Дискретные линейные уравнение и системы

Дискретные линейные уравнение и системы

Рассмотрим системы автоматического управления, в которых передача, обработка и преобразование информации осуществляются только в определенные моменты времени, то есть дискретно. В этом случае в системах действуют сигналы, являющиеся некоторой последовательностью импульсов, и такие системы называются дискретными. Создание дискретных систем может быть вызвано многими причинами.

Во-первых, принцип действия некоторых элементов, входящих в систему, может быть дискретным. К примеру, в системе управления ракетой имеется импульсная радиолокационная станция (РЛС), измеряющая координаты цели и ракеты (рис. 1.1). По своему принципу действия она выдает информацию дискретно с частотой следования импульсов станции, поэтому и вся система управления будет дискретной. В качестве другого примера можно указать на САУ, имеющие в своем составе цифровые вычислительные машины (ЦВМ), являющиеся дискретными устройствами.

Рис. 1.1. Блок — схема системы автоматического управления

Во-вторых, в дискретных системах проще реализовать сложные алгоритмы управления. Так, при использовании ЦВМ алгоритм задается в виде программы, сложность которой практически не влияет на конструкцию системы. Смена программы, то есть алгоритма управления, производится без больших затрат времени. В непрерывных же САУ повышение сложности алгоритма управления требует включения в состав системы новых элементов, а замена алгоритма связана с существенным усложнением конструкции.

В-третьих, точность решения алгоритмов управления с помощью дискретных устройств (например, ЦВМ) обычно выше, чем с помощью непрерывных. Это положение требует более подробного объяснения. Дискретная обработка информации за счет импульсного характера сигналов неизбежно приводит к ее потере, так как на интервалах, где импульсы отсутствуют, полезная информация не используется. Поэтому, если для решения одного и того же алгоритма использовать дискретные и непрерывные устройства, то точность последних в идеальном случае будет выше. За счет потери части информации дискретные устройства обладают методической погрешностью, то есть такой, которая зависит от метода обработки. Однако как дискретные, так и непрерывные устройства имеют и другие погрешности — инструментальные, зависящие от неточностей изготовления отдельных элементов, нестабильностей параметров, внутренних шумов и помех. Оказывается, что инструментальные погрешности непрерывных устройств значительно больше, чем устройств дискретных, и сильно растут с усложнением алгоритма обработки. В итоге суммарная погрешность дискретных устройств оказывается меньше инструментальной погрешности непрерывных, что и позволяет говорить о более высокой точности работы дискретных систем.

Перечисленные преимущества привели к широкому использованию дискретных систем. Особенно большое распространение получили системы с ЦВМ. Классификация дискретных систем базируется на признаках, определяющих особенности протекания процессов управления и методики исследования. По этим признакам дискретные системы можно разделить на линейные и нелинейные (в зависимости от применимости к ним принципа суперпозиции) и на стационарные и нестационарные (по степени изменения параметров во времени). Кроме них имеются и другие признаки, характерные только для дискретных систем. Перечислим их и дадим дополнительную классификацию дискретных САУ.

При изучении теории дискретных систем следует четко различать такие понятия, как процесс и сигнал. Процесс отображает ту информацию, которая преобразуется системой, а сигнал является физическим носителем этой информации. В непрерывных системах оба эти понятия отождествляются, так как значения сигнала в любой момент времени пропорциональны значениям процесса. В теории дискретных систем указанные понятия надо различать. Благодаря наличию импульсных сигналов информация в системе передается отдельными частями, квантами. Процессы, описывающие преобразование этой информации, называются дискретными, а преобразование непрерывных процессов в дискретные называется квантованием. Существует три вида квантования: по времени, по уровню и по времени и уровню одновременно. При квантовании по времени исходная непрерывная функция x(t) преобразуется в последовательность дискретных значений x(t_i), где t_i-это дискретные моменты времени на временной оси. Расстояние между значениями t_i может быть произвольным, однако на практике чаще всего имеет место случай периодического квантования с постоянным периодом повторения Т_n, показанный на рис.1.2, а. При этом t_i =iT_n, где число i может принимать все целые значения от -∞ до +∞. При квантовании по уровню вся область возможных х разбивается на отдельные дискретные уровни и дискретный процесс может принимать только те значения, которые совпадают с выбранными уровнями. На рис.1.2, б показано квантование по уровню процесса x(t) в случае постоянного шага квантования Δ. Комбинированный случай квантования по времени и уровню при постоянном периоде T_n и шаге Δ показан на рис.1.2, в. Информация о значениях дискретного процесса передается с помощью импульсных сигналов путем модуляции их параметров: амплитуды, длительности, фазы, частоты. Отсюда различают системы с амплитудной, широтной, фазовой и частотной модуляциями. Особую группу составляют системы с кодовой модуляцией, когда значения процесса передаются путем выбора числа импульсов и их местоположения в группе. Сразу заметим, что такой вид модуляции применяется в цифровых вычислительных машинах. В некоторых дискретных системах вид модуляции и форма используемых импульсов могут влиять на качество обработки информации, что усложняет методику исследования. Одним из достоинств кодовой модуляции является то, что форма импульсов и тип кода практически не влияют на работу системы.

Рис. 1.2. Квантование сигналов по времени (а); уровню (б); по времени и по уровню (в)

Если каждый квант информации дискретного процесса, квантованного только по времени, передается с помощью импульса при определенном виде модуляции его параметров, то дискретные системы называются импульсными. В итоге различают импульсные системы с амплитудной (АИМ), широтной (ШИМ), фазовой (ФИМ), частотной (ЧИМ) видами модуляции. Кроме того, бывают системы с комбинированными видами модуляции. Если в системах с АИМ амплитуда импульсов пропорциональна значениям квантованного процесса, то такие импульсные системы могут быть линейными. При всех других видах модуляции они относятся к классу нелинейных систем.

Если в дискретных САУ преобразуются процессы, квантованные по уровню, то они называются релейными. Системы с квантованием процессов по времени и уровню называются цифровыми. Как релейные, так и цифровые системы являются нелинейными. Если все сигналы в системе являются дискретными, то она называется чисто дискретной, если же часть сигналов остается непрерывными, то дискретно-непрерывной. Так как в чисто дискретной системе все сигналы и, следовательно, процессы имеют одинаковую дискретную структуру, то теория таких систем сравнительно проще. Дискретно-непрерывные системы являются промежуточным случаем между непрерывными и чисто дискретными, поэтому методика их исследования сложнее, так как она должна включать в себя элементы теории как непрерывных, так и чисто дискретных систем. Исходя из этого, целесообразно теорию дискретных систем начинать с изучения систем чисто дискретных, распространив затем полученные результаты на дискретно-непрерывные. Чтобы не усложнять терминологию, чисто дискретные системы в дальнейшем будем называть просто дискретными. Там, где это необходимо по ходу описания, будет применяться полный термин «чисто дискретная система». В развитие теории дискретных систем большой вклад внесли советские ученые Я. 3. Ципкин [16], Л. Т. Кузин [10] и целый ряд других.

В процессе изложения дальнейшего материала мы не будем касаться вопросов теории релейных систем, а также импульсных систем с ШИМ, ФИМ и ЧИМ. Основные сведения по этим системам можно найти в указанной выше литературе. Таким образом, мы сосредоточим наше внимание на цифровых системах и импульсных с амплитудно-импульсной модуляцией. С точки зрения видов квантования, показанных на рис. 1.2, будем рассматривать только процессы с квантованием по времени и по времени и уровню одновременно (рис. 1.2, а и б).

1.2. Особенности процессов в дискретных системах

В дискретных системах осуществляется преобразование информации, заданной в виде дискретных процессов, квантованных по времени или по времени и уровню одновременно. Введем специальные обозначения для этих процессов. Исходные непрерывные процессы, из которых получаются дискретные, называются огибающими и обозначаются обычными символами, например x(t).

Соответствующие им дискретные процессы с квантованием по времени (рис. 1.2, а) и постоянным периодом T_n, обозначают через x(iT_n), имея в виду, что i может быть любым целым числом. Чтобы получить дискретный процесс, квантованный по времени, по заданной огибающей достаточно в функции x(t) положить значение t = iT_n, то есть

Дискретный процесс, квантованный по времени с постоянным периодом T_n и по уровню с постоянным шагом Δ, будем обозначать символом х(iT_n) (рис. 1.2, б). Получить его по заданной функции огибающей можно по формуле

где F обозначает операцию нахождения ближайшего к значению х(iТ_n) числа с шагом квантования по уровню Δ. Операция F является нелинейной, поэтому цифровые системы с квантованием процессов по времени и уровню относятся к классу нелинейных. Их особенности мы будем рассматривать отдельно в дальнейшем, а сейчас остановимся на линейных дискретных системах с процессами х(iТ_n), квантованными по времени.

Работа дискретной системы сводится к преобразованию входных процессов x(iT_n) в выходные у(iТ_n) с некоторыми заданными условиями. Схематически это отображено на рис. 1.3. По характеру желаемого преобразования дискретные системы подразделяются на те же классы, что и непрерывные, то есть на следящие, стабилизирующие, интегрирующие и др., однако возможности преобразования процессов в них имеют свои характерные особенности, которые мы и рассмотрим. Главной особенностью дискретных процессов x(iT_n) является их неоднозначность. Заключается она в том, что одним и тем же дискретным процессам может соответствовать множество различных огибающих. Для примера на рис. 1.4 показаны две функции x₁(t) и x₂(t), которым соответствует один и тот же процесс х(iТ_n). Неоднозначность дискретных функций, в частности выходного процесса у(iТ_n) системы (рис. 1.3), может привести к неправильным выводам по результатам работы системы, поэтому предварительно должны быть изучены те условия, при которых возникающая неоднозначность была бы сведена к минимуму. Возникновение неоднозначности является следствием потери информации на интервалах между моментами квантования. Рассмотрим подробнее, как это происходит. Пусть квантованию с периодом T_n и частотой

подвергается гармонический процесс х(t) = a cos ωt.

Найдем зависимость между частотой исходного процесса и частотой огибающей ω₀ квантованного процесса х(iT_n). Первоначально положим, что частота ω 2

При ω > на каждый полупериод будет приходиться меньше одного значения x(iT_n), что приведет к неоднозначности в определении ω. Так, если взять ω = Ω, то частота огибающей выходного процесса, как это видно из рис. 1.5, в, будет равна ω₀ = 0, это и показано на рис. 1.6.

При ω = 3Ω/2 (рис. 1.5, г) мы получим дискретный процесс, совпадающий с x(iT_n) при ω = (рис. 1.5, б). Подобные рассуждения можно продолжить и показать, что оценка частоты ω исходного процесса по частоте огибающей ω₀ дискретного процесса будет неоднозначной. График этой зависимости изображен на рис. 1.6. Однозначность сохраняется лишь в диапазоне

Описанное свойство называется стробоскопическим эффектом и является важнейшей особенностью дискретных систем. Из него следует важный для практики создания дискретных систем вывод: чтобы дискретная система была работоспособной и ее выходные данные имели однозначную интерпретацию, частоту квантования следует выбирать из условия Ω > 2ω_гр, где ω_гр — максимальная частота спектра входного сообщения. Впервые это условие в более широкой постановке в виде теоремы было получено в 1933 году академиком В. А. Котельниковым. Теорема Котельникова устанавливает минимальное допустимое значение частоты квантования Ω или максимальный период дискретности T_n, обеспечивающие преобразование информации без больших потерь при квантовании по времени.

1.3. Линейные разностные уравнения

Перейдем к математическому описанию линейных дискретных систем с помощью так называемых разностных уравнений. По своей структуре эти уравнения во многом напоминают дифференциальные уравнения непрерывных систем. Чтобы эта аналогия была более полной, рассмотрим вначале понятия о конечных разностях, для чего изобразим на рис. 1.7 дискретную функцию х(iТ_n). Нулевой конечной разностью называется само значение дискретной функции и обозначается через

Это понятие аналогично нулевой производной непрерывной функции.

Первой конечной разностью называется выражение

где x[(i-1)T_n] — значение функции в предшествующем периоде следования (рис. 1.7). Δ₁ x(iT_n) определяет приращение функции на период и по смыслу близко к понятию первой производной непрерывных функций.

Рис. 1.7. Определение конечных разностей

Вторая разность равна разности первых разностей:

Третья разность равна разности вторых разностей:

и, в общем случае, разность k-го порядка

Этой разности можно сопоставить понятие k-й производной непрерывной функции. k-ю разность можно выразить через значения дискретной функции следующим образом:

где С r _k — число сочетаний из k по r.

Разностное уравнение дискретной системы устанавливает соответствие между входным и выходным дискретными процессами и их разностями. Линейным системам соответствует линейное соотношение между этими переменными, которое имеет вид:

Уравнение (1.5) называется линейным конечно-разностным уравнением и по своей структуре соответствует линейному дифференциальному уравнению (1.4). Коэффициенты и определяются параметрами системы, в том числе они зависят от периода повторения T_n. Если параметры системы не зависят от времени, то коэффициенты уравнения (1.5) будут постоянными и система называется стационарной. В дальнейшем, впредь до особых оговорок, займемся изучением только стационарных систем. Максимальный порядок п разности выходного процесса называется порядком уравнения или порядком дискретной системы.

Решение разностного уравнения можно записать в виде суммы

которая состоит из дискретного переходного процесса y_n(iT_n) и вынужденного процесса y_x(iT_n). Переходный процесс находится из решения однородного уравнения

при начальных условиях у(0), Δ₁ y(0), . , Δ_n-1 y(0) для момента включения системы t = 0. Вынужденный процесс y_x(iT_n) является частным решением уравнения (1.5) при нулевых начальных условиях и заданном воздействии х(iT_n).

Таким образом, как с точки зрения структуры уравнений, так и с точки зрения характера решения линейные дифференциальные и конечно-разностные уравнения имеют много общего, что и приводит ко многим аналогиям в методиках исследования непрерывных и дискретных систем. Линейное разностное уравнение можно представить и в другой форме записи, для чего в уравнении (1.5) надо раскрыть конечные разности по формуле (1.4) и сгруппировать все слагаемые с общими множителями вида у[(i-k)T_n] и х[(i-r)Т_n], где число k будет иметь значения 0, 1, 2, . n, а число r значения 0, 1, 2, . m. После группировки уравнение примет следующий вид:

где коэффициенты с и b определяются коэффициентами и уравнения (1.5). В уравнение (1.8) вошли входная и выходная переменные с учетом их запаздывания на конечное число периодов. Уравнения такого вида называются разностными в рекуррентной форме записи. Для объяснения такого названия выразим из уравнения (1.8) значение выходной переменной

Очевидно, что полученную формулу можно рассматривать как алгоритм вычисления выходной переменной по значениям входной переменной в m предшествующих моментах времени и (n-1) значениям выходной переменной, найденным на предыдущих этапах вычислений. Такая методика носит название рекуррентной, откуда и следует название уравнения.

Так как уравнения (1.5) и (1.8) по своему содержанию подобны, то решение рекуррентного уравнения полностью совпадает с решением (1.6) конечно-разностного уравнения. При этом переходный процесс находится из решения однородного уравнения

с начальными условиями y(0), у(-Т_n), у(-2T_n), . , у[-(n-1)T_n]. Вынужденный процесс является решением уравнения (1.8) при нулевых начальных условиях и заданной функции x(iT_n). Для исследования дискретных систем используются обе формы записи разностного уравнения в зависимости от конкретных решаемых задач.

Предположим, что дискретная система описывается конечно-разностным уравнением второго порядка

Составим уравнение в рекуррентной форме, для чего воспользуемся выражениями конечных разностей (1.1) и (1.2). Левая часть уравнения запишется в виде

получаем уравнение второго порядка в рекуррентной форме

Выразим в явном виде значение выходной переменной

Пусть огибающая входного процесса является линейной функцией

тогда дискретная функция равна

Найдем несколько значений выходного процесса при нулевых начальных условиях

Полагая i = 1, находим значение выходной переменной на первом шаге

Взяв i = 2, находим значение на втором шаге

По такой же схеме можно последовательно вычислять значения выходной переменной и в другие моменты времени.

1.4. Дискретное преобразование Лапласа

Одним из наиболее распространенных методов анализа линейных дискретных систем является операторный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа, которое по своим возможностям и методике применения близко к преобразованию Лапласа для непрерывных функций.

Дискретным преобразованием Лапласа (ДПЛ) от функции х(iT_n) называется сумма

где р — комплексная переменная. Легко увидеть аналогию между этим соотношением и непрерывным преобразованием Лапласа L[x(t)]. Верхний индекс в виде звездочки у изображения х*(р) поставлен, чтобы отличать его от изображения непрерывной функции х(р).

Рассмотрим основные свойства дискретного преобразования Лапласа, которые будут использоваться при дальнейшем изложении.

а) ДПЛ обладает свойством периодичности, заключающемся в том, что

х*(р) = x*(p + jkΩ), (1.11)

где Ω = 2π / T_n — частота квантования, k — любое целое число (нуль, положительное или отрицательное). Докажем это свойство, для чего согласно (1.10) запишем сумму

Так как ΩT_n = 2π, то сомножитель

e -jki Ω Tn = e -j 2ki π = e -j 2 π = 1

поскольку произведение целых чисел ki, в свою очередь, дает целое число. Таким образом, получаем

что и требовалось доказать.

Свойство периодичности говорит о том, что функция х*(р) располагается на комплексной плоскости р периодически относительно мнимой оси Im p с периодом jΩ (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Главная полоса комплексной плоскости

Для изучения функции х*(р) достаточно рассматривать лишь главную полосу в пределах

(рис. 1.8), поэтому обратное дискретное преобразование Лапласа

имеет область интегрирования только в пределах главной полосы.

б) Связь между изображением х*(р) дискретной функции и изображением х(р) непрерывной огибающей имеет вид

Докажем это соотношение, для чего предварительно рассмотрим некоторые свойства бесконечной периодической последовательности дельта-функций, следующих с периодом T_n

Как и всякую периодическую функцию ее можно разложить в ряд Фурье и представить в виде бесконечной суммы гармонических составляющих

где комплексная амплитуда k-й гармоники

Так как интегрирование ведется в пределах

то из всей последовательности дельта-функций в этот предел попадает лишь центральное слагаемое при i = 0, а поэтому

Подставляя это равенство в формулу (1.14), получаем ряд Фурье в виде

Теперь найдем, чему равен интеграл от произведения функций:

Здесь при замене местами суммирования и интегрирования нижний предел суммирования принят равным нулю, так как функция x(t) берется в пределах от нуля до бесконечности. Выражение (1.15) дает связь между изображением дискретной функции х*(р) и непрерывной огибающей x(t). Подставим в это выражение вместо Δ (t) ее разложение в виде ряда Фурье и получим

Внутренний интеграл является преобразованием Лапласа от x(t) с комплексной переменной р — jkΩ, что приводит к формуле (1.13).

Для практического использования ДПЛ удобно ввести новую ком-плексную переменную z = e pTn .

Получающееся при этом выражение

называется z — преобразованием. Рассмотрим соответствующее ему обратное преобразование, для чего в формуле (1.12) введем новые обозначения:

Так как комплексная переменная p меняется в пределах

то новая переменная z будет находиться в диапазоне

В этих пределах модуль |z| = 1, а аргумент

поэтому интегрирование в плоскости z будет идти вдоль окружности единичного радиуса. После всех подстановок получим формулу обратного z-преобразования

|x|=1

где символически обозначен путь интегрирования вдоль окружности еди-ничного радиуса. Продолжим изучение свойств ДПЛ уже в форме z-преобразования.

в) Изображение функции х[(i- k)T_n] с запаздывающим аргументом kT_n равно

Для доказательства запишем z-преобразование от рассматриваемой функции

где использована замена переменной i-k = r или i = r+k. С учетом того, что функция x(iT_n) рассматривается только при положительном времени iT_n, нижний предел суммирования можно заменить нулем и записать

что и доказывает соотношение (1.17).

г) Изображение разности k-ro порядка равно

Докажем это равенство. Используя формулу (1), запишем изображение первой разности

Из формулы (1.2) для второй разности получаем

Проделав такую же операцию над третьей разностью (1.3), можно по индукции убедиться в справедливости общего соотношения (1.18).

д) Следующее интересующее нас свойство говорит о том, что изображение x*(z) является рациональной функцией переменной z -1 , то есть может быть представлено в виде отношения полиномов

Убедимся в этом на нескольких конкретных примерах. В простейшем случае дискретная функция состоит из одной дискреты единичной амплитуды, расположенной в момент времени t = kT_n (рис. 1.9, а).

Рис. 1.9. Примеры дискретных функций

Такую функцию будем называть единичным дискретным импульсом со следующими свойствами:

Найдем изображение этой функции, пользуясь формулой (1.16):

Если единичный дискретный импульс расположен в начале координат (k = 0), то его изображение

Теперь положим, что непрерывная огибающая является единичной функцией

Тогда соответствующая ей функция х(iТ_n) называется единичной дискретной функцией (рис. 1.9, б) и равна

где учтено значение суммы бесконечной геометрической прогрессии

В заключение найдем изображение дискретной экспоненциальной функции

(рис. 1.9, в). Из формулы (1.16) следует, что

где также учтена сумма бесконечной геометрической прогрессии. Изображения для некоторых других дискретных функций приводятся в табл. П. 2. Полученные результаты и данные таблицы подтверждают правильность вывода о рациональном характере функции x*(z).

Запись изображения в виде (1.19) позволяет рекуррентным способом вычислять значения оригинала х(iT_n) по изображению х*(z). Для этого перепишем выражение (1.19) в другом виде

Приравнивая коэффициенты в левых и правых частях равенства при одинаковых степенях z -k (k = 0, 1, 2,…), получим соотношения для искомой функции x(iT_n) при i = 0, 1, 2 . . Проделаем это для нескольких первых членов:

По индукции можно получить следующую формулу для значения процесса в произвольный момент iT_n

Особенность этого выражения состоит в последовательном (рекуррентном) вычислении переменных, начиная с первого периода следования.

е) Установившееся значение дискретной функции определяется по формуле

Изображение дискретной функции можно представить в виде предела

а функции с запаздыванием на один период

где учитывается равенство x(iT_n) = 0 при i -1 x*(z)] =lim
z → 1(1- z -1 ) x*(z) =lim
k → ∞n) +

которое и доказывает свойство ( 1.20).

Z-преобразование является основным математическим аппаратом ис-следования линейных стационарных дискретных систем и поэтому широко используется в дальнейшем изложении.

1.5. Частотный спектр дискретного процесса

Заменяя в формуле (1.10) дискретного преобразования Лапласа переменную р на jω, получаем дискретное преобразование Фурье

которое определяет частотный спектр дискретного процесса. Чтобы получить спектр из формулы z-преобразования ( 1.16), надо ввести замену переменной

Изучим структуру спектра дискретного процесса, для чего воспользуемся формулой связи (1.13) между изображением х*(р) дискретной функции и ее огибающей. Произведя замену переменной р на jω, находим спектр дискретного процесса в виде

Таким образом, спектр дискретного процесса является периодической функцией частоты с периодом

составляющие которой пропорциональны спектру непрерывной огибающей с масштабом 1/T_n. Покажем на графиках характер амплитудно-частотного спектра дискретного процесса |x*(jω)| для следующих двух случаев.

Пусть амплитудный спектр огибающей |x*(jω)| имеет форму, изображенную на верхнем рис. 1.10, а, где ω_гр — граничная составляющая спектра, опре-деляющая его ширину. В первом случае положим, что

и тогда в соответствии с формулой (1.21) спектр дискретного процесса примет вид, изображенный на нижнем рис. 1.10, а, и характерный наличием отдельных составляющих, совпадающих по форме с |x*(jω)|. Такая форма спектра называется гребенчатой. Во втором случае положим, что

и тогда спектр примет вид, показанный на рис. 1.10, б, где составляющие спектра перекрываются. По теореме Котельникова, о которой говорилось выше, для восстановления огибающей по дискретным данным о ней требуется выполнение условия

что соответствует спектру на рис. 1.10, а.

Рис. 1.10. Частотный спектр дискретного процесса

Таким образом, частота квантования Ω полезного сигнала должна выбираться так, чтобы спектр дискретного процесса был гребенчатым. Такому же условию должен удовлетворять и спектр выходного процесса у*(jω), что накладывает определенные требования на выбор структуры и параметров дискретной системы. Эти требования рассматриваются ниже.

1.6. Динамические характеристики

К динамическим характеристикам дискретных систем, как и в теории непрерывных систем, относят передаточные функции, временные (импульсные, переходные) и частотные характеристики. В литературе принято называть эти характеристики, добавляя слово «дискретная» (например, «дискретная передаточная функция» — ДПФ, «дискретная переходная характеристика» — ДПХ и т. д.). Здесь мы ограничимся написанием символа * и аргумента iT_n, подчеркивающих принадлежность характеристик дискретным системам. Перейдем к их рассмотрению, для чего запишем конечно-разностное уравнение системы

Возьмем z-преобразование от обеих его частей с учетом правила нахождения изображения конечной разности. В итоге получим операторное уравнение

из которого находим передаточную функцию дискретной системы в виде отношения изображений

По своей структуре эта функция совпадает с передаточной функцией непрерывной системы, если вместо оператора р подставить оператор (1-z -1 ). Когда разностное уравнение задано в рекуррентной форме

ему будет соответствовать операторное уравнение

После преобразований получим вторую форму записи передаточной функции

Формулы (1.22) и (1.23) эквивалентны и могут быть получены друг из друга. С их помощью изображение выходного процесса по изображению входного процесса находится как произведение

Рис. 1.11. Соединение дискретных звеньев

Благодаря одинаковой структуре передаточной функции дискретной системы и передаточной функции непрерывной системы остаются справедливыми все правила структурных преобразований, применяемые для непрерывных систем. Так, для последовательного соединения дискретных звеньев (рис. 1.11,а)

Для параллельного соединения (рис. 1.11,б)

Для соединения с обратной связью (рис. 1.11, в)

Рис. 1.12. Импульсная характеристика дискретной системы

При нахождении временных характеристик в качестве типовых воздействий используются единичный дискретный импульс и единичная дискретная функция. Импульсной характеристикой линейной дискретной системы K_yx(iT_n) (рис. 1.12, а) называется реакция на единичный дискретный импульс δ(iT_n) при нулевых начальных условиях. С ее помощью можно определить реакцию системы на произвольное воздействие х(iT_n). Рассматривая рис. 1.12,б, нетрудно понять, что значение выходного процесса y(iT_n) можно подсчитать по формуле

Если учесть условие физической реализуемости импульсной характеристики

при i -i (z k z -k ).

Мы искусственно домножили слагаемые на единичный множитель в форме

Поменяем местами порядок суммирования, произведем перегруппировку сомножителей и заменим переменную i-k = r, i = k+r, после чего будем иметь

По условию физической реализуемости k_yx(rT_n) = 0 при r -k = x*(z),

поэтому изображение выходной переменной станет равным

Сравнивая это равенство с формулой (1.24), получаем выражение для передаточной функции через импульсную характеристику в виде

Таким образом, передаточная функция дискретной системы является z-преобразованием от импульсной характеристики.

Рис. 1.13. Переходная характеристика дискретной системы

Переходной характеристикой линейной дискретной системы h_yx(iT_n) называется реакция на единичную дискретную функцию 1(iT_n) при нулевых начальных условиях (рис. 1.13). Подставляя в формулу свертки (1.25) функцию

найдем связь между переходной и импульсной характеристиками в виде

Переходная характеристика находится в виде суммы значений импульсной характеристики. Так как изображение единичного воздействия согласно табл. П. 2 равно

то изображение переходной характеристики

Перейдем к рассмотрению частотных характеристик, для чего в передаточной функции K * _yx(z) заменим переменную

и обозначим полученную функцию через K * _yx(z). Форму частотной характеристики дискретной системы удобнее всего получить, если вначале рассмотреть непрерывную огибающую k_yx(t) импульсной характеристики k_yx(iT_n). На рисунке 1.12, а эта огибающая показана пунктиром. Возьмем преобразование Лапласа от этой непрерывной функции и назовем ее передаточной функцией системы по огибающей

Тогда в соответствии с формулой связи (1.13) между изображениями дискретной и непрерывной функций можно записать, что

Заменяя в этом равенстве p на jω, получаем формулу связи между частотными характеристиками дискретной системы и частотной характеристикой по огибающей

По своему содержанию это выражение аналогично спектру дискретного процесса (1.21). Рассмотрим амплитудно-частотную характеристику дискретной системы |K * _yx(jω)| в соответствии с амплитудно-частотной характеристикой по огибающей |K * _yx(jω)|. Пусть форма |K_yx(jω)| имеет вид, показанный на рис. 1.14, а, где ω₀ — полоса пропускания такая, что при ω > ω₀ |K_yx(jω)| → 0. Частотная характеристика дискретной системы при ω₀ — на рис. 1.14, б.

Рис. 1.14. Амплитудно-частотные характеристики инерционных дискретных звеньев

Дискретные системы, у которых ω₀ x(p)=b₀ + b₁ p + . + b_m p m c₀ + c₁ p + . + c_n p n=P(p) D(p),

где роль р играет разностный оператор (1-z -1 ), то выражения типовых дискретных звеньев остаются похожими на соответствующие выражения непрерывных. Классификация типовых дискретных звеньев и некоторые их характеристики даются в табл. П. 4. Аналогия между дискретными и непрерывными звеньями имеет не только внешний, но и существенный характер. Особенно наглядно это видно на примере частотных характеристик, которые для дискретных звеньев получаются заменой

в передаточной функции К*(z). Особенность этих выражений состоит в том, что параметр τ в них является безразмерной величиной, поскольку оператор

также не имеет размерности. Называть поэтому параметр τ постоянной времени можно лишь условно. Несмотря на указанное отличие, между типовыми дискретными и непрерывными звеньями существует глубокая аналогия, которая наглядно видна при сравнении частотных характеристик. Напомним, что для получения частотной характеристики дискретной системы надо в передаточной функции К*(z) заменить

или вместо разностного оператора (1 — z -1 ) взять

а это приводит к практически полному совпадению с частотными характеристиками типовых непрерывных звеньев с постоянной времени

Таким образом, в области ω, близких к нулю, частотные характеристики дискретных совпадают с характеристиками соответствующих непрерывных звеньев. Так, например, при ω = 0 частотная характеристика суммирующего (дискретного интегрирующего) звена равна

а апериодического и колебательного звеньев — единице. С ростом частоты ω от 0 до амплитудно-частотные характеристики этих звеньев уменьшаются. В дальнейшем они меняются периодически вдоль оси ω с периодом . На рисунке 1.14 показаны АЧХ: а-суммирующего, б-апериодического, в-колебательного звена при различных значениях параметра ξ. Идеальное разностное (дискретное дифференцирующее) звено при ω = 0 имеет

а разностные первого и второго порядка -1. То же самое имеет место и у соответствующих непрерывных звеньев. С ростом частоты ω от 0 до АЧХ разностных звеньев возрастает, что и показано на рис. 1.15 для идеального разностного звена (а), разностного звена первого порядка (б) и разностного звена второго порядка (в). Зная характер поведения частотных характеристик типовых дискретных звеньев, можно судить о желаемой структуре дискретной следящей системы и, следовательно, о ее желаемой передаточной функции.

Рис. 1.15. Амплитудно-частотные характеристики разностных дискретных звеньев

1.8. Частотные характеристики и структурная схема дискретной следящей системы

Дискретная следящая система (рис. 1.16) предназначена для воспроизведения задающего воздействия х(iТ_n), и в идеальном случае выходной процесс в ней должен равняться входному, то есть

Выполнению этого равенства препятствуют два фактора: наличие возмущающих воздействий и инерционность системы. Оба эти фактора существенно влияют на выбор формы частотной характеристики замкнутой системы.

Рис. 1.16. Линейная дискретная следящая система

Частотный спектр задающего воздействия х*(jω) расположен в области низких частот и имеет граничную частоту ω_гр ( рис. 1.17). В соответствии с теоремой Котельникова, частота квантования сигнала должна удовлетворять условию Ω > ω_гр.

Рис. 1.17. Амплитудно-частотная характеристика дискретной следящей системы

Для достаточно полного воспроизведения спектра задающего воздействия на фоне широкополосных помех частотная характеристика замкнутой следящей системы K * _yx(jω) должна быть близка к 1 в диапазоне 0 ≤ ω ≤ ω_гр и к нулю — в диапазоне ω_гр * _yx(jω)| на рис. 1.17. Стремлению K * _yx(jω) → 0 при ω → соответствуют и условия естественной инерционности элементов САУ. В итоге, если рассматривать всю область частот, АЧХ замкнутой дискретной следящей системы должна иметь вид, показанный на рис. 1.18, то есть соответствовать характеристике гребенчатого фильтра.

Рис. 1.18. Амплитудно-частотная характеристика гребенчатого фильтра

Чтобы получить заданную K * _yx(jω), надо сформировать вполне определенную частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 1.16) K * (jω). Очевидно, что требования к последней аналогичны тем требованиям, которые предъявляются к частотным характеристикам разомкнутых непрерывных следящих систем. Так, чтобы обеспечить равенство

на частотах ω = 0 и ω, кратных Ω (см. рис. 1.18), необходимо иметь K * (jω) → 0, что достигается включением в состав системы суммирующих (дискретных интегрирующих) звеньев или усилительных звеньев с очень большим коэффициентом усиления. Чтобы обеспечить условие K * _yx(jω) → 0 при ω → в состав разомкнутой системы надо включать инерционные (апериодические или колебательные) звенья. Согласование хода частотных характеристик в указанных областях может быть обеспечено разностными (дискретными дифференцирующими) звеньями.

Анализ частотных характеристик показывает, что структура дискретной следящей системы, определяемая звеньями, входящими в состав разомкнутой системы, аналогична структуре непрерывных следящих систем и соответственно аналогичны и передаточные функции сравниваемых систем. Передаточная функция дискретной разомкнутой следящей системы (рис. 1.16), например, может быть получена из разностного уравнения, записанного в конечно-разностной форме

В выражениях (1.28) и (1.29) коэффициенты и определяются параметрами дискретной системы. Порядок астатизма ν определяется количеством коэффициентов ₀ = ₁ = . = _{ν — 1} = 0 или, что одно и то же, количеством суммирующих звеньев.

Уравнение замкнутой следящей системы получается из выражения (1.28) путем замены r(iT_n) = x(iT_n) — y(iT_n) и после группировки слагаемых принимает вид

Передаточная функция замкнутой системы, получаемая из формулы (1.30) или по рис. 1.16, оказывается равной

где полином знаменателя

В следящих системах ошибка e(iT_n) совпадает с рассогласованием r(iT_n) и, следовательно, передаточная функция ошибки по задающему воздействию согласно рис. 1.16 равна

Передаточная функция ошибки по возмущающему воздействию, как и в непрерывных системах, равна

то есть с точностью до знака совпадает с передаточной функцией системы по этому воздействию и согласно рис. 1.16 равна

где K * _v(z) — передаточная функция по возмущающему воздействию разомкнутой системы.

Таким образом, соотношения (1.28) — (1.33) для дискретных следящих систем имеют ту же структуру, что и соответствующие им соотношения для непрерывных следящих систем.

Отметим, что если исходное уравнение разомкнутой следящей системы (1.28) записывается в рекуррентной форме (см. п. 1.3)

то уравнение замкнутой примет вид

При этом полиномы P*(z), Q*(z) и D*(z) меняют свою структуру и передаточные функции дискретной следящей системы записываются в следующем виде:

Использование передаточных функций следящих систем в виде соотношений (1.29), (1.31) и (1.32) или соотношений (1.35) — (1.37) определяется характером решаемой задачи.

1.9. Структурная схема цифровой следящей системы

Использование цифровых методов обработки информации в системах автоматического управления позволяет реализовывать сложные алгоритмы управления и обеспечивать их быструю сменяемость. Кроме того, цифровые устройства, как правило, более надежны в работе и имеют меньшие габариты и массу. Автоматические системы, полностью построенные на цифровых элементах, называются цифровыми САУ (ЦСАУ). Особенно широкое распространение ЦСАУ получили в радиотехнических системах для обработки информации о параметрах радиосигналов. Например, в радиолокационных системах эти параметры (амплитуда, частота, фаза и др.) несут информацию о координатах объектов, поэтому в них используют ЦСАУ для слежения за угловыми координатами, дальностью и скоростью перемещения целей. В радиотехнических следящих системах входная информация передается с помощью радиосигналов, а выходная, как правило, в виде электрических сигналов, что дает возможность выполнить систему только из электронных элементов и устройств. В том случае, когда выходная информация должна выдаваться в виде линейных или угловых перемещений, используют электрические и электромеханические цифровые элементы. Сигналы в ЦСАУ формируются в виде последовательности импульсов, образующих некоторый код, с помощью которого записываются мгновенные значения процессов, подлежащих обработке.

Кодовая модуляция сигналов приводит к тому, что информация в системе квантуется как по времени, так и по уровню. Квантование по времени происходит из-за импульсного «характера сигналов, в результате чего полезная информация выдается в виде дискретной функции x(iT_n). Квантование по уровню происходит за счет конечного числа импульсов в коде, называемого числом разрядов. При конечном числе разрядов можно отобразить лишь конечное число дискретных значений передаваемого процесса. Например, в случае двоичного кода при числе разрядов q максимальное число дискретных значений процесса

Так, если код имеет 8 разрядов, то N = 225; если q = 12, то N = 4095. При заданном числе разрядов передаваемый процесс x(iT_n) может отображаться не более чем N дискретными значениями.

Рис. 1.19. Два способа квантования по уровню

Если максимальное значение процесса равно x_mах, а минимальное x_min, то шаг квантования по уровню

В результате квантования по уровню получается процесс (iT_n), который будет лишь приближенно отражать характер изменения процесса x(iT_n). Ошибка приближения (округления) будет зависеть от шага квантования и способа квантования по уровню, два из которых показаны на рис. 1.19. В первом случае квантование по уровню происходит по правилу: принимается значение (iT_n), ближайшее к x(iT_n) (рис. 1.19, а). Во втором принимается значение (iT_n), ближайшее к x(iT_n) снизу для x(iT_n) > 0 и сверху для x(iT_n) T_n

должна удовлетворять теореме Котельникова (п.1.2), то быстродействие ЦВМ может существенно влиять на качество работы системы. Время обработки информации машиной Т₀ складывается из времени ввода и вывода данных, времени обращения к памяти и времени проведения операций в процессоре. При работе в реальном масштабе времени

где коэффициент 0 -p α Tn .

Так как в теории z-преобразования e -p Tn = z -1 , то передаточная функция ЦВМ как дискретного звена равна K * _цвм(p) = z -α где 0 ≤ α ≤ 1.

За время T₀ = α T_n информация обрабатывается в соответствии с заложенными в машину алгоритмами, которые задаются в виде разностных уравнений. Если эти уравнения линейные, например вида (1.5) или (1.8), то алгоритму будет соответствовать передаточная функция K * _α(z), которая в виде дискретного звена должна отображаться на структурной схеме.

Рис. 1. 24. Структурная схема цифровой следящей системы

Подводя итоги всему сказанному выше, можно представить структурную схему ЦСАУ в виде рис. 1.24, где суммирующими и нелинейными звеньями обозначен цифровой измеритель рассогласования, запаздывающим звеном z -α — цифровая вычислительная машина, а дискретным звеном K * _α(z) — линейный алгоритм обработки информации. Последовательное соединение запаздывающего и алгоритмического звеньев образует передаточную функцию линейной части ЦСАУ

В том случае, когда период квантования T_n определяется только быстродействием ЦВМ, можно полагать α = 1, а если время обработки T₀ i _k, (2.1)

— переходная составляющая, представляющая собой сумму экспоненциальных дискретных функций

с начальными значениями A_k. В выражении (2.1) z_k — корни характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = 0 (или уравнения Q*(z) = 0, если исследуется устойчивость разомкнутой системы), зависящие от параметров системы.

Дискретная система называется устойчивой, если с течением времени y_n(iT_n) стремится к нулю. Примеры поведения переходной составляющей показаны на рис. 2.1, где позициями а и б обозначены монотонные, а в и г — колебательные процессы устойчивых и неустойчивых систем. При i → ∞ y_n(iT_n) будет равна нулю, если все корни z_k характеристического уравнения D*(z) = 0 по модулю будут меньше единицы: |z_k| 1 — wили w =z — 1 z + 1, (2.2)

называемой билинейным или w-преобразованием. Если комплексное число w представить в алгебраической форме

то условие устойчивости дискретной системы |z_k| 2. (2.4)

Введение билинейного преобразования (2.2) позволяет использовать для анализа устойчивости дискретных систем алгебраические и частотные критерии устойчивости непрерывных систем. Методика решения задачи рассматривается на примере.

Передаточная функция разомкнутой следящей системы (рис. 1.15) задана в виде

то есть система состоит из запаздывающего и суммирующего звеньев. Определим условия устойчивости замкнутой дискретной системы, используя способы, описанные выше.

1. Непосредственное решение разностного уравнения.

Для замкнутой системы получаем

Разностное уравнение в z-изображениях

y*(z) — (1 — k)z -1 y*(z) = k z -1 x*(z). (2.6)

Однородное разностное уравнение в оригиналах, определяющее переходную составляющую:

Решение этого уравнения при

записывается в виде

и для различных значений коэффициента k приведено на рис. 2.4. Если k = 0 или k = 2, то переходная составляющая не затухает. При k = 0.5 процесс имеет затухающий апериодический, а при k = 1.5 — затухающий колебательный характер. Если k = 1, то переходный процесс в системе практически отсутствует (заканчивается к первому периоду). Таким образом, условие устойчивости

соблюдается в исследуемой системе при 0 -1 = 0. (2.8)

Корень этого уравнения z₁ = 1 — k по условиям устойчивости должен находиться внутри круга единичного радиуса, то есть |z₁| = |1 — k| 1 — w

в формулу (2.8), получим характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

По критерию Гурвица система первого порядка устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то есть k > 0 и 2 — k > 0. Отсюда для устойчивой системы 0 1 — w

получим выражение для исходной передаточной функции разомкнутой системы

Если по аналогии с непрерывными системами, где вводится замена p = jω, подставить в выражение (2.9) w = jν, то можно построить частотные характеристики разомкнутой дискретной системы и по ним судить об устойчивости замкнутой системы. Для использования логарифмического критерия на рис. 2.5 построены ЛЧХ, соответствующие выражению (2.9).

Рис. 2.5. Логарифмические характеристики дискретной системы при различных коэффициентах преобразования

При построении учтено, что k / 2ω — аналог передаточной функции соединения усилительного и интегрирующего звеньев, а (1 — w) — аналог передаточной функции дифференцирующего звена 1-го порядка неминимально-фазового типа. У этого звена

L(ν) = 20 lg|1 — w| = 20 lg и ψ(ν) = — arctg(ν);

На рис. 2.5 показаны ЛАХ системы для k 2. Согласно, логарифмическому критерию замкнутая система будет устойчивой только при k / 2 2и при ν = ∞ωT_n 2=π 2

Приведенный пример показывает, что все способы оценки устойчивости дают одинаковые результаты. Выбор способа зависит от сложности системы, исходного материала и необходимого вида получаемых данных. Для оценки устойчивости с помощью критерия Гурвица в табл. П.3 приведены расчетные соотношения, связывающие условия устойчивости дискретных систем с коэффициентами характеристического уравнения

D*(z) = 0 при n = 1, . , 4.

Степень устойчивости в дискретных системах, как и в теории непрерывных систем, оценивается по степени удаления корней характеристического уравнения D*(z) = 0 от линии круга единичного радиуса (рис. 2.2). Косвенной оценкой степени устойчивости и здесь служат запасы устойчивости по фазе Δφ(ν_c) и амплитуде ΔL (см., например, рис. 2.5). Отметим одну особенность, характерную только для дискретных систем. Пусть передаточная функция системы описывается соотношением

В отличие от непрерывных систем в дискретных можно (по крайней мере, в принципе) подобрать параметры системы так, чтобы все коэффициенты c_i характеристического уравнения D*(z) = 0 кроме с₀, равнялись нулю. В этом случае (2.10) примет вид

что соответствует нахождению всех корней характеристического уравнения D*(z) = 0 в центре единичного круга. Если выполняется условие (2.11), то говорят, что линейная дискретная система имеет бесконечную степень устойчивости. Ниже будет показано, что в таких системах переходный процесс заканчивается за конечное и минимально возможное число периодов Т_n. Здесь же отметим, что для примера 2.1 условие (2.7) выполняется при k = 1, когда коэффициент c₁ при z -1 полинома знаменателя передаточной функции (2.5) становится равным нулю.

2.2. Качество дискретных систем в переходном режиме

Как и в теории непрерывных систем, качество дискретных в переходном режиме оценивается прямыми и косвенными показателями, причем первые из них принято отождествлять с показателями переходной характеристики, а вторыми могут служить дискретные аналоги интегральных оценок — суммарные оценки.

Переходная характеристика замкнутой системы h_yx(iT_n) определяется как реакция этой системы на дискретную единичную функцию (рис. 2.6)

Рис. 2.6. Структурная схема дискретной системы

Она может быть вычислена непосредственно по разностному уравнению

при нулевых начальных условиях или с помощью любого из приемов определения обратного z-преобразования от изображения

Вычислим для условий примера 2.1 переходную характеристику, воспользовавшись двумя указанными способами.

1. Разностное уравнение в z-изображениях для переходной характеристики записывается из выражения (2.6)

H * _yx(z) — (1 — k) z -1 H * _yx(z) = k z -1 x*(z)

или в оригиналах при x(iT_n) = 1(iT_n)

Вычисленные с помощью формулы (2.14) переходные характеристики h_yx(iT_n) для различных коэффициентов преобразования системы k представлены на рис. 2.7. При решении уравнения (2.14) учтено, что 1(iT_n) = 0 при i * _yx(z) =k z -1 (1 — z -1 )[1 — (1 — k) z -1 ]. (2.15)

С другой стороны, по определению

и, следовательно, можно записать

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частях равенства, нетрудно получить значения h_yx(iT_n), совпадающие с результатом решения уравнения (2.15).

В подразделе 2.1 отмечалось, что при выполнении условий бесконечной степени устойчивости переходный процесс в системе заканчивается за конечное, вполне определенное число периодов T_n. Покажем, что это выполняется и для переходной характеристики, учитывая, что указанные условия имеют место, если все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = 0 кроме c₀, равны нулю, то есть передаточная функция соответствует выражению (2.11). В этом случае согласно (2.13)

где принято обозначение

Сравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях z, можно получить

Таким образом, при бесконечной степени устойчивости переходная характеристика принимает установившееся значение за конечное число периодов m (рис. 2.8), количественно равное порядку полинома числителя передаточной функции системы. Так, в рассмотренном примере, условие бесконечной степени устойчивости k = 1 [см. формулу (2.5)], при этом согласно выражению (2.15)

и переходная характеристика принимает установившееся значение за один период.

Рис. 2.8. Переходная характеристика при бесконечной степени устойчивости

Косвенными оценками, учитывающими как длительность, так и форму процесса в переходном режиме, могут служить суммарные оценки. Наиболее общей из них является квадратичная суммарная оценка — аналог интегральной квадратичной оценки в теории непрерывных систем:

где e(iT_n) — ошибка, а e_уст(iT_n) и e_пер(iT_n) — ее установившаяся и переходная составляющие (рис. 2.9).

Рассмотрим последовательность вычисления суммарной оценки:

1) находится z-изображение ошибки

где K * _ex(z) — передаточная функция ошибки, описываемая для следящих систем формулой (1.32);

Рис. 2.9. Ошибки дискретной системы

2) по выражению (1.20) для конечных значений (подраздел 1.4) определяется установившееся значение ошибки

3) составляется разность e*_пер(z) = e*(z) — e*_уст(z) и после подстановки в нее

4) с помощью таблиц интеграла Парсеваля определяется квадратичная суммарная оценка

Отметим, что при вычислении e*_пер(z) знак разности может получиться как положительным, так и отрицательным, что при дальнейших вычислениях не принимается во внимание, так как рассчитывается квадратичная оценка. Отметим также, что в формуле (2.16) вместо ошибки e(iT_n) могут быть использованы выходные y(iT_n) или какие-либо другие координаты системы, если их установившиеся значения легко вычисляются.

Определить квадратичную суммарную оценку качества переходного режима в системе для условий примера 2.1, полагая, что на вход замкнутой системы (рис. 1.16) подаются:

1) дискретная единичная функция x(iT_n) = x₀ 1(iT_n) или

2) дискретная линейная функция x(iT_n) = x₁ iT_n или

Здесь z-изображения записаны на основании табл. П.2. для огибающих x(t) = x₀1(t) и x(t) = x₁t. В рассматриваемом примере

и, следовательно, передаточная функция ошибки

z-изображение ошибки в случае дискретной единичной функции

Установившееся значение ошибки

Изображения переходной составляющей ошибки

Табулированный интеграл для l = 1 (табл. П.1) равен

и квадратичная суммарная оценка

Для случая дискретной линейной функции аналогично получим

В обоих случаях Q* принимает бесконечные значения при k = 0 и k = 2, соответствующим границе устойчивости системы (пример 2.1) и теряет смысл (становится отрицательной) при k 2, когда система неустойчива. При k = 1 (бесконечная степень устойчивости) квадратичная суммарная оценка в обоих случаях минимальна.

Так как коэффициент k безразмерен, х₀ имеет размерность отслеживаемого параметра, а х₁ — его скорости, то в обоих рассмотренных случаях размерность Q* равна квадрату размерности входного процесса. Отметим, что в непрерывных системах квадратичная интегральная оценка качества переходного процесса имеет размерность квадрата размерности входного процесса, умноженного на секунду.

2.3. Качество дискретных систем в установившемся режиме при регулярных воздействиях

После окончания переходных процессов в системе наступает установившийся режим, качество которого в основном зависит от точности отработки задающих воздействий и степени фильтрации помех. В теории дискретных систем удобным способом оценки качества является оценка точности, то есть анализ ошибок управления. Эти ошибки зависят от параметров системы, ее структуры, от характеристик воздействий и в плане математическом определяются вынужденной составляющей решения разностного уравнения

где y_x(iT_n) и y_ν(iT_n) — выходные координаты, определяемые соответственно задающим и возмущающим воздействиями, и принято, что на линейную систему поступает М помех.

Для следящих систем ошибка управления представляет собой разность

то есть в установившемся режиме она равна

где y_x(iT_n) = x(iT_n) — y_x(iT_n)- ошибка отработки задающего воздействия (динамическая ошибка) и e_ν(iT_n) = — y_ν(iT_n)- ошибка от возмущающего воздействия (флюктуационная ошибка, если ν_i(iT_n) — случайные процессы).

Оценка качества установившегося режима производится по значению ошибки (2.17) или некоторых функций от нее и имеет особое значение, так как у большинства систем (в том числе у всех следящих) этот режим является основным, определяющим выполнение системой поставленной задачи. Как и в теории непрерывных систем, исследование точности дискретных систем в установившемся режиме производят для регулярных и случайных процессов, описывающих как задающие, так и возмущающие воздействия. Регулярными функциями времени можно аппроксимировать некоторые виды задающих и возмущающих воздействий или их математические ожидания.

Методика расчета ошибок при регулярных воздействиях справедлива (при определенных предпосылках) для процессов любого происхождения, поэтому рассмотрим ее на примере оценки качества дискретной системы при регулярных задающих воздействиях x(iT_n), имея в виду и тот факт, что такими воздействиями часто аппроксимируют процессы, соответствующие наиболее тяжелому или наиболее вероятному режимам работы. Будем полагать, таким образом, что известными являются закон изменения x(iT_n), структура и параметры дискретной следящей системы (рис. 1.16), то есть ее передаточная функция K*(z).

По отношению к установившемуся режиму дискретные системы, как и непрерывные, делятся на статические и астатические ν-го порядка, где ν = 1, 2, . для астатических и ν = 0 для статических систем. Ошибки установившегося режима у этих систем определяются как реакция на типовые воздействия вида x(t) = x_νt ν или x(iT_n) = x_ν(iT_n) ν .

Установившееся значение ошибки

может быть найдено по z-изображению e*(z) как

или для рассматриваемой системы (рис. 1.16)

где K * _ex(z) — передаточная функция ошибки, описываемая формулами (1.32) или (1.37).

Порядок астатизма дискретной следящей системы определяется (см. подраздел 1.8) количеством суммирующих звеньев или, что одно и то же, количеством сомножителей вида (1 — z -1 ) в передаточной функции разомкнутой системы, которую на основании формулы (1.31) можно представить соотношением

Понятно, что при z = l функция K * _ν(z) примет значение, равное коэффициенту преобразования разомкнутой системы

и, следовательно, формулу (2.20) можно записать в виде

позволяющем определять e_уст для системы с различным порядком астатизма при воздействиях типа

При подаче на вход статической системы (ν=0) воздействия х(t) = х₀ 1(t), где х₀ — постоянная величина с размерностью процесса х(t) с z-преобразованием

установившаяся ошибка в системе принимает значение

Если такой же сигнал подать на систему с астатизмом первого порядка (ν = 1), то

При подаче на эту систему воздействия x(t) = x₁(t), где x₁ — постоянная с размерностью скорости сигнала х(t), имеющего z-изображение

Аналогично можно показать, что при подаче сигналов x(t) = x₁(t) и x(t) = x₀1(t) на систему с астатизмом второго порядка (ν = 2) установившаяся ошибка будет равна нулю. Если воздействие задано в виде

где х₂ — постоянная с размерностью ускорения функции х(t), то установившееся значение ошибки

Полученные результаты нетрудно обобщить на системы любого порядка астатизма и убедиться, что при подаче на систему с астатизмом ν-го порядка воздействия вида

установившаяся ошибка будет равна

Системы астатические ν-го порядка не будут иметь ошибок установившегося режима при подаче на них воздействий вида

если ν₁ * _ex(z) (1.32) представляется в виде ряда

который сходится, если z → 1 (i → ∞), то есть если рассматривается установившийся режим. Так как

то из выражения (2.19) можно определить изображение ошибки

Здесь учтено, что обратное z — преобразование от изображения вида (1 — z -1 ) k x*(z) соответствует k-й конечной разности D_kΔ_kx(iT_n) (см. п.1.4). Составляющие вида в выражении (2.20) называются ошибками по k-й конечной разности, а коэффициенты D_k — коэффициентами ошибок по соответствующей конечной разности. Ряд ошибки (2.20) сходится, если конечные разности убывают по абсолютной величине с ростом номера их порядка. Практическое применение ряда ошибки имеет смысл, если его составляющие убывают быстро (можно ограничиться лишь несколькими первыми членами), что имеет место при медленных значениях функции х(iT_n), то есть когда огибающая является медленно меняющимся воздействием .

Таким образом, предпосылками описываемого метода расчета ошибок являются наличие установившегося режима и узкополосность спектра воздействия, а суть его сводится к вычислению конечных разностей Δ_kх(iT_n) и коэффициентов ошибок D_k. Методика вычисления конечных разностей показана в п.1.4, а коэффициенты D_k, в принципе, могут быть найдены из соотношения (2.19) путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях двучлена 1 — z -1 . Для упрощения записи (2.19), а также для согласования форм записи передаточной функции ошибки (1.32) и (1.37) вводят подстановку

и тогда формулу (2.19) можно записать следующим образом:

Сравнивая в выражении (2.22) коэффициенты при одинаковых степенях χ, нетрудно определить

Структурная схема следящей системы показана на рис. 1.16. Полагая, что

оценим точность системы в установившемся режиме, если огибающая задающего воздействия х(iT_n) аппроксимируется функцией

Определим вначале конечные разности дискретного задающего воздействия

Согласно методике, изложенной в п. 1.4, получаем

Определим коэффициенты ошибок, для чего запишем

Введем подстановку (2.21) и получим

откуда после сравнения коэффициентов при χ 0 , χ 1 , χ 2 , χ 3 находим

Этот же результат можно получить и по формуле (2.23) для

Ряд ошибки (2.20) для рассматриваемого примера запишется в виде

Установившаяся ошибка нарастает со временем за счет ускорения сигнала (2.24), не компенсируемого системой с одним дискретным интегратором. Это нарастание тем интенсивнее, чем больше период T_n и ускорение x₂ и чем меньше коэффициент преобразования, который по условиям устойчивости (см. пример 2.1) меняется в пределах 0 kx₁.

Этот результат для систем с астатизмом первого порядка получен в начале подраздела.

2.4. Статистический анализ точности в установившемся режиме

В предыдущем подразделе предполагалось, что воздействия, поступающие на систему, являются регулярными функциями времени и, следовательно, ошибка управления e(iT_n), определяемая соотношением (2.17), тоже имеет регулярный характер. На практике подавляющее большинство возмущающих и задающих воздействий являются случайными, и поэтому ошибка e(iT_n) — случайная функция дискретного времени iT_n, которую можно представить суммой математического ожидания и центрированной случайной составляющей, то есть

Математическое ожидание представляет собой регулярную функцию Времени, методика его определения показана в п.2.3. Случайная составляющая ошибки, как и в непрерывных системах, оценивается по величине ее дисперсии

Рассмотрим методику решения задачи в предположении, что все воздействия представляют собой эргодические стационарные процессы, статистически не зависящие друг от друга. В этом случае дисперсия ошибки

определяется из (2.19) соотношением

где D_ex и D_eν — соответственно дисперсия динамической и флюктуационной ошибок. Так как методика вычисления составляющих дисперсии одинаковая, то рассмотрим ее на примере нахождения дисперсии ошибки отработки задающего воздействия.

Определение величины дисперсии дискретного процесса производится (как и в случае непрерывных систем) по его корреляционной функции, которая для стационарных процессов определяется как

или по спектральной плотности — z-преобразованию от корреляционной функции

Обратное z-преобразование от спектральной плотности определяет корреляционную функцию и поэтому

|z|=1

Для вычисления дисперсии ошибки надо знать, следовательно, статистические характеристики R_ex(kT_n) или S * _ex(z), которые зависят от статистических характеристик задающего воздействия R_x(kT_n) и S * _x(z), структуры и параметров системы. Отметим, что корреляционная функция R_x(kT_n) и спектральная плотность S * _x(z) дискретного процесса x(iT_n) несут ту же информацию о случайном процессе, что и в теории непрерывных систем. Корреляционная функция R_x(kT_n) представляет собой дискретную функцию своей огибающей R_x(τ) ( рис. 2.10, а), то есть может быть получена из последней подстановкой

где k — целые числа.

Рис. 2.10. Корреляционная функция дискретного случайного процесса (а) и дискретного белого шума (б)

При исследовании систем важную роль играют случайные величины с некоррелированными значениями — белый шум. Дискретный белый шум определяется корреляционной функцией (рис. 2.10,б)

где D_x — дисперсия процесса, совпадающая по значению с интенсивностью N_x непрерывного белого шума, являющегося образующей дискретного. Спектральная плотность дискретного белого шума не зависит от частоты и равна постоянной величине N_x.

Спектральную плотность ошибки по задающему воздействию S * _ex(z) можно представить произведением

По аналогии с теорией непрерывных систем

где F * _x(z) — передаточная функция формирующего фильтра. Тогда формула (2.25) для вычисления дисперсии ошибки с учетом соотношений (2.26) и (2.27) принимает вид

|z|=1

При вычислении дисперсии (2.28) удобно пользоваться дискретным аналогом теоремы Парсеваля , согласно которому

Таким образом, дисперсия ошибки отработки задающего воздействия в дискретной системе равна удвоенному значению табулированного интеграла:

где, как и раньше, w — преобразование определяется формулами (2.2).

Дисперсия ошибки, обусловленной возмущающим воздействием ν(iT_n) вычисляется аналогично:

где F * _ν(ω) определяется разложением спектральной плотности помехи S * _ν(z) на сопряженные сомножители F * _ν(z) F * _ν(z -1 ) с последующей подстановкой

a K * _eν(ω) — билинейное преобразование передаточной функции ошибки системы по возмущающему воздействию, совпадающее с точностью до знака с функцией K * _yν(ω).

Отметим, что в формулах (2.30) и (2.31) в знаменателе аргумента можно использовать 1 — ω вместо 1 + ω, если это упрощает выкладки. Равноценность замены следует из формулы (2.29).

Структурная схема следящей системы изображена на рис. 1.16. Полагая, что помеха приложена ко входу системы, то есть K * _ν(z) = K * (z) вычислим дисперсию флюктуационной ошибки, если

а помеха — дискретный белый шум с корреляционной функцией R_ν(kT_n) = N_νδ(kT_n) и спектральной плотностью S * _ν(z) = N_ν. Воспользуемся формулой (2.33). Представим S * _ν(z) = откуда F * _ν(w) = . Найдем K * _eν(z) из рис. 1.15. Так как помеха приложена ко входу, то

ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Лариса Антипина 5 лет назад Просмотров:

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ А.И. Солонина, Д.А. Улахович ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ, САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 5

2 УДК Солонина А.И., Улахович Д.А. Линейные дискретные системы: учеб. пособие спец., / СПбГУТ. СПб, 5. Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия. Содержит основы теории линейных дискретных систем, типовые примеры выполнения контрольной работы, варианты заданий и рекомендуемую литературу. Рецензенты: проф. А.Е. Рыжков СПбГУТ проф. В.И. Воробьев ВАС А.И. Солонина, Д.А. Улахович, 5 Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 5

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение. 4. Линейные дискретные системы: основы теории Аналоговые и дискретные сигналы. Нормирование времени Типовые дискретные сигналы Основная полоса частот. Нормирование частоты. Линейные дискретные системы Описание линейных дискретных систем во временной области Формула свертки Разностное уравнение Рекурсивные и нерекурсивные линейные дискретные системы КИХ- и БИХ-системы Устойчивость линейных дискретных систем Оценка устойчивости по импульсной характеристике Описание линейных дискретных систем в -области Z-преобразование Передаточная функция. Соотношение вход/выход Взаимосвязь между передаточной функцией и разностным уравнением Передаточная функция и импульсная характеристика звена -го порядка Оценка устойчивости по передаточной функции Нули и полюсы передаточной функции звеньев -го порядка37.5. Описание линейных дискретных систем в частотной области Частотная характеристика. Соотношение вход/выход Основные свойства частотных характеристик Расчет АЧХ и ФЧХ Расчет АЧХ и ФЧХ звена -го порядка Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена -го порядка Анализ АЧХ по карте нулей и полюсов Основы построения структурных схем Задание на контрольную работу Примеры выполнения контрольной работы Пример 3. Пример Пример Литература Предметный указатель

4 ВВЕДЕНИЕ Цифровая обработка сигналов ЦОС это область науки и техники, в которой изучаются общие для разных дисциплин алгоритмы и средства обработки сигналов средствами цифровой вычислительной техники. Программа дисциплины «Цифровая обработка сигналов» на заочном отделении включает следующие основные темы. Тема. Введение в ЦОС Основные типы сигналов. Типовые дискретные сигналы. Нормирование частоты. Обобщенная система ЦОС. Z-преобразование. Тема. Линейные дискретные системы ЛДС Математическое описание ЛДС во временной области: импульсная характеристика; соотношение вход/выход; формула свертки; разностное уравнение; рекурсивные и нерекурсивные ЛДС; КИХ- и БИХ-системы; определение и критерий устойчивости. Математическое описание ЛДС в -области: передаточная функция; соотношение вход/выход; взаимосвязь передаточной функции с разностным уравнением и импульсной характеристикой; карта нулей и полюсов; оценка устойчивости по передаточной функции. Математическое описание ЛДС в частотной области: частотная характеристика; соотношение вход/выход; свойства частотной характеристики, ее расчет и анализ. Тема 3. Дискретные сигналы Спектр дискретного сигнала и его свойства; связь между спектрами дискретного и аналогового сигналов; дискретное преобразование Фурье ДПФ; быстрое преобразование Фурье БПФ. Тема 4. Введение в цифровые фильтры ЦФ Определение и классификация; основные этапы синтеза ЦФ; задание требований к АЧХ и характеристике ослабления; КИХфильтры с линейной ФЧХ. Тема 5. Синтез ЦФ Синтез оптимальных по Чебышеву КИХ-фильтров; синтез БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования. Тема 6. Квантование в цифровых системах Источники шумов в цифровых системах; предположение об источниках; детерминированные и вероятностные оценки шумов кван- 4

5 тования; эффекты переполнения в сумматорах; понятие о предельных циклах. Тема 7. Реализация алгоритмов ЦОС Понятие о реальном времени алгоритмов ЦОС и их программной реализации на базе процессоров цифровой обработки сигналов ЦПОС; краткий обзор особенностей архитектуры ЦПОС ведущих на российском рынке фирм-производителей. Данное учебное пособие посвящено изучению темы и разработано на базе курса лекций [], который рекомендуется в качестве основного по дисциплине «Цифровая обработка сигналов». Учебное пособие включает 3 раздела:. Теоретические основы линейных дискретных систем.. Задание на контрольную работу. 3. Типовые примеры выполнения контрольной работы. Приводится список литературы и предметный указатель.. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ: ОСНОВЫ ТЕОРИИ В этом разделе дается краткая теоретическая справка по анализу линейных дискретных систем и приводится необходимый сопутствующий материал. АНАЛОГОВЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ. НОРМИРОВАНИЕ ВРЕМЕНИ Сигналом называют физический процесс, несущий в себе информацию. Математически сигналы описываются функциями времени, тип которых зависит от типа сигнала. К основным типам сигналов относят: аналоговый, дискретный, цифровой. Аналоговым называется сигнал, непрерывный во времени и по состоянию рис. а. Такой сигнал описывается непрерывной или кусочно-непрерывной функцией x t, причем и аргумент, и сама функция могут принимать любые значения из некоторых интервалов t t t, x x x соответственно. Дискретным называется сигнал, дискретный во времени и непрерывный по состоянию рис. б. Он описывается решетчатой функцией последовательностью xt, где. Последо- 5

6 вательность xt определена только в моменты времени T и может принимать любые значения из некоторого интервала x x x. Комплексный дискретный сигнал описывается двумя вещественными последовательностями x T x T + jx T. Цифровым называют сигнал, дискретный по времени и квантованный по состоянию. Такой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией квантованной последовательностью x ц T, отсчеты которой в каждый момент времени T принимают квантованные значения из некоторого интервала x x x. Интервал T называют периодом дискретизации, а обратную величину fд T. частотой дискретизации. xt а t xt б T T 6 Рис. Примеры аналогового и дискретного сигналов При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормированным временем

7 откуда при t T t t T t.. T T Таким образом, номер отсчета дискретного сигнала является нормированным временем: иначе говоря, номер означает, что отсчет взят в момент T. Переход к нормированному времени позволяет рассматривать дискретный сигнал как функцию целочисленной переменной. В дальнейшем обозначения дискретного сигнала x и x T будем считать тождественными x T x. Типовые дискретные сигналы При исследовании линейных дискретных систем ряд дискретных сигналов используют в качестве испытательных воздействий; такие сигналы называют типовыми. К ним относятся: Цифровой единичный импульс, описываемый последовательностью, ; u.3,, из чего следует, что этот сигнал равен единице при и нулю при всех остальных значениях рис. а. u u t T, 3 3 а б Рис. Цифровой единичный импульс Задержанный цифровой единичный импульс, описываемый последовательностью 7

8 , ; u.4, из чего следует, что этот сигнал, в отличие от незадержанного, равен единице только при и нулю при всех остальных значениях рис. б. Произвольный дискретный сигнал можно описать в виде суммы m x x m u m,.5 что оказывается удобным при выводе ряда соотношений см п..3.. Подставляя в.5 любое значение, получаем тождество, например, для x при имеем x x u + x u + x u + x3 u +. откуда, с учетом определения цифрового единичного импульса u.3, имеем x x. Дискретная экспонента, описываемая последовательностью x a, ;.6, дискретная экспонента будет убывающей, знакопостоянной рис..3, а; 8

9 при a возрастающей; при a и a > цифровым единичным скачком; при a и a 10 или, при разложении по формуле Эйлера, двумя вещественными последовательностями косинусоидой вещественная часть и синусоидой мнимая часть x Acos ωt + jasi ωt. Основная полоса частот. Нормирование частоты Согласно теореме Котельникова максимальная частота аналогового сигнала f не должна превышать половины частоты дискретизации д в f этого сигнала, следовательно, в частотной области все дискретные сигналы целесообразно рассматривать только в области f д ;, которая называется основной полосой частот или основным диапазоном частот. Это позволяет ввести понятие нормированной частоты f f f T, f или д ω ω f д ωt,.8 в результате чего основная полоса частот станет равной f [;,5] или ω [; π]. Обычно отдается предпочтение абсолютной частоте f и нормированной частоте ω см. также п..4.. Введение нормированной частоты указывает на то, что в ЦОС важны не абсолютные значения частот сигнала и дискретизации, а их отношение. Покажем это на простейшем примере двух дискретных косинусоид: f x cosπft cosπ, f где f Гц, f д 6 Гц; f x cosπf T cosπ, f где f 5кГц, f д 4 кгц. д д

11 Подставив указанные значения частот, получим одинаковые дискретные сигналы в шкале нормированной частоты ω : x cos π cos 6 4 ; 5 x cos π cos ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Системой обработки сигналов системой называют объект, выполняющий требуемое преобразование обработку входного сигнала в выходной. Системой может быть как физическое устройство, так и математическое преобразование. По умолчанию будем подразумевать системы с одним входом и одним выходом. Входной сигнал называют воздействием, выходной реакцией. Систему называют линейной, если она обладает свойствами: — аддитивности: реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий принцип суперпозиции; — однородности: умножению воздействия на весовой коэффициент соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент. Соотношение вход/выход линейной системы описывается линейным уравнением. Систему называют стационарной, если она обладает свойством инвариантности во времени, в соответствии с которым задержка воздействия на некоторое время приводит к задержке реакции на то же время. Параметры стационарной системы неизменны во времени. По умолчанию будем подразумевать стационарные системы. Линейная система называется дискретной, если воздействие и реакция представляют собой дискретные сигналы x T и y T рис..5. x T yt ЛДС Воздействие Реакция Рис..5. Линейная дискретная система Начальные условия дискретной системы могут быть нулевыми или ненулевыми. Признаком нулевых начальных условий является отсутствие реакции y T при отсутствии воздействия x T.

12 Обозначив начальный момент времени, нулевые начальные условия можно записать в следующем общем виде: x[ i T ] i , но не зависят от его по- значений воздействия x [ m T ] следующих значений x [ m T ] +, m. Условия физической реализуемости отображают причинноследственную связь принцип причинности. Линейные дискретные системы ЛДС помимо временной области описываются в -области и в частотной области. В каждой из этих областей для ЛДС определяется: — основная характеристика; — соотношение вход/выход..3. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Во временной области основной характеристикой ЛДС является импульсная характеристика. Импульсной характеристикой ИХ h T ЛДС называется ее реакция на цифровой единичный импульс u T при нулевых начальных условиях рис..6. x T u T y T h T ЛДС Рис..6. К определению импульсной характеристики

13 Соотношение вход/выход ЛДС отображает взаимосвязь между ее входным x T и выходным y T сигналами, т. е. реакцию ЛДС на произвольное воздействие. Во временной области соотношение вход/выход может описываться одним из двух разновидностей линейных уравнений: — формулой свертки название уравнения, если для определения реакции используется импульсная характеристика; — разностным уравнением, если для определения реакции используются параметры ЛДС см. п Формула свертки Получим уравнение взаимосвязи между входным x T и выходным y T сигналами для ЛДС, заданной своей импульсной характеристикой h T. Воспользуемся определением ИХ и свойствами ЛДС. Будем последовательно записывать соответствия, указываемые стрелкой, между воздействием и реакцией: — по определению: воздействию в виде цифрового единичного импульса соответствует реакция, называемая импульсной характеристикой u T h T ; — на основании свойства инвариантности во времени для стационарных линейных систем: воздействию, задержанному на время mt, где m cost, соответствует реакция, задержанная на то же время u T mt h T mt ; — на основании свойства однородности линейных систем: умножению воздействия на весовой коэффициент константу x mt соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент u T mt x mt h T mt x mt ; — на основании свойства аддитивности линейных систем: реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий m u T mt x mt h T mt x mt ; m — слева имеем воздействие в виде суммы.5 3

14 а справа реакцию xt u T mt x mt, m 4 m y T h T mt x mt,. где h T mt импульсная характеристика, задержанная на m периодов дискретизации. Линейное уравнение. называют формулой свертки, согласно которой реакция y T вычисляется как дискретная свертка воздействия xt и импульсной характеристики h T. Выполнив замену переменных в., можно получить другой вариант записи формулы свертки m y T h mt x T mt.. Для нормированного времени формула свертки в двух вариантах записи. и. принимает вид соответственно m y h m x m ;. m y h m x m..3 Выбор варианта формулы свертки определяется удобством применения в конкретном случае. Линейная дискретная система, соотношение вход/выход которой описывается в виде формулы свертки, отвечает условиям физической реализуемости: при нулевых начальных условиях.9 x m m 15 Пример.. Вычислить реакцию ЛДС по формуле свертки. Импульсная характеристика и воздействие заданы графически рис Требуется определить восемь отсчетов реакции. h x Рис..7. Импульсная характеристика Рис..8. Воздействие Решение приведено в табл. а график вычисленной реакции на рис..9. Таблица. Вычисление реакции по формуле свертки Реакция y y hx + hx + hx + hx y hx + hx + hx + hx + hx + 5 y hx + hx + hx + h3x + hx + hx + hx y3 hx3 + hx + hx + h3x + h4x + hx3 + +hx + hx + h3x y4 hx4 + hx3 + hx + h3x + h4x + h5x + hx4 + hx3 + hx + h3x + h4x y5 hx5 + hx4 + hx3 + h3x + h4x + h5x + + h6x + hx5 + hx4 + hx3 + h3x + h4x + h5x y6 7 y7 y Рис..9. Реакция 5

16 .3.. Разностное уравнение Взаимосвязь между воздействием x T и реакцией y T соотношение вход/выход может описываться разностным уравнением РУ N M [ i T ] ak y[ k T ] y b x,.4 i i где b i, a k коэффициенты уравнения вещественные константы; x T, y T воздействие и реакция вещественные или комплексные сигналы; i, k значения задержек воздействия и реакции соответственно; N, M константы; x [ i T ], y[ k T ] воздействие и реакция, задержанные на i и k периодов дискретизации соответственно. Коэффициенты b i и a k называются внутренними параметрами параметрами ЛДС. Для нормированного времени разностное уравнение.4 принимает вид N k M y b x i a y k..5 i i k k Линейная дискретная система, соотношение вход/выход которой описывается в виде разностного уравнения.5, отвечает условиям физической реализуемости: при нулевых начальных условиях.9 реакция не может возникнуть раньше воздействия; значения реакции в каждый момент времени зависят только от текущего и предшествующих значений воздействия, но не зависят от его последующих значений см. п..3. Разностное уравнение.5 решается методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях.9, следовательно, оно непосредственно описывает алгоритм вычисления реакции по известному воздействию и параметрам ЛДС. Пример.. Решить разностное уравнение y x,5y методом прямой подстановки при заданном воздействии и нулевых начальных условиях 6

17 x,. Требуется определить 5 отсчетов реакции. Решение приведено в табл. Таблица. Вычисление реакции методом прямой подстановки Воздействие Реакция x y x,5y,5 x, y x,5y,,5,,5,4 x, y x,5y,,5,4, +,, 3 x3, y3 x3,5y,,5. 5,4 4 x4, y4 x4,5y3,,5,4,+,5,5 M M M.3.3. Рекурсивные и нерекурсивные линейные дискретные системы Линейная дискретная система называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов a k разностного уравнения.5 не равен нулю: a k хотя бы для одного из значений k. Порядком рекурсивной ЛДС называют порядок РУ.5, т. е. max< M, N >. Согласно.5 реакция y рекурсивной ЛДС в каждый момент времени определяется: — текущим отсчетом воздействия x; — предысторией воздействия x i, i. N ; — предысторией реакции y k, k. M. Примеры разностных уравнений рекурсивной ЛДС: — первого порядка y b x + bx a y ;.6 — второго порядка y b x + b x + b x a y a y..7 Линейная дискретная система называется нерекурсивной, если все коэффициенты a k разностного уравнения.5 равны нулю: a, k. M. k 7

18 Для нерекурсивной ЛДС разностные уравнения.4.5 принимают вид соответственно 8 N bi i N bi i [ i T ] y x ;.8 y x i..9 Порядок нерекурсивной ЛДС равен N. Согласно РУ.9 реакция y нерекурсивной ЛДС в каждый момент времени определяется: — текущим отсчетом воздействия x ; — предысторией воздействия x i, i. N. Пример РУ нерекурсивной ЛДС второго порядка: y b x + b x + b x КИХ- и БИХ-системы Рассмотрим особенности импульсных характеристик рекурсивных и нерекурсивных ЛДС. С этой целью приведем примеры вычисления ИХ по заданному разностному уравнению, решая его методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях. Пример.3. Вычислить импульсную характеристику нерекурсивной ЛДС второго порядка, соотношение вход/выход которой описывается разностным уравнением.: y b x + b x + b x. Решение. Согласно определению ИХ это реакция на цифровой единичный импульс рис..6, поэтому, выполнив замену x u ;. y h, перепишем РУ в виде h bu + bu + bu и вычислим отсчеты ИХ методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях см. п..3.: h b u + b u + b u b + b + b b ; bu + bu + bu b + b + b bu + bu + bu b + b + b h b ; h b ;

19 h 3 b u 3 + bu + bu b + b + b ; h при > 3. Распространяя полученные результаты на ИХ нерекурсивной ЛДС произвольного порядка, можно сделать следующие выводы: — импульсная характеристика нерекурсивной ЛДС имеет конечную длительность; — значения отсчетов ИХ равны коэффициентам разностного уравнения h b i, при i. N. Поэтому нерекурсивные ЛДС называют системами с конечной импульсной характеристикой КИХ-системами. Пример.4. Вычислить импульсную характеристику рекурсивной ЛДС первого порядка, соотношение вход/выход которой описывается разностным уравнением y b x a y. Решение. Выполнив замену., перепишем РУ в виде h bu ah и вычислим отсчеты ИХ методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях: h b u a h b ; u ah h b a b ; u ah a ab u 3 ah a a b 3 a h b a b ; h 3 b b. M Вычисления можно продолжать бесконечно по формуле h a b, 4, 5. Распространяя полученные результаты на ИХ рекурсивной ЛДС произвольного порядка, можно сделать вывод: импульсная характеристика рекурсивной ЛДС имеет бесконечную длительность. Поэтому рекурсивные ЛДС называют системами с бесконечной импульсной характеристикой БИХ-системами Устойчивость линейных дискретных систем ЛДС называется устойчивой, если при ограниченном воздействии 9

20 max x R, где R x любое, сколь угодно большое положительное число, не равное бесконечности, и произвольных, но ограниченных начальных условиях реакция также ограничена max y R, где y R любое сколь угодно большое положительное число, не равное бесконечности Оценка устойчивости по импульсной характеристике Существуют два критерия устойчивости ЛДС. Один из них позволяет оценить устойчивость ЛДС по ее импульсной характеристике во временной области, другой по -изображению этой характеристики в -области см. п..4. Выбор критерия зависит от удобства его практического использования. Критерий, позволяющей оценить устойчивость ЛДС по ее импульсной характеристике, формулируется следующим образом: для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно выполнения условия абсолютной сходимости ряда x y h 21 представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии q, q a. Как известно, сумма такого ряда в области сходимости, т. е. при a 22 — обеспечить автоматический переход к частотным характеристикам и многое другое. Прежде чем перейти к описанию ЛДС в -области, рассмотрим математический аппарат Z-преобразования..4.. Z-преобразование В данном разделе приводятся необходимые для дальнейшего рассмотрения сведения о математическом аппарате Z-преобразования. Более подробная информация содержится в []. Z-преобразованием прямым последовательности x T называют следующий ряд < x >X Z x T,. где x T оригинал вещественная или комплексная последовательность, для которой выполняется условие.9; X -изображение последовательности x T, результат Z- преобразования. Z-преобразование однозначно связано с последовательностью x T и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда x T 23 T [ cos ωt + j si ωt ] σ, имеем вещественную ξ и мнимую j η части комплексной переменной рис. σ ξ T cos ωt ;.7 σ η T si ωt..8 Комплексная переменная может быть представлена в двух формах: — алгебраической ξ + jη ;.9 — показательной jϕ r,.3 где радиус r является модулем, а угол ϕ аргументом переменной.9: r ξ + η ;.3 η ξ ϕ arg arctg /..3 Рис. Комплексные p- и -плоскости Соответственно, положение произвольной точки на комплексной -плоскости может указываться: — координатами ξ;η в декартовой системе координат; — полярными координатами радиусом r и углом ϕ в полярной системе координат. Сопоставляя соотношения.6 и.3, выразим значения радиуса r и угла ϕ через σ и ω соответственно: σt r ;.33 3

24 ϕ ωt ω..34 Равенство.34 указывает на то, что угол ϕ точки на комплексной -плоскости есть не что иное, как нормированная частота ω.8, измеряемая в радианах. j ω± πk В силу периодичности экспоненты угол ϕ.34 комплексной переменной определяется с точностью до слагаемого πk, где k любое целое число: ϕ ω ± πk ω ± πk, однако, как правило, по умолчанию речь идет о главном значении аргумента из диапазона π 25 . Точка p-плоскости с координатами σ ; ω соответствует началу координат -плоскости точке с координатами ξ ; η : pt j T. 3. Точка p-плоскости на оси частот jω с координатами σ ; ω π / T отображается в точку -плоскости с координатами ξ ; η ; в полярных координатах r ; ϕ π/, рис. табл..3: π π j T j pt T T cos + j si j. 4. Точка p-плоскости на оси jω с координатами σ ; ω π / T отображается в точку -плоскости с координатами ξ ; η ; в полярных координатах r ; ϕ π/, рис. табл..3: π π j T j pt T T cos + j si j. 5. Две точки p-плоскости на оси jω с координатами σ ; ω ±π / T отображаются в одну точку -плоскости с координатами ξ ; η ; в полярных координатах r ; ϕ ±π, рис. табл..3: pt T ± π j T T ± jπ cos ± π + j si ± π j 6. Отрезок оси частот jω p-плоскости π π π σ ; 26 j ω : πk k ωд, k. отображается на -плоскости в k совпадаю- T щих единичных окружностей π 27 π π π σ ; ; ; π 28 Таблица.3 Отображение p-плоскости на -плоскость p-плоскость -плоскость p σ + jω ξ + jη r jϕ σ ω ξ η r ϕ ω 3 π π T 4 π π T 5 π T π 6 π T π 7 Отрезок мнимой оси Единичная окружность один оборот π π π π π отсчетов, равно -изображению незадержанной последовательности, умноженному на m, т. е. если Z < x T >X, то 8

29 m < x[ m T ]>X Z. Теорема о свертке: -изображение свертки последовательностей x T и x T x T x mt x[ m T ] m равно произведению -изображений свертываемых последовательностей Z < x T >X X X. В приведенных выше свойствах -изображение вычисляется по формуле прямого Z-преобразования.. Обратное Z-преобразование Обратное Z-преобразование определяется соотношением < >Z X x T X d, πj где Z < X >символическое обозначение обратного Z-преобразования; С любой замкнутый контур в области сходимости подынтегральной функции, охватывающий все ее особые точки см. п..4. и начало координат комплексной -плоскости. Существуют упрощенные способы вычисления обратного Z- преобразования, заменяющие непосредственное сложное вычисление интеграла по замкнутому контуру; наиболее простой из них основан на использовании таблицы соответствий табл..4, где последовательности представлены в нормированном времени см. п. Поясним правило пользования табл..4 на примерах. Пример.6. Известно -изображение, +,5 X.,8 Требуется найти оригинал x. Решение. Представим дробно-рациональную функцию X в виде суммы C 9

30 3 Таблица.4 Таблица соответствий Последовательность x -изображение X,, u U > a a x + a X 3 > a a x a X 4 [ ] ϕ ϕ + si si r x + + a a X, где cos ϕ r a r a,8,5,8,,8,5,8, X X X и, пользуясь свойством линейности Z-преобразования, определим оригинал x как сумму обратных Z-преобразований: < > < > < >x x X Z X Z X Z x + +. Оригинал < >,8,,8, Z Z X Z x, согласно табл..4 столбец 3 при 8, a, а также свойству линейности Z-преобразования равен x 8. 39 Оригинал < >,8,5,8,5 Z Z X Z x

31 согласно табл..4, столбец 3 при a, 8, а также свойству линейности Z- преобразования и теореме о задержке равен,5, 8 x. Искомый оригинал равен сумме последовательностей x и x : + x,,8 +,5, 8 x x..4 С учетом нулевых начальных условий оригинал x определяется следующим образом. 8, ; x.,8 +,5,8, >, поскольку при значение x определяется в области отрицательного времени и, следовательно, при нулевых начальных условиях x,5, Передаточная функция. Соотношение вход/выход Основной характеристикой ЛДС в -области является -изображение импульсной характеристики h < h >H Z,.4 которое определяется по формуле прямого Z-преобразования. H h..4 При известном -изображении H импульсная характеристика h находится с помощью обратного Z-преобразования < H >h Z,.43 где H называют передаточной функцией ПФ ЛДС; это математическое определение ПФ. Соотношение вход/выход ЛДС во временной области описывалось с помощью формулы свертки, либо в виде разностного уравнения. Рассмотрим поочередно их отображение в -области. Формуле свертки см. п..3. 3

32 h m x m; y m x m h m, m в -области соответствует уравнение см. п..4. Y H X,.44 где X и Y -изображения воздействия и реакции. На основании.44 передаточную функцию можно представить как отношение Y H,.45 X которое позволяет ее определить подобно передаточной функции линейных аналоговых систем. Передаточной функцией H ЛДС называется отношение -изображения реакции к -изображению воздействия при нулевых начальных условиях. Данное определение ПФ не противоречит приведенному математическому.4. Действительно, согласно определению, импульсная характеристика h есть реакция на воздействие в виде цифрового единичного импульса u. Подставив -изображения данных воздействия и реакции в.45 и учитывая, что Z < u >см. табл..4, получим определение ПФ.4: Y Z < h >H Z< h >. X Z < u >Разностному уравнению.5 y N i i b x i M k k a y k в -области соответствует уравнение, которое можно получить, выполнив Z-преобразование правой и левой частей РУ: N M Z < y >Z bi x i ak y k. i k 3

33 Используя свойства Z-преобразования линейность и теорему о задержке, запишем N i i i M k k Y X b Y a, откуда после приведения подобных имеем алгебраическое уравнение N bi i Y X..45а M k + a k Разделив обе части этого уравнения на X, получим передаточную функцию общего вида i k N i bi i M k ak k H ПФ.46 представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно порядков N и M соответственно с вещественными коэффициентами b i и a k. Следовательно, ПФ зависит исключительно от внутренних параметров ЛДС см. п..3. и не зависит ни от воздействия, ни от реакции. Порядком ПФ называют наибольшее из чисел N и M. Здесь и далее полагаем, что порядок многочлена числителя не превосходит порядка многочлена знаменателя: N M. Передаточные функции -го и -го порядков описывают простейшие ЛДС, называемые звеньями -го и -го порядков соответственно. Как любая дробно-рациональная функция, ПФ.46 характеризуется своими особыми точками полюсами и нулями. Нулями ПФ называют значения, при которых H оказывается равной нулю. Особыми точками полюсами ПФ называют значения, при которых знаменатель H оказывается равным нулю []. k 33

34 Картой нулей и полюсов называют изображение координат нулей кружочками и полюсов звездочками * на комплексной — плоскости. Как будет показано см. пп , такая карта является весьма важной графической характеристикой ЛДС Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения Из сравнения передаточной функции.46 и соответствующего ей разностного уравнения.5 легко видеть, что: — многочлен числителя ПФ связан с отсчетами воздействия b i x i ; при этом величина задержки i отсчета x i отображается степенью, а коэффициенты b i остаются неизменным; символически это соответствие можно записать следующим образом: 34 i i i bi x i b, i. N ; — многочлен знаменателя ПФ связан с отсчетами реакции y и a k y k, при этом свободный член всегда равен : a, так как в РУ он соответствует реакции y см. п..4.; величина задержки k отсчета y k отображается степенью коэффициенты a k меняют знак; символически это соответствие можно записать следующим образом: k k k a y k a. Пример.7. Дана передаточная функция общего вида. Записать соответствующее ей разностное уравнение: — для звена -го порядка числитель и знаменатель ПФ многочлены -го порядка: передаточной функции b b + H.47 + a соответствует разностное уравнение y b x + b x a y ;.48 — для звена -го порядка числитель и знаменатель ПФ многочлены -го порядка: k, а

35 передаточной функции b + b + b H.49 + a + a соответствует разностное уравнение y b x + b x + bx a y ay..5 Звено называют базовым, если числитель его передаточной функции равен. ПФ базовых звеньев -го и -го порядков имеют вид соответственно: H ; H + a +. a + a.4.4. Передаточная функция и импульсная характеристика звена -го порядка Упрощенная методика определения импульсной характеристики h по заданной передаточной функции H предполагает, что взаимосвязь между ИХ и ПФ базовых звеньев известна из таблицы соответствий см. табл..4, в предположении, что: X передаточная функция H базового звена; x импульсная характеристика h базового звена. Следовательно, передаточной функции базового звена -го порядка H + a соответствует импульсная характеристика h a, а передаточной функции базового -го порядка H + a + a соответствует импульсная характеристика si[ + ϕ] h r,.5 si ϕ где r и ϕ радиус и угол комплексно-сопряженных полюсов, ± jϕ * r..5 35

36 Значения r и ϕ * и a и a связаны между собой соотношениями см. табл r a ;.53 a r cos ϕ..54 Напомним см. рис. что угол полюса ϕ есть нормированная частота ω. Здесь и в дальнейшем будем использовать индексы звездочка и кружок для обозначения полюса и нуля соответственно. Для записи ИХ небазового звена -го порядка достаточно воспользоваться свойствами линейности Z-преобразования и теоремой о задержке. Тогда передаточной функции небазового звена -го порядка b + b + b H + a + a будет соответствовать импульсная характеристика небазового звена -го порядка si[ + ϕ] si ϕ si[ ϕ] h br + br + br si ϕ si ϕ si ϕ.55 или с учетом нулевых начальных условий b r h b r b r si si si [ + ϕ ] si ϕ [ + ϕ ] si ϕ ; + b r [ + ϕ ] si ϕ si [ ϕ ] si ϕ, + b r si ϕ si ϕ si ϕ, ; + b r si ϕ.56, Оценка устойчивости по передаточной функции В п..3.6 при описании ЛДС во временной области рассмотрен критерий, позволяющей оценить устойчивость ЛДС по ее импульсной характеристике. В -области, где основной характеристикой ЛДС является передаточная функция -изображение ИХ, сущест-

37 вует критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по передаточной функции, а именно: для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции располагались внутри единичного круга комплексной — плоскости 38 Если нули комплексно-сопряженные o, ξ o + jη o, их следует представить в показательной форме 38 ± jϕo o, r o,.6 где радиус r o и угол ϕ o определяются из.3 и.3 соответственно: η r o ξ o + η o ; ϕ o o arctg. ξ o Если коэффициент b, то вычисление комплексно-сопряженных нулей можно упростить: не умножая числитель и знаменатель ПФ.47 на, определять нули в виде.6, где r и ϕ рассчитываются по формулам подобным.53.54, а именно: r o b ; b r cos ϕ..5. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ В разд..3 рассматривалось описание ЛДС во временной области: импульсная характеристика и соотношение вход/выход в виде формулы свертки либо разностного уравнения. Здесь рассматривается их отображение в частотной области. Описание ЛДС в частотной области позволяет: — ввести фундаментальное для теории линейных систем понятие частотной характеристики; при проектировании большинства систем ЦОС именно к частотным характеристикам предъявляются и выдерживаются требования; — определять реакцию ЛДС в установившемся режиме не только на гармоническое воздействие, но и на любое воздействие, которое можно представить как линейную комбинацию гармонических воздействий..5.. Частотная характеристика. Соотношение вход/выход Основной характеристикой ЛДС в частотной области является фурье-изображение импульсной характеристики h T, которое определяется по формуле прямого преобразования Фурье

39 39 ω ω T j T j T h H,.6 или для нормированных частоты и времени: ω ω j j h H..6 При известном фурье-изображении T j H ω импульсная характеристика T h находится с помощью обратного преобразования Фурье ω π ω π π ω d H T T h T j T T T j, где ω ω j T j H H называют комплексной частотной характеристикой КЧХ или коротко частотной характеристикой ЧХ; это математическое определение ЧХ. Определим ЧХ подобно тому, как это делается для линейных аналоговых систем, относительно которых известно, что гармоническое воздействие вызывает гармоническую реакцию той же частоты, но в общем случае другой амплитуды и начальной фазы. Рассмотрим реакцию ЛДС на дискретное комплексное гармоническое воздействие ω ϕ ω x j x j x C C x.63 с амплитудой и фазой соответственно cost x C ; x ω ω ϕ. Для вычисления реакции воспользуемся формулой свертки.3, ω ω ω ω m m j m m m j j x m j x m m h x m h C m C h m x m h y откуда с учетом определения ЧХ.6 ω j H x y.

