Для оценки параметров уравнения используется

Оценка параметров линейного регрессионного уравнения

Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности. Сущность данного метода заключается в нахождении параметров модели (α, β), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

В итоге получаем систему нормальных уравнений:

Эту систему можно записать в виде:

_{Решая данную систему линейных уравнений с двумя неизвестными получаем оценки наименьших квадратов:}

_{В уравнениях регрессии параметр α показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов, а параметр β – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу.}

_{Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:}

_{где – коэффициент регрессии в уравнении связи;}

– среднее квадратическое отклонение соответствующего статистически существенного факторного признака.

_{Имеются следующие данные о размере страховой суммы и страховых возмещений на автотранспортные средства одной из страховых компаний.}

_{Зависимость между размером страховых возмещений и страховой суммой на автотранспорт}

_{Объем страхового возмещения (тыс.долл.), Yi}

_{Стоимость застрахованного автомобиля (тыс.долл.), X i}

Оценка параметров линейных уравнений регрессии

Спецификация модели

+наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов

-раздел экономической теории, связанный с анализом статистической информации

-специальный раздел математики, посвященный анализу экономической информации

-наука, которая осуществляет качественный анализ взаимосвязей экономических явлений и процессов

#Основной задачей эконометрики является…

+исследование взаимосвязей экономических явлений и процессов

-отражение особенностей социального развития общества

-установление связей между различными процессами в обществе и технических процессом

— анализ технического прогресса на примере социально–экономических показателей

#При выборе спецификации модели парная регрессия используется в случае, когда …

+среди множества факторов, влияющих на результат можно выделить доминирующий фактор

-среди множества факторов, влияющих на результат нельзя выделить доминирующий фактор

-среди множества факторов, влияющих на результат можно выделить несколько факторов

-среди множества факторов, влияющих на результат можно выделить лишь случайные факторы

#Объем выборки должен превышать число рассчитываемых параметров при исследуемых факторах …

#К ошибкам спецификации относится …

+неправильный выбор той или иной математической функции

-однородность выбранной совокупности

-учет в модели случайных факторов

— учет в модели существенных факторов

#Относительно формы зависимости различают …

+линейную и нелинейную регрессии

-простую и множественную регрессии

-непосредственную и косвенную регрессии

-положительную и отрицательную регрессии

#Относительно количества факторов, включенных в уравнение регрессии различают …

+простую и множественную регрессии

-линейную и нелинейную регрессии

-непосредственную и косвенную регрессии

— множественную и многофакторную регрессии

#Простая линейная регрессия предполагает …

+наличие одного фактора и линейность уравнения регрессии

-наличие двух и более факторов и линейность уравнения регрессии

-наличие одного фактора и нелинейность уравнения регрессии

-наличие двух и более факторов и нелинейность уравнения регрессии

#Объем выборки определяется …

+числом параметров при независимых переменных

-числом результативных переменных

-объемом генеральной совокупности

-числовыми значениями переменных отбираемых в выборку

#Дано уравнение регрессии . Определите спецификацию модели.

+линейное уравнение множественной регрессии

-линейное уравнение простой регрессии

-полиномиальное уравнение множественной регрессии

— полиномиальное уравнение парной регрессии

#Выбор формы зависимости экономических показателей и определение количества факторов в модели называется _____________ эконометрической модели.

#Коэффициент парной корреляции характеризует …

+тесноту линейной связи между двумя переменными

-тесноту нелинейной связи между двумя переменными

-тесноту линейной связи между несколькими переменными

-тесноту нелинейной связи между несколькими переменными

#Мультиколлинеарность факторов эконометрической модели подразумевает …

+наличие линейной зависимости между более чем двумя факторами

-наличие линейной зависимости между двумя факторами

-отсутствие зависимости между факторами

-наличие нелинейной зависимости между двумя факторами

#Взаимодействие факторов эконометрической модели означает, что …

+факторы дублируют влияние друг друга на результат

-влияние одного из факторов на результирующий признак не зависит от значений другого фактора

-влияние факторов на результирующий признак усиливается, начиная с определенного уровня значений факторов

