Доказать что уравнение кратно числу

Метод анализа делимости нацело

Метод анализа делимости нацело. Использование признаков делимости

Рассмотрим примеры, когда при решении задачи возникает необходимость проанализировать делимость нацело того или иного целочисленного выражения.

Пример №7.

Доказать, что при любом натуральном п выражение делится нацело на 6.

Решение:

Преобразуем выражение к виду и докажем, что произведение трёх последовательных целых чисел всегда делится нацело на 6. В самом деле, каждое второе целое число кратно двум, а каждое третье — трём. Поэтому можно утверждать, что среди подряд идущих чисел п — 1, п и п + 1 по крайней мере одно делится на 2, и (одновременно с этим) одно делится на 3. Следовательно, их произведение будет делиться на 6, что и требовалось доказать.

Замечание. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 24.

Пример №8.

Доказать, что число делится нацело на 9.

Решение:

Преобразуем число к виду

Каждое из двух слагаемых делится нацело на 9 по признаку делимости на 9. Следовательно, их разность также кратна 9, что и требовалось доказать.

Пример №9.

Найти все числа вида такие, чтобы они делились без остатка на 36.

Решение:

Поскольку 36 = 4 • 9 , то воспользуемся признаками делимости на 4 и 9. Начнём с признака делимости на 4 (он использует только одну из двух неизвестных цифр). Число кратно 4 тогда и только тогда, когда двузначное число делится нацело на 4, а это выполняется, только если Y = 2 или Y = 6 . Рассмотрим эти два случая и в каждом из них применим признак делимости на 9.

1) Если Y = 2, то число должно делиться нацело на 9, т.е. сумма всех цифр данного числа 3 + 4 + Х + 5 + 2 = 14+Х должна быть кратна 9. Это возможно лишь при X = 4 . Имеем число 34452.

2) Если Y = 6, то число кратно кратно 9, т.е. X = 0 или X = 9. Таким образом, нашли ещё два числа: 34056 и 34956. Ответ: 34452, 34056 и 34956.

Пример №10.

Решить уравнение в целых числах

Решение:

Заметим, что при целых X и Y в левой части уравнения стоит нечётное число, а в правой — чётное, что невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример №11.

Доказать, что уравнение не имеет целочисленных решении.

Доказательство. Достаточно заметить, что при целых X и Y выражение в левой части уравнения делится нацело на 5, а число 13 справа — нет. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Пример №12.

Существуют ли целые числа т и п , удовлетворяющие уравнению

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

Так как — всегда числа одинаковой чётности, то их произведение либо нечётно (что невозможно, так как 1998 — чётное число), либо кратно четырём. Но 1998 на 4 не делится.

Ответ: не существуют.

Пример №13.

Решить в целых числах систему уравнений

Решение:

1-й способ. Из первого уравнения системы следует, что числа x и у имеют разную чётность (если одно четно, то другое — нечётно, и наоборот). Из второго уравнения аналогично следует, что у и z — разной чётности, а из третьего, что X и Z также имеют разную чётность, что невозможно.

2-й способ. Сложив все три уравнения системы, получим следствие

Левая часть последнего равенства чётна как сумма трёх чётных чисел (поскольку произведение любых двух последовательных целых чисел всегда чётно), а правая часть — нечётна, что невозможно. Ответ: нет решений в целых числах.

Пример №14.

Известно, что 4п = 5т . Найти все натуральные числа т и n , удовлетворяющие этому равенству.

Решение:

Целочисленное выражение 4n в левой части равенства кратно 4, следовательно, и выражение 5т справа также должно делиться на 4 нацело. Но так как 5 на 4 нацело не делится, то, значит,, т.е. для любого т , удовлетворяющего исходному равенству, найдётся такое число , что Подставим в равенство: , откуда . Итак, уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах, общий вид которых

Пример №15.

При каких наименьших натуральных значениях n и m выполняется равенство

Решение:

1) Заметим, что левая часть уравнения делится нацело на 3, следовательно, и правая часть уравнения должна делиться на 3, а значит, m должно быть кратно 3, т.е. Аналогично правая часть уравнения кратна 2, следовательно, и левая часть должна делиться на 2, а значит, n должно быть кратно 2, т.е. Подставим в уравнение:

2) Так как ; аналогично рассуждая, получим, что, так как Подставим в последнее уравнение:

3) Так как Подставим в уравнение:

Очевидно, что последнее равенство выполняется при Это наименьшие возможные натуральные значения и , и им соответствуют наименьшие возможные значения п и т . Найдём их.

Ответ:

Подбором одного из решений с последующим анализом делимости решаются в простейших случаях линейные диофантовы уравнения.

Пример №16.

На какую минимальную величину могут отличаться друг от друга натуральные числа т и п, если известно, что дробь является натуральным числом?

