Для нелинейного уравнения регрессии рассчитано значение индекса детерминации

Уравнение нелинейной регрессии

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Виды нелинейной регрессии

Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.

Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.

Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .

Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):

1. Замена переменных.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения.
3. Комбинированный.

Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535

b. высокие частные коэффициенты корреляции

Обобщенный метод наименьших квадратов не может применяться для оценки параметров линейных регрессионных моделей в случае, если …

1. остатки автокоррелированны

2. средняя величина остатков не равна нулю

3. дисперсия остатков не является постоянной величиной

4. остатки гетероскедастичны

Вывод о присутствии в данном временном ряде сезонной компоненты можно сделать по значению коэффициента автокорреляции ____ порядка.

Нелинейная регрессионная модель отражает …

1. отсутствие связи между зависимой переменной и независимой переменной (независимыми переменными)

2. статистически незначимую нелинейную взаимосвязь между социально- экономическими показателями

3. совокупность линейных зависимостей между зависимой переменной и независимой переменной (независимыми переменными)

4. нелинейную взаимосвязь между социально-экономическими показателями

Для регрессионной модели зависимости среднедушевого денежного дохода населения (руб., у) от объема валового регионального продукта (тыс. р., х1) и уровня безработицы в субъекте (%, х2) получено уравнение . Величина коэффициента регрессии при переменной х2 свидетельствует о том, что при изменении уровня безработицы на 1% среднедушевой денежный доход ______ рубля при неизменной величине валового регионального продукта.

1. увеличится на 1,67

2. изменится на 0,003

3. уменьшится на (-1,67)

4. изменится на (-1,67)

Гиперболической моделью не является регрессионная модель …

Для нелинейного уравнения регрессии рассчитано значение индекса детерминации R^2=0,6 . Следовательно, доля объясненной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной для данного уравнения составляет …

При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии e=f+bx+e определяются из условия ______ остатков .

1. равенства нулю суммы квадратов

2. равенства нулю

3. минимизации суммы квадратов

4. минимизации модулей

Дана автокорреляционная функция временного ряда

1. имеет выраженную сезонную компоненту и имеет тенденцию

2. не имеет ни тенденции, ни сезонной компоненты

3. содержит только тенденцию, и не содержит сезонную компоненту

4. имеет выраженную сезонную компоненту и не имеет тенденции

Для регрессионной модели математическое ожидание остатков равно 0, следовательно, оценки параметров обладают свойством …

Если параметр эконометрической модели является статистически значимым, то отвергается статистическая гипотеза о том, что его значение …

1. равно коэффициенту парной корреляции Неверно

В модели множественной регрессии

определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами х1, х2 и х3 близок к единице. Это означает, что факторы х1, х2 и х3 …

1. количественно измеримы

При выполнении предпосылок метода наименьших квадратов (МНК) оценки параметров регрессионной модели, рассчитанные с помощью МНК, обладают свойствами …

1. несостоятельности, смещенности и эффективности

2. состоятельности, смещенности и эффективности

3. состоятельности, смещенности и неэффективности

4. состоятельности, несмещенности и эффективности

Для регрессионной модели парной регрессии рассчитано значение коэффициента детерминации R^2. Тогда долю остаточной дисперсии зависимой переменной характеризует величина …

Для совокупности из n единиц наблюдений построена модель линейного уравнения множественной регрессии с количеством параметров при независимых переменных, равным k. Тогда при расчете объясненной дисперсии на одну степень свободы величину дисперсии относят к значению …

Для эконометрической модели уравнения регрессии ошибка модели определяется как ______ между фактическим значением зависимой переменной и ее расчетным значением.

2. сумма квадратов разности

3. квадрат разности

4. сумма разности квадратов

Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует …

1. значимость тренда

2. качество модели временного ряда

3. тесноту нелинейной связи

4. тесноту линейной связи

Если параметр эконометрической модели не является статистически значимым, то его значение признается …

2. отличным от 0

3. равным коэффициенту парной корреляции

Для аддитивной модели временного ряда Y = T + S + E лаг модели равен 4 и известны значения трех скорректированных сезонных компонент: S1=2, S2=-1, S3=-2.

Известно, что доля остаточной регрессии в общей составила 0,19. Тогда значение коэффициента корреляции равно …

Уровень временного ряда (yt) формируется под воздействием различных факторов – компонент: Т (тенденция), S (циклические и/или сезонные колебания), Е (случайные факторы). Мультипликативную модель временного ряда не формируют следующие значения компонент уровня временного ряда …

1. yt = 7; T = 3,5; S = 2; E = 1

2. yt = 7; T = 7; S = 1; E = 1

3. yt = 7; T = 3,5; S = -2; E = -1

4. yt = 7; T = -3,5; S = -2; E = -1

Гетероскедастичность можно обнаружить с помощью:

b. теста Дарбина-Уотсона

?d. теста Голфелда-Квандта

По типу функциональной зависимости между переменными эконометрической модели различают _____ уравнения регрессии

1. множественные и парные

2. линейные и нелинейные

3. линейные и парные

4. стохастические и вероятностные

Для нелинейного уравнения регрессии рассчитано значение индекса детерминации, которое составило

Следовательно, доля остаточной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной для данного уравнения составляет …

Если параметр эконометрической модели не является статистически значимым, то соответствующая независимая переменная …

1. не оказывает влияния на моделируемый показатель (зависимую переменную)

2. оказывает статистически значимое влияние на моделируемый показатель (зависимую переменную)

3. оказывает основное (доминирующее) влияние на зависимую переменную

4. тесно связан с зависимой переменной

Метод наименьших квадратов (МНК) может применяться для оценки параметров исходной регрессионной модели в _________ форме.

