Дисперсионное уравнение для 1d периодической структуры

Гребенчатая замедляющая система

Министерство образования Российской Федерации

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Техника радиосвязи и телевидения»

ГРЕБЕНЧАТАЯ ЗАМЕДЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА

“Электродинамика и распространение радиоволн”

для студентов специальности 2007 всех форм обучения.

Нижний Новгород 1999

Гребенчатая замедляющая система: Метод. указания к лаб. работе №4 по дисциплине «Электродинамика и распространение радиоволн” для студентов спец. 2007 всех форм обучения НГТУ. Сост.: В. А, Калмык, . Н. Новгород, 1997. 15с.

Кратко изложены методика приближенного расчета дисперсионных характеристик открытой и экранированной гребенчатых замедляющих систем. Описана лабораторная установка и методика экспериментального снятия дисперсионной характеристики.

Подл. К печ. 30.06.99. Формат 60х841/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 300 экз. Заказ 373.

Нижегородский государственный технический университет

Типография НГТУ Н. Новгород, ул. Минина. 24.

технический университет, 1999

Изучить дисперсионные свойства гребенчатой замедляющей системы. Ознакомиться с приближенным методом расчета дисперсии.

2. Краткие теоретические сведения

2.1. Применение замедляющих систем

Разработка электронных приборов СВЧ требует создания передающих линии, в которых могут распространяться электромагнитные волны с фазовой скоростью меньшей скорости света. При фазовой скорости, примерно равной скорости электронов, осуществляется длительное (распределенное) взаимодействие электронов с полем. Линии, в которых электромагнитные волны распространяются с фазовой скоростью меньше скорости света в свободном пространстве, называются замедляющими системами. Одной из разновидностей таких систем является гребенчатая замедляющая система (гребенка) — рис.1.

2.2. Распространение поверхностной волны вдоль гребенчатой замедляющей системы

2.2.1. Открытая система

Рассмотрим распространение электромагнитного поля вдоль плоской ребристой поверхности (рис.2). Ребра будем полагать бесконечно тонкими, все металлические поверхности — идеально проводящими. Поскольку проводимость металлических поверхностей σ → ∞, на них должно выполняться граничное условие

Действительно, в силу известного соотношения между плотностью тока проводимости и напряженностью электрического поля

конечность токов проводимости в токоведущих поверхностях рассматриваемой системы будет обеспечена лишь при выполнении граничного условия (1).

Будем полагать, что ширина ячеек Δ замедляющей системы (расстояние между ребрами) много меньше длины волны (D > D можно утверждать, что тангенциальные по отношению к стенкам ячеек гребенки компоненты электрического поля EX и ЕY тождественно равны нулю внутри ячеек. Тогда из уравнения (3)

при выполнении условия следует, что внутри ячеек гребенки

присутствует единственная компонента магнитного поля НY.

Таким образом, поле в ячейках гребенки, содержащее лишь две компоненты EZ и НY, является чисто поперечным, образованным двумя встречными плоскими волнами, распространяющимися вдоль оси X, удовлетворяющими (в сумме) на дне ячейки

Получим уравнение, которому удовлетворяет каждая из компонент плоской волны; вспомним при этом, что плоской волной называется волна, у которой поверхность равных фаз н амплитуд — плоскость. Если такая волна распространяется вдоль оси X, координатная зависимость ее поля имеет вид

где постоянная распространения плоской волны в среде с параметрами εμ.

Выразим из уравнения (3) поле и поставим его в уравнение (2). Если среда однородная, получаем

(5)

Используя известную формулу векторного анализа, приходим к выражению

Полагая, что однородная среда не имеет источников () окончательно получаем

(6)

Поскольку плоская волна, распространяющаяся в ячейках гребенки, имеет одну компоненту электрического пола EZ , уравнение (6) перепи-сываем:

(7)

(8)

Зная электрическое поле, можно из уравнения Максвелла (3) найти магнитное:

(9)

На выходе из ячейки гребенки поля (8) и (9) будут иметь значения:

Величина (10)

называется импедансом на выходе ячейка. Поставив в (10) выражения для полей получаем (11)

Теперь рассмотрим поле снаружи гребенки. Возбуждение гребенчатой поверхности при условии производится плоской вол-ной, падающей на гребенку под углом θ. В этом случае постоянную распространения поля вдоль гребенки β можно записать как

а продольную компоненту электрического поля EZ, удовлетворяющую (как и внутри ячеек гребенки) уравнению (7), можно представить в виде

В (12) знак (+) соответствует обратной волне, (-) — прямой, Запись (12) не отражает периодического (по оси z) характера поля, определяемого периодичностью рассматриваемой системы. В каком случае такая запись справедлива, увидим в дальнейшем.

Зная электрическое поле магнитное можем найти, воспользовавшись уравнениями Максвелла. Из уравнения (3) имеем

(13)

Поскольку в рассматриваемой системе HZ = 0 получаем

(14)

Подставляя (14) в (13), получаем

Откуда (15)

Подставив (12) в (7), получаем уравнение для функции

(16)

где— поперечное волновое число.

Решение уравнения (16) имеет вид

Для того чтобы удовлетворялись нулевое граничное условие на бесконечности (условие излучения), χ должно быть мнимой величиной, причем для прямой волны необходимо Im χ 0. В этом случае волна, распространяющаяся вдоль гребенки, имеет

поверхностный характер: экспоненциально убывает при удалении от гребенки. Подставив Ψ(х) в (15), получаем окончательно выражение для компоненты НY.

Ψ(x)e ±iβz

1 Знак (+) в этой формуле соответствует обратной волне, (-) — прямой.

Зная компоненты поля EZ и НY, тангенциальные по отношению к поверхности гребенки, находим импеданс на входе в ячейку:

(17)

В (17) знак (+) соответствует полю, распространяющемуся к гребенке, знак (-) — полю, распространяющемуся от гребенки.

Приравняв импедансы на входе в ячейку (17) и на выходе из нее (11), для поля волны, распространяющейся от гребенки, получаем

(18)

Для того чтобы волна имела поверхностный характер, необходимо выполнение условия

(19)

Только в этом случае поле волны будет экспоненциально убывать при удалении от периодической поверхности. Таким образом, из полученного уравнения (18) следует, что открытая гребенчатая замедляющая система не всегда поддерживает поверхностную волну, а лишь в участках частотного диапазона, в которых выполняется условие (19).

Используя дисперсионное уравнение (18) можно записать:

(20)

Учитывая , из соотношения (20) видим, что с ростом частоты, пока выполняется условие (19), замедляющее действие гребенки увеличивается (фазовая скорость уменьшается). Фазовая скорость, как следует из (20), уменьшается также (при постоянной частоте) с увеличением глубины ячеек гребенки δ.

В своем рассмотрении мы не учитывали периодическую структуры гребенки. С учетом ее поле во внешней области должно быть представлено в виде набора пространственных гармоник

Ψ(x)e –iβnz (21)

каждая из которых удовлетворяет уравнению (7). В (21) отрицательные n со-

ответствуют обратным гармоникам, положительные — прямым; n = 0 соответствует проведенному выше рассмотрению.

Фазовая скорость n-й пространственной гармоники вычисляется по формуле , откуда видно, что (фазовая скорость быстро уменьшается с ростом номера n. Групповая скорость определяется как

Удобнее вычислять не , а обратную величину

Из (22) следует, что групповая скорость у всех пространственных гармоник одинакова.

Поперечное волновое число для каждой из гармоник запишется как

(23)

Паскольку обычно выполняйся условие λ >> d имеем

Поэтому поля всех гармоник, за исключением нулевой, очень быстро убывают при удалении от гребенки. Периодичность поля, таким образом, сглаживается, в связи с чем при некотором удалении от гребенки всеми гармониками с n > 0 можно пренебречь, и в этом случае проведенное нами рассмотрение правильно отражает физические процессы. Рассмотренная нами волна является основной волной открытой гребенчатой замедляющей системы.

2.2.2. Гребенки с экранирующей поверхностью

До сих пор мы рассматривали открытую гребенчатую замедляющую систему. Теперь рассмотрим гребенку, над которой на некоторой высоте h расположена идеально проводящая экранирующая плоскость (рис. 3).

В этом случае функция Ψ(x), являющаяся решением уравнения (16), должна обеспечивать выполнение граничного условия Ez(x—h). В связи с этим решение уравнения (16) теперь записываем в виде

(24)

Поскольку мы рассматриваем распространение замедленной волны, можно считать, что χ — мнимая величина. Действительно, поскольку vФ

ДИСПЕРСИО́ННОЕ УРАВНЕ́НИЕ

ДИСПЕРСИО́ННОЕ УРАВНЕ́НИЕ, со­от­но­ше­ние, свя­зы­ваю­щее час­то­ты $ω$ и вол­но­вые век­то­ры $\boldsymbol k$ соб­ст­вен­ных гар­мо­нич. волн ( нор­маль­ных волн ) в ли­ней­ных од­но­род­ных сис­те­мах: не­пре­рыв­ных сре­дах, вол­но­во­дах, пе­ре­даю­щих ли­ни­ях, пе­рио­дич. струк­ту­рах и др. Д. у. за­пи­сы­ва­ет­ся в яв­ном $[ω=ω(\boldsymbol k)]$ или не­яв­ном $[f(ω, 𝑘)=0]$ ви­де. В изо­троп­ных сре­дах час­то­та за­ви­сит толь­ко от мо­ду­ля вол­но­во­го век­то­ра: $ω=ω(𝑘)$ . В тех слу­ча­ях, ко­гда за­ви­си­мость $ω(\boldsymbol k)$ не­од­но­знач­на, вы­де­ля­ют од­но­знач­ные вет­ви Д. у. $ω=ω_n(\boldsymbol k) (\textsf <где >n=1, 2, . ),$ со­от­вет­ст­вую­щие нор­маль­ным мо­дам сис­темы, т. е. со­во­куп­но­стям нор­маль­ных волн с оди­на­ко­вой струк­ту­рой. Гра­фич. изо­бра­же­ние кор­ней Д. у. на плос­ко­сти $(𝑘 , ω )$ на­зы­ва­ет­ся дис­пер­си­он­ной кри­вой.

Замедляющие линии передачи СВЧ

Общие сведения

Замедляющая линия передачи (или замедляющая система, ЗС) — это линия передачи СВЧ, уменьшающая фазовую скорость проходящих вдоль оси системы электромагнитных волн по сравнению со скоростью в свободном пространстве.

Степень замедления характеризуется коэффициентом замедления:

где v_ф — фазовая скорость замедленной волны.

Если фазовая скорость волны снижена до величины, немного меньшей скорости потока электронов в СВЧ-приборе, то возможно взаимодействие (передача энергии) между электронным потоком и СВЧ-полем. Это используется в электронных приборах с длительным взаимодействием, таких как лампа с бегущей волной (ЛБВ), лампа с обратной волной (ЛОВ), магнетрон и других устройствах.

Коэффициент замедления n, необходимый для выравнивания скоростей электромагнитной волны и электронного потока при ускоряющем напряжении U, может быть найден на основе закона сохранения энергии для летящего электрона [5]:

m(v_ф) 2 /2 = еU, (2)

где m — масса электрона, е — его заряд, причем е/m = 1,8×10 11 Кл/кг.

Из (1) и (2) следует, что:

n = с/v_ф = 505/U 1/2 , (3)

Например, для ускоряющего напряжения 100 В требуется замедление n = 50, а при 10000 В — замедление n = 5.

Формула (3) дает также обратную возможность: рассчитать необходимое напряжение U, если имеется система с известным коэффициентом замедления n.

Рассмотрим два примера использования замедляющих систем в наиболее распространенных электронных приборах: лампе бегущей волны со спиральной замедляющей системой и лампе обратной волны с замедляющей системой типа встречных штырей [5].

Спиральная замедляющая система

Рассмотрим спиральную ЗС в составе ЛБВ (рис. 1а) [1].

Рис. 1. Спиральная ЗС в составе ЛБВ

Электронный пучок сфокусирован и пролетает по оси спирали. На вход спирали волна попадает из коаксиальной линии, где имеет структуру ТЕМ. Структура поля вблизи спирали показана на рис. 1б. Электрическое поле между витками спирали имеет составляющую в направлении оси z, то есть параллельно направлению движения электронов, что обеспечивает взаимодействие электронного пучка с полем.

На рис. 2 [5] показан элемент спирали с углом намотки ψ и ее развертка. В первом приближении можно считать, что волна бежит вдоль витков со скоростью света «с» и имеет структуру ТЕМ. Обозначим длину витка l, а период намотки спирали — d. Отношение l/d равно отношению скоростей волны вдоль витка «с» и вдоль оси v. Из геометрических соображений:

n = l/d = 1/sinψ. (4)

Эта формула приближенная, поскольку реально волна бежит со скоростью, несколько отличной от «с» из-за искривления проводников, взаимодействия полей с опорами спирали, полей противоположных сторон витков и т. д. Тем не менее она годится для оценок.

Как видно, в рамках принятых допущений рассматриваемая спиральная конструкция ЗС имеет коэффициент замедления, определяемый только геометрией структуры и не зависящий от длины волны.

Зависимость коэффициента замедления от длины волны (n = f(λ)) называется дисперсионной характеристикой ЗС. В данном случае она представляет собой горизонтальную линию (рис. 2), то есть дисперсия (наличие изменения n от частоты) в первом приближении для спирали отсутствует.

Рис. 2. Спираль и ее развертка

Спиральная ЗС широко используется в ЛБВ. Однако при переходе к более высоким частотам (миллиметровый диапазон) размеры спирали становятся очень малыми, и возникают трудности в изготовлении. Кроме того, при больших мощностях затрудняется теплоотвод. В этих случаях в ЛБВ применяются также другие типы замедляющих систем.

Замедляющая система типа «встречные штыри»

В системе «встречные штыри» (рис. 3, [5]) электронный луч пролетает в осевом направлении слева направо вблизи замедляющей системы, он может быть сфокусирован в виде ленты. Приближенную оценку дисперсионной характеристики можно сделать в предположении, что волна бежит по зигзагообразному пути между штырями. При этом сдвиг фазы поля между точками А и В равен k(h + L), где h + L — путь, пройденный волной. К этому добавляется сдвиг фаз на π, обусловленный геометрическим «поворотом» вектора поля на 180°. Таким образом, общий фазовый сдвиг вдоль оси φ = π – k(h + L) = βL. (Здесь k = 2π/λ, λ — длина волны в свободном пространстве, β = 2π/λ, λ — длина волны в замедляющей системе.)

Рис. 3. Замедляющая система типа встречных штырей

Коэффициент замедления [4]:

На рис. 3 видно, что коэффициент замедления возрастает, поскольку зависит от λ, то есть имеет место дисперсия.

Замедляющая система «встречные штыри» используется для создания ЛОВ.

Другие типы замедляющих систем, применяемых в технике СВЧ

Кроме спирали и встречных штырей, в электронных приборах используются и другие ЗС, некоторые из них показаны на рис. 4 [5].

Рис. 4. Различные типы замедляющих систем, применяемых в электронных приборах СВЧ

Замедляющая система типа «гребенка» (рис. 4а) по сравнению со спиральной ЗС обладает лучшей теплорассеивающей способностью, большей жесткостью, применяется в режиме использования пространственных гармоник, о котором будет рассказано в дальнейшем. Она применяется в ЛОВ миллиметрового диапазона и в электронных приборах, называемых оротронами.

Диафрагмированный волновод (рис. 4б) может трактоваться как разновидность свернутой гребенки или как цепочка связанных через центральные отверстия цилиндрических резонаторов, возбуждаемых на типе колебаний Е010. Для расширения полосы пропускания можно увеличивать диаметр отверстий, при этом увеличивается электрическая связь между соседними резонаторами. Однако при этом уменьшается сопротивление связи с лучом (ухудшается взаимодействие) и уменьшается усиление. Эта ЗС имеет малый коэффициент замедления, что, однако, хорошо подходит для ее использования, например, в линейных ускорителях электронов.

Цепочка связанных резонаторов (ЦСР) показана на рис. 4в. Связь между соседними резонаторами осуществляется через неполные кольцевые отверстия в боковых стенках. При этом, в отличие от диафрагмированного волновода, взаимодействие поля с электронным лучом не уменьшается, и могут быть получены достаточно большие коэффициенты усиления. Достоинством ЗС на основе диафрагм являются также хорошая теплопередающая способность, поэтому ЗС подобной конструкции широко применяются, например, в ЛБВ повышенной мощности.

Резонаторная система, свернутая в кольцо (рис. 4д, е), может быть также представлена как свернутая гребенка. Гладкая поверхность системы «гребенка» при этом трансформируется в центральный металлический цилиндр (на рисунке не показан), в качестве которого обычно выступает цилиндрический катод прибора. Отдельные щели устройства можно рассматривать как резонаторы, связанные в единую систему сложного резонатора. Для возбуждения желаемого типа колебаний в системе некоторые точки сложного резонатора могут быть связаны металлическими перемычками. Подобные кольцевые резонаторы применяются в мощных генераторных приборах — магнетронах. В них под действием постоянного магнитного поля, приложенного перпендикулярно плоскости рисунка, образуется вращающийся электронный поток («спицы»), проходящий в зазоре между катодом и кольцевой системой резонаторов. Проходя мимо отдельных резонаторов, поток взаимодействует с ними.

Бугельная ЗС со связками (рис. 4г) также является кольцевой и применяется в мощных СВЧ-усилителях — амплитронах.

Основные характеристики замедляющих систем

Свойства замедляющих систем как специфических линий передачи, с точки зрения выполняемых ими функций в электронных приборах, характеризуются следующими параметрами [3, 4].

1. Коэффициент замедления n

Он, как указывалось ранее, характеризует степень замедления электромагнитной волны замедляющей системой по фазовой скорости:

где v_ф — фазовая скорость замедленной волны; с — скорость электромагнитных волн в свободном пространстве (скорость света).

Значения необходимых коэффициентов замедления n обычно находятся в интервале 3–50.

Существует также коэффициент замедления волны по групповой скорости v_г (скорости переноса энергии волной [2]):

Коэффициенты замедления фазовой и групповой скоростей связаны формулой Релея:

2. Дисперсионная характеристика

Дисперсионная характеристика представляет собой зависимость коэффициента замедления от частоты или длины волны:

n = f(ω) или n = f(λ). (9)

указывает на наличие (D ≠ 0) или отсутствие (D = 0) дисперсионной зависимости, ее величину и характер.

Дисперсионная характеристика может также изображаться зависимостью ω(β) [4].

3. Частотный диапазон

Частотный диапазон определяется интервалом частот, в котором коэффициент замедления n не выходит за пределы требуемых значений вследствие наличия дисперсии. Он может характеризоваться коэффициентом перекрытия по частоте:

где ω_н и ω_в — соответственно нижняя и верхняя частоты рабочей полосы.

Наибольшей широкополосностью обладают спиральные ЗС — К_ω = 2 и более; ЗС на связанных резонаторах (ЦСР) имеют К_ω = 1,3–1,35; для ЗС типа гребенки и встречных штырей К_ω≈ 1,2; для резонаторных кольцевых замедляющих систем К_ω≈ 1,02–1,05.

4. Сопротивление связи

Сопротивление связи (R_св) — это специфический параметр линии передачи типа ЗС. Он является мерой эффективности взаимодействия электронного потока с продольной (z) составляющей электрического поля Е_zm в ЗС:

R_св = |E_zm| 2 /2 (βm) 2 P, (12)

где Р — мощность потока энергии в ЗС; β_m — фазовая постоянная; индекс «m» отражает ту часть структуры поля замедляющей системы (гармонику), которая наиболее эффективно взаимодействует в данном приборе с электронным потоком.

Чем больше сопротивление связи, тем эффективнее взаимодействие электронов с полем и больше коэффициент усиления СВЧ-усилителя и его КПД. Например, параметр усиления ЛБВ C_лбв связан с R_св соотношением [1]:

где I₀ — ток электронного луча, U₀ — напряжение на коллекторе.

Величина R_св обычно составляет десятки Ом.

Теоретический расчет R_св достаточно сложен, его величина часто определяется экспериментальным путем.

5. Затухание волны в ЗС

Затухание в ЗС определяется активными потерями непосредственно в элементах ее конструкции. В некоторых случаях (например, в спиральной ЗС) специально вводится согласованный локальный поглотитель для ослабления отраженной от выхода волны с целью обеспечения устойчивости работы прибора. При этом общее затухание соответственно увеличивается. В целом затухание может составлять 20–30 дБ.