Решение:

Так как число 89 — простое (убедитесь в этом сами), то данная дробь является натуральным числом тогда и только тогда, когда выражение принимает значения С учётом натуральности т и п возможен только случай, когда

Это линейное диофантово уравнение. Решим его. Очевидно, пара чисел является одним из его решений. Для нахождения множества всех решений уравнения (1) вычтем из него почленно тождество , получив уравнение, равносильное уравнению (1):

Переписав последнее уравнение в виде

воспользуемся анализом делимости левой и правой частей. Так, поскольку левая часть уравнения (2) делится нацело на 3, то и правая часть, т.е. выражение должно быть кратным числу 3. Следовательно, Это означает, что найдётся такое целое , что , т.е. Подставляя в (2), находим . Итак, множество пар где образует множество всех целочисленных решений уравнения (1). Учитывая натуральность m и n, получаем:

Тогда принимает наименьшее значение, равное 3, при l = 2 . Ответ: на

Пример №17.

Целое число кратно 7 и при делении на 4 даёт в остатке 3. Найти остаток от деления этого числа на 28.

Решение:

По условию Приравнивая, получаем линейное уравнение

которое необходимо решить в целых числах. Подберём любую пару целых чисел (k,m), удовлетворяющих уравнению, например (l,l). Вычитая из уравнения тождество , приходим к уравнению, равносильному решаемому:

В последнем уравнении выражение справа делится нацело на 4, следовательно, Тогда что означает, что число n делится на 28 с остатком 7.

В более сложных случаях, когда подобрать решение затруднительно, последовательное применение рассмотренного подхода, основанного на анализе делимости нацело, тем не менее, помогает справиться с проблемой.

Пример №18.

Найти хотя бы одну пару целых чисел а и b , удовлетворяющих соотношению

Решение:

1) Так как и в правой части , то отсюда следует, что для того чтобы удовлетворять данному уравнению, выражение 59b должно быть кратно 3, т.е. найдётся такое , что . Подставим в уравнение, и после сокращения на 3 получим новое уравнение (заметим, что коэффициент при а уменьшился):

2) Продолжаем анализировать делимость. Поскольку в последнем равенстве число чётно, то , должно быть нечётным, а значит, и число должно быть нечётным, т.е. Подставив в последнее уравнение и сократив на 2, получим

(коэффициент при а стал ещё меньше).

3) Так как , то, следовательно, , делится на 6, т.е. После подстановки и упрощения получим:

4) Из последнего уравнения анализом делимости на 2 получаем, что нечётно, т.е. . Подставим в уравнение и найдём общий вид всех а , удовлетворяющих исходному уравнению:

Осталось найти b :

Таким образом, множество всех целочисленных решений исходного уравнения имеет вид

(мы переобозначили для простоты на ). Для получения одного из решений положим, например, ; тогда

Заметим в заключение, что изначально подобрать какое-либо одно решение в данной задаче было весьма затруднительно.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Метод математической индукции для чайников

Метод полного перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Этот метод имеет крайне ограниченную область применения в математике, так как обычно математические утверждения касаются бесконечного множества объектов (например, натуральных чисел, простых чисел, квадратов и т.п.) и перебрать их невозможно.

Существует метод рассуждений, который позволяет заменить неосуществимый бесконечный перебор доказательством того, что если утверждение истинно в одном случае, то оно окажется истинным и в следущем за ним случае. Этот метод носит название математической индукции (или рассуждением от $n$ к $n+1$)

Основы метода математической индукции

В основе метода математической индукции (ММИ) лежит принцип математической индукции: утверждение $P(n)$ (где $n$ — натуральное число) справедливо при $\forall n \in N$, если:

• Утверждение $P(n)$ справедливо при $n=1$.
• Для $\forall k \in N$ из справедливости $P(k)$ следует справедливость $P(k+1)$.

Доказательство с помощью метода математической индукции проводится в два этапа:

1. База индукции (базис индукции). Проверяется истинность утверждения при $n=1$ (или любом другом подходящем значении $n$)
2. Индуктивный переход (шаг индукции). Считая, что справедливо утверждение $P(k)$ при $n=k$, проверяется истинность утверждения $P(k+1)$ при $n=k+1$.

Метод математической индукции применяется в разных типах задач:

• Доказательство делимости и кратности
• Доказательство равенств и тождеств
• Задачи с последовательностями
• Доказательство неравенств
• Нахождение суммы и произведения

Ниже вы найдете примеры решения задач, иллюстрирующие применение метода математической индукции, а также ссылки на полезные сайты и учебник и небольшой видеоурок по ММИ.

Математическая индукция: задачи и решения

Доказательство кратности и делимости

Задача 1. Докажите, что $5^n-4n+15$ делится на 16 при всех $n \in N_0$.