При оценке статистической значимости построенной эконометрической модели выдвигают ______ гипотезы.

Для регрессионной модели несмещенность оценки параметра означает, что ее выборочное математическое ожидание равно …

1. коэффициенту парной корреляции между зависимой переменной и соответствующей независимой переменной

2. оцениваемому параметру, рассчитанному по генеральной совокупности

3. свободному члену уравнения регрессии

4. математическому ожиданию остатков модели

1. a, b1, b2, b3

Для совокупности из n единиц наблюдений рассчитывают общую дисперсию на одну степень свободы, при этом величину дисперсии относят к значению …

На графике изображен временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Исходя из данной структуры ряда можно предположить, что наиболее высокое значение коэффициента автокорреляции уровней ряда будет наблюдаться для ______ порядка.

Для нелинейного уравнения регрессии рассчитано значение индекса детерминации

Следовательно, доля остаточной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной для данного уравнения составляет …

Для регрессионной модели вида

показателем тесноты связи является …

1. коэффициент множественной корреляции

2. коэффициент автокорреляции

3. F-критерий Фишера

4. парный коэффициент корреляции

Для регрессионной модели вида построена на координатной плоскости совокупность точек с координатами (yi;xi), данное графическое отображение зависимости называется …

1. множественной регрессией

2. случайными факторами

3. полем корреляции

4. параметрами уравнения

При оценке параметров регрессионной модели с гетероскедастичными остатками при помощи обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) выдвигается предположение, что дисперсия остатков …

2. пропорциональна некоторой величине

Автокорреляционной функцией временного ряда называется последовательность коэффициентов автокорреляции …

1. между несколькими временными рядами

2. между трендовой, сезонной и случайной компонентами

3. факторов, формирующих уровень ряда

4. первого, второго, третьего и последующих

Если зависимость объема спроса от цены характеризуется постоянной эластичностью, то моделирование целесообразно проводить на основе …

1. экспоненциальной функции

2. степенной функции

3. параболы второй степени

4. равносторонней гиперболы

Ошибкой спецификации эконометрической модели уравнения регрессии является

1. расчет показателей качества модели

2. использование парной регрессии вместо множественной

3. оценка параметров при помощи МНК

4. учет случайных факторов

Одной из предпосылок метода наименьших квадратов является утверждение, что остатки регрессионной модели должны подчиняться _____ закону распределения.

Проверку статистической значимости построенной эконометрической модели на основе F-критерия осуществляют с использованием …

1. стандартизованных переменных

2. системы нормальных уравнений

3. статистических гипотез

4. коллективных гипотез

Обобщенный метод наименьших квадратов не может применяться для оценки параметров линейных регрессионных моделей в случае, если …

1. дисперсия остатков не является постоянной величиной

2. средняя величина остатков не равна нулю

3. остатки гетероскедастичны

4. остатки автокоррелированны

Если оценка параметра является смещенной, то нарушается предпосылка метода наибольших квадратов о _____

1. случайном характере

2. нормальном законе распределения

3. нулевой средней величине

Временной ряд – это совокупность значений экономического показателя за несколько _____ моментов (периодов) времени.

Если известно уравнение множественной регрессии y=a+b1x1+b2x2+b3x3+e

построенное по результатам 50 наблюдений, для которого общая сумма квадратов отклонений равна 153, и остаточная сумма квадратов отклонений равна 3, то значение F-статистики равно …

Показатели корреляции и детерминации для нелинейных моделей регрессии

Индексом корреляции для нелинейных форм связи называется коэффициент корреляции, который вычисляется для оценки качества построенной нелинейной модели регрессии.

Индекс корреляции для нелинейных форм вычисляется с помощью теоремы о разложении дисперсий по формуле:

где G 2 (y) – это общая дисперсия зависимой переменной;

σ 2 (y) – это объяснённая с помощью построенной модели регрессии дисперсия переменной у, которая рассчитывается по формуле:

δ 2 (y) – необъяснённая или остаточная дисперсия переменной у, которая рассчитывается по формуле:

Также индекс корреляции для нелинейных форм можно рассчитать с помощью теоремы о разложении сумм квадратов по формуле:

где RSS (Regression Sum Square) – сумма квадратов объяснённой регрессии:

ESS (Error Sum Square) – сумма квадратов остатков модели множественной регрессии с n независимыми переменными:

TSS (TotalSumSquare) – общая сумма квадратов модели множественной регрессии с n независимыми переменными:

Индекс корреляции для нелинейных форм связи изменяется в пределах от нуля до единицы. С его помощью нельзя охарактеризовать направление связи между результативной и факторными переменными. Чем ближе значение индекса корреляции для нелинейных форм связи к единице, тем сильнее взаимосвязь между результативной и независимыми переменными, и наоборот, чем ближе значение индекса корреляции для нелинейных форм связи к нулю, тем слабее взаимосвязь между результативной и независимыми переменными.

Индексом детерминации называется квадрат индекса корреляции для нелинейных форм связи.

Расчёт индекса детерминации с помощью теоремы о разложении дисперсий:

Расчёт индекса детерминации с помощью теоремы о разложении сумм квадратов:

Индекс детерминации характеризует, на сколько процентов построенная модель регрессии объясняет вариацию значений результативной переменной относительно своего среднего уровня, т. е. показывает долю общей дисперсии результативной переменной, объяснённой вариацией факторных переменных, включённых в модель регрессии.

Коэффициент множественной детерминации также называется количественной характеристикой объяснённой построенной моделью регрессии дисперсии результативной переменной. Чем больше значение коэффициента множественной детерминации, тем лучше построенная модель регрессии характеризует взаимосвязь между переменными.