— влияние факторов на результирующий признак зависит от значений другого неколлинеарного им фактора

#Отбор факторов в модель множественной регрессии при помощи метода включения основан на сравнении значений …

+остаточной дисперсии до и после включения фактора в модель

-общей дисперсии до и после включения фактора в модель

-дисперсии до и после включения результата в модель

-остаточной дисперсии до и после включения случайных факторов в модель

#Величина остаточной дисперсии при включении существенного фактора в модель …

— будет равна нулю

#В матрице парных коэффициентов корреляции отображены значения парных коэффициентов линейной корреляции между …

-параметрами и переменными

-переменными и случайными факторами

#Матрица парных коэффициентов корреляции строится для выявления коллинеарных и мультиколлинеарных …

#Факторы эконометрической модели являются коллинеарными, если коэффициент …

+корреляции между ними по модулю больше 0,7

-детерминации между ними по модулю больше 0,7

-корреляции между ними по модулю меньше 0,7

-детерминации между ними по модулю меньше 0,7

#Из пары коллинеарных факторов в эконометрическую модель включается тот фактор …

+который при достаточно тесной связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами

-который при который при отсутствии связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами

-который при отсутствии связи с результатом имеет максимальную связь с другими факторами

-который при достаточно тесной связи с результатом имеет наибольшую связь с другими факторами

#Величина коэффициента детерминации при включении существенного фактора в эконометрическую модель …

-существенно не изменится

— будет равна нулю

#Основным требованием к факторам, включаемым в модель множественной регрессии, является …

+отсутствие взаимосвязи между факторами

-наличие тесной взаимосвязи между факторами

-отсутствие взаимосвязи между результатом и фактором

-отсутствие линейной взаимосвязи между факторами

#Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются …

+качественные переменные, преобразованные в количественные

-дополнительные количественные переменные, улучшающие решение

-комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели

-переменные, представляющие простейшие функции от уже включенных в модель переменных

#В качестве фиктивных переменных в модель множественной регрессии включаются факторы, …

+не имеющие количественных значений

-имеющие количественные значения

-не имеющие качественных значений

— имеющие вероятностные значения

#При включении фиктивных переменных в модель им присваиваются …

#Исходные значения фиктивных переменных предполагают значения …

#Проводится исследование зависимости выработки работника предприятия от ряда факторов. Примером фиктивной переменной в данной модели будет являться ____________ работника

#Строится модель зависимости спроса от ряда факторов. Фиктивной переменной в данном уравнении множественной регрессии не является __________ потребителя

#Факторные переменные уравнения множественной регрессии, преобразованные из качественных в количественные называются …

#Фиктивные переменные включаются в уравнение множественной регрессии для учета действия на результат признаков …

#Фиктивные переменные включаются в уравнения __________ регрессии

#Одним из методов присвоения числовых значений фиктивным переменным является …

-нахождение среднего значения

-выравнивание числовых значений по убыванию

-выравнивание числовых значений по возрастанию

#Методом присвоения числовых значений фиктивным переменным не является …

+нахождение среднего значения

-присвоение цифровых меток

-присвоение количественных значений

#Величина коэффициента регрессии показывает …

+среднее изменение результата при изменении фактора на одну единицу

-характер связи между фактором и результатом

-тесноту связи между фактором и результатом

-тесноту связи между исследуемыми факторами

#Величина параметра a в уравнении парной линейной регрессии характеризует значение…

+результирующей переменной при нулевом значении фактора

-факторной переменной при нулевом значении результата

-результирующей переменной при нулевом значении случайной величины

-факторной переменной при нулевом значении случайного фактора

#Уравнение регрессии, которое связывает результирующий признак с одним из факторов при зафиксированном на среднем уровне значении других переменных называется …

#В линейном уравнении парной регрессии коэффициентом регрессии является значение…

#Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид . Определите какой из факторов или оказывает более сильное влияние на у.

+по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как коэффициенты регрессии несравнимы между собой

— , так как 2,5 > -3,7

— , так как 3,7 > 2,5

-оказывают одинаковое влияние

#В стандартизованном уравнении множественной регрессии ; . Определите какой из факторов х₁ или х₂ оказывает более сильное влияние на у.

+ , так как 2,1 > 0,3

— , так как 0,3 > -2,1

-по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как стандартизованные коэффициенты регрессии несравнимы между собой

-по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как неизвестны значения «чистых» коэффициентов регрессии

#Построена модель парной регрессии зависимости предложения от цены . Влияние случайных факторов на величину предложения в этой модели учтено посредством …

+случайной величины ε

-посредством константы ε

-случайной величины x

-посредством параметра b

#Для модели зависимости дохода населения (р.) от объема производства (млн. р.) получено уравнение у = 0,003х + 1200 + ε. При изменении объема производства на 1 млн. р. доход в среднем изменится на …

#В стандартизованном уравнении множественной регрессии переменными являются …

-средние значения исходных переменных

#Показатель, характеризующий на сколько сигм изменится в среднем результат при изменении соответствующего фактора на одну сигму, при неизменном уровне других факторов называется __________ коэффициентом регрессии

#В стандартизованном уравнении свободный член …

-равен коэффициенту множественной корреляции

-равен коэффициенту множественной детерминации

Оценка параметров линейных уравнений регрессии

#Метод наименьших квадратов используется для оценивания …

+параметров линейной регрессии

-величины коэффициента корреляции

-величины коэффициента детерминации

-средней ошибки аппроксимации

#Метод наименьших квадратов не применимдля …

+уравнений нелинейных по оцениваемым параметрам

-линейных уравнений множественной регрессии

-линейных уравнений парной регрессии

-полиномиальных уравнений множественной регрессии

#В основе метода наименьших квадратов лежит …

+минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-равенство нулю суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-максимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его средних значений

#Систему МНК, построенную для оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно решить …

-методом первых разностей

-методом скользящего среднего

#В исходном соотношении МНК сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений …

-приравнивается к нулю

-приравнивается к системе нормальных уравнений

#Метод наименьших квадратов позволяет оценить _____________ уравнений регрессии

-параметры и переменные

-переменные и случайные величины

#Оценки параметров уравнений регрессии при помощи метода наименьших квадратов находятся на основании решения …

+решения системы нормальных уравнений

-решения двойственной задачи

-решения уравнения регрессии

-решения системы нормальных неравенств

#Оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно найти при помощи метода …

+метода наименьших квадратов

-метода наибольших квадратов

-метода средних квадратов

-метода нормальных квадратов

#Метод наименьших квадратов применяется для оценки …

+параметров линейных уравнений регрессии

-качества линейных уравнений регрессии

-уравнений регрессии, нелинейных по параметрам

-качества уравнений, нелинейных по параметрам

#Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов строится на основании …

+таблицы исходных данных

-предсказанных значений результативного признака

-отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений

-отклонений фактических значений объясняющей переменной от ее теоретических значений

#Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является …

-равенство нулю средних значений результативной переменной

-равенство нулю средних значений факторного признака

#Несмещенность оценки характеризует …

+равенство нулю математического ожидания остатков

-наименьшую дисперсию остатков

-увеличение точности ее вычисления с увеличением объема выборки

-ее зависимость от объема выборки

#Если оценка параметра эффективна, то это означает …

+наименьшую дисперсию остатков

-равенство нулю математического ожидания остатков

-максимальную дисперсию остатков

-уменьшение точности с увеличением объема выборки

#Состоятельность оценки характеризуется .

+увеличением ее точности с увеличением объема выборки

-независимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков

-уменьшением ее точности с увеличением объема выборки

-зависимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков

#Несмещенность оценки на практике означает …

+что при большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться

-что найденное значение коэффициента регрессии нельзя рассматривать как среднее значение из возможного большого количества несмещенных оценок

-невозможность перехода от точечного оценивания к интервальному

-уменьшение точности с увеличением объема выборки

#Эффективность оценки на практике характеризуется …

+возможностью перехода от точечного оценивания к интервальному

-отсутствием накапливания значений остатков при большом числе выборочных оцениваний

-невозможностью перехода от точечного оценивания к интервальному

-уменьшением точности с увеличением объема выборки

#Свойствами оценок МНК являются …

+эффективность, состоятельность и несмещенность

-эффективность, состоятельность и смещенность

-эффективность, несостоятельность и смещенность

-эффективность, несостоятельность и несмещенность

#Увеличение точности оценок с увеличением объема выборки описывает свойство _______ оценки.

#Математическое ожидание остатков равно нулю, если оценки параметров обладают свойством …

#Минимальная дисперсия остатков характерна для оценок, обладающих свойством …

#Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются …

+ эффективными и несмещенными

-эффективными и несостоятельными

-неэффективными и состоятельными

-состоятельными и смещенными

#При примени метода наименьших квадратов исследуются свойства …

+оценок параметров уравнения регрессии

-оценок переменных уравнения регрессии

-оценок случайных величин уравнения регрессии

-оценок переменных и параметров уравнения регрессии

+одинаковую дисперсию остатков при каждом значении фактора

-рост дисперсии остатков с увеличением значения фактора

-уменьшение дисперсии остаток с уменьшением значения фактора

-максимальную дисперсию остатков при средних значениях фактора

#Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что…

+остаточные величины имеют случайный характер

-остаточные величины имеют неслучайный характер

-при увеличении моделируемых значений результативного признака значение остатка увеличивается

-при уменьшении моделируемых значений результативного признака значение остатка уменьшается

+зависимость дисперсии остатков от значения фактора

-постоянство дисперсии остатков независимо от значения фактора

-независимость математического ожидания остатков от значения фактора

-зависимость математического ожидания остатков от значения фактора

#Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что остатки…

+подчиняются закону нормального распределения

-не подчиняются закону нормального распределения

-подчиняются закону больших чисел

-не подчиняются закону больших чисел

#Предпосылки метода наименьших квадратов исследуют поведение …

-параметров уравнения регрессии

-переменных уравнения регрессии

#Предпосылкой метода наименьших квадратов является …

+отсутствие автокорреляции в остатках

-присутствие автокорреляции в остатках

-отсутствие корреляции между результатом и фактором

-присутствие автокорреляции между результатом и фактором

#Предпосылкой метода наименьших квадратов не является условие …

+неслучайного характера остатков

-отсутствия автокорреляции в остатках

-случайного характера остатков

#Случайный характер остатков предполагает …

+независимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака

-зависимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака

-зависимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака

-независимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака

#Отсутствие автокорреляции в остатках предполагает, что значения ______ не зависят друг от друга

#Оценки параметров, найденные при помощи метода наименьших квадратов обладают свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности, если предпосылки метода наименьших квадратов …

-можно не учитывать

#Если предпосылки метода наименьших квадратов нарушены, то …

+оценки параметров могут не обладать свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности

-коэффициент регрессии является несущественным

-коэффициент корреляции является несущественным

-полученное уравнение статистически незначимо

#Обобщенный метод наименьших квадратов применяется в случае…

#Обобщенный метод наименьших квадратов используется для корректировки…

+гетероскедастичности остатков в уравнении регрессии

-автокорреляции между независимыми переменными

-параметров нелинейного уравнения регрессии

-точности определения коэффициента множественной корреляции

#Обобщенный метод наименьших квадратов подразумевает …

-линеаризацию уравнения регрессии

-двухэтапное применение метода наименьших квадратов

-переход от множественной регрессии к парной

#Обобщенный метод наименьших квадратов рекомендуется применять в случае …

-нормально распределенных остатков

-автокорреляции результативного признака

#При применении метода наименьших остатков уменьшить гетероскедастичность остатков удается путем …

-введения дополнительных факторов в модель

-введения дополнительных результатов в модель

#На основании преобразования переменных при помощи обобщенного метода наименьших квадратов получаем новое уравнение регрессии, которое представляет собой …

+взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами

-нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами

-взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами

-нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами

#Обобщенный метод наименьших квадратов не используется для моделей с _______ остатками

-автокоррелярованными и гетероскедастичными

#Что преобразуется при применении обобщенного метода наименьших квадратов?

