Доказать что для затухающих колебаний описываемых уравнением

Доказать что для затухающих колебаний описываемых уравнением

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F_C направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

— у равнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А₀ и φ₀ — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ — время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1)

— дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

(3)

(4)

Слагаемое Х_о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω_рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

При ω→0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках».) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

Физика (стр. 6 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

§ 3. Затухающие и вынужденные колебания

Дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний имеет вид:

или ,

где – коэффициент сопротивления; – коэффициент затухания ; – собственная круговая частота колебаний ; k – коэффициент жесткости.

Уравнение затухающих колебаний (решение дифференциального уравнения) имеет вид:

,

где – амплитуда затухающих колебаний в момент ; – их круговая частота.

Круговая частота затухающих колебаний

.

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени определяется выражением:

,

где – амплитуда колебаний в момент времени .

Логарифмический декремент затухания

,

где и – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

или ,

где – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; – ее амплитудное значение; .

Амплитуда вынужденных колебаний

.

Резонансная частота и резонансная амплитуда

и .

Пример решения задач

Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1 = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t2, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени определяется выражением

,

где – амплитуда колебаний в момент .

Для первого случая

.

Для второго случая

.

Прологарифмируем данные выражения и затем возьмем отношение данных логарифмов

, ,

.

мин.

5.51. Логарифмический декремент затухания математического маятника λ = 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника? Ответ: 1,22.

5.52. Найти логарифмический декремент затухания λ математического маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника l = 1 м. Ответ: 0,023.

5.53. Математический маятник длиной l = 24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания: 1) λ = 0,01. Ответ: 120 с.

5.54. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t = 3 мин? Ответ: в 8 раз.

5.55. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии l = 30 см друг от друга. по этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых пригибается на х0 = 2 см под действием груза массой m0 = 1 кг. С какой скоростью υ катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски М = 10 кг. Ответ: 1,7 км/ч.

5.56. Период затухающих колебаний 1 с, логарифмический декремент затухания 0,3, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = 2T составляет 5 см. записать уравнение движения этого колебания.

Ответ: .

5.57. Доказать, что для затухающих колебаний, описываемых уравнением , выполняется условие .

5.58. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания. Ответ: .

5.59. Логарифмический декремент колебаний маятника равен 0,01. Определить число полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуды в 3 раза. Ответ: 110.

5.60. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 2 мин уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за 4 мин. Ответ: в 81 раз.

5.61. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника 3 см. По истечении времени 10 с амплитуда колебаний стала равна 1 см. Определить, через сколько времени амплитуда колебаний станет равной 0,3 см. Ответ: 21 с.

5.62. Тело массой 0,6 кг, подвешенное к спиральной пружине жесткостью 30 Н/м, совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний 0,01. определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; 2) число полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды. Ответ: 97,6 см, 100.

5.63. При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60 %. Период затухающих колебаний 0,5 с. Определить: 1) коэффициент затухания; 2) для тех же условий – частоту собственных колебаний. Ответ: .

5.64. Тело массой 100 г, совершая затухающие колебания, за 10 мин потеряло 40 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления.

Ответ: .

5.65. За время, в течение которого система совершает 50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определить добротность системы. Ответ: 227.

5.66. Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний 300 Гц, а логарифмический декремент 0,2. Ответ: 300 Гц.

5.67. Собственная частота колебаний некоторой системы составляет 500 Гц. Определить частоту затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота 499 Гц. Ответ: 499,5 Гц.

5.68. Период затухающих колебаний системы составляет 0,2 с, а отношение амплитуд первого и шестого колебаний равно 13. Определить резонансную частоту данной колебательной системы.

5.69. Гиря массой 0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине жесткостью 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания; 2) резонансную амплитуду. Ответ: 0,5 с-1; 2 см.

5.70. Гиря массой , подвешенная на спиральной пружине жесткостью 40 Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивления для этой системы составляет 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить: 1) амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше собственной частоты колебаний; 2) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 3) резонансную амплитуду.