Задача 2. Доказать, что при любом натуральном $n$ число $a_n$ делится на $b$.

$$a_n = 2n^3+3n^2+7n, \quad b=6.$$

Задача 3. Докажите методом математической индукции: $4^ <2n-1>+ 1$ кратно 5 для всех $n \ge 1$.

Задача 4. Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа истинно следующее утверждение: $6^<2n-2>+3^+3^$ кратно 11.

Доказательство равенств и неравенств

Задача 5. Доказать равенство

Задача 6. Доказать методом математической индукции:

Задача 7. Доказать неравенство:

Задача 8. Доказать утверждение методом математической индукции:

$$ \left(1-\frac<1><4>\right)\left(1-\frac<1><9>\right)\left(1-\frac<1><16>\right)\cdot . \cdot\left(1-\frac<1>\right) =\frac <2n>\quad (n \ge 2). $$

Задача 9. Доказать неравенство:

$$ 2!\cdot 4! \cdot . \cdot (2n)! \gt [(n+1)!]^n \quad (n \gt 2).$$

Задача 10. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли: $(1+a)^n \gt 1 + a\cdot n$ для всех $n\in N$ и $a \gt -1$, $a \in R$.

Вычисление сумм

Задача 11. Доказать методом математической индукции:

Задача 12. Найдите сумму

$$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + . . . + 2012 \cdot 2012! + 2013 \cdot 2013!$$

Заказать решение

Если вам нужна помощь с решением задач по любым разделам математики, обращайтесь в МатБюро. Выполняем контрольные и практические работы, ИДЗ и типовые расчеты на заказ. Стоимость задания от 60 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Полезные ссылки о ММИ

• ММИ: краткая теория и примеры решений Страничка виртуальной школы юного математика. Разобраны примеры (в том числе для геометрии) и даны задачи для самостоятельной работы.
• Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика Классическое пособие по методу математической индукции и комбинаторике (базовые понятия и примеры задач).
• Математическая индукция. Основные определения и 10 разобранных решений.
• Николаева С.А. Метод математической индукции: методическое пособие для учителей и учащихся.
• А. Шень Математическая индукция. Пособие для школьников, разобраны 29 задач, из них 19 с полным решением.

Кратенький видеоурок о ММИ

Свойства квадрата целого числа

Применение свойств квадрата целого числа в решении задач на делимость

• Дёмина Антонина Васильевна, педагог дополнительного образования

Разделы: Преподавание математики

Цель:формирование знаний, умений и навыков при решении в целых числах уравнений, содержащих квадрат целого числа; создание условий для преодоления у выпускников трудностей при решении заданий ( ) ЕГЭ по математике.

Задачи:

• помочь обучающимся сформулировать основные свойства квадрата целого числа;
• познакомить с различными подходами к решению задач, содержащих точный квадрат числа;
• показать на примерах олимпиадных задач и задач из ЕГЭ по математике ( ) применение свойств квадрата целого числа в решении задач на делимость.

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Постановка цели

В 2009-2010 учебном году на ЕГЭ по математике задания в основном состояли из задач на делимость. Большинство выпускников 11-х классов даже не приступали к этим задачам, увидев в них нагромождение различных символов, функций и значков. Для решения таких задач необходимо знать некоторые свойства делимости целых чисел и овладеть приёмами применения этих свойств. Сегодня на занятии мы решим ряд задач на делимость, в которых используются простейшие свойства точного квадрата числа.

II. Актуализация опорных знаний

При решении задач нам пригодятся признаки делимости чисел, с которыми вы познакомились ещё в 6-ом и последующих классах, а также определение числа

Напомните, пожалуйста, признаки делимости:

• на «2» – (если число оканчивается чётной цифрой);
• на «3» – (если сумма цифр числа делится на 3);
• на «4» – (если две последние цифры в записи числа образуют двузначное число, кратное 4);
• на «5» – (если число оканчивается 0 или 5);
• на «8» – (если три последние цифры в записи числа образуют трёхзначное число, кратное 8);
• на «9» – (если сумма цифр числа делится на 9);
• на «10» – (если число оканчивается 0).

И ещё вопрос: что такое и как найти значения 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, … Посмотрите, как изменяется последняя цифра числа

n! = 1 2 3 4 5 6 … n– произведение первых n натуральных чисел.
1! = 1
2! = 1 2 = 2
3! = 1 2 3 = 6
4! = 1 2 3 4 = 24
5! = 1 2 3 4 5 = 120
6! =1 2 3 4 5 6 = 720 и т.д.

При n≥5 число n! всегда оканчивается нулём.

III. Ознакомление с новым материалом

Рассмотрим таблицу квадратов натуральных чисел. Все свойства точного квадрата числа спрятаны в этой таблