Дискриминант характеристического уравнения равен 0

Как найти дискриминант квадратного уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:

13 = 12 — противоречие.

Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:

12 = 12 — верное равенство.

Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.

Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.

Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.

Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные

Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня:

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть

Составим и решим характеристическое уравнение:

Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:

В этом случае характеристическое уравнение

Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь

Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как

Характеристическое уравнение здесь

Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:

Примеры для самопроверки.

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим метод решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Линейной комбинацией функций и называется выражение вида

где — некоторые произвольные постоянные.

Функции и называются линейно независимыми, если если их линейная комбинация обращается в нуль тогда и только тогда, когда коэффициенты равны нулю.

Теорема 7.2. Если и — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то общее решение данного уравнения является линейной комбинацией этих частных решений.

Следовательно, чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, надо знать два его частных линейно независимых решения: и .

Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, выводим:

Очевидно, функция будет решением дифференциального уравнения, если число к является корнем квадратного уравнения

которое называется характеристическиль уравнением исходного дифференциального уравнения.

Как известно, для корней данного квадратного трехчлена возможны три случая.

• Если дискриминант больше нуля , то корни характеристического уравнения действительные, простые:

• Если дискриминант равен нулю ( = 0), то корни характеристического уравнения действительные, кратные:

• Если дискриминант меньше нуля (

где — действительная, — мнимая часть комплексного числа; — мнимая единица.

Теорема 7.3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка строится в зависимости от дискриминанта и корней характеристического уравнения:

где — некоторые произвольные постоянные.

Пример:

Найти частные решения заданных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие начальным условиям:

► Составим характеристическое уравнение, заменяя в дифференциальном уравнении производные неизвестной функции у соответствующими степенями неизвестного заменим на — на а на 1. В результате получим квадратное уравнение:

Дискриминант уравнения больше нуля:

В таком случае, корни характеристического уравнения действительные, простые:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Частное решение получим из общего, используя для определения произвольных постоянных заданные начальные условия:

Решая полученную систему, находим значения произвольных постоянных:

После подстановки найденных значений в общее решение, искомое частное решение принимает вид

► Составим характеристическое уравнение:

Дискриминант уравнения равен нулю:

В таком случае, корни характеристического уравнения действительные, кратные:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Найдем производную общего решения и определим произвольные постоянные из начальных условий:

Находим значения произвольных постоянных:

и подставим их в общее решение. Искомое частное решение принимает вид

Составим характеристическое уравнение:

Дискриминант меньше нуля:

В таком случае, корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Используем для определения произвольных постоянных заданные начальные условия:

После подстановки найденных значений в общее решение, получим:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института