+исходные уровни переменных

-дисперсия результативного признака

-дисперсия факторного признака

-стандартизованные коэффициенты регрессии

#Обобщенный метод наименьших квадратов отличается от обычного МНК тем, что при применении ОМНК…

+преобразуются исходные уровни переменных

-уменьшается количество наблюдений

-остатки приравниваются к нулю

-остатки не изменяются

#После применения обобщенного метода наименьших квадратов удается избежать ______ остатков

-равенства нулю суммы

#Метод оценки параметров моделей с гетероскедастичными остатками называется …методом наименьших квадратов

Системы эконометрических уравнений

7. Системы эконометрических уравнений

7.1. Виды систем регрессионных уравнений

Любая экономическая система – это сложная система с множеством входов, выходов и сложной структурой взаимосвязей показателей, характеризующих деятельность этой системы. Поэтому для описания механизма функционирования таких систем обычно изолированных уравнений регрессии недостаточно.

Практически изменение какого-либо показателя в экономической системе, как правило, вызывает изменение целого ряда других. Так изменение производительности труда влияет на затраты труда, а, следовательно на себестоимость, прибыль, рентабельность производства и пр.

Все это вызывает потребность использования при описании сложных экономических явлений и процессов систем взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств. Особенно актуальна необходимость в применении таких систем при моделировании на макроуровне, так как макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Например, при построении модели национальной экономики необходимо рассмотреть уравнения, описывающие потребление, инвестиции, прирост капиталовложений, воспроизводство трудовых ресурсов, производство продукта и пр.

Переменные, входящие в систему уравнений подразделяют на экзогенные, эндогенные и лаговые (эндогенные переменные, влияние которых характеризуется некоторым запаздыванием, временным лагом ).

Экзогенные и лаговые переменные называют предопределенными, т. е. определенными заранее.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от принятой теоретической концепции модели. Экономические показатели могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возраст) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Рассмотрим типы систем эконометрических уравнений.

1. Система независимых регрессионных уравнений (внешне не связанных)

В данном случае каждая зависимая переменная рассматривается как функция некоторого е набора факторов.

. (7.1)

Набор факторов в уравнениях (1) может варьировать. Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно, а его параметры могут быть найдены на основе традиционного метода наименьших квадратов (МНК).

2. Система рекурсивных уравнений

В таких системах в одном из уравнений содержится единственная зависимая переменная , которая в следующем уравнении присутствует в качестве факторной переменной. В третье уравнение эти эндогенные переменные из предыдущих уравнений могут быть включены как факторные и т. д.

(7.2)

В данной системе каждое последующее уравнение наряду с факторными переменными включает в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений. Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).

3. Система взаимозависимых (одновременных) уравнений

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые (эндогенные) переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т. е. выступают в роли результативных признаков), а в других уравнениях – в правую часть системы (т. е. выступают в качестве факторных переменных). Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели (СФМ).

Система одновременных уравнений в структурной форме и при отсутствии лаговых переменных может быть записана:

(7.3)

Кроме регрессионных уравнений (они называются также поведенческими уравнениями) модель может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными. Тождества позволяют исключать некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности Параметры модели в структурной форме называют ее структурными коэффициентами

Система одновременных уравнений в структурной форме позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т. к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК (например, предпосылка о некоррелированности факторных переменных с остатками). Эндогенные переменные являются случайными величинами, зависящими от . В том случае, когда эндогенная переменная входит в некоторое уравнение как факторная происходит нарушение названной предпосылки МНК. Таким образом, для нахождения структурных коэффициентов традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

7.2. Приведенная форма модели

Для определения структурных коэффициентов на основе структурной модели формируют приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

(7.4)

где – коэффициенты приведенной формы модели, – случайные остатки для приведенной формы.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим структурную модель с двумя эндогенными переменными.

. (7.5)

Запишем соответствующую приведенную форму модели:

. (7.6)

Выразим коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.

Из первого уравнения (7.5) можно выразить (ради упрощения опускаем случайную величину): .

Подставим во второе уравнение (7.5):

(7.7)

Выразим из (7.7) : .

Поступая аналогично со вторым уравнением системы (7.5), получим

, т. е. система (7.5) принимает вид:

Таким образом, коэффициенты приведенной формы модели выражаются через коэффициенты структурной формы следующим образом:

Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенных переменных через значения экзогенных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют взаимосвязи между эндогенными переменными.

7.3. Проблема идентификации

При правильной спецификации модели задача идентификация системы уравнений сводится к корректной и однозначной оценке ее коэффициентов. Непосредственная оценка коэффициентов уравнения возможна лишь в системах внешне не связанных уравнений, для которых выполняются основные предпосылки построения регрессионной модели, в частности, условие некоррелированности факторных переменных с остатками.

В рекурсивных системах всегда возможно избавление от проблемы коррелированности остатков с факторными переменными путем подстановки в качестве значений факторных переменных не фактических, а модельных значений эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных переменных. Процесс идентификации осуществляется следующим образом:

1. Идентифицируется уравнение, в котором в качестве факторных не содержатся эндогенные переменные. Находится расчетное значение эндогенной переменной этого уравнения.

2. Рассматривается следующее уравнение, в котором в качестве факторной включена эндогенная переменная, найденная на предыдущем шаге. Модельные (расчетные) значения этой эндогенной переменной обеспечивают возможность идентификации этого уравнения и т. д.

В системе уравнений в приведенной форме проблема коррелированности факторных переменных с отклонениями не возникает, так как в каждом уравнении в качестве факторных переменных используются лишь предопределенные переменные. Таким образом, при выполнении других предпосылок рекурсивная система всегда идентифицируема.

При рассмотрении системы одновременных уравнений возникает проблема идентификации.

Идентификация в данном случае означает определение возможности однозначного пересчета коэффициентов системы в приведенной форме в структурные коэффициенты.

Структурная модель (7.3) в полном виде содержит параметров, которые необходимо определить. Приведенная форма модели в полном виде содержит параметров. Следовательно, для определения неизвестных параметров структурной модели можно составить уравнений. Такие системы являются неопределенными и параметры структурной модели в общем случае не могут быть однозначно определены.

Чтобы получить единственно возможное решение необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой их взаимосвязи с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другими путями: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково и пр.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов нахождения параметров.

Чтобы определить тип структурной модели необходимо каждое ее уравнение проверить на идентифицируемость.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель кроме идентифицируемых содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

7.4. Условия идентифицируемости уравнений структурной модели

1. Необходимое условие идентифицируемости

Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Введем следующие обозначения:

М – число предопределенных переменных в модели;

m— число предопределенных переменных в данном уравнении;

— число эндогенных переменных в модели;

— число эндогенных переменных в данном уравнении;

Обозначим число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через , .

Тогда условие идентифицируемости каждого уравнения модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но не достаточное условие идентификации.

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию структурных уравнений системы тождества участвуют..

Изучается модель (одна из версий модели Кейнса):

(7.8)

где – потребление в период ; – ВВП в период ; — ВВП в период (); – валовые инвестиции в период ; – государственные расходы в период .

Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение –тождество ВВП. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные и две предопределенные переменные (одна экзогенная переменная – и одна лаговая переменная –).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

тождество, не подлежит проверке

Например, первое уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную .

Таким образом, ; D=2-1=1. Условие условие выполняется, т. е. уравнение идентифицируемо.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:. Ее определитель не равен нулю, поэтому ранг матрицы равен 2, т. е равняется числу эндогенных переменных без одного. Достаточное условие идентификации выполняется.

Второе уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: . Ранг данной матрицы равен 2, так как существут определитель второго порядка не равный нулю:. Следовательно, достаточное условие идентификации для данного уравнения также выполняется Но в соответствии с необходимым условием считаем это уравнение сверхидентифицируемым.

Таким образом, эта система уравнений является сверхидентифицируемой.