Ответ: .

5.71. Гиря массой 20 с, подвешенная на спиральной пружине жесткостью 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления 0,2 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить: 1) частоту собственных колебаний; 2) резонансную частоту 3) резонансную амплитуду; 4) статическое отклонение.

Ответ: .

5.72. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты 1 кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания 400 с-1. Ответ: 4,05 Гц.

5.73. Определить логарифмический декремент затухания колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты 10 кГц на 2 Гц. Ответ: 0,089.

5.74. Период собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период того же маятника стал равным 0,56 с. Определить резонансную частоту колебаний. Ответ: 1,75 с-1.

5.75. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте 400 Гц и 600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту. Затуханием пренебречь. Ответ: 510 Гц.

§ 4. Механика упругих сред. Волны в упругой среде

Уравнение плоской волны в упругой среде имеет вид:

, или ,

где – смещение точек среды с координатой х в момент времени t; – круговая частота; υ – скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость); k – волновое число (– длина волны).

Длина волны связана с периодом колебаний и частотой соотношениями

и .

Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равна , определяется выражением:

,

где – длина волны.

Уравнение стоячей волны

, или .

Фазовая скорость продольных волн в упругой среде: в твердых телах

,

где – модуль Юнга; – плотность вещества;

или ,

где – показатель адиабаты (– отношение удельных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме); – молярная газовая постоянная; – термодинамическая температура; – молярная масса; – давление газа.

Пример решения задач

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью υ = 15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда A = 2 см. Определить 1) длину волны λ; 2) фазу φ колебаний перемещение ξ, скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волн в момент времени t = 4 с; 3) разность фаз Δφ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на х1 = 20 м и х2 = 30 м.

Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период

= 15 · 1,2 = 18 м.

Фаза колебаний точки с координатами х в момент времени определяется выражением

= рад.

Скорость точки находим из определения

== =

= м/с.

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, т. е.

=

= =м/с2.

Разность фаз Δφ колебаний двух точек волны связана с расстоянием Δх = х2 – х1 между этими точками соотношением

рад.

5.76. Найти длину волны λ колебания, период которого Т = 10-14 с. Скорость распространения колебаний с = 3 · 108 м/с. Ответ: 3 мкм.

5.77. Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 500 Гц и амплитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти скорость с распространения колебаний и максимальную скорость υmax частиц воздуха. Ответ: 350 м/с; 0,785 м/с.

5.78. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х = 4 sin 600πt см. Найти смещение х от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, для момента времени t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний с = 300 м/с. Ответ: 0,04 м.

5.79. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х = sin 2,5πt см. Найти смещение х от положения равновесия, скорость υ и ускорение а точки, находящейся на расстоянии l = 20 м от источника колебаний, для момента времени t = 1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний с = 100 м/с. Ответ: 0; 7,85 м/с; 0.

5.80. Найти разность фаз Δφ колебаний двух точек, отстоящих от источника колебаний на расстояниях l1 = 10 м и l2 = 16 м. Период колебаний Т = 0,04 с; скорость распространения с = 300 м/с. Ответ: Δφ = π.

5.81. Звуковые колебания, имеющие частоту 0,5 кГц и амплитуду 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны 70 см. Найти: 1) скорость распространения волн; 2) максимальную скорость частиц среды. Ответ: 350 м/с; 0,79 м/с.

5.82. Определить разность фаз колебаний источника волн в упругой среде и точки этой среды, отстоящей на 2 м от источника. Частота колебаний равна 5 Гц; волны распространяются со скоростью 40 м/с.

5.83. Скорость звука в некотором газе при нормальных условиях равна 308 м/с. Плотность этого газа равна 1,78 кг/м3. Определить отношение для данного газа. Ответ: 1,67.

5.84. Найти отношение скоростей звука в водороде и углекислом газе при одинаковой температуре газов. Ответ: 4,8.

5.85. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту колебаний.

5.86. Определить скорость распространения волны в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна . Частота колебаний равна 25 Гц. Ответ: 15 м/с.

5.87. Найти скорость υ распространения продольных упругих колебаний в следующих металлах: 1) алюминии; 2) меди; 3) вольфраме.

Ответ: .

5.88. Определить максимальное и минимальное значения длины звуковых волн, воспринимаемых человеческим ухом, соответствующие граничным частотам 16 Гц и 20 кГц. Скорость звука принять равной 340 м/с. Ответ: 21 м; 17мм.

5.89. Определить скорость звука в азоте при температуре 300 К.

5.90. Найти скорость звука в воздухе при температурах 290 К и 350 К.

Ответ: 339 м/с; 375 м/с.

5.91. Наблюдатель, находящийся на расстоянии 800 м от источника звука, слышит звук, пришедший по воздуху, на 1,78 с позднее, чем звук, пришедший по воде. Найти скорость звука в воде, если температура воздуха равна 350 К. Ответ: 1,45 км/с.

5.92. Температура воздуха у поверхности Земли равна 300 К, при увеличении высоты она понижается на 7 мК на каждый метр высоты. За какое время звук, распространяясь, достигнет высоты 8 км?

5.93. Во сколько раз скорость распространения ультразвука в стали больше, чем в свинце? Ответ: 4,3.

5.94. Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону , а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от менее плотной среды, определить характер колебаний в любой точке стержня.

Ответ: .

5.95. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте 2500 Гц, составляет 6,8 см. Определить скорость звука в воздухе.

5.96. Стержень с закрепленными концами имеет длину 70 см. При трении стержень издает звук, основная частота (наименьшая частота, при которой может возникать стоячая волна) которого 1 кГц. Определить: 1) скорость звука в стержне; 2) какие обертоны (волны с кратными основными частотами) может иметь звук, издаваемый стержнем. Ответ: .

5.97. Труба, длина которой 1 м, заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость звука 340 м/с, определить, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна.

5.98. Скорость распространения звуковой волны в газе с молярной массой при 20 0С составляет 343 м/с. Определить отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме. Ответ: 1,4.

5.99. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых условиях составляет 480 м/с. Определить скорость распространения звука в газе при тех же условиях. Ответ: 328 м/с.

5.100. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальном давлении равна . Определить скорость распространения звука в газе при этих условиях. Ответ: 282 м/с.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Уравнение неразрывности струи

,

где и – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; υ1 и υ1 – соответствующие скорости течений.

Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае

,

где и статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока; υ1 и υ1 – скорости жидкости в этих сечениях; и – высоты над некоторым уровнем; ρ – плотность жидкости.

Уравнение Бернулли в случае, когда оба сечения находятся на одной высоте (),

,

Скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде можно вычислить по формуле:

,

где – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

Объем жидкости (газа), протекающий за время t через длинную трубку, находится по формуле Пуазейля

,

где r – радиус трубки; l – ее длина; – разность давлений на концах трубки; η – динамическая вязкости (коэффициент внутреннего трения) жидкости (газа).

Число Рейнольдса для потока жидкости (газа) в длинных трубках

= ,

где – средняя по сечению скорость течения жидкости; d – диаметр трубки, и для движения шарика в жидкости

= ,

где υ – скорость шарика, d – его диаметр.

Число Рейнольдса есть функция скорости υ тела, линейной величины l, определяющей размеры тела, плотности и динамической вязкости жидкости, т. е.

=.

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения , движение жидкости является ламинарным. При значениях движение жидкости переходит в турбулентное.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости = 0,5; для потока жидкости в длинных трубках = 2300.

Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся с постоянной скоростью в ней шарик, находится по формуле Стокса:

,

где r – радиус шарика; υ – его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы ().

Пример № 1 решения задач

В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.

