Div v 0 уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Использование конечно-разностного уравнения неразрывности леонарда Эйлера

в области неустойчивости течения

В области, содержащей особые точки с неустойчивым характером течения, гео — метрический вывод лагранжева уравнения неразрывности обнаруживает трудности вычисления площади деформированной фигуры. Для проведения расчетов течений рекомендуется использовать линеаризованную форму экспоненциального закона движения жидкой частицы, дающую лагранжево уравнение неразрывности с допол — нительным членом. Его форма, записанная для сжимаемого газа, может быть исполь — зована для расчета режима потери устойчивости.

Ключевые слова: лагранжево уравнение неразрывности; неустойчивое течение;

особая точка; неустойчивый ус седла.

агранжевы переменные, связанные с движением жидкой частицы, достаточно редко используются при решении задач гидрогазоди — намики. Однако все химические реакции, физические процессы

(за исключением переноса оптического излучения, происходящего исключи — тельно быстро), происходят именно в движущейся «жидкой» частице и наибо — лее полно описываются в лагранжевых переменных. В общем виде уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости известно давно и приведено в учеб- никах, (например [5]), создававшихся еще в прошлом веке.

Однако для конкретного простейшего поля скорости, когда производные компонент скорости по координатам ∂u / ∂x, ∂u / ∂y, ∂v / ∂x, ∂v / ∂y постоян — ны, лагранжево уравнение неразрывности выписано сравнительно недавно, в 1967 году [8], и получило привычный вид div V = 0. Алгебраический путь вывода не позволил отметить, что при наличии в поле течения особых точек, характеризующихся неустойчивостью течения, вывод осложняется. Геоме — трический путь вывода уравнения неразрывности, применявшийся Л. Эйле — ром и Н. Е. Жуковским позволяет это заметить.

1. Наличие неустойчивых точек в области течения. В дифференциаль — ной геометрии изучение течения несжимаемой жидкости для плоского двух — мерного течения производится на основании решения системы двух обыкно- венных дифференциальных уравнений [9]:

dx / dt = ax + by; (1)

где использованы для производных компонент скорости u, v по координа — там x, y следующие обозначения:

a = ∂u /∂x, b = ∂u / ∂y, c = ∂v / ∂x, k = ∂v / ∂y.

Здесь t — время деформации.

Начальные условия для системы (1) x = x, y = y

при t = 0. Решение систе-

мы уравнений (1) имеет экспоненциальный вид [6]:

Вычисление площади деформированного за время t единичного квадрата, приравниваемой единице, дает равенство:

из которого следует div V = 0.

Еще раз подчеркнем, что вывод закона движения жидкой частицы и урав — нения неразрывности, получаемого с его использованием, относится к слу- чаю постоянства производных

a = ∂u / ∂x, b = ∂u / ∂y, c = ∂v / ∂x, k = ∂v / ∂y

во всей рассматриваемой области течения. Этого же постоянства производных компонент скорости требует классификация особых точек течения. В частно — сти, для особой точки типа седла требуется отрицательность якобиана ∂ (u, v) /

∂ (x, y), а для центра (вихря) — его положительность. В учебнике Л. С. Пон — трягина [9] достаточно подробно доказывается неустойчивость линий тока, проходящих вдоль неустойчивого уса седла. Особая точка центр (вихря) тоже обладает малой устойчивостью, так как находится на границе устойчивого фокуса и неустойчивого. Мы ограничимся разбором течения и обсуждения вывода лагранжева уравнения неразрывности в окрестности особой точки типа седла и ее неустойчивого уса.

2. Течение в окрестности неустойчивого уса седла. На рисунке 1 схемати — чески изображено течение в донной части обтекаемого тела. В точке 1 происхо — дит отрыв основного пограничного слоя, нараставшего от передней критической точки обтекаемого тела. В застойной зоне донной части возникает вихрь, центр 2 которого является тоже особой точкой с положительным якобианом. В точке 1 сталкиваются два пограничных слоя: возникающий от касания вихрем 2 поверх — ности тела и основной пограничный слой, оторвавшийся от тела. Точка отрыва 1, таким образом, является особой точкой типа седла.

Неустойчивый ус седла проходит по границе оторвавшихся и соприкасаю — щихся пограничных слоев.

На основании теоремы А. М. Ляпунова о неустойчивости [10] можно по — казать неустойчивость экспоненциального закона движения жидкой частицы, движущейся вдоль неустойчивого уса седла. Один из двух корней характе- ристического уравнения будет иметь положительную действительную часть. Поэтому и скорость и ускорение при движении жидкой частицы должны бу — дут неограниченно нарастать по экспоненциальному закону.

До сих пор мы говорили о кинематике движения, не касаясь динамики. Если обратиться к уравнению движения, то окажется, что для достижения бесконечно большого ускорения требуется наличие в потоке бесконечно боль — шой силы или перепада давления. Таких больших сил в потоке нет. Поэтому течение вдоль неустойчивого уса седла вынуждено отклониться от экспонен — циального закона движения жидкой частицы и не подчиниться лагранжеву уравнению неразрывности вида div V = 0.

3. использование конечно-разностного уравнения неразрывности леонарда Эйлера. В 1752 г. Леонард Эйлер, проводя геометрическим путем вывод уравнения неразрывности (Euler L. Principia motus fluidorum), восполь — зовался линеаризованной формой экспоненциального закона движения жид — кой частицы (2), которая отвечает соотношениям Коши-Гельмгольца [4: с. 8] и является решением системы двух дифференциальных уравнений

Полученное Эйлером уравнение неразрывности для лагранжевых перемен — ных имеет помимо div V дополнительный член, представляющий собой произ — ведение времени деформации контрольной фигуры на якобиан ∂ (u, v) / ∂(x, y). Это уравнение выведено Эйлером в конечно-разностной форме в § 19 и § 12 для двухмерного течения и в § 35 и § 27 для трехмерного течения несжимаемой жидкости. Оно приводится также К. Трусделлом в его книге «Leonhardi Euleri. Commentationes Mechanicae ad theoriam corporum pertinentes» на с. LXIII. В ста- тье Эйлера, несмотря на использование системы координат, сопутствующей дви- жению жидкой частицы, полученный им результат используется не полностью. Эйлер устремляет время деформации t к нулю и после предельного перехода получает для несжимаемой жидкости только уравнение неразрывности в эйлеро — вых переменных div V = 0.

На неполноту использования получаемого материала обратил внимание

В. А. Бубнов [1, 2] в 1997 г. Он заметил это у Н. Е. Жуковского, получившего урав — нение неразрывности сходным путем построением эллипсоида деформаций [4]. В. А. Бубнов указал путь построения более полного уравнения неразрывности в статьях [1, 2]. Довести построение лагранжева уравнения неразрывности до за — вершенной формы удалось в работе [6]. Здесь же получено уравнение неразрыв — ности с дополнительным членом для сжимаемого газа, которое снимает трудности с толкованием несохраняемости величины контрольной фигуры. Несохранение объема контрольной фигуры в случае течения сжимаемого газа следует трактовать как вынужденное изменение плотности и давления с генерацией акустических волн давления, возникновения нестационарности и турбулизации потока.

Экспериментальные исследования показывают, что срыв потока с поверхно — сти обтекаемого тела почти всегда сводится к турбулизации сорвавшихся струек тока. Это является качественным подтверждением рассмотренного здесь явления самопроизвольного возникновения нестационарности при стационарных крае- вых условиях в окрестности неустойчивых особых точек течения.

В работе [6] опубликовано, а в работе [7] еще раз в более полном изложе — нии приведено конечно-разностное уравнение неразрывности для двухмерного и трехмерного течения сжимаемого газа с дополнительным членом, соответствую — щим линеаризации экспоненциального закона движения жидкой частицы. Пред — полагается, что некоторые физические процессы в области неустойчивого тече — ния будут подчиняться этому уравнению.

Заключение. Показано, что в окрестности неустойчивой особой точки типа седла вывод лагранжева уравнения неразрывности неправомерен ввиду быстрого неограниченного возрастания скорости и ускорения жидкой части — цы, принадлежащей контрольной фигуре.

Предложено для решения конкретных задач ограничиться линеаризован — ной формой экспоненциального закона движения, приводящей к конечно — разностному лагранжеву уравнению неразрывности, выведенному Эйлером в 1752 г. для несжимаемой жидкости. Форма этого уравнения для сжимаемого газа обеспечивает принцип сохранения вещества за счет изменения плотно — сти и возникновения волны давления.

Материалвзят из: Вестник МГПУ Серия «Естественные науки» № 2 (6)

Гидродинамика. Уравнение неразрывности движения жидкости.

Уравнение неразрывности потока демонстрирует закон сохранения массы: количество втекающей и вытекающей жидкости неизменно.

Проанализируем сечение 1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости обозначим и₁. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Далее проанализируем сечение 2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью обозначим и₂. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Но согласно характерной особенности элементарной струйки притока и оттока жидкости через ее боковую поверхность не существует; на промежутке 1 — 2, которому свойственны постоянные размеры, отсутствуют пустоты и отсутствуют переуплотнения количества жидкости, протекающей в единицу времени сквозь сечения 1 и 2,будут одинаковыми, тогда:

Уравнение неразрывности для элементарной струйки — элементарный расход жидкости при установившемся движении величина одинаковая для всей элементарной струйки.

Проанализируем трубу с переменным живым сечением. Расход жидкости через трубу для всякого ее сечении постоянен, т.е. Q₁=Q₂= const, делаем вывод:

Значит, когда течение в трубе сплошное и неразрывное, то уравнение неразрывности станет:

Найдем отсюда скорость для выходного сечения:

Обратим внимание, что скорость возрастает обратно пропорционально площади живого сечения потока. Указанная обратная зависимость между скоростью и площадью выступает важным следствием уравнения неразрывности и нашла широкое применение. Так, к примеру, эта особенность используется пожарными при тушении пожара для формирования сильной и дальнобойной струи.

Что произойдет со скорость потока при сужении, когда диаметр напорной трубы d сузиться в два раза?

Площадь живого сечения трубы вычисляем на основе формулы w = πd 2 / 4. В этом случае соотношение площадей в формуле u₂ = u₁ w₁ / w₂ равняться 4.

Следовательно, в ситуации, когда диаметр трубы сужается в два раза — скорость потока возрастет в четыре раза. По аналогии, когда диаметр сузится в три раза — скорость увеличиться в девять раз.