7.5. Методы оценки параметров структурной формы модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

1) косвенный метод наименьших квадратов;

2) двухшаговый метод наименьших квадратов;

3) трехшаговый метод наименьших квадратов;

4) метод максимального правдоподобия с полной информацией;

5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Рассмотрим сущность некоторых из этих методов.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов:

1. Для структурной модели строится приведенная форма модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы традиционным МНК оцениваются приведенные коэффициенты .

3. На основе коэффициентов приведенной формы находятся путем алгебраических преобразований параметры структурной модели.

Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод (ДМНК).

Основная идея ДМНК состоит в следующем:

· на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения расчетные значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части этого уравнения;

· подставляя найденные расчетные значения эндогенных переменных вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.

Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК:

· на первом шаге при определении параметров приведенной формы модели и нахождении на их основе оценок расчетных значений эндогенных переменных ; ;

· на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению, когда вместо фактических значений эндогенных переменных рассматриваются их расчетные значения, найденные на предыдущем шаге.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

· все уравнения системы сверхидентифицируемы;

· система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним можно найти на основе косвенного МНК. Двухшаговый метод, примененный к точно идентифицированным уравнениям дает такой же результат, что и косвенный МНК.

Продолжение примера 15.

Продолжим рассмотрение примера 15.

Система является сверхидентифицируемой: первое уравнение идентифицируемо, а второе уравнение сверхидентифицируемо. Поэтому для определения коэффициентов первого уравнения можно применить косвенный МНК, а для второго уравнении двухшаговый МНК.

Построим приведенную форму модели:

(7.9)

Исходные данные задачи (в млрд. руб.)

Предсказанное

Найдем параметры модели (7.9), применяя МНК к каждому уравнению,

используем « Пакет анализа» EXCEL):

(7.10)

Каждое уравнение статистически значимо (– статистики: =1302,55;

=281,956; =847,65). Коэффициенты детерминации свидетельствуют о хорошей связи между эндогенными и предопределенными переменными:=0,9977; =0,989; =0,996.

На основе уравнений модели (7.10) найдем структурные коэффициенты первого уравнения.

Выразим из третьего уравнения (7.10) переменную и подставим в первое уравнение. Получим первое структурное уравнение:

Так как второе уравнение сверхидентифицировано, то применим двухшаговый МНК. Найдем на основе третьего уравнения (7.10) расчетные значения переменной ( столбец «предсказанное » табл.23) и используем их для нахождения параметров второго структурного уравнения.

Получим: 4; .

В результате получим следующую систему структурных уравнений:

Трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК)

Трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и случайные остатки каждого уравнения. Затем строится ковариационная матрица остатков и проводится ее оценка. После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов. ТМНК является достаточно эффективным, но требует существенно больших вычислительных затрат. Более подробное описание можно найти в работе[1][1]

7.6. Инструментальные переменные

Метод инструментальных переменных (МИП) применяется для оценивания уравнений, в которых регрессоры (факторы) коррелируют со свободными членами. Коррелированность между факторными переменными и случайными ошибками может быть вызвана разными причинами:

· пропущенными переменными, которые находятся в корреляционной связи с факторными переменными;

· ошибками измерений факторных переменных;

· включением лагированной зависимой переменной при наличии автокоррелированности ошибок. В этом случае лаговые переменные скорее всего будут коррелировать с ошибками;

· одновременные взаимосвязи между переменными (эндогенность переменных, включенных в правые части регрессионных уравнений).

Именно это явление оказывается характерным для систем одновременных уравнений;

Если между факторными переменными и случайными остатками имеется корреляционная зависимость (,), то нарушаются условия классической модели и оценки параметров, найденные по МНК будут смещенными и не состоятельными.

Идея МИП заключается в том, чтобы подобрать новые переменные , которые бы тесно коррелировали с и не коррелировали со случайными остатками . Такие переменные называют инструментальными или просто инструментами). Включение их в модель обеспечивает состоятельность оценок МНК.

Набор переменных может включать факторные переменные, которые не коррелируют с остатками, а также другие внешние величины, не входящие в состав факторных переменных модели. Важно, чтобы число инструментов было не меньше, чем число независимых переменных.

Рассмотрим случай парной регрессии: . Предположим, что между факторными переменными и остатками имеется корреляционная зависимость, т. е. . Рассмотрим систему нормальных уравнений для линейной парной регрессии:

, (7.11)

тогда . (7.12)

Можно показать, что . Так как , оценка параметра будет смещенной и не состоятельной.

Предположим, что можно найти такую переменную , которая была бы коррелированна с ( ), но не коррелированна с ( ). Выберем эту переменную в качестве иструментальной переменной.

Заменим второе уравнение системы (7.11) на следующее: и рассмотрим систему:

. (7.13)

Решение системы (7.13) будет, очевидно, отличается от решения предыдущей системы. Обозначим новые оценки соответственно.

В этом случае оценка . (7.14)

Покажем, что она является несмещенной и состоятельной при условии, что при увеличивающемся числе наблюдений стремится к конечному, отличному от нуля пределу, который мы обозначим, как .

, здесь , так как – постоянная величина.

Тогда . (7.15)

Так как , а , то в больших выборках стремится к истинному значению .

Сравним (формула (7.14) с оценкой МНК (формула 7.12). Очевидно, что оценку , можно получить путем подстановки инструментальной переменной вместо в числителе и вместо одного (но не обоих) в знаменателе в формуле (7.12) для оценки .

Чем теснее корреляция между и Z, тем меньше будет их дисперсия и, следовательно, тем меньше будет дисперсия . Следовательно, если мы стоим перед выбором между несколькими возможными инструментальными переменными, то следует выбрать наиболее тесно коррелированную с , потому что при прочих равных условиях она даст наиболее эффективные оценки. Вместе с тем не рекомендуется использовать инструментальную переменную, имеющую функциональную зависимость с , даже если бы ее удалось найти, потому что тогда она автоматически оказалась бы коррелированной с остатками и оценки по-прежнему были бы не состоятельны.

Нетрудно понять, что метод оценивания с помощью инструментальных переменных является обобщением обычного метода наименьших квадратов.

Пусть — матрица значений инструментальных переменных размерности (), а — матрица значений факторных переменных размерности (),. Здесь— матрица факторных переменных, которые включены в состав инструментов, — инструменты, которые не входят в число факторных переменных. В этом случае матрица оценок параметров находится следующим образом:

, где , (7.16)

здесь , а метод ИП называют обобщенным методом инструментальных переменны (ОМИП).

Если число инструментальных переменных равняется числу факторных переменных (), то матрица ) будет квадратной размерности (). Метод ИП в этом случае называется простым, а оценки вычисляются следующим образом:

=

=[2] . (7.17)

Самая трудная проблема метода ИП – это поиск подходящих инструментов. Требуется, чтобы инструменты были тесно связаны с факторными переменными, но сами не были бы эндогенными переменными.

Решение этой проблемы зависит от конкретной ситуации. Например, это могут быть: лаговые значения факторных переменных; показатели, близкие по экономическому смыслу и приближенно отражающие рассматриваемую факторную переменную и пр.

Метод инструментальных переменных используется при оценке СОУ при использовании двухшагового МНК. В качестве инструментов здесь рассматриваются расчетные значения эндогенных переменных, найденные на первом шаге с использованием обычного МНК для приведенной системы уравнений.

Рассмотрим упрощенную кейнсианскую модель формирования доходов в закрытой экономике без государственного вмешательства:

(7.18)

где — представляют совокупный выпуск, объем потребления и объем инвестиций соответственно, . Здесь мы имеем случай одновременных взаимосвязей между переменными: в качестве одной из составляющих содержит ошибку модели, а так как зависит от , то также корреллирует с ошибками модели.

Первое уравнение идентифицируемо ( и матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение состоит из одного элемента 1, т. е. ее ранг равен 1, что равняется числу эндогенных переменных без одного). Следовательно выполняютя необходимое и достаточное условие идентифицируемости. Второе уравнение тождество, не подлежит проверке на идентификацию.

Рассмотрим следующие статистические данные: