До точки см рис уравнение имело вид

Лекция № 8

Ссылки

10.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом a между осью Ох и прямой (см. рис. 41).

Из определения тангенса угла следует равенство

, т. е. .

Введем обозначение tg a=k , получаем уравнение

(10.2)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.

Число k = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид y=kx .

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно, k = tga = 0 и уравнение (10.2) примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент не существует.

В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

(10.3)

где a — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде

(10.4)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = О, причем А ¹ 0 т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку ·

Если B ¹ 0, то из уравнения (10.4) получаем . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом |.

Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3) если С = 0, то получаем . Уравнению удовлетворяют координаты точки O(0;0), прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку и ее направление определяется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде , где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку , то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой:. Отсюда . Подставляя значение b в уравнение, получим искомое уравнение прямой: , т. е.

(10.5)

Уравнение (10.5) с различными значениями k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки и . Уравнения прямой, проходящей через точку M₁, имеет вид

(10.6)

где k — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): . Οтсюда находим . Подставляя найденное значение k в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки M₁ и M₂.

(10.7)

Предполагается, что в этом уравнении ·

Если x₂ = x₁ прямая, проходящая через точки и параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид .

Если y₂ = y₁ то уравнение прямой может быть записано в виде , прямая M₁M₂ параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу – в точке (см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа α и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору .

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим вектор (см. рис. 43). Поскольку векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: , то есть

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Уравнение (10.8) можно переписать в виде

(10.9)

где А и B— координаты нормального вектора, — свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. (10.4)).

Полярное уравнение прямой

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние ρ от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОΡ и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 44).

Для любой точки на данной прямой имеем:

С другой стороны,

(10.10)

Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных координатах.

Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат . Введем полярную систему, взяв за полюс и за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

, т. е. .

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: , . Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

(10.11)

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к виду (10.11).

Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель . Получим . Это уравнение должно обратиться в уравнение (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: , , . Из первых двух равенств находим,т. е. . Множитель λ называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

10.3 Прямая линия на плоскости. Основные задачи

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 46).

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительное направлении прямую L₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой L₂.

Решение: Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или . Если , то

Но , , поэтому

(10.12)

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть формулы (10.12) берется по модулю, т. е.

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то φ = 0 и . Из формулы (10.12) следует , т. е. . И обратно, если прямые L₁ и L₂ таковы, что , то , т. е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то . Следовательно,

. Отсюда , т. е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая L уравнением и точка (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки до прямой L.

Решение : Расстояние d отточки до прямой L равно модулю проекции вектора , где — произвольная точка прямой L, на направлении нормального

вектора . Следовательно,

Так как точка принадлежит прямой L, то , т. е. . Поэтому

(10.13)

что и требовалось получить.

§11. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

11.1. Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

(11.1)

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты x₀, y₀ а — произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из условия получаем уравнение

, то есть

(11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1) коэффициенты при x 2 и у 2 равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и , получим

(11.3)

Преобразуем это уравнение:

(11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии . Ее центр находится в точке , а радиус

Если же , то уравнение (11.3) имеет вид

Ему удовлетворяют координаты единственой точки . В этом случае говорят : “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая” ).

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c, т. е. a > c.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Пусть — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.

(11.5)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как a>с, то . Положим

(11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(11.7)

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническимуравнением эллипса.

Эллипс — кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки ,,. Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью : и . Точки A₁, A₂ , B₁, B₂ называются вершинами эллипса . Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса .лежаї внутри прямоугольника, образованного прямыми .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и o6oзначается буквой ε («эпсилон»):

(11.8)

Базовый уровень

Велосипедист, двигаясь равномерно, проезжает 20м за 2с.
Определите, какой путь он проедет при движении с той же скоростью за 10с.
v=20:2=10м/c
s=10.10=100м

2. На рисунке 23 приведен график зависимости пути при движении
велосипедиста от времени. Определите по этому графику путь,
который проехал велосипедист в промежуток времени от 1 до 4с.

рис.23 рис.24 рис.25

3. По графику (см. рис.23) определите скорость движения велосипедиста
в момент времени t = 2c.
Ответ: v=3м/c

4. На рис.24 представлены графики движения трех тел.
Какое из этих тел движется с наибольшей по модулю скоростью
в момент времени t = 5c.
Ответ: v3=-4м/c

5. По графику (см. рис.24) определите скорость движения первого тела
в момент времени t = 5c.
Ответ: v=0

6. По графику (см. рис.25) определите время и место встречи первого и второго тел.
Ответ: t=5с x = 15м

7. Запишите уравнение движения x = x(t) второго тела (см. рис.25).
Ответ: x = 3 t.

8. Движение тела описывается уравнением x = 4 – t.
На каком из графиков (рис.26) представлена зависимость
координаты этого тела от времени?

Уравнение движения лыжника имеет вид х = –20+5t. Постройте график x(t).
Определите: а) координату лыжника через 10 с;
б) где был лыжник за 5 с до начала наблюдения;
в) когда он будет на расстоянии 80 м от начала координат.

а) t = 10c x = 30м
б) t = 5c x = -45м
в) х = 80м t = 20c

При движении вдоль оси ОХ координата точки изменилась за 8 с от значения x1=9 м до значения x2=17 м. Запишите формулу зависимости x(t). Скорость считать постоянной.

Вдоль оси ОХ движутся два тела, координаты которых изменяются согласно формулам: x1=10+2t и х2=4+5t. В какой момент времени тела встретятся?
Найдите координату точки встречи.

Вдоль оси ОХ движутся два тела, координаты которых изменяются согласно формулам: х1=20 — 4t и х2=10 + t. В какой момент времени тела встретятся?
Найдите координату точки встречи. Задачу решить графически.

Запишите для каждого движения уравнение
зависимости vx(t).

Поезд длиной 240 м, двигаясь равномерно, прошел мост за 2 мин.
Какова скорость поезда, если длина моста 360 м?

Последний вагон поезда доедет
до начала моста s1=240м

Последний вагон поезда проехал s=240+360=600м за t=120c,
значит его скорость v=600/120=5м/с

Автомобиль, двигаясь со скоростью 30 км/ч, проехал половину пути до места назначения за 2 ч. С какой скоростью он должен продолжить движение, чтобы достигнуть цели и вернуться обратно за то же время?

Движение материальной точки в плоскости ХОУ описывается уравнениями: х=6+3t, у=4t.
Постройте траекторию движения.

На рисунке изображен график зависимости координаты материальной точки от времени. Построить график проекции скорости в зависимости от времени.

На рисунке изображен график зависимости координаты материальной точки от времени.
Построить график пути в зависимости от времени.

19. Наблюдая с платформы за равномерно движущимся поездом, мальчик определил,
что мимо него поезд прошел за 24 с, а мимо всей платформы длиной 120 м – за 40 с.
Чему равна скорость поезда?

Последний вагон поезда проехал мимо платформы длиной 120 м за 16 с, значит его скорость v=120/16=7,5м/с

Велосипедист проехал 3/4 расстояния от поселка А до поселка Б за один час.
С какой скоростью он двигался, если увеличив скорость до 25 км/ч,
он за следующий час добрался до поселка Б и вернулся в поселок А?

v.1= 3s

v= 3s

Тройной интеграл с примерами решения и образцами выполнения

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция и = f(x;y;z). Разбив область V сеткой поверхностей на п частей и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области V (здесь — объем элементарной области ).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т. е. диаметр области стремится к нулю, т.е. ), то его называют тройным интегралом от функции и = f(х;у;z) по области V и обозначают

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь dv = dx dy dz — элемент объема.

Теорема:

Если функция и = f(x;y,z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (54.1) при существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

а пересечение состоит из границы, их разделяющей.
4. если в области V функция

Если в области интегрирования то и

5.так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6. Оценка тройного интеграла:

где m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V.

7. Теорема о среднем значении: если функция f(x; у, z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что

где V — объем тела.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху — поверхностью , причем — непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Оху (см. рис. 225). Будем считать область V — правильной в направлении оси Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции f(х; у, z) имеет место формула

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного (доказательство формулы (54.2) не приводим). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной г при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей интеграла является аппликата точки А — точки входа прямой, параллельной оси Oz в область V, т. е. ; верхней границей — аппликата точки В — точки выхода прямой из области V, т. е. . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: х и у.

Если область D ограничена линиями и — непрерывные на отрезке [а, b] функции, причем (см. рис. 226), то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу

по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.

Замечания:

Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (54.3).
Порядок интегрирования в формуле (54.3), при определенных условиях, может быть иным.

Пример:

где V ограничена плоскостями х = 0, у =0, z = 1, x + y + z = 2 (рис. 227).

Решение:

Область V является правильной в направлении оси Oz (как, заметим, и в направлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является правильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле (54.3), имеем:

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т. е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершена подстановка

Если эти функции имеют в некоторой области пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

Здесь I(u; v;w) — определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства).

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

Положение точки М(х; у; z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трех чисел где r — длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Оху, — угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox, z — аппликата точки М (см. рис. 228).

Эти три числа () называются цилиндрическими координатами точки М.

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:

Возьмем в качестве и, v, w цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

Формула замены переменных (54.4) принимает вид

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

Замечание:

К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример:

Вычислить — область, ограниченная верхней частью конуса и плоскостью z = 1.

Решение:

На рис. 229 изображена область интегрирования V. Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: Здесь Уравнение конуса примет вид Уравнение окружности (границы области D) запишется так: r= 1. Новые переменные изменяются в следующих пределах: r— от 0 до 1, — от 0 до , a z — от r до 1 (прямая, параллельная оси Oz, пересекающая область D, входит в конус z =r и выходит из него на высоте z = 1).

Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:

Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим:

Сферическими координатами точки М(х; у; z) пространства Oxyz называется тройка чисел где р — длина радиуса-вектора точки — угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Оху и осью Ох, в — угол отклонения радиуса-вектора от оси Oz (см. рис. 230).

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами х, у, z соотношениями:

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле (54.4). Так как якобиан преобразования

Замечание:

Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования V есть шар (уравнение его границы в сферических координатах имеет вид р = R) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид
Пример 54.3. Вычислить

где V — шар

Решение:

Вычислим интеграл путем перехода к сферическим координатам: Тогда

Граница области V — сфера и ее уравнение имеет вид р = 1, подынтегральная функция после замены переменных примет вид Новые переменные изменяются в следующих пределах: р —от 0 до 1, у — от 0 до , Таким образом, согласно формуле (54.6),

Некоторые приложения тройного интеграла Объем тела

Объем области V выражается формулой или — в декартовых координатах,

Масса тела

Масса тела m при заданной объемной плотности вычисляется с помощью тройного интеграла как

где — объемная плотность распределения массы в точке M.

Статические моменты

Моменты тела относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz вычисляются по формулам

Центр тяжести тела

Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

а моменты инерции относительно координатных осей:

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение:

Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу — параболоидом (см. рис. 231). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:

Пример:

Найти массу шара , если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра тяжести).

Решение:

Уравнение сферы можно записать так: Центр шара расположен в точке (см. рис. 232). Пусть M(x;y;z) — произвольная точка шара. Тогда, по условию, плотность определяется формулой