Для чего используют уравнение регрессии

R — значит регрессия

Статистика в последнее время получила мощную PR поддержку со стороны более новых и шумных дисциплин — Машинного Обучения и Больших Данных. Тем, кто стремится оседлать эту волну необходимо подружится с уравнениями регрессии. Желательно при этом не только усвоить 2-3 приемчика и сдать экзамен, а уметь решать проблемы из повседневной жизни: найти зависимость между переменными, а в идеале — уметь отличить сигнал от шума.

Для этой цели мы будем использовать язык программирования и среду разработки R, который как нельзя лучше приспособлен к таким задачам. Заодно, проверим от чего зависят рейтинг Хабрапоста на статистике собственных статей.

Введение в регрессионный анализ

Если имеется корреляционная зависимость между переменными y и x , возникает необходимость определить функциональную связь между двумя величинами. Зависимость среднего значения называется регрессией y по x .

Основу регрессионного анализа составляет метод наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым в качестве уравнения регресии берется функция такая, что сумма квадратов разностей минимальна.

Карл Гаусс открыл, или точнее воссоздал, МНК в возрасте 18 лет, однако впервые результаты были опубликованы Лежандром в 1805 г. По непроверенным данным метод был известен еще в древнем Китае, откуда он перекочевал в Японию и только затем попал в Европу. Европейцы не стали делать из этого секрета и успешно запустили в производство, обнаружив с его помощью траекторию карликовой планеты Церес в 1801 г.

Вид функции , как правило, определен заранее, а с помощью МНК подбираются оптимальные значения неизвестных параметров. Метрикой рассеяния значений вокруг регрессии является дисперсия.

• k — число коэффициентов в системе уравнений регрессии.

Чаще всего используется модель линейной регрессии, а все нелинейные зависимости приводят к линейному виду с помощью алгебраических ухищрений, различных преобразования переменных y и x .

Линейная регрессия

Уравнения линейной регрессии можно записать в виде

В матричном виде это выгладит

• y — зависимая переменная;
• x — независимая переменная;
• β — коэффициенты, которые необходимо найти с помощью МНК;
• ε — погрешность, необъяснимая ошибка и отклонение от линейной зависимости;

Случайная величина может быть интерпретирована как сумма из двух слагаемых:

• — полная дисперсия (TSS).
• — объясненная часть дисперсии (ESS).
• — остаточная часть дисперсии (RSS).

Еще одно ключевое понятие — коэффициент корреляции R 2 .

Ограничения линейной регрессии

Для того, чтобы использовать модель линейной регрессии необходимы некоторые допущения относительно распределения и свойств переменных.

1. Линейность, собственно. Увеличение, или уменьшение вектора независимых переменных в k раз, приводит к изменению зависимой переменной также в k раз.
2. Матрица коэффициентов обладает полным рангом, то есть векторы независимых переменных линейно независимы.
3. Экзогенность независимых переменных — . Это требование означает, что математическое ожидание погрешности никоим образом нельзя объяснить с помощью независимых переменных.
4. Однородность дисперсии и отсутствие автокорреляции. Каждая ε_i обладает одинаковой и конечной дисперсией σ 2 и не коррелирует с другой ε_i. Это ощутимо ограничивает применимость модели линейной регрессии, необходимо удостовериться в том, что условия соблюдены, иначе обнаруженная взаимосвязь переменных будет неверно интерпретирована.

Как обнаружить, что перечисленные выше условия не соблюдены? Ну, во первых довольно часто это видно невооруженным глазом на графике.

Неоднородность дисперсии

При возрастании дисперсии с ростом независимой переменной имеем график в форме воронки.

Нелинейную регрессии в некоторых случая также модно увидеть на графике довольно наглядно.

Тем не менее есть и вполне строгие формальные способы определить соблюдены ли условия линейной регрессии, или нарушены.

• Автокорреляция проверяется статистикой Дарбина-Уотсона (0 ≤ d ≤ 4). Если автокорреляции нет, то значения критерия d≈2, при позитивной автокорреляции d≈0, при отрицательной — d≈4.
• Неоднородность дисперсии — Тест Уайта, , при \chi<^2>_<\alpha;m-1>$» data-tex=»inline»/> нулевая гипотеза отвергается и констатируется наличие неоднородной дисперсии. Используя ту же можно еще применить тест Бройша-Пагана.
• Мультиколлинеарность — нарушения условия об отсутствии взаимной линейной зависимости между независимыми переменными. Для проверки часто используют VIF-ы (Variance Inflation Factor).

В этой формуле — коэффициент взаимной детерминации между и остальными факторами. Если хотя бы один из VIF-ов > 10, вполне резонно предположить наличие мультиколлинеарности.

Почему нам так важно соблюдение всех выше перечисленных условий? Все дело в Теореме Гаусса-Маркова, согласно которой оценка МНК является точной и эффективной лишь при соблюдении этих ограничений.