Обозначим: – площадь поперечного сечения сосуда и υ1 – скорость течения воды в нем (скорость понижения уровня воды в сосуде), – площадь поперечного сечения отверстия и υ2 – скорость вытекания воды из отверстия. Уравнение Бернулли записывается в виде

или . (1)

В силу неразрывности струи υ1S1 = υ2S2, или

Подставляя (2) в (1), получим . Учитывая, что и , имеем . Так как , то приближенно

.

При h = 0,2 м скорость υ1 = 0,8 мм/с.

Пример № 2 решения задач

В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то число Рейнольдса определяется по формуле

Re =, (1)

а критическое значение этого числа = 0,5.

Скорость υ шарика выразим, исходя из следующих соображений. На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1) сила тяжести шарика

,

где – плотность свинца; V– объем шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда,

Fвыт = ,

где – плотность глицерина;

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

Fтр =

При установившемся движении шарика в жидкости () сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е.

,

. (2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем

.

Максимальное значение диаметра , при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса . Поэтому

.

Подставив сюда значения величин η, , ρ, ρ0 и g и произведя вычисления, получим

= 5,29 мм.

6.1. Вода течет по горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость υ1 воды в широкой части трубы равна 20 см/с. Определить скорость υ2 в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части. Ответ: 0,45 м/с.

6.2. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью υ1 = 2 м/c. Определить скорость υ2 нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа. Ответ: 4,33 м/с.

6.3. В горизонтально расположенной трубе с площадью поперечного сечения, равной 20 см2, течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение, в котором площадь сечения равна 12 см2. Разность уровней в двух манометрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход жидкости. Ответ: 1,88 л/с.

Затухающие колебания

Определение затухающих колебаний

Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.

Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.

Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием

Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления ($<\overline>_

$), которая действует на рассматриваемое тело, при маленьких скоростях его движения, считают прямо пропорциональной скорости ($\overline$):

\[<\overline>_

=-\beta \overline\left(1\right),\]

где $\beta $ — коэффициент сопротивления.

Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:

где $\dot=v_x.$ Принимая во внимание равенства:

(где $<\omega >_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $\gamma $=0) той же колебательной системы; $\gamma $ — коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:

Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания . ) описывают при помощи уравнения формы (4).

Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:

где $\omega =\sqrt<<\omega >^2_0-<\gamma >^2>$; $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $\varphi $ — постоянная из начальных условий. При $\gamma \ll <\omega >_0$, $\omega \approx <\omega >_0$, параметр $A_0e^<-\gamma t>$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.

Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.

Диссипация энергии при затухающих колебаниях

Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.

Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:

\[\frac

=-\frac<2\beta >\left\langle E_k\right\rangle \left(6\right),\]

где $\frac

$ — скорость изменения энергии колебаний; $\left\langle E_k\right\rangle $ — средняя величина кинетической энергии за период колебаний. Уравнение (6) не применяют для промежутков времени, которые меньше периода колебаний.

Так как мы считаем затухание малым, то $\left\langle E_k\right\rangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:

\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac<2>\left(7\right).\]

В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:

Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:

где $E_0$ — величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($E\sim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:

$A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания

Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $\tau =\frac<1><\gamma >$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $\tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($\tau \gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.

Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.

Период затухающих колебаний считают равным:

Пусть $A\left(t\right)\ и\ A(t+T)$ — амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:

называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($\theta $):

называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $\theta $ постоянная величина.

Примеры задач с решением

Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($\gamma $), если за $\Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?

Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:

По условию задачи имеем:

С другой стороны:

где $t_2-t_1=\Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:

Выразим $\gamma $ из (1.3) учтем, что $\frac=n$:

Ответ. $\gamma =\frac<<\ln n\ >><\Delta t>$

Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?

Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $\left(x;;v\right).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $\left(x,v\right),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:

Фазовая траектория затухающего колебания, если

\[<\overline>_

=-\beta \overline\left(2.2\right),\]

представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.

источники:

http://pandia.ru/text/78/217/98315-6.php

http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika_46_zatuhajushhie_kolebanija.php