40 На основании этого частотную характеристику можно представить как отношение ω y.64 x H j x C jω и определить следующим образом. jω Частотной характеристикой ЧХ H ЛДС называется частотная зависимость отношения реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемся режиме. Подчеркнем, что отношение.64 справедливо исключительно для гармонического воздействия и установившегося режима работы ЛДС. Поясним, смысл «установившегося режима». Теоретически, область изменения гармонического воздействия 41 jω jϕ ω x y x H C x A ω j[ ϕ ω +ϕ ω ] C A ω x C x y jϕy ω jϕ ω,.68 откуда следует, что реакция на комплексный гармонический сигнал есть тоже комплексный гармонический сигнал той же частоты, что и воздействие, но с частотно-зависимыми амплитудой C C Aω и фазой ϕ y x ω ϕ ω + ϕ ω y x. Сопоставив выражения для реакции.68 и воздействия.63, дадим определения АЧХ и ФЧХ. Амплитудно-частотной характеристикой ЛДС A ω называется частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме: C y Cx A ω A ω. Cx C x Фазочастотной характеристикой ЛДС ϕ ω называется частотная зависимость разности фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме: ϕ ω ϕ ω ϕ ω + ϕ ω ϕ ω ϕ ω [ ] y x x x. Связь частотной характеристики с передаточной функцией Сравним передаточную функцию.4 с частотной характеристикой.6, взаимосвязь которых очевидна: jω jω ω H j H,.69 jω т. е. ЧХ H совпадает с ПФ H, если область значений переменной на комплексной -плоскости ограничена точками на jω единичной окружности. Это позволяет при известной передаточной функции путем подстановки автоматически получать частотную характеристику, а от известных соотношений вход/выход.44,.45а в — области: 4

42 4 X H Y ; X a b Y M k k k N i i i + автоматически перейти к соответствующим соотношениям в частотной области: ω ω ω j j j X H Y ; ω ω ω ω + j M k jk k N i ji i j X a b Y, где T j j X X ω ω ; T j j Y Y ω ω фурье-изображения воздействия и реакции соответственно. На основании этого частотную характеристику можно определить как отношение фурье-изображений реакции и воздействия при нулевых начальных условиях, подобно передаточной функции.45 при подстановке ω j : ω ω ω ω j j j X Y X Y H j..5.. Основные свойства частотных характеристик. ЧХ T j H ω, АЧХ ω A и ФЧХ ω ϕ непрерывные функции частоты по определению.. ЧХ T j H ω, АЧХ ω A и ФЧХ ω ϕ периодические функции частоты с периодом, равным частоте дискретизации T π ω д. Доказательство периодичности функций следует из того, что их аргумент T j ω периодическая функция частоты с периодом T π

43 jωt πk j ω± T T jωt jπk. В зависимости от используемой шкалы частот период ЧХ, АЧХ и ФЧХ равен f f д ;.7 ω ω д ;.7 ω π..7 Если коэффициенты ПФ вещественные а другие не рассматриваются, то АЧХ будет четной, а ФЧХ нечетной функцией частоты []: A ω A ω ; ϕ ω ϕ ω. Напомним, что четной называется такая функция, которая не изменяет своего значения при изменении знака переменной. Если же при изменении знака переменной изменяется знак функции, а ее абсолютное значение сохраняется неизменным, то такая функция называется нечетной. На практике представляют интерес графики АЧХ и ФЧХ в основной полосе частот см. п Расчет АЧХ и ФЧХ Получим частотную характеристику H ω по известной передаточной функции H общего вида.46 Выполнив замену N k i bi i H. M k + a,.73 запишем частотную характеристику в виде N k k jωt j iωt j jωt bi jωt i H..74 M j kωt + a k T 43

44 Раскроем экспоненты по формуле Эйлера, например, в знаменателе cos kωt j si kωt,.75 после чего выделим вещественные и мнимые части в числителе и знаменателе.74: jωt R ч + j Imч H,.76 R з + j Imз где индексы «ч» и «з» означают числитель и знаменатель. Определим модуль АЧХ и аргумент ФЧХ частотной характеристики H 44 j ω T jkωt ч з ч з jωt R + Im A ω H ;.77 R + Im jωt Imч Imз < >arctg arctg Rч Rз ϕ ω arg H..78 Полученные выражения используются для расчета АЧХ и ФЧХ в основной полосе частот Расчет АЧХ и ФЧХ звена -го порядка Пользуясь описанной выше методикой, определим АЧХ и ФЧХ звена -го порядка по его передаточной функции H.49: b b + + b H. + a + a Выполнив замену переменных.73 и используя нормированную частоту ω ωt, получим частотную характеристику jω jω jω b + b + b jω jω + a + a H..79 Раскрыв экспоненты по формуле Эйлера.75 ω b + b [ cos ω j si ω ] + b[ cosω j siω ] H j + a[ cos ω j siω ] + a[ cos ω j siω ] и выделив вещественные и мнимые части согласно.76, запишем частотную характеристику в виде ω [ b + b cos ω + b cosω ] j[ b si ω + b siω ] H j..8 + a cos ω + a cosω j a si ω + a siω [ ] [ ]

45 jω Модуль АЧХ данной H согласно.77 равен [ b + b cos ω + b cosω ] + [ b si ω + b siω ] A ω,.8 [ + a ] [ ] cos ω + a cosω + a si ω + a siω аргумент ФЧХ согласно.78 равен a si ω + a siω ϕ ω arctg + a cos ω + a cosω..8 b si ω + b siω arctg b + b cos ω + b cosω Особенности расчета по данным формулам обсуждаются ниже Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена -го порядка На практике часто требуется оценить АЧХ и ФЧХ при минимуме расчетов. С этой целью строят приближенные графики рассматриваемых характеристик по их значениям в нескольких точках, количество которых должно быть минимально достаточным. Такой быстрый способ оценки частотных характеристик называется экспресс-анализом. Экспресс-анализ АЧХ предполагает заранее известными особенности анализируемой функции: гладкость, количество экстремумов, нулей и др. Проведем экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена -го порядка. Методами математического анализа можно показать, что в основной полосе частот АЧХ звена -го порядка.8: — имеет экстремум либо нуль на границах основной полосы, при этом нуль будет наименьшим значением, но не минимумом АЧХ; — может иметь один максимум и один минимум либо нуль внутри основной полосы, при этом нуль будет наименьшим значением, но не минимумом АЧХ. При отсутствии нулей АЧХ представляет собой гладкую функцию. Следовательно, для оценки АЧХ звена -го порядка достаточно построить ее график по пяти точкам: — двум на границах основной полосы, — одной уточняющей посередине основной полосы, — двум внутри основной полосы, соответствующим максимуму и минимуму либо нулю АЧХ. 45

46 Полагая, что передаточная функция H.49 звена -го порядка известна, получим формулы экспресс-анализа АЧХ и ФЧХ по следующим пяти точкам π ω ; π; ; ω ; ω o, где ω частота, на которой АЧХ имеет максимум внутри основной полосы частота максимума АЧХ; ω o частота, на которой АЧХ имеет минимум или равна нулю внутри основной полосы частота минимума или нуля АЧХ. Определим значения АЧХ и ФЧХ в указанных пяти точках: в точке ω рис..5 откуда j ;, b + b + b A H ;.83 + a + a < >ϕ arg H ;.84 j Im j R откуда j Рис..5. Соответствие значений ω и в точке ω π рис..6 jπ ;, b b + b A π H ;.85 a + a < >ϕ π arg H ;.86 46

47 j Im j R j откуда Рис..6. Соответствие значений ω π и π 3 в точке ω рис..7 π j j ; j, b b b jb b + A H j a ja a + a ϕ arg < H j >a arctg a b b jb arg a ja b arctg b b j Im j R. b ; j π Рис..7. Соответствие значений ω и j 4 точка ω ω который находится приблизительно на частоте определяет местоположение максимума АЧХ, ± jϕ r, ; ϕ полюса [] 47

48 ω ϕ ;.89 значение АЧХ в этой точке вычисляется по общей формуле.8; 5 точка ω ω o определяет местоположение минимума АЧХ, который находится приблизительно на частоте ϕ o нуля передаточной функции при значении r o [] 48 ± jϕ r o, ; o o ω o ϕ o, r o ;.9 значение минимума АЧХ в точке ω o вычисляется по общей формуле.8; если в точке ϕ значение r, имеем не минимум, а нуль АЧХ и o o соответственно скачок ФЧХ на π. Строго говоря, на местоположение максимума АЧХ влияют не только полюсы, но и нули, так же, как на местоположение минимума АЧХ влияют не только нули, но и полюсы. Тем не менее доминирующее влияние на местоположение максимума оказывают полюсы, а на местоположение минимума нули, что и отражается символом приблизительного равенства в.89.9 [] Анализ АЧХ по карте нулей и полюсов Как уже говорилось, карта нулей и полюсов является одной из важнейших графических характеристик ЛДС. Помимо оценки устойчивости ЛДС, она позволяет по расположению нулей и полюсов сделать вывод о качественном характере АЧХ. Ниже сформулированы наиболее общие закономерности качественного анализа АЧХ по карте нулей и полюсов в основной полосе частот для звена -го порядка: — передаточная функция звена -го порядка имеет два комплексно-сопряженных или два вещественных полюса, в первом случае максимум АЧХ находится внутри основного диапазона, во втором на его границах два максимума; — передаточная функция звена -го порядка имеет два комплексно-сопряженных или два вещественных нуля, в первом случае минимум или нуль АЧХ находится внутри основной полосы частот, во втором на его границах;

Дискретные линейные уравнение и системы

Цифровая обработка сигналов

Часть1 §1 Дискретизация непрерывных сигналов

Возникновение ЦОС – пятидесятые годы. В это время ЭВМ впервые стали применяться для моделирования аналоговых (непрерывных) сигналов (моделирование может быть использовано для обработки реальных сигналов). Для этого сигнал записывался на магнитную ленту и потом обрабатывался на ЭВМ. Время обработки измерялось в часах, время записи – в секундах.

В шестидесятые годы изобретен алгоритм Фурье, быстрое преобразование Фурье. В результате свертку сигнала можно было заменить произведением спекторов этих сигналов, что ускоряло обработку сигналов на несколько порядков и в результате появляется возможность обработки сигналов в реальном масштабе времени.

В семидесятые и восьмидесятые годы развитие микроэлектроники позволило запараллеливать вычислительные операции (развернуть процесс в пространстве). В результате скорость обработки сигналов резко возросла и процесс обработки сигналов стали более широкополосным. ЦОС в настоящее время применяется в различных областях техники, где она нужна.

§1 Дискретизация непрерывных сигналов.

Цифровые системы связи вырабатывают дискретные сигналы, которые получаются из непрерывных путем дискретизации.

f_g – частота дискретизации

Т – интервал дискретизации

X ( t ) – непрерывный (аналоговый) сигнал

X ( n Т) – дискретный сигнал

X ( n Т) = X ( n ) = Xn = < X ₀; X ₁; X ₂; … > – обозначения дискретного сигнала.

– формула связи дискретного и аналогового сигналов.

– дискретная – функция.

– периодическая последовательность – функции, следующая с интервалом T .

§2 Связь спектров дискретных и непрерывных сигналов.

Пусть – спектр дискретного сигнала x ( n Т);

( jω ) – спектр исходного аналогового сигнала x ( t ).

Для установления связи между спектрами воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

Раскладываем в ряд Фурье:

Fl – амплитуда гармоник.

Определим Fl используя формулу связи между спектрами периодических и непериодических сигналов.

В силу линейности операции в этом выражении знаки и можно поменять местами.

Воспользуемся теоремой смещения (теорема о спектрах).

Если , то :

Формула связи спектров дискретного и аналогового сигналов имеет вид:

Вывод: спектр дискретного сигнала равен сумме равно-смещенных спектров аналогового сигнала, сдвинутых на величину кратных .

Полученный результат продемонстрируем на графиках.

Если , то спектр дискретного и аналогового сигналов совпадает ( X ( jω ) и X_a ( jω ) совпадают) на интервале [-0.5 ω_g ;0.5 ω_g ]. В результате x ( t ) аналоговый сигнал можно восстановить применением ФНЧ с частотой среза ω_с=0.5ω _g .

Если ω_в>0.5ω _g , то смежные спектры перекрываются и возникают ошибки наложения, погрешности (не устранимые), поэтому восстановить такой сигнал можно только с искажением (искажения могут оказаться значительными).

§3 Преобразования Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.

Формула Фурье для дискретного сигнала:

– прямое преобразование Фурье.

– обратное преобразование Фурье.

Сигнал x ( nT ) нормирован по отношению к X .

После денормирования сигнала формулу записываем в виде:

Устремляем T к нулю. Если , то T вырождается в непрерывную переменную

Денормированные формулы прямого и обратного преобразования Фурье для непрерывных сигналов:

Это доказывает справедливость формулы Фурье для дискретного сигнала. Переменную ω можно распространить на всю плоскость комплексного переменного: , и тогда формулы Фурье для дискретного сигнала заменяются формулами Лапласа.

– прямое преобразование.

– обратное преобразование.

§4 Z – преобразования.

Изображение по Лапласу дискретных сигналов X ( p ) является функцией трансцендентной, что значительно затрудняет частотный анализ дискретных сигналов. Переменную p , находящуюся в показателе экспоненты, заменяют:

X ( p ) заменяется на рациональную функцию, что упрощает частотный анализ.

X ( Z ) – Z -изображение дискретного сигнала x ( nT ).

Если в формулах Лапласа сделать замену:

В результате получаем формулы Z -преобразования:

– прямое Z -преобразование.

– обратное Z -преобразование.

Рассмотрим особенности перехода от плоскости комплексного переменного p = σ + jω к плоскости комплексного переменного Z = x + jy .

, пусть σ=0, т.е. p = jω тогда:

где

Если ω=0.5ω _g , то .

Если ω = ω_g , то .

При увеличении переменной ω, переменная Z осуществляет многократное перемещение по единичной окружности.

По изображению X ( Z ) можно получить спектр дискретного сигнала, для этого вместо Z надо подставить:

Точкам в левой полуплоскости комплексного переменного p соответствуют значения переменной внутри единичного круга на плоскости Z .