6. Предельная передаваемая мощность

Предельная мощность определяется назначением электронного прибора, в котором используется ЗС. Для маломощных усилительных приборов это могут быть единицы или доли Вт. Для мощных усилителей и генераторов — до десятков кВт, при этом используются конструкции, обеспечивающие хороший теплоотвод, и применяются специальные меры охлаждения.

Пространственные гармоники. Теорема Флоке

Большинство замедляющих систем конструктивно представляют собой структуры, периодически повторяющиеся вдоль продольной оси z.

Поле в ЗС в общем случае можно записать так:

Е(x, y, z, t) = Re Е(x, y, z) exp(jωt), (14)

где x, y, z — совокупность трех координат; Е(x, y, z) — функция, отображающая структуру поля в пространстве.

Сосредоточим внимание на исследовании зависимости амплитуды поля от пространственных координат, опуская при этом временную зависимость [exp(jωt)], то есть исследуем функцию

Е(x, y, z). (15)

Закономерности распределения волн в периодических структурах описываются теоремой Флоке. Она формулируется следующим образом [4]:

Среди решений уравнений электромагнитного поля для периодических замедляющих структур существует хотя бы одно такое частное решение («собственные волны»), при котором электромагнитные поля в поперечных сечениях, отстоящих друг от друга на пространственный период d, повторяют друг друга по форме и отличаются только фазовым множителем, то есть

Е(x, y, z + d) exp(jφ) = Е(x, y, z), (16)

где x, y — поперечные координаты; z — продольная координата; φ — фазовый сдвиг волны между соседними сечениями, находящимися на расстоянии d.

Будем рассматривать системы, периодичные лишь в одном направлении (z), и случай бегущих волн.

Умножим уравнение (16) почленно на exp(jβz), где β = φ/d, после чего получим функцию, которую обозначим Е₀, в следующем виде:

Е₀(x, y, z) = Е(x, y, z + d) exp[jβ(z + d)] = Е(x, y, z) exp(jβz). (17)

Е(x, y, z) = Е₀(x, y, z) exp(–jβz). (18)

Функция Е₀ (17) для собственных волн в зависимости от координаты z является периодической. Поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье как сумму гармонических составляющих, считая переменной координату z [4]:

где сумма по m берется в бесконечных пределах от –∞ до +∞; m = 0, ±1, ±2, и т. д.; β_m = β₀ + 2πm/d; β₀ = 2π/Λ, Λ — длина волны в ЗС на основной гармонике; Е_m — коэффициент разложения, соответствующий данному номеру гармоники m, он зависит от конфигурации ЗС и граничных условий:

Каждое из слагаемых суммы (19):

называют пространственной гармоникой электромагнитного поля. Амплитуду и фазу этих гармоник следует вычислять по формуле (20) с учетом граничных условий.

Существование пространственных гармоник является наиболее характерной особенностью периодических ЗС.

В последних выражениях, как указывалось, опущен множитель временной зависимости, но он подразумевается. Поэтому выражения отображают как бы «мгновенную во времени фотографию» электрического поля в системе.

Отметим основные свойства (1–5) пространственных гармоник.

1. Каждая гармоника имеет свою фазовую скорость распространения, определяемую формулой:

где m = 0; ±1; ±2; и т. д.; β₀ — фазовая постоянная основной гармоники, имеющей наибольшую фазовую скорость.

Следовательно, при работе на выбранной гармонике обеспечивается свой коэффициент замедления (n = с/v_ф). Как видно из (6) и (22), при увеличении номера гармоники ее фазовая скорость уменьшается, соответственно уменьшается длина волны гармоники:

коэффициент замедления n при этом увеличивается.

В зависимости от значения m фазовая скорость гармоник может быть как положительной, так и отрицательной.

При m > 0 (прямая волна) фазовая скорость гармоник положительна (направлена вправо), это прямые гармоники. Распространение волн происходит в направлении оси +z (направление движения электронного луча). Направление фазовой и групповой скоростей совпадают. Энергия передается в направлении +z.