Please wait.
We are checking your browser. medium.com
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6e2c57f79d1515f6 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Метод максимального правдоподобия с примерами
Вы будете перенаправлены на Автор24
Метод максимального правдоподобия – это рациональный способ построения оценки какого-либо неизвестного параметра, суть которого состоит в том, что за «наиболее правдоподобное» значение параметра принимается значение $Ө$, сводящее к максимуму вероятность получения при $n$ опытах следующую выборку $X = (x_1, …, x_n)$.
Методы нахождения оценок
В общем смысле точечная оценка неизвестного параметра $Ө$ – это любая статистика. В практической же деятельности чаще всего рассматриваются самые «качественные» оценки, при которых вероятность принятия ими значения максимально близкого к неизвестному значению $Ө$ при реализации случайной выборки будет наибольшей. Данные оценки делят на несмещенные, состоятельные и эффективные. При этом возникает вопрос о методах получения качественной оценки для произвольного параметра $Ө$ исследуемой случайной величины $X$. Наиболее распространены следующие методы нахождения оценок:
- Метод подстановки;
- Метод моментов;
- Метод наибольшего правдоподобия.
Метод подстановки – это наиболее простой метод отыскания точечных оценок. Он заключается в том, что оценкой неизвестного параметра $Ө$ является соответствующая выбранная числовая характеристика:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
К примеру, по методу постановки оценка математического ожидания – это выборочное среднее, а оценка дисперсии – это выборочная дисперсия.
Все полученные по методу подстановки оценки являются состоятельными, но не гарантирована их эффективность и несмещенность. Пример смещенной оценки – выборочная дисперсия.
Рассмотрим далее метод моментов. Предположим, что $x_1, …, x_n$ – это выборка наблюдений некоторой случайной величины$X$, которая имеет распределение $Fx (x, Ө)$ содержащее вектор неизвестных параметров $Ө =( Ө_1, …, Ө_k)$. Допустим, что для данного распределения можно рассчитать начальные моменты
Готовые работы на аналогичную тему
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
некоторых порядков $r$.
Такие моменты называются функциями соответствующих неизвестных параметров $Ө_1, …, Ө_k$. Однако, для выборки можно рассчитать выборочные начальные моменты
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Метод моментов заключается в том, что необходимо найти такой вектор параметров $Ө$, при котором будут равны теоретические и выборочные моменты, т.е. в решении системы уравнений:
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Число уравнений в данной системе будет равняться количеству неизвестных параметров $k$. Чтобы получить оценки с помощью метода моментов, может быть выбран любой момент произвольного порядка, но, как правило, в практике используются только моменты низших порядков.
Как и при методе подстановок, все оценки, найденные по методу моментов, характеризуются как состоятельные, но не гарантируется их эффективность и несмещенность.
Точечные оценки, найденные при помощи метода моментов, носят название ММ-оценки.
Метод наибольшего правдоподобия рассмотрим в следующем пункте.
Сущность метода максимального правдоподобия
Под методом максимального правдоподобия в математической статистике понимается метод оценки неизвестного параметра посредством максимизации функции правдоподобия. Основой данного метода является предположение о том, что все данные о статистической выборке содержатся в функции правдоподобия. Описываемый метод был проанализирован Р. Фишером в начале 20-го века, который в дальнейшем его рекомендовал и популяризировал.
Оценка наибольшего правдоподобия – это достаточно популярный статистический метод, используемый с целью построения статистической модели на основе информации и обеспечения оценки всех параметров модели.
Метод наибольшего правдоподобия соответствует многим популярным методам статистической оценки. К примеру, вы рассматриваете такой антропометрический параметр, как рост жителей данной страны. Допустим, что вы располагаете данными о росте определенного количества людей, но не всего населения. Помимо этого, допускается, что рост – это нормально распределенная величина со средним значением и неизвестной дисперсией. Дисперсия роста и среднее значение в выборке будут являться максимально правдоподобными к дисперсии и среднему значению всего населения.
Используя фиксированный набор данных и базовой модели вероятностей в расчетах с помощью метода правдоподобия, будут получены такие значения параметров, которые будут делать данные «наиболее приближенные» к реальным. Метод максимального правдоподобия является уникальным и простым способом определения решения при нормальном распределении.
Метод наибольшего правдоподобия используются во многих статистических моделях:
- В линейных и обобщенных линейных моделях;
- В факторном анализе;
- При моделировании структурных уравнений;
- Во многих ситуациях, предполагающих проверку гипотезу и доверительный интервал формирования;
- В дискретных моделях выбора и т.д.
Метод наибольшего правдоподобия заключается в том, что оценкой вектора неизвестных параметров
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
который доставляет максимум функции правдоподобия:
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Иными словами, сущность метода наибольшего правдоподобия заключается в нахождении такого вектора параметров, при котором была бы наиболее вероятной реализация $x_1, … ,x_n$ случайной выборки $X_1,…, X_n$.
Точечные оценки, получаемые при методе наибольшего правдоподобия, носят название МП-оценки.
Пример использования метода максимального правдоподобия
Пусть необходимо найти при помощи метода максимально правдоподобия оценку заданного параметра p биноминального распределения
Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
если в $n_1$ независимых испытания некоторое событие $A$ появлялось $m_1$ раз, а в $n_2 – m_2$ раз.
Для того, чтобы решить данную задачу, необходимо составить функцию правдоподобия:
Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Затем следует отыскать логарифмическую функцию:
Рисунок 12. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На следующем этапе определяется первая производная p:
Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Найденную производную необходимо приравнять к нулю, тем самым записав уравнение правдоподобия.
Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
После относительного решения полученного уравнения находим значение критической точки:
Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данной точке вторая производная будет отрицательной, а, следовательно, данная точка является максимумом. Таким образом найденная точка принимается в качестве оценки по методу максимального правдоподобия неизвестной вероятности p биноминального распределения.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 23 07 2021
Для чего используется уравнение правдоподобия
нЕФПД НБЛУЙНБМШОПЗП РТБЧДПРПДПВЙС ЕЭЕ ПДЙО ТБЪХНОЩК УРПУПВ РПУФТПЕОЙС ПГЕОЛЙ ОЕЙЪЧЕУФОПЗП РБТБНЕФТБ. уПУФПЙФ ПО Ч ФПН, ЮФП Ч ЛБЮЕУФЧЕ «ОБЙВПМЕЕ РТБЧДПРПДПВОПЗП» ЪОБЮЕОЙС РБТБНЕФТБ ВЕТХФ ЪОБЮЕОЙЕ , НБЛУЙНЙЪЙТХАЭЕЕ ЧЕТПСФОПУФШ РПМХЮЙФШ РТЙ ПРЩФБИ ДБООХА ЧЩВПТЛХ . ьФП ЪОБЮЕОЙЕ РБТБНЕФТБ ЪБЧЙУЙФ ПФ ЧЩВПТЛЙ Й СЧМСЕФУС ЙУЛПНПК ПГЕОЛПК.
тЕЫЙН УОБЮБМБ, ЮФП ФБЛПЕ «ЧЕТПСФОПУФШ РПМХЮЙФШ ДБООХА ЧЩВПТЛХ», Ф.Е. ЮФП ЙНЕООП ОХЦОП НБЛУЙНЙЪЙТПЧБФШ. чУРПНОЙН, ЮФП ДМС БВУПМАФОП ОЕРТЕТЩЧОЩИ ТБУРТЕДЕМЕОЙК ЙИ РМПФОПУФШ «РПЮФЙ» (У ФПЮОПУФША ДП ) ЧЕТПСФОПУФШ РПРБДБОЙС Ч ФПЮЛХ . б ДМС ДЙУЛТЕФОЩИ ТБУРТЕДЕМЕОЙК ЧЕТПСФОПУФШ РПРБУФШ Ч ФПЮЛХ ТБЧОБ . й ФП, Й ДТХЗПЕ НЩ ВХДЕН ОБЪЩЧБФШ РМПФОПУФША ТБУРТЕДЕМЕОЙС . йФБЛ,
НЩ ВХДЕН ОБЪЩЧБФШ РМПФОПУФША ТБУРТЕДЕМЕОЙС .
еУМЙ ДМС ДЙУЛТЕФОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЧЕМЙЮЙОЩ УП ЪОБЮЕОЙСНЙ , , ЧЧЕУФЙ УЮЙФБАЭХА НЕТХ ОБ ВПТЕМЕЧУЛПК -БМЗЕВТЕ ЛБЛ
еУМЙ ЦЕ ЙНЕЕФ БВУПМАФОП ОЕРТЕТЩЧОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ, ФП ЕУФШ РТЙЧЩЮОБС РМПФОПУФШ ПФОПУЙФЕМШОП НЕТЩ мЕВЕЗБ :
жХОЛГЙС (УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ РТЙ ЖЙЛУЙТПЧБООПН )
ОБЪЩЧБЕФУС ЖХОЛГЙЕК РТБЧДПРПДПВЙС . жХОЛГЙС (ФПЦЕ УМХЮБКОБС)
ОБЪЩЧБЕФУС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЕК РТБЧДПРПДПВЙС.
ч ДЙУЛТЕФОПН УМХЮБЕ ЖХОЛГЙС РТБЧДПРПДПВЙС ЕУФШ ЧЕТПСФОПУФШ ЧЩВПТЛЕ , , Ч ДБООПК УЕТЙЙ ЬЛУРЕТЙНЕОФПЧ ТБЧОСФШУС , , . ьФБ ЧЕТПСФОПУФШ НЕОСЕФУС Ч ЪБЧЙУЙНПУФЙ ПФ :
пГЕОЛПК НБЛУЙНБМШОПЗП РТБЧДПРПДПВЙС ОЕЙЪЧЕУФОПЗП РБТБНЕФТБ ОБЪЩЧБАФ ЪОБЮЕОЙЕ , РТЙ ЛПФПТПН ЖХОЛГЙС ДПУФЙЗБЕФ НБЛУЙНХНБ (ЛБЛ ЖХОЛГЙС ПФ РТЙ ЖЙЛУЙТПЧБООЩИ ):
рПУЛПМШЛХ ЖХОЛГЙС НПОПФПООБ, ФП ФПЮЛЙ НБЛУЙНХНБ Й УПЧРБДБАФ. рПЬФПНХ ПГЕОЛПК НБЛУЙНБМШОПЗП РТБЧДПРПДПВЙС (пнр) НПЦОП ОБЪЩЧБФШ ФПЮЛХ НБЛУЙНХНБ (РП ) ЖХОЛГЙЙ :
оБРПНОЙН, ЮФП ФПЮЛЙ ЬЛУФТЕНХНБ ЖХОЛГЙЙ ЬФП МЙВП ФПЮЛЙ, Ч ЛПФПТЩИ РТПЙЪЧПДОБС ПВТБЭБЕФУС Ч ОХМШ, МЙВП ФПЮЛЙ ТБЪТЩЧБ ЖХОЛГЙЙ/РТПЙЪЧПДОПК, МЙВП ЛТБКОЙЕ ФПЮЛЙ ПВМБУФЙ ПРТЕДЕМЕОЙС ЖХОЛГЙЙ.
рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ ТБУРТЕДЕМЕОЙС рХБУУПОБ , ЗДЕ . оБКДЕН пнр ОЕЙЪЧЕУФОПЗП РБТБНЕФТБ .
рПУЛПМШЛХ ЬФБ ЖХОЛГЙС РТЙ ЧУЕИ ОЕРТЕТЩЧОП ДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕНБ РП , НПЦОП ЙУЛБФШ ФПЮЛЙ ЬЛУФТЕНХНБ, РТЙТБЧОСЧ Л ОХМА ЮБУФОХА РТПЙЪЧПДОХА РП . оП ХДПВОЕЕ ЬФП ДЕМБФШ ДМС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ РТБЧДПРПДПВЙС:
Й ФПЮЛБ ЬЛУФТЕНХНБ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС: , ФП ЕУФШ .
1) хВЕДЙФШУС, ЮФП ФПЮЛБ НБЛУЙНХНБ, Б ОЕ НЙОЙНХНБ.
2) хВЕДЙФШУС, ЮФП УПЧРБДБЕФ У ПДОПК ЙЪ ПГЕОПЛ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ. РП ЛБЛПНХ НПНЕОФХ?
рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ ОПТНБМШОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС , ЗДЕ , ; Й ПВБ РБТБНЕФТБ , ОЕЙЪЧЕУФОЩ.
чЩРЙЫЕН РМПФОПУФШ, ЖХОЛГЙА РТБЧДПРПДПВЙС Й МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ЖХОЛГЙА РТБЧДПРПДПВЙС. рМПФОПУФШ:
МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ЖХОЛГЙС РТБЧДПРПДПВЙС:
ч ФПЮЛЕ ЬЛУФТЕНХНБ (РП ) ЗМБДЛПК ЖХОЛГЙЙ ПВТБЭБАФУС Ч ОХМШ ПВЕ ЮБУФОЩЕ РТПЙЪЧПДОЩЕ:
пГЕОЛБ НБЛУЙНБМШОПЗП РТБЧДПРПДПВЙС ДМС ТЕЫЕОЙЕ УЙУФЕНЩ ХТБЧОЕОЙК
тЕЫБС, РПМХЮЙН ИПТПЫП ЪОБЛПНЩЕ ПГЕОЛЙ:
1) хВЕДЙФШУС, ЮФП , ФПЮЛБ НБЛУЙНХНБ, Б ОЕ НЙОЙНХНБ.
2) хВЕДЙФШУС, ЮФП ЬФЙ ПГЕОЛЙ УПЧРБДБАФ У ОЕЛПФПТЩНЙ ПГЕОЛБНЙ НЕФПДБ НПНЕОФПЧ.
рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ ТБЧОПНЕТОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС , ЗДЕ . фПЗДБ (УН. [3, РТЙНЕТ 4.4, У.24] ЙМЙ [1, РТЙНЕТ 5, У.91]).
рХУФШ , , ЧЩВПТЛБ ПВЯЕНБ ЙЪ ТБЧОПНЕТОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС , ЗДЕ (УН. ФБЛЦЕ [1, РТЙНЕТ 4, У.91]).
чЩРЙЫЕН РМПФОПУФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙС Й ЖХОЛГЙА РТБЧДПРПДПВЙС. рМПФОПУФШ:
жХОЛГЙС РТБЧДПРПДПВЙС ДПУФЙЗБЕФ УЧПЕЗП НБЛУЙНБМШОПЗП ЪОБЮЕОЙС ЧП ЧУЕИ ФПЮЛБИ . зТБЖЙЛ ЬФПК ЖХОЛГЙЙ ЙЪПВТБЦЕО ОБ ТЙУ. 4.