Как преодолеть эти ограничения

Нарушения одной или нескольких ограничений еще не приговор.

1. Нелинейность регрессии может быть преодолена преобразованием переменных, например через функцию натурального логарифма ln .
2. Таким же способом возможно решить проблему неоднородной дисперсии, с помощью ln , или sqrt преобразований зависимой переменной, либо же используя взвешенный МНК.
3. Для устранения проблемы мультиколлинеарности применяется метод исключения переменных. Суть его в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные устраняются из регрессии, и она заново оценивается. Критерием отбора переменных, подлежащих исключению, является коэффициент корреляции. Есть еще один способ решения данной проблемы, который заключается в замене переменных, которым присуща мультиколлинеарность, их линейной комбинацией. Этим весь список не исчерпывается, есть еще пошаговая регрессия и другие методы.

К сожалению, не все нарушения условий и дефекты линейной регрессии можно устранить с помощью натурального логарифма. Если имеет место автокорреляция возмущений к примеру, то лучше отступить на шаг назад и построить новую и лучшую модель.

Линейная регрессия плюсов на Хабре

Итак, довольно теоретического багажа и можно строить саму модель.
Мне давно было любопытно от чего зависит та самая зелененькая цифра, что указывает на рейтинг поста на Хабре. Собрав всю доступную статистику собственных постов, я решил прогнать ее через модель линейно регрессии.

Загружает данные из tsv файла.

• points — Рейтинг статьи
• reads — Число просмотров.
• comm — Число комментариев.
• faves — Добавлено в закладки.
• fb — Поделились в социальных сетях (fb + vk).
• bytes — Длина в байтах.

Вопреки моим ожиданиям наибольшая отдача не от количества просмотров статьи, а от комментариев и публикаций в социальных сетях. Я также полагал, что число просмотров и комментариев будет иметь более сильную корреляцию, однако зависимость вполне умеренная — нет надобности исключать ни одну из независимых переменных.

Теперь собственно сама модель, используем функцию lm .

В первой строке мы задаем параметры линейной регрессии. Строка points

. определяет зависимую переменную points и все остальные переменные в качестве регрессоров. Можно определить одну единственную независимую переменную через points

reads , набор переменных — points

Перейдем теперь к расшифровке полученных результатов.

• Intercept — Если у нас модель представлена в виде , то тогда — точка пересечения прямой с осью координат, или intercept .
• R-squared — Коэффициент детерминации указывает насколько тесной является связь между факторами регрессии и зависимой переменной, это соотношение объясненных сумм квадратов возмущений, к необъясненным. Чем ближе к 1, тем ярче выражена зависимость.
• Adjusted R-squared — Проблема с в том, что он по любому растет с числом факторов, поэтому высокое значение данного коэффициента может быть обманчивым, когда в модели присутствует множество факторов. Для того, чтобы изъять из коэффициента корреляции данное свойство был придуман скорректированный коэффициент детерминации .
• F-statistic — Используется для оценки значимости модели регрессии в целом, является соотношением объяснимой дисперсии, к необъяснимой. Если модель линейной регрессии построена удачно, то она объясняет значительную часть дисперсии, оставляя в знаменателе малую часть. Чем больше значение параметра — тем лучше.
• t value — Критерий, основанный на t распределении Стьюдента . Значение параметра в линейной регрессии указывает на значимость фактора, принято считать, что при t > 2 фактор является значимым для модели.
• p value — Это вероятность истинности нуль гипотезы, которая гласит, что независимые переменные не объясняют динамику зависимой переменной. Если значение p value ниже порогового уровня (.05 или .01 для самых взыскательных), то нуль гипотеза ложная. Чем ниже — тем лучше.

Можно попытаться несколько улучшить модель, сглаживая нелинейные факторы: комментарии и посты в социальных сетях. Заменим значения переменных fb и comm их степенями.

Проверим значения параметров линейной регрессии.

Как видим в целом отзывчивость модели возросла, параметры подтянулись и стали более шелковистыми , F-статистика выросла, так же как и скорректированный коэффициент детерминации .

Проверим, соблюдены ли условия применимости модели линейной регрессии? Тест Дарбина-Уотсона проверяет наличие автокорреляции возмущений.

И напоследок проверка неоднородности дисперсии с помощью теста Бройша-Пагана.

В заключение

Конечно наша модель линейной регрессии рейтинга Хабра-топиков получилось не самой удачной. Нам удалось объяснить не более, чем половину вариативности данных. Факторы надо чинить, чтобы избавляться от неоднородной дисперсии, с автокорреляцией тоже непонятно. Вообще данных маловато для сколь-нибудь серьезной оценки.

Но с другой стороны, это и хорошо. Иначе любой наспех написанный тролль-пост на Хабре автоматически набирал бы высокий рейтинг, а это к счастью не так.

Что такое регрессионный анализ?

Регрессионный анализ — это набор статистических методов оценки отношений между переменными. Его можно использовать для оценки степени взаимосвязи между переменными и для моделирования будущей зависимости. По сути, регрессионные методы показывают, как по изменениям «независимых переменных» можно зафиксировать изменение «зависимой переменной».

Зависимую переменную в бизнесе называют предиктором (характеристика, за изменением которой наблюдают). Это может быть уровень продаж, риски, ценообразование, производительность и так далее. Независимые переменные — те, которые могут объяснять поведение выше приведенных факторов (время года, покупательная способность населения, место продаж и многое другое).Регрессионный анализ включает несколько моделей. Наиболее распространенные из них: линейная, мультилинейная (или множественная линейная) и нелинейная.

Как видно из названий, модели отличаются типом зависимости переменных: линейная описывается линейной функцией; мультилинейная также представляет линейную функцию, но в нее входит больше параметров (независимых переменных); нелинейная модель — та, в которой экспериментальные данные характеризуются функцией, являющейся нелинейной (показательной, логарифмической, тригонометрической и так далее).

Чаще всего используются простые линейные и мультилинейные модели.

Регрессионный анализ предлагает множество приложений в различных дисциплинах, включая финансы.

Рассмотрим поподробнее принципы построения и адаптации результатов метода.

Линейный регрессионный анализ основан на шести фундаментальных предположениях:

• Переменные показывают линейную зависимость;
• Независимая переменная не случайна;
• Значение невязки (ошибки) равно нулю;
• Значение невязки постоянно для всех наблюдений;
• Значение невязки не коррелирует по всем наблюдениям;
• Остаточные значения подчиняются нормальному распределению.

Простая линейная модель выражается с помощью следующего уравнения:

Регрессия: понятие, виды и уравнение

Содержание статьи:

• Уравнение регрессии
• Линейное уравнение
• Нелинейное уравнение
• Виды регрессии
• Парная регрессия
• Множественная регрессия

Регрессия. Многие из нас слышали это слово, но немногие знают, что же это такое на самом деле. Попробуем разобраться. Регрессия — это зависимость между определёнными переменными, с помощью которой можно спрогнозировать будущее поведение данных переменных. Причём, под переменными подразумеваются всевозможные периодические явления вплоть до человеческого поведения.

Уравнение регрессии

Зачастую, регрессия подаётся в виде простого уравнения, которое раскрывает зависимость и силу связи между двумя группами числовых переменных, одна из которых называется зависимой (эндогенной), а вторая — независимой (экзогенной или фактором). Если есть группа взаимосвязанных показателей, то зависимая переменная выбирается логическими размышлениями, а остальные выступают независимыми. То есть, если у нас есть расстояние между городами и затраты на путешествие, то вполне ясно, что затраты будут зависеть от расстояния. Уравнения бывают двух видов: линейные и нелинейные (это уже чистая математика). Стоит рассмотреть каждый из видов.

Линейное уравнение

Линейное уравнение иллюстрирует строго линейную связь между переменными, то есть в нём отсутствуют степени, дроби, тригонометрические функции. Решается стандартными математическими способами.

Нелинейное уравнение

Логично предположить, что в нелинейный класс уравнений входит всё то, что не вошло в линейный. Решаются такие уравнения сведением к линейному типу, а дальше – по накатанной дорожке.

Виды регрессии

Регрессия бывает двух видов: парная (линейная и нелинейная) и множественная (линейная и нелинейная). Разница между ними в виде уравнения и количестве независимых переменных. Логично, что парная регрессия — это когда одна зависимая переменная и одна независимая, в множественной — независимых переменных несколько. В природе имеет место исключительно множественная регрессия, так как нельзя ограничить внешнее влияние на какое-то явление строго одним фактором. Рассмотрим оба вида регрессий детальнее.

Парная регрессия

Парная (её ещё называют двухфакторной) модель проста в использовании, так как у нас всего две переменные: эндогенная и экзогенная, а значит будет просто решить уравнение и провести анализ. А это значит, что и применять на практике такую модель очень легко.

Множественная регрессия

Множественная (многофакторная) модель намного сложнее, так как мы имеем уравнение с большим количеством переменных, для решения которого существуют определённые математические способы (метод наименьших квадратов например).

Итоги

Немного разобравшись в этой теме, приходишь к выводу, что регрессия очень необходимое понятие, помогающее предугадать поведение многих явлений. Его используют в экономике, психологии, химии, биологии, метеорологии и во многих других науках, причём существует множество программ, которые проводят все необходимые расчёты автоматически и сами выводят результаты и графики для анализа. Пользователю остаётся только считать результаты и правильно расшифровать их. А уж найти им применение вообще не проблема. Поэтому, я считаю, что необходимо иметь хотя бы малейшее понятие о том, что же такое эта пресловутая регрессия и где её использовать.

Видео про линейную регрессию и корреляцию: