безошибочно, соответствующая деятельность ученика должна строиться на полной ориентировочной основе. Иначе говоря, учитель должен давать ученику готовыми все существенные признаки объектов и обучать ребенка тем операциям, каких требует каждый из признаков для его выявления и воспроизведения.[30]
Говоря об умениях решать тригонометрические уравнения и неравенства, нужно иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс, в который среди прочих входят следующие:
— умения отыскать на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженных в долях числа (, и т.д.) и не выраженных в долях числа (М(2), М(-7), М(6) и т.д.);
— умение изображать числа точкой числовой окружности и надписывать точки (имеется в виду определять все числа, которые соответствуют данной точке);
— умение изображать числа на числовой окружности по значению одной из тригонометрических функций;
— составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности;[20]
— умение провести анализ предложенного уравнения или неравенства с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов;
— умение осуществить обоснованный выбор приема решения;
— умение решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга;
— умение применять свойства тригонометрических функций при решении уравнений и неравенств;
— умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, которое, в свою очередь, предполагает умение применять приемы преобразований алгебраических выражений и соответствующие тригонометрические формулы;
— умение решать алгебраические уравнения определенных видов (линейные, квадратные, дробно-рациональные, однородные, сводящиеся к совокупностям алгебраических уравнений указанных видов) и др.[28]
Перечисленные умения формируются в течение длительного времени, рядом из них учащиеся должны владеть, приступая к изучению тригонометрических уравнений. Но рассмотрение приемов решения тригонометрических уравнений или неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.
Анализ программ по математике для средней школы, учет целей изучения тригон6ометрических уравнений и неравенств, а также обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, приводит к выводу, что указанные умения должны быть усвоены, по крайней мере, на уровне применения «в ситуации по образцу». Предложенные ниже методики предусматривает овладение учащимися умениями решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, и знакомство с приемами решения тригонометрических уравнений и неравенств других видов.[6]
2.2 Методика формирования у учащихся решать тригонометрические уравнения
В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа:
2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства,
3. введение тригонометрических уравнений и неравенств других видов и установление приемов их решения.
Цель подготовительного этапа состоит в том, чтобы, во-первых, начать формирование у школьников умения использовать тригонометрический круг или график функции для решения уравнения; во-вторых, познакомить учащихся с применением свойств тригонометрических функций для решения уравнений вида и т.п.; в-третьих, специально обратить внимание школьников на применение различных приемов преобразований выражений при решении тригонометрических уравнений.
Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно. Приведем примеры таких заданий:
1) найти все числа отрезка , для которых верно и т.п.,
2) отметить на единичной окружности точки Pt , для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству и т.п.,
3) используя график функции , указать множество чисел, для которых верно
4) решить уравнения
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) ,
5) решить уравнения:
а) ,
б) ,
в) .
Обратим внимание на два последних задания. В основе решения предложенных уравнений, как правило, – применение определений синуса, косинуса числа (либо таких свойств тригонометрических функций, как наличие корней, наличие экстремумов у функций синус и косинус). Выполнение пятого задания предполагает решение совокупностей тригонометрических уравнений рассматриваемого вида (например, последнее уравнение преобразуется следующим образом: , то есть имеем совокупность уравнений или ). Следует специально обратить внимание учащихся на цель преобразований тригонометрических выражений при решении предложенных уравнений: замена данного выражения, тождественно ему равным и зависящим от одной тригонометрической функции, либо преобразование выражения в произведение линейных множителей относительно тригонометрических функций.
Реализация второго этапа обучения школьников решению тригонометрических уравнений, на котором происходит формирование умений решать простейшие уравнения, предполагает введение понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д., получение общих формул решения простейших тригонометрических уравнений, формирование умений иллюстрировать решение простейших тригонометрических уравнений с помощью графика соответствующей функции или тригонометрического круга.
В настоящее время понятия арксинуса, арккосинуса числа и т.д. вводятся без обращения к функции, которая является обратной по отношению соответственно к функциям синус, косинус и т.д. В качестве основы введения указанных понятий используется так называемая теорема о корне. Указанная теорема применяется и для введения способа решения простейших тригонометрических уравнений. Это требует выделять в процессе получения формул, задающих множества их решений, несколько пунктов: 1) рассматривается промежуток, длина которого равна наименьшему положительному периоду функции, представленной в левой части уравнения и на котором определено понятие арксинуса, арккосинуса или арктангенса числа (в зависимости от предложенного уравнения); если эта функция – синус или косинус, то промежуток разбивается на два); 2) данное уравнение решается на каждом промежутке; основой решения служит теорема о корне, которая конкретизируется для соответствующей тригонометрической функции; 3) на основе свойства периодичности рассматриваемой тригонометрической функции делается вывод о том, что числа или (здесь — решение уравнения, принадлежащее выделенным промежуткам) являются решениями данного уравнения; этот вывод используется для получения формулы решений.
Рекомендуем предложить учащимся и другой способ получения формулы решений простейшего тригонометрического уравнения. Раскроем его суть, обратившись к решению уравнения ( и ).
Так как , то данное уравнение обязательно имеет решения, одно из которых принадлежит промежутку . Обозначим его . Тогда . С учетом принятых обозначений данное уравнение приводим к виду: . Преобразуем левую часть уравнения в произведение: ; это дает возможность заменить данное уравнение равносильной совокупностью простейших тригонометрических уравнений или . Используя свойство функций синус и косинус (множество корней), получаем: или . Теперь осталось выразить через (или ) и записать общую формулу для нахождения решений уравнения.
Предложим рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся на втором этапе обучения решению тригонометрических уравнений. При этом будем ориентироваться на использование второго способа получения общей формулы решений простейшего тригонометрического уравнения.
Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических уравнений можно, обратившись, например, к уравнениям , . Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенные уравнения к виду ; , но могут затрудниться в нахождении множества решений каждого из полученных уравнений. Указанных затруднений можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга), но и в этом случае остается открытым вопрос: нельзя ли получить общие формулы для записи множеств решений тригонометрических уравнений вида , ( и ), (), которые дадут возможность сразу фиксировать искомые множества.
Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что получение общих формул для записи множеств решений уравнений указанного вида предполагает введение понятий арксинуса, их арккосинуса числа и т.д. Ввести эти понятия должен учитель, демонстрируя школьникам применение теоремы о корне к каждой из тригонометрических функций на определенном множестве. При этом целесообразно обратиться к графическому способу решения задачи о нахождении множества решений уравнения вида , , на промежутках , и соответственно (решить такую задачу учащиеся могут самостоятельно).
В-третьих, следует провести работу по формированию у учащихся умений находить значения выражений вида , , при данных значениях . С этой целью полезно предложить учащимся задания типа
1) Вычислить: ;
2) Найти значение выражения: и т.п.
Учитель должен обратить внимание учащихся на способ выполнения каждого из заданий, дать соответствующий образец. В первом случае способ задается следующим предписанием: нужно найти такое действительное число , которое удовлетворяет двум условиям (укажем эти условия, имея в виду пример : это число принадлежит промежутку ; синус искомого числа равен , то есть и . Способ выполнения второго задания основан на применении понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д. и, возможно, тригонометрических тождеств. Особое внимание следует обратить на выполнение последнего примера этого задания.
В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических уравнений. Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:
1)Разложить на множители: .
2)Решить уравнение: . Выполнение учащимися приведенных заданий следует заключить выводом о том приеме, который лежит в основе решения данных уравнений: привести уравнение к виду , разложить левую часть на множители, воспользоваться условием равенства нулю произведения и заменить уравнение равносильной совокупностью уравнений, каждое из уравнений совокупности решить, используя факт о множестве корней соответствующей тригонометрической функции.
В-пятых, начать работу по введению способа решения простейших тригонометрических уравнений следует с постановки вопроса: при каких значениях параметра уравнение вида (,,) имеет (не имеет) действительного решения и почему. Выделение множества решений параметра, при которых указанное уравнение разрешимо в , дает основание для поиска способа его решения. Заметим, что в практике обучения школьникам достаточно разъяснить суть такого способа для одного из уравнений, например, , . При этом нужно лишь обратить внимание учащихся на то, что если мы заменим число значением функции синус некоторого аргумента, то данное уравнение сводится к уравнению, способ решения которого уже известен. Поэтому, по сути, большая часть работы, связанной с получением формулы решений рассматриваемого уравнения, может быть выполнена учащимися самостоятельно. Учитель выступает в роли консультанта и помогает школьникам сделать обобщения. Получение формул, задающих множества решений уравнений , целесообразно представить учащимся для самостоятельной работы.
В-шестых, от учащихся не рекомендуется требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического уравнения с помощью графика или тригонометрического круга. Но обратить внимание на ее целесообразность следует (в особенности на применение круга), так как в последующем при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства.
Последующее формирование у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения осуществляется в основном в процессе самостоятельного решения школьниками уравнений, среди которых – уравнения, приводящиеся к простейшим или их совокупностям после выполнения преобразований тригонометрических выражений. В список предлагаемых учащимся уравнений рекомендуем включить такие, которые сводятся к виду
и т.п.
Аналогичные задания могут служить средством контроля за сформированностью у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения.
В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения сделаем лишь два замечания.
Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому уравнению = типичному представителю определенного вида совместный поиск (учитель – учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие уравнения этого же вида обобщение-вывод о характеристиках уравнений рассматриваемого вида и общем приеме решения этих уравнений.
Во-вторых, чтобы, с одной стороны, систематизировать знания учащихся о приемах решения тригонометрических уравнений, а с другой, продемонстрировать достаточную «условность» отнесения ряда уравнений к определенному виду, рекомендуем специально показать школьникам возможность применения различных приемов решения к одному и тому же уравнению. Для этого целесообразно обратиться к «хорошему уравнению, установить все те приемы, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях, выделить прием, который в рассматриваемой ситуации оказывается наиболее рациональным.
В качестве такого «хорошего» уравнения можно предложить, например, следующее .
Это уравнение может быть приведено
1) к виду однородного относительно и
2) к квадратному относительно с помощью универсальной подстановки
;
3) к простейшему тригонометрическому вида
после применения приема введения вспомогательной переменной.
Сравнение приемов решения уравнения в каждом из указанных случаев свидетельствует, что наиболее рациональным является приведение данного уравнения к простейшему тригонометрическому, так как процесс решения состоит из наименьшего числа операций, выполнение каждой из этих операций не может нарушить равносильность исходного и полученного уравнений, запись ответа более компактна.
В заключение приведем примеры тригонометрических уравнений, которые рекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:
1 группу составляют тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях и некоторых свойствах тригонометрических функций.
а) ; б) ; в) ; г)
2 группу составляют простейшие тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях тригонометрических функций и понятиях арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа.
а) ; б) ; в) ;
г) ;
3 группа задач объединяет тригонометрические уравнения, решение которых потребует выполнения тождественных преобразований тригонометрических и алгебраических выражений для приведения данного уравнения к одному из известных видов.
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
2.3 Методика формирования умений решать тригонометрические неравенства
В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3 этапа.
2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;
3. введение тригонометрических неравенств других видов.
Цель подготовительного этапа состоит в том, что необходимо сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг или график для решения неравенств, а именно:
— умения решать простейшие неравенства вида sinx> 1,sinx1,cosx1,sinx1,cosx1,sinx1,cosx0
Справилось – 10 человек (52,6%);
Справилось – 15 человек (78,9%);
9. Решить неравенство
Справилось – 12 человек (63,2 %).
1. Ученики более внимательно работают с тригонометрической окружностью, более точно обозначают точки на окружности, определяют направление нужной дуги и приступают к решению неравенств после рассмотрения условий применимости свойств функции, необходимых для решения.
2. Сравнение результатов тестирования до и после эксперимента позволяет представить их в графической форме.
Работа с учащимися по формированию осознанного и качественного научения решать тригонометрические неравенства прошла успешно. Об этом свидетельствуют:
· Улучшение результатов проверочных работ
· Отношение самих учащихся к проведённым занятиям.
Школьники с интересом принимали участие в процессе обучения.
Таким образом, цель эксперимента достигнута. Его результаты удовлетворительны. Данная методика имеет возможность применения на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.
Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических уравнения и неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.
Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.
Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.
С решением уравнений, в которых переменная входит под знак одной или нескольких тригонометрических функций, так или иначе связаны многие задачи тригонометрии, стереометрии, физики и др. Процесс решения таких задач как бы синтезирует в себе практически все знания и умения, которые учащиеся приобретают при изучении элементов тригонометрии. Поэтому учитель сталкивается с довольно сложной проблемой выделения тех идей изучаемого материала, которые лежат в основе способов решения рассматриваемых задач, с целью их последующего обобщения и систематизации. Это важно и для осознанного усвоения учащимися теории, и для овладения некоторыми достаточно общими способами решения математических задач. Следует также заметить, что решение тригонометрических уравнений не только создает предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных с материалом тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приемы преобразования тригонометрических выражений и т.д.), но и дает возможность установить действенные связи с изученным алгебраическим материалом (уравнение, равносильность уравнений, виды алгебраических уравнений, способы их решения, приемы преобразования алгебраических выражений и т.п.). В этом состоит одна из особенностей материала, связанная с изучением тригонометрических уравнений.
Другая особенность – в исключительном разнообразии таких уравнений. Именно это разнообразие влечет определенные трудности в их классификации; его следствием могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, в частности, — в выборе того приема, который целесообразно применить для получения искомого множества значений переменной.
Указанные особенности должны быть учтены учителем при разработке методики обучения школьников решению тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.
1. Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.
2. Адрова И.А., Ромашко И.В. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2001. №4. С. 28-32.
3. БашмаковМ.И. Алгебра и начала анализа. 10-11. Учебное пособие для 10 – 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. – 335 с.: ил.
4. Водинчар М.И. и др. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств //Математика в школе. 1999. № 4. С. 73-77.
5. Гилемханов Р.Г. Освободимся от лишней работы (при решении однородных триг.уравнений) //Математика в школе. 2000. № 10. С.9
6. Зайкин М.И. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении (сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практичечскую конференцию).М.: Арзамас, 2002. — 334с.
7. Зандер В.К. О блочном изучении математики / на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» //Математика в школе.1991. № 4, С.38-42.
9. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ) //Математика в школе. № 3, С.18-27.
10. Золотухин Е.П. Замечания о решении уравнений вида asinx+bcosx=c //Математика в школе. 1991. № 3. С.84.
11. Калинин А.К. О решении тригонометрических неравенств. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 6, 1991г.
12. Кириченко Т.Ф. и др. Методические рекомендации для студентов-заочников по решению математических задач. Ленинград, 1987 – 53 с.
13. Клещев В.А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности //Математика в школе. 1992. № 6. С. 17-18.
14. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 – 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. – 335 с.: ил.
15. Кордемский Б.А. Как увлечь математикой. М.:Просвещение, 1981. -112с.ил.
16. Е.И. Лященко и др. Методические рекомендации по формированию ведущих понятий курса математики. Ленинград, 1988. – 72 с.
17. Мирошин В . Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г.
18. Мордкович А.Г. Беседы с учителем. М.: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”:ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005”
19. Мордкович А.Г . Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2000. – 336с.:ил.
20. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.
21. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн–4-е изд. М.: Гумакнит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1:Общие основы психологии.-688с.
22. Немов Р.С. Психология: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: В 3 кн. – 4е изд. М.:Гумакнит.изд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2: Общие основы психологии.-608с.
23. Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” //Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 48, 1999г.
24. Пичурин Л.Ф . О тригонометрии и не только о ней: М. Просвещение, 1985г.
25. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.
26. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений //Математика в школе. 2004. № 1. С. 24-26.
27. Суворова М.В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики (на примере изучения темы «Тригонометрические уравнения» //Математика в школе. 1995. № 4. С.12-13
28. Токарева А. Тригонометрические неравенства. // Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 44, 2002 г.
29. Шабунин М. Тригонометрические уравнения. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13, 1995г.
30. Филатов В.Г. О потере корней при решении тригонометрических уравнений //Математика в школе. 1991. №2. С.57-59.
31. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.
32. Якимовская И.С . Знания и мышление школьников. М.: Просвещение, 1976.
Дипломная работа на тему «Тригонометрические задачи повышенной сложности на элективном курсе в 11 классе»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время большое внимание в курсе математики средней школы уделяется изучению тригонометрических функций и тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических задач создаёт предпосылки для систематизации знаний обучающихся, связанных со всем учебным материалом по геометрии (например, свойства тригонометрических функций, методы преобразования тригонометрических выражений) и устанавливает эффективные связи с изученным по алгебре (уравнения, эквивалентность уравнений, неравенства, одинаковые преобразования алгебраических выражений и т.д.).
В настоящее время необходимо усилить прикладные направления в преподавании математики. Согласно результатам анализа содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических задач в этом плане достаточно широки.
Из – за небольшого количеством часов, отводимых на изучение темы «Тригонометрические уравнения» возникают большие проблемы из-за достаточно большого объема контента. Поэтому важно изучить с учащимися различные методы решения тригонометрических задач. Перед учителем стоит цель научить детей решать тригонометрические уравнения любого вида и любой сложности, что возможно только с помощью элективного курса. В этом и заключается актуальность темы моего исследования.
Проблема исследование заключается в том, что из-за недостаточного количества часов по разделу «Тригонометрия» учащиеся 11 класса на экзамене допускают очень много ошибок при выполнении заданий из этого раздела или не преступают совсем.
Объект исследования : тригонометрические задачи повышенной сложности в курсе старшей школы.
Предмет исследования – методика формирования умений решать тригонометрические задачи.
Цель исследования заключается в разработке элективного курса, направленного на формирование умений решать тригонометрические задачи повышенной сложности.
В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи :
Определить роль тригонометрических задач в школьном курсе математики.
Выявить основные формирования навыков, необходимых для решения тригонометрических задач повышенной сложности.
Разработать технологию формирования навыков и умений для решения тригонометрических задач.
Составить программу элективного курса «Тригонометрические задачи повышенной сложности» в 11 классе.
Описать проведение педагогического эксперимента.
Дипломная работа состоит из введения, двух глав и заключения.
Первая глава, включает три параграфа. Основная часть первой главы посвящена видам и методам решения тригонометрических уравнений.
Вторая глава состоит из трех параграфов, в которых описано формирование умений и навыков решения тригонометрических задач. Представлен разработанный элективный курс «Тригонометрические задачи повышенной трудности в 11 классе». Приведено описание педагогического эксперимента и его результатов.
В заключении сформулированы выводы по теме исследования.
Список литературы состоит из 34 наименований.
ГЛАВА1.ТРИГОНОМЕТРИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Роль и место тригонометрических задач в школьном курсе математики
Не зря считается, что математика — царица наук, ведь она является самой точной из всех ныне существующих. Это фундаментальная наука, способствующая нахождению и объяснению общих законов природы. Одним из основных и обязательных разделов школьного курса математики является тригонометрия [14].
Трудности, которые испытывают учащиеся в изучении тригонометрии, непосредственно связаны как с высоким уровнем абстракции понятий, так и с использованием числовой окружности как модели с помощью которой переопределяются тригонометрические функции и решаются многие задачи тригонометрии.
Эти трудности в основном состоят в том, что нужно многое учитывать: определение тригонометрических функций и их свойства; направление вращения начального радиуса; значения тригонометрических функций и др. Особенно трудным для изучения является раздел тригонометрии, посвящённый обратным тригонометрическим функциям.
У большей части выпускников школ каждый год обнаруживается слабая подготовка по данному разделу математика, об этом свидетельствуют результаты единого государственного экзамена. Анализ работ показывает, что данный раздел является самым проблематичным, именно в этом разделе ученики допускают много ошибок, либо не приступают к таким заданиям. И базовый и профильный экзамен по математике содержит задания по данной теме.
Тригонометрия – область математических знаний, специализирующаяся на изучении тригонометрических функций, которые применяются в геометрии.
История возникновения тригонометрических функций связана с определенным этапом развития науки и человеческими достижениями. Тригонометрия возникла в то время, когда в мире уже существовало зодчество, наука, ремесла. Зачатки тригонометрии замаячили на горизонте научных знаний в тот момент, когда люди стали усиленно изучать прямоугольные треугольники и прослеживать закономерную взаимосвязь между длинами сторон при острых углах и самими острыми углами [15].
Если обратиться к истории, то можно сказать, что именно древнегреческие математики, задавшись целью измерить длину круга, сообразили, что это можно сделать, предварительно измерив длину дуги (25 % всей длины круга), именно при помощью техники хорд. Первые тригонометрические таблицы были созданы древнегреческим математиком Гиппархом Никейским, который первым в истории человечества свел в таблицы величины дуг и хорд для набора различных углов [8].
Роль тригонометрических задач огромна. Тригонометрические знания сегодня используются практически во всех науках и отраслях точных знаний, что является феноменальным фактом. Эти знания достаточно активно применяются в физике, геометрии, инженерии, а также в астрономии, географии, музыке, финансовом анализе, электронике, статистике, теории вероятности, медицине, фармацевтике, архитектуре и компьютерной графике.
Набор тригонометрических функций в рамках школьного курса математики может быть представлен такой классификацией [19]:
Прямые функции — синус (); косинус ().
Производные функции — тангенс (); котангенс ().
Другие функции — секанс (); косеканс ().
Данные функции взаимосвязаны. Их практическое применение регламентируется несколькими основными формулами, остальные вычислительные процессы совершаются путем нахождения производных этих формул [33].
Таким образом, тригонометрия является частью специфического гармонического анализа в математике, который тщательно изучают и пытаются совершенствовать регулярно великие умы современности. В основе тригонометрии заложены специфические функции математического аппарата, который напрямую связан с исследованием колебательных движений и регулярно повторяющихся процессов [17].
Виды тригонометрических уравнений и методы их решения
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения:
1. Квадратные тригонометрические уравнения [9]. Если после преобразования уравнение приняло следующий вид:
) — одна из функций , то такое уравнение с помощью замены сводится к квадратному уравнению.
Часто при решении таких уравнений используются основные тождества:
Также используются формулы двойного угла:
Пример 1. Решить уравнение
С помощью формулы уравнение сводится к виду:
Сделаем замену , т.к. область значений синуса то . Получим уравнение:
Корни данного уравнения .
Таким образом, корень не подходит. Сделаем обратную замену
Пример 2. Решить уравнение
С помощью формулы двойного угла для косинуса имеем:
Сделаем эту подстановку и получим:
Сделаем замену , т.к. область значений синуса , то . Получим уравнение:
Корни данного уравнения .
Таким образом, корень не подходит. Сделаем обратную замену:
Пример 3. Решить уравнение
Т.к. , то . Сделаем замену , т.к. область значений тангенса , то . Получим уравнение:
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:
Сделаем обратную замену:
2. Кубические тригонометрические уравнения. Если после преобразования уравнение приняло следующий вид:
где — одна из функций , то такое уравнение с помощью замены сводится к кубическому уравнению.
Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются формулы тройного угла:
Пример 4. Решить уравнение
При помощи формул и можно свести уравнение к уравнению только с
Сделаем замену , то :
Подбором находим, что один из корней равен . Выполнив деление в столбик многочлена на , получим:
Таким образом, корень не подходит. Сделаем обратную замену:
3. Однородные тригонометрические уравнения второй степени :
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения , при которых или . Действительно, если , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: , откуда следует, что и .
Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если , то .
Аналогично и не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на или на . Разделим, например, на :
Таким образом, данное уравнение при помощи деления на и замены сводится к квадратному уравнению: , способ решения которого вам известен.
Уравнения вида с легкостью сводятся к уравнению вида с помощью использования основного тригонометрического тождества:
Заметим, что благодаря формуле однородное уравнение можно записать в виде
Пример 5. Решить уравнение
Подставим вместо и получим: . Разделим данное уравнение на :
и сделаем замену . Уравнение примет вид:
Корнями являются . Сделаем обратную замену:
4. Однородные тригонометрические уравнения первой степени :
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения , при которых или . Действительно, если , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: , откуда следует, что и .
Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если , то .
Аналогично и не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на или на . Разделим, например, на : откуда имеем
Пример 6. Решить уравнение
Разделим правую и левую части уравнения на :
4. Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени :
Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:
1 способ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества:
данное уравнение сведется к уравнению :
Пример 7. Решить уравнение
Распишем:
Тогда уравнение примет вид:
Данное уравнение с помощью деления на и замены сводится к:
Корнями этого уравнения являются . Сделаем обратную замену:
2 способ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла:
уравнение сведется к квадратному уравнению относительно .
Пример 8. Решить то же уравнение
Сделаем подстановку и замену :
(т.к. при всех , то есть всегда )
Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.
3 способ: при помощи формулы вспомогательного угла .
Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов:
Пример 9. Решить то же уравнение
Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на
Заметим, что числа и получились табличные. Можно, например, взять за . Тогда уравнение примет вид:
Решениями данного уравнения являются:
Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились «более красивого» ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.
Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду то с помощью формулы данное уравнение можно свести к квадратному.
Для этого необходимо сделать замену , тогда .
Заметим, что формула (*)есть не что иное, как формула сокращенного умножения при подстановке в нее
Пример 10. Решить уравнение
Вынесем общий множитель за скобки в правой части:
По формулам двойного угла имеем:
Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену , тогда . Тогда уравнение примет вид:
Корнями данного уравнения являются .
По формулам вспомогательного аргумента
, следовательно, сделав обратную замену:
Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от -1 до 1. Значит:
5. Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:
I Квадрат суммы или разности :
II Разность квадратов :
III Сумма или разность кубов
IV Куб суммы или разности
Таким образом, основными видами тригонометрических задач являются: квадратные тригонометрические уравнения, кубические тригонометрические уравнения, однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени, неоднородные тригонометрические уравнения первой и второй степени, формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте [23].
Методы решения тригонометрических неравенств
Этот метод нам хорошо известен из алгебры (метод замены переменной и подстановки).
Пример 1. Решить уравнение
Решение: Используя формулы приведения, имеем
, находим корни: откуда следует два случая:
Курсовая работа по теме тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
Просмотр содержимого документа «Курсовая работа по теме тригонометрические уравнения и неравенства с параметром»
Министерство образования и науки Российской Федерации
1.4 Методы решения тригонометрических уравнений с параметром 10
1.4 Решение тригонометрических неравенств с параметром 16
Выводы по первой главе 21
Глава 2. Практикум по решению тригонометрических уравнений и неравенств с параметром 22
2.1 Решение тригонометрических уравнений с параметром 22
2.2 Решение тригонометрических неравенств с параметром 28
Выводы по второй главе 33
Список используемых источников 36
Данная работа посвящена исследованиям, лежащим в области математики, и касается тригонометрического раздела математики. Актуальность данной темы состоит в том, что тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ для 11 класса. А тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Именно задачи такого типа развивают сообразительность, смекалку, догадливость, находчивость в учениках. Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях имеют конечное число корней, а в тригонометрических — бесконечное, что сильно усложняет отбор корней и выбор значения параметра.
Цель курсовой работы заключается в овладении методами решения основных типов тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Для осуществления обозначенной цели служат следующие задачи:
Отобрать теоретические сведения необходимые для решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами
Сформировать понимание у учащихся работы с тригонометрическими задачами с параметрами
Выделить основные типы тригонометрических уравнений с параметрами и методы их решения на основе рассмотрения примеров
Овладеть методами решения основных типов тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами
Изучить различные подходы и методы решений тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами
Объект исследования – тригонометрические уравнения и неравенства с параметром. Предмет исследования – методы решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметром.
При написании курсовой работы были использованы методы исследования: теоретические (анализ, классификация, индукция, обобщение) и практические (сравнение, материальное моделирование).
Методологической основой для исследования послужили научные труды известных математиков. В качестве теоретической базы исследования были использованы научные статьи, учебники по математике: Гусятников Н.В., Гусятников В.В.; Коноплева О.А. Практической базой исследования послужили сборники задач: Евдокимова Н.Н.; Мордкович А.Г., Литвиненко В.Н.
Глава 1. Теоретические основы решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметром
Исторические сведения о развитии тригонометрии
Слово «тригонометрия» составлено из двух греческих слов: «тригонон» — треугольник и «метрео» — измеряю. Основной задачей тригонометрии является нахождение неизвестных параметров треугольника по данным значениям других его параметров.
Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до нашей эры. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах.
Все древние цивилизации вносили свой клад в дело накопления тригонометрических знаний. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилова, возраст которой определяется вторым тысячелетием до нашей эры, решается тригонометрическая задача.
Значительно развили тригонометрию индийские средневековые астрономы и арабские ученые. В X веке багдадский ученый Абу-ль-Вефа присоединил к понятиям синусов и косинусов понятия тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Абу-ль-Вефа установил также основные соотношения между ними. Благодаря работам знаменитого арабского ученого Насир эд-Дина (1201-1274) тригонометрия становится самостоятельной научной дисциплиной. Насир эд-Дин рассмотрел все случаи решения плоских и сферических треугольников. В XII веке с арабского языка на латинский был переведен ряд астрономических работ, по которым европейцы познакомились с тригонометрией, не многие работы Насир эд-Дина остались им неизвестны.
Выдающийся немецкий астроном XV века Региомонтан (1436-1476) заново сформулировал теоремы Насир эд-Дина. Региомонтан составил таблицы синусов плоских углов с точностью до седьмой значащей цифры. В середине XVIII века, благодаря русскому академику Леонарду Эйлеру (1707-1783), тригонометрия приняла современный вид. Он разработал её как науку о тригонометрических функциях, ввел записи , tg x, обозначил а, в, с для сторон А,В,С для противоположных углов .
Эйлер рассматривал тригонометрические функции аргумента х – радианной меры соответствующего угла, давая этому аргументу различные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.
Функция y=cos x является четной, остальные тригонометрические функции нечетные:
tg(-x)=-tg x ( x
ctg(-x)=-ctg x (x
Все тригонометрические функции являются периодическими. При этом Т=2 – основной период функций y=sinx,y=cosx, а Т= – основной период функции y=tgx,y=ctgx. Напомним, что основным периодом называется наименьший период из множества всех положительных периодов периодической функции. Таким образом,
sin(x+2=sin(x-2)=sinx,
cos(x+2=cos(x-2)=cos x,
tg(x+=tg(x-)=tg x ( x
ctg(x+=ctg(x-)=ctg x (x
Формулы сложения аргументов:
sin(xy)=sin x cos ysin y cos x,
cos(xy)=cos x cos ysin x sin y,
tg(x)=( x
ctg(x)=( x .
Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:
tg x =( x
ctg x =( x
1+ tg2x =( x
1+ ctg2x =( x.
Формулы, связывающие тригонометрические функции аргументов, из которых один вдвое больше другого:
sin 2x = 2 sin x cos x,
tg 2x =(x
ctg 2x =(x
1sin 2x = (cos xsin x)2 .
Для облегчения запоминания указанных в таблице формул приведения можно применять следующее мнемоническое правило: 1) если дуга х откладывается от горизонтального диаметра ( то название функции сохраняется; если дуга х откладывается от вертикального диаметра ( то название функции меняется ( синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс);
2) перед полученной функцией ставят тот знак, который имела бы выводимая функция в случае, если 0 .
Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin x + sin y = 2 sincos,
sin x — sin y = 2 sincos,
cos x + cos y = 2 coscos,
cos x — cos y = 2 sinsin,
tg xtg y =(x
ctg xctg y =(x
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
sin x cos y =,
cos x cos y =,
sin x sin y =.
Имеется несколько определений параметра:
Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра. Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:
— старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;
— знаменатели в дроби;
— дискриминант квадратного двучлена.
1.4 Методы решения тригонометрических уравнений с параметром
Решить уравнение f (х; а) = 0 с параметром а – это значит, для каждого действительного значения а найти значения х, удовлетворяющих уравнению, или установить, что таких нет.
При решении тригонометрических уравнений с параметром наряду с единичной окружностью можно пользоваться координатной прямой для параметра. По мере решения уравнения на прямой появляются точки, разбивающие прямую на части, над каждой из которых записываем множество корней уравнения. Если координатная прямая заполнена, то это свидетельствует о том, что решение закончено и можно записывать ответ. При решении уравнений с параметрами нам будут необходимы знания о решении тригонометрических уравнения без параметра, поэтому рассмотрим далее методы их решения.
Напомним общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений (если не сделано оговорок, то предполагается, что параметры n, k, l, m, … принимают любые целые значения).
sin x = a, где
x = (-1) k arcsin a +
сos x = a, где
x =
x =
x =
Отметим особо некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
sin x = 0 x = ,
sin x = 1 x =
sin x = -1 x = ,
cos x = 0 x = ,
cos x = 1 x = ,
cos x = -1 x = .
Проверка найденных решений необходима:
Если в процессе решения произошло расширение области определения уравнения в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателей, сокращение дроби, приведение подобных членов),
Если в процессе решения уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень,
Если при решении применялись тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения.
Основными методами, используемыми при решении тригонометрических уравнений, являются следующие методы: разложение на множители, сведение к квадратным уравнениям, решение однородных уравнений, универсальная подстановка, с помощью замены неизвестного, применение формул понижения степени, с применением формул тройного аргумента.
Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. Метод разложения на множители заключается в следующем: если f(x)=f1(x) f2(x) … fn(x), то всякое решение уравнения f(x)=0 является решением совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0, … , fn(x)=0.
Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции f(x). Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.
Пример№1. Решите уравнение: (2sin x – cos x)(1+ cos x)=sin 2 x (2sin x – cos x)(1+ cos x)=1 – cos 2 x; (2sin x – cos x)(1+ cos x)= (1- cos x) (1+ cos x);
(2sin x – cos x)(1+ cos x)- (1- cos x) (1+ cos x) ;
(1+ cos x)( 2sin x – cos x-1+ cos x)=0
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:
sin 2 x + cos 2 x=1,
tg 2 x + 1= , x
ctg 2 x + 1= , x
Пример №2. Решите уравнение: 6cos 2 x +5sinx – 7 = 0
6(1-sin 2 x) +5sinx – 7 = 0;
6sin 2 x -5sinx +1 = 0;
Введем подстановку y=sin x, тогда получаем квадратное уравнение
6y 2 – 5y +1 = 0. Находим корн у1 = , у2 = . Затем осуществляем обратную подстановку sin x = , sin x = получаем решение исходного уравнения.
Ответ: x = x =
Решение однородных уравнений. Уравнение вида
b0sin n ax + b1sin n-1 ax cos ax + b2sin n-2 ax cos 2 ax +…+
+ b0n-1 sin ax cos n -1 ax + bncos n ax = 0, где b0, b1, … , bn — действительные числа, называются однородными уравнениями степени n относительно функций sin ax, cos ax. Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений sin ax = 0 или cos ax = 0 не являются корнями уравнения, так как, если, например cos ax = 0, то из уравнения следует, что и sin ax = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству cos 2 x + sin 2 x =1. Следовательно, левую и правую части уравнения можно разделить на cos n ax и ввести подстановку y=tg ax, или разделить на sin n ax и ввести подстановку y=ctg ax.
Пример №3. Решите уравнение: sin x – 2cos x = 0
Уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим на cos x, получаем равносильное уравнение tg x = 2.
Ответ: x=arctg2 +
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. Рассмотрим уравнение asin x + bcos x = c, a 2 +b 2 Разделим левую и правую части уравнения на :
sin x + cos x = . Так как + =1, то существует угол такой, что cos , sin , при этом (или ). Тогда уравнение примет вид sin x cos +
Пример №4. Решите уравнение: sin x + cos x = 1
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим
sin x + cos sin x + sin cos x =
sin (x + ) = x= — +
Ответ: x= — +
Решение уравнений методом универсальной подстановки. Тригонометрическое уравнение вида R (sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx)=0, где R – рациональная функция, k, l, m, n с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sin x, cos x, tg x, ctg x, после чего уравнение может быть сведено к рациональному уравнению относительно t = tg с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки
sin x = , cos x = ,
tg x = , ctg x = .
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg не определен в точках, необходимо делать проверку корней. Пример №5. Решите уравнение:sin x + tg = 0
По условию задачи х k, k Применив формулы и сделав замену t = tg , получим + t = 0, откуда t=0 и, следовательно, x =2 Ответ: x =2 .
Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного. Уравнение вида P (sin x cos x;sin x cos x) = 0 решается следующей заменой sin x cos x = y, (sin x cos x) 2 = y 2 , 1 2 sin x cos x = = y 2 , 2 sin x cos x = y 2 -1.
Пример №6. Решите уравнение: 2(sin x + cos x) + sin 2x +1 = 0, x
2(sin x + cos x) + 2 sin x cos x +1 = 0;
Пусть sin x + cos x = y, (sin x + cos x) 2 = y 2 , 1+ 2 sin x cos x = y 2 ,
2 sin x cos x = y 2 -1, получим y 2 +2y-1+1 =0 ; y 2 + 2y=0; y(y+2)=0
y=0: sin x + cos x = 0, разделим на cos x , получим tg x = -1,
x = —
y= — 2: sin x + cos x = — 2, sin (x + sin (x + , т.к. , при х то корней нет
Ответ: x = —
Решение уравнения с применением формул понижения степен. При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени:
sin 2 x = (1-cos 2x),
cos 2 x = (1+cos 2x).
Пример №7. Решите уравнение: sin 2 x + sin 2 2x – sin 2 3x – sin 2 4x = 0. Применив формулу понижения степени, получим
+ — — = 0,
-2 sin 3x sin 5x -2 sin x sin 5x = 0,
2 sin 5x (sin 3x + sinx) = 0, 4sin 5x sin 2x sin x = 0. Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений:
Решение из множества k=2l, l Z содержаться в множестве
Ответ:
Решение уравнений с применением формул тройного аргумента. При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы
sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,
cos 3x = 4 cos 3 x – 3cos x.
Пример №8. Решите уравнение: cos 3x = — 2cos x
Применив формулу, получим cos x ( 4cos 2 x – 1) = 0
cos x ( cos 2x + . Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Ответ:
Решение тригонометрических неравенств с параметром
Решение тригонометрических неравенств сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств, т.е. неравенств вида sinxa,cosxa и т.д., также к решению совокупностей, систем или совокупностей систем простейших тригонометрических неравенств.
Для решения простейших тригонометрических неравенство для решения простейших тригонометрических неравенств во многих случаях удобно пользоваться геометрическим методом или с помощью окружности, на которой множество значений переменной, удовлетворяющих заданному простейшему неравенству, изображается в виде одной или нескольких дуг.
Аналогично тому, как с помощью неравенств задаются промежутки на числовой прямой, можно записывать и множество точек, принадлежащих той или иной дуге окружности Условимся символом М1М2 обозначать дугу, для которой точка М1 – начальная точка (в обозначении дуги она записывается первой), М2 — конечная точка пути, описываемого текущей точкой по окружности в положительном направлении (против часовой стрелки).
Разберем случаи простейших уравнений для некоторых тригонометрических функций.
Пример №9. Решите неравенство:
Первый способ: Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса y= и прямой y= (рис. 1)
Выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой y= . Найдем абсциссы х1 и х2 точек пересечения этих графиков:
(рис. 1)
х1 =
х2 =
Получили интервал , но так как функцию y=sin x периодическая и имеет период 2 , то ответом будет объединение интервалов: , k
Второй способ: Построим единичную окружность и прямую y= , точки их пересечения обозначим Px1 и Px2 (рис. 2). Решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше . Найдем значение х1 и х2, совершая обход против часовой стрелки, х12:
х1 =
х2 =
Учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы , k
Ответ: х , k
Пример №10. Решите неравенство: cos x
Построим единичную окружность и прямую x= (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим Px1 и Px2 (рис. 3) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше . Найдем значение x1 и x2, совершая обход против часовой стрелки так, чтобы x12:
x1=-arccos = — ; x2=arccos =
Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы
Ответ: х
Пример №11. Решите неравенство: ctg x
Построим в одной системе координат графики функций: y=ctg x, y= Выделим промежутки, на которых график функции y=ctg x расположен не выше графика прямой y= (рис. 4).
Найдем абсциссу точки x0, которая является концом одного из промежутков, на котором неравенство
x0=arcctg( arcctg(
Другим концом этого промежутка есть точка , а функция y=ctg x в этой точке неопределенна. Таким образом, одним из решением данного неравенства является промежуток . Учитывая, что котангенс функция периодическая, с периодом , то окончательно получим , k
Ответ: х , k
Если неравенство f(x; р) , ,
Решить неравенство с параметром — значит найти все значения параметров, при которых данные для решения тригонометрические неравенства будут иметь решение.
Выводы по первой главе
В первой главе были рассмотрены исторические сведения о развитии тригонометрии, тождественные преобразования тригонометрических выражений, которые необходимо знать для решения уравнений и неравенств. Определено, что такое параметр и его контрольные значения. При решении уравнений с параметрами нам будут необходимы знания о решении тригонометрических уравнения без параметра, поэтому были рассмотрены простейшие тригонометрические уравнения и восемь методов их решения, записаны решения для частных случаев простейших уравнений. Каждый метод был проиллюстрирован примером. Так же были рассмотрены методы решения тригонометрических неравенств, и разобраны случаи простейших уравнений для некоторых тригонометрических функций. Чтобы разобрать оба метода решения неравенств (геометрический и с помощью окружности) один из примеров решен двумя способами.
Глава 2. Практикум по решению тригонометрических уравнений и неравенств с параметром 2.1 Решение тригонометрических уравнений с параметром
Пример№1: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos 4 x – (a + 2)cox 2 x – (a + 3) = 0 имеет решение.
Введем новую переменную: t =cos 2 x, t . Тогда данное уравнение принимает вид t 2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0. Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a 2 + 4a + 4 + + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение: t1,2 = = =
t1 = = =
t2 = = = -1
Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии
0 ≤ а +3 ≤ 1, -3 ≤ а ≤ -2.
Ответ. Уравнение cos 4 x – (a + 2) cos 2 x – (a + 3) = 0 имеет решение при a .
Пример№2: Найдите все значения параметра р, при которых уравнение
6sin 3 x = p – 10cos 2x не имеет корней. 6sin 3 x = p – 10cos 2x; 6sin 3 x + 10cos 2x = p; 6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p; 6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.
Введем новую переменную: t = sin x, t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t 3 – 20t 2 + 10 = p. Рассмотрим функцию у = 6t 3 – 20t 2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке Находим производную: у = 18t 2 — 40t = 18t (t — . Определяем критические точки функции: у′=0, 18t(t — , t1=0, t2 = .
Число 2 не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:
у(0) = 0 – 0 + 10 = 10, у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16, у(1) = 6 – 20 + 10 = -4. ymax (t) = 10, ymin (t) = -16 на отрезке . Значит, при p исходное уравнение не имеет корней.
Ответ. Уравнение 6sin 3 x = p – 10cos2x не имеет корней при p
Пример№3: Решите уравнение sin 4 x + cos 4 x = a
Применяя формулы понижения степени получим: ( 2 + ( ) 2 = a, и далее cos 2 2x = 2a – a.
Найдем контрольные значения параметра. В данном случае это такие значения параметра, при которых правая часть уравнения 0 или 1 (если 2а – 1 , то уравнение не имеет решений). Если 2а – 1 =0, то а = ; если 2а – 1= 1, то а = 1. И так, рассмотрим уравнение cos 4x = 4a -3в каждом из пяти случаев: 1) а ; 2) а = ; 3) ; 4) а=1; 5) а 1) Если а , то 2а – 1 и уравнение cos 2 2x = 2a – a не имеет корней 2) Если а = то уравнение cos 2 2x = 2a – a принимает вид cos 2 2x = 0, откуда находим x = 3) Если 0 Преобразуем уравнение cos 2 2x = 2a – a к виду: = 2a – 1, и далее cos 4x = 4a -3. Так как в рассматриваемом случае 2 а тогда Значит, уравнение cos 4x = 4a -3 имеет решение. Получим 4х = + 2 . От куда х = + . 4) Если а=1, то уравнение cos 2 2x = 2a – a принимает вид cos 2 2x =1. Из этого уравнения находим х = k, 5) Если а , то 2а -1 и уравнение cos 4x = 4a -3 не имеет корней. Затем, что если а = или а = 1, то решение тоже можно записать в виде х = + Ответ: 1) Если а и а то корней нет. 2) Если , то х = +
Пример№4:Решим уравнение (а-1)sin 2 x – 2(a+1)sin x +2a – 1=0.
Положим y=sin x, тогда данное уравнение примет вид (a-1)y 2 – 2 (a+1)y + 2a-1=0. Первым контрольным значением параметра а будет значение а=1, которое обращает в нуль коэффициент при у 2 . При а=1 уравнение (a-1)y 2 – 2 (a+1)y + 2a-1=0 принимает вид -4у + 1 =0, откуда находим у= , то есть sin x= и, следовательно, х = (-1) k arcsin + Рассмотри теперь случай, когда а Найдем дискриминант уравнения (a-1)y 2 – 2 (a+1)y + 2a-1=0. Имеем: 2 -(a-1)(2a-1) = -a 2 + 5a. Вторыми контрольными значениями параметра а будут те значения, при которых D=0. Это будут значения а=0, а=5. Заметим, что D если а или а и D если 0 Значит, нам нужно рассмотреть уравнение (a-1)y 2 – 2 (a+1)y + 2a-1=0 в каждом из следующих случаев: а ; а Если а или а уравнение (a-1)y 2 – 2 (a+1)y + 2a-1= 0 не имеет корней. В случае уравнение имеет два действительных корня у1,2 = . Так как у = sin x, то должны выполняться следующие двойные неравенства: -1 у1, -1 у2. Нетрудно заметить, что у1= удовлетворяет двойному неравенству -1 у1лишь при а=0. В самом деле, если а=0, то у=-1; если а то а+1 -1 и тем более а+1+ -1, то есть у1. Если а=0, то уравнение sin x = y1, принимает вид sin x = -1, откуда находим х = — Будем теперь искать значение параметра а ( из рассматриваемого множества системы которые удовлетворяют системе неравенств -1 у2то есть системе
Система в свою очередь, равносильна следующей совокупности систем неравенств:
Решим первую систему из данной совокупности. Имеем:
Откуда находим 1 Решим вторую систему совокупности. Имеем:
откуда находим 0
Итак, совокупность систем, а следовательно, и система имеют решения: 0 . Это означает, что на множестве уравнение
sin x = имеет решение только в том случае, если Это решение таково: х = (-1) k arcsin + Заметим. что эта запись включает в себя и рассмотренный выше случай, когда а=0. Если 4 , то уравнение sin x = , а с ним и уравнение (а-1)sin 2 x – 2(a+1)sin x +2a – 1=0 не имеют корней.
Ответ: 1) если а=1, то х = (-1) k + 2) если то х = (-1) k arcsin + 3) если а то уравнение не имеет корней
Пример№5: При каких значениях параметра а графики функций y = sin 2 x + acos x и y = 3a – 2a 2 не имеют общих точек?
Другими словами, нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение sin 2 x + acos x = 3a – 2a 2 не имеет корней. 1 – cos 2 x + acos x + 2a 2 – 3a = 0; cos 2 x – acos x – (2a 2 – 3a + 1) = 0.
Введем новую переменную: t = cos x, t , тогда тригонометрическое уравнение примет вид t 2 – at – (2a 2 – 3a + 1) = 0. Получили квадратное уравнение с параметром а.
Случай 1. t1t2 , тогда , а = и t2 = В этом случае уравнение cos x = имеет корни.
Случай 2. t1t2 . Чтобы уравнения сos x = t1 и сos x = t2 не имели корней необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий: t12 1, t21 1. Рассмотрим каждое из этих условий.
Условие 1. t1 а + а – 2, 2 + а — а – 2, 4 + а — а. Система решений не имеет, значит, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t1
Условие 2. t2 1. а — , а – 2, — а + 4 а.
Система решений не имеет, следовательно, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t2 1.
Условие 3. t21 1. ; ; ; ; ; Таким образом, .
Ответ: Графики функций y = sin 2 x + acos x и y = 3a – 2a 2 не имеют общих точек, если .
2.2 Решение тригонометрических неравенств с параметром
Пример№6: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок .
Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок синус должен принимать значения 0 (рис.5).
Пусть sin x = t, тогда cos 2x =1-2t 2 и неравенство принимает вид a – (a 2 – 2a -3)t + 4 0,5(1-2t 2 ) + a 2 +1,5 t 2 – (a 2 – 2a -3)t – a 2 + a + 2 Введем функцию f(t) = t 2 – (a 2 – 2a -3)t – a 2 + a + 2
(рис. 5)
Для того, чтобы множество решений неравенства t 2 – (a 2 – 2a -3)t – a 2 + a + 2 содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f(0) и f(1) (рис.6).
(рис. 6)
Ответ:
Пример№7: Найдите все значения параметра a, при которых для любого действительного x выполнено неравенство + .
Пусть t=sin x, тогда неравенство запишется в виде +
Поскольку -1 нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при -1 .
Рассмотрим функции f(t)= + и g(t) = Функция f(t) — кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция g(t)— линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция g(t) — f(t) возрастающая. Таким образом, если неравенство f(t) g(t) выполнено при t= — 1, то оно выполнено при t При t = -1 неравенство принимает вид:
+
Выражение равно 0 при а= — 5 и больше при 0 при других значениях a. Выражение при а равно 0, при 4 принимает вид 2а – 10, при а равно −2. Таким образом, неравенство выполнено при
Ответ: ).
Пример№8: Найдите все значения параметра а, при которых для любого действительного значения х выполнено неравенство 2а – 4 + а(3 – sin 2 x) 2 + cos 2 x ОДЗ: х ∈R, a ∈R. Пусть sin 2 x = t, | t | ≤ 1 2а – 4 + а(3 – t) 2 + 1 — t at 2 – (6a + 1) + 11a – 3 Найдем все значения параметра а, при которых f(t) = at 2 – (6a + 1) + 11a – 3 будет отрицательным при любом | t | ≤ 1. 1) а = 0, f(t) = — t – 3 меньше нуля для любых | t | ≤ 1 2) а 0, ; ; 0
3) а а) D = 1 + 24а – 8а 2
а б) t1 ≤ t2 а D ≥ 0, t0 = 6a+12af(0) = 11а – 3 a≤0. в) 1 t1 ≤ t2 а D ≥ 0, 6a+12a1, f(1) = 6а – 4 ⊘ Ответ: а ∈ (-∞; 311).
Пример№9: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок .
Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок косинус должен принимать значения 0 (рис.7).
Пусть cos x = t, тогда sin 2 x =1-2t 2 и неравенство принимает вид a – (a 2 – 2a -3)t + 4 1- t 2 +a 2 +1 t 2 – (a 2 – 2a -3)t – a 2 + a + 2 Введем функцию f(t) = t 2 – (a 2 – 2a -3)t – a 2 + a + 2
(рис. 7)
Для того, чтобы множество решений неравенства t 2 – (a 2 – 2a -3)t – a 2 + a + 2 содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f(0) и f(1) (рис.8).
(рис. 8)
Ответ:
Выводы по второй главе
Во второй главе были приведены решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами. Рассмотрены пять примеров решения тригонометрических уравнений с параметрами. Задания звучали в двух вариациях: «при каких значения параметра…» и «решите уравнение и найдите значение параметра». Также были разобраны четыре тригонометрических неравенства с параметром. Неравенства, которые были взяты из второй части ЕГЭ, у подобных неравенств задание звучало, не в классическом виде «найдите значение параметра…», а была поставлена дополнительная задача в отборке найденного параметра в заданном отрезке. К каждому примеру было предложено подробный разбор решения.
(тригонон) – треугольник, 
(метрейн) – измерение.
. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.
лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последующем это отношение стало отражать также сложение двух колебательных движений с происходящей при этом интерференцией.
, где n – натуральное число, и др. Функции 
и 
рассматриваются теперь как суммы степенных рядов:
, где 
— тригонометрическая функция 
. [16, c/55]
, сводится к простейшему уравнению 
, причём частному виду простейшего, после элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по формулам сложения косинуса. Аналогичная ситуация может возникнуть и при решении тригонометрических неравенств. Неравенства вида 
, в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, 
, а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство 
, решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.
, 
, 
, 
.
Уравнение вида 
.
, то 
, то 
(рис 1, а)
; 
; 
; 
; 
;
.
.
(рис 1, д)
; 
; 
; 
;
;
.
.
(рис 1, и)
; 
;
.
(рис 1, к)
; 
;
; 
, 
, 
, 
.
;
равносильно совокупности уравнений:
равносильно системе уравнений:
равносильно системе уравнений:
, где 
тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учётом допустимых значенийt в зависимости от области значения функции.
тогда уравнение примет вид:
[29]
; третьей степени: 
и т.д., сформировав понятия выражения, однородного относительно переменных U и V .
.
;
.
.
, то 
.
.
.
.
[5, c.9]
или 
;
, т.к. это решение системы 
, т.к. это решение системы 
.
где 
.
, 
, 
, 
можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток (
), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: (
). При этом значение 
находится легко, т.к. 
или 
. Поиск же значения 
опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.
и у = а , считая, что 
.
и его решение 
. Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: 
. Значения 
являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков 
) выполняется неравенство 
в виде: 
; а во втором случае – решение неравенства 
, являющейся решением уравнения 
, при n = 0 получаем два корня 
, а третий корень при n = 1 в виде 
. И опять 
и 
. В интервале (
и 
, и записать ответ неравенства в виде: 
и 
, и записываем ответ неравенства в виде: 
. Составим соответствующее уравнение и решим его: 
или
.
(значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел.
под углом 
. Для этого подставить число 
.
и рассмотрим уравнение 
, которое равносильно совокупности уравнений: 
.
,
.
. Тогда значения 
соответственно равны 
(при остальных значениях n точки будут повторяться). Значения из серии 
на единичной окружности можно представить точками 
и 
, которые получены при n =0 и n =1.
. Тогда 
.
произвольную точку 
прибавить 
. Итак, окончательное решение можно записать в виде совокупности промежутков:
, n Î Z
и 
дают на единичной окружности несовпадающие точки. Если же некоторые точки разных серий совпадают, то будем называть их кратными. Точки, которые повторяются в чётном числе серий, будем называть точками чётной кратности, а те, что повторяются в нечётном числе серий, — точками нечётной кратности. Волнообразная линия, идущая от точки 
Отсюда 
представлены двумя точками 0 и 
. Серия 
даёт точки 
Из серии 
получаем точки 
Нанесём все эти точки на единичную окружность указав в скобках рядом с каждой из них её кратность.
. Делаем прикидку по знаку:
. Значит, точку 
наша линия переходит из одной области в другую: если она находилась вне единичной окружности, то переходит внутрь неё. Подойдя к точке 
линия возвращается во внутреннюю область, так как кратность этой точки чётная. Аналогично в точке 
(с чётной кратностью) линию приходится повернуть во внешнюю область. Итак, мы начертили некую картинку.
(
, 
и т.д.) и не выраженных в долях числа 
и т.п.; в-третьих, специально обратить внимание школьников на применение различных приемов преобразований выражений при решении тригонометрических уравнений.
, для которых верно 
и т.п.,
и т.п.,
, указать множество чисел, для которых верно 
,
,
,
,
,
,
,
.
, то есть имеем совокупность уравнений 
или 
). Следует специально обратить внимание учащихся на цель преобразований тригонометрических выражений при решении предложенных уравнений: замена данного выражения, тождественно ему равным и зависящим от одной тригонометрической функции, либо преобразование выражения в произведение линейных множителей относительно тригонометрических функций.
или 
(здесь 
— решение уравнения, принадлежащее выделенным промежуткам) являются решениями данного уравнения; этот вывод используется для получения формулы решений.
( 
и 
).
. С учетом принятых обозначений данное уравнение приводим к виду: 
. Преобразуем левую часть уравнения в произведение: 
; это дает возможность заменить данное уравнение равносильной совокупностью простейших тригонометрических уравнений 
или 
. Используя свойство функций синус и косинус (множество корней), получаем: 
или 
. Теперь осталось выразить 
через 
(
или 
) и записать общую формулу для нахождения решений уравнения.
, 
. Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенные уравнения к виду 
; 
, но могут затрудниться в нахождении множества решений каждого из полученных уравнений. Указанных затруднений можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга), но и в этом случае остается открытым вопрос: нельзя ли получить общие формулы для записи множеств решений тригонометрических уравнений вида 
( 
и 
), 
(
и 
соответственно (решить такую задачу учащиеся могут самостоятельно).
, 
, 
при данных значениях 
. С этой целью полезно предложить учащимся задания типа
;
и т.п.
: это число принадлежит промежутку 
, то есть 
и 
. Способ выполнения второго задания основан на применении понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д. и, возможно, тригонометрических тождеств. Особое внимание следует обратить на выполнение последнего примера этого задания.
.
. Выполнение учащимися приведенных заданий следует заключить выводом о том приеме, который лежит в основе решения данных уравнений: привести уравнение к виду 
, разложить левую часть на множители, воспользоваться условием равенства нулю произведения и заменить уравнение равносильной совокупностью уравнений, каждое из уравнений совокупности решить, используя факт о множестве корней соответствующей тригонометрической функции.
) имеет (не имеет) действительного решения и почему. Выделение множества решений параметра, при которых указанное уравнение разрешимо в 
, дает основание для поиска способа его решения. Заметим, что в практике обучения школьникам достаточно разъяснить суть такого способа для одного из уравнений, например, 
. При этом нужно лишь обратить внимание учащихся на то, что если мы заменим число 
и т.п.
совместный поиск (учитель – учащиеся) приема решения 
.
и 
с помощью универсальной подстановки
;
; б) 
; в) 
; г) 
; б) 
; в) 
;
;
; б) 
;
; г) 
;
.
не подходит. Сделаем обратную замену
, т.к. область значений синуса , то . Получим уравнение:
. Получим уравнение:
, при которых или . Действительно, если , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: , откуда следует, что и .
или на . Разделим, например, на 
, откуда следует, что и .
: откуда имеем
сводится к:
.
при всех 
, то есть всегда )
получились табличные. Можно, например, взять за . Тогда уравнение примет вид:
.
(*)есть не что иное, как формула сокращенного умножения при подстановке в нее
, tg x, обозначил а, в, с для сторон А,В,С для противоположных углов 
.
=sin(x-2 
y)=sin x cos y 
sin x sin y,
)= 
( x 
( x 
.
( x 
( x 
( x 
( x 
.
(x 
(x 
то название функции сохраняется; если дуга х откладывается от вертикального диаметра ( 
то название функции меняется ( синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс);
.
cos 
,
,
(x 
(x 
,
,
.
x = 
,
,
,
.
. Затем осуществляем обратную подстановку sin x = 
получаем решение исходного уравнения.
x = 
Разделим левую и правую части уравнения на 
:
sin x + 
cos x = 
. Так как 
+ 
=1, то существует угол 
такой, что cos 
, sin 
, при этом 
(или 
). Тогда уравнение примет вид sin x cos 
+ 
. Тогда получим
sin x + 
cos 
с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sin x, cos x, tg x, ctg x, после чего уравнение может быть сведено к рациональному уравнению относительно t = tg 
с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки
, cos x = 
,
, ctg x = 
.
k, k 
Применив формулы и сделав замену t = tg 
+ t = 0, откуда t=0 и, следовательно, x =2 
.
, получим tg x = -1,
sin (x + 
, т.к. 
, при х 
то корней нет
+ 
— 
— 
= 0,
k=2l, l 
Z содержаться в множестве 
. Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Условимся символом 
М1М2 обозначать дугу, для которой точка М1 – начальная точка (в обозначении дуги она записывается первой), М2 — конечная точка пути, описываемого текущей точкой по окружности 
в положительном направлении (против часовой стрелки).
, но так как функцию y=sin x периодическая и имеет период 2 
, k 
Выделим промежутки, на которых график функции y=ctg x расположен не выше графика прямой y= 
(рис. 4).
arcctg( 
, k 
. Тогда данное уравнение принимает вид t 2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0. Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a 2 + 4a + 4 + + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение: 
= 
= 
= 
= 
= 
= -1
таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии
.
тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t 3 – 20t 2 + 10 = p. Рассмотрим функцию 
Находим производную: у 
= 18t 2 — 40t = 18t (t — 
. Определяем критические точки функции: у′=0, 18t(t — 
.
не принадлежит промежутку 
, поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:
исходное уравнение не имеет корней.
2 + ( 
) 2 = a, и далее cos 2 2x = 2a – a.
, то уравнение не имеет решений). Если 
; 4) а=1; 5) а 
и уравнение cos 2 2x = 2a – a не имеет корней 
то уравнение cos 2 2x = 2a – a принимает вид cos 2 2x = 0, откуда находим x = 
0 
Преобразуем уравнение 
= 2a – 1, и далее cos 4x = 4a -3. Так как в рассматриваемом случае 
а тогда 
Значит, уравнение cos 4x = 4a -3 имеет решение. Получим 
+ 2 
+ 
. 
, то 2а -1 
то корней нет. 
, то х = 
, то есть sin x= 
и, следовательно, х = (-1) k arcsin 
Найдем дискриминант уравнения 
2 -(a-1)(2a-1) = -a 2 + 5a. Вторыми контрольными значениями параметра а будут те значения, при которых D=0. Это будут значения а=0, а=5. Заметим, что D 
если а 
и D 
если 0 
Значит, нам нужно рассмотреть уравнение 
; 
или а 
уравнение имеет два действительных корня 
. Так как у = sin x, то должны выполняться следующие двойные неравенства: -1 
у1 
, -1 
удовлетворяет двойному неравенству -1 
-1 и тем более а+1+ 
-1, то есть у1 
Будем теперь искать значение параметра а 
которые удовлетворяют системе неравенств -1 
то есть системе 
Решим вторую систему совокупности. Имеем:
откуда находим 0 
. Это означает, что на множестве 
уравнение
имеет решение только в том случае, если 
Это решение таково: х = (-1) k arcsin 
, то уравнение sin x = 
+ 
то х = (-1) k arcsin 
то уравнение не имеет корней
= 
. t1 = 
t2 = 
то t1 
t2
, а = 
и t2 = 
В этом случае уравнение cos x = 
а – 2, 
— а – 2, 
— а. 
, 
а – 2, 
; 
; 
; 
; 
; 
.
содержит отрезок 
.
Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок 
(рис.5).
+ 
.
+ 
нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при -1 
.
и 
Функция f(t) — кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция g(t)— линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция g(t) — f(t) возрастающая. Таким образом, если неравенство f(t) 
При t = -1 неравенство принимает вид:
+ 
равно 0 при а= — 5 и больше при 0 при других значениях a. Выражение 
при а 
равно 0, при 
принимает вид 2а – 10, при а 
равно −2. Таким образом, неравенство 
выполнено при 
).
; 
; 0
содержит отрезок 
.
Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок 
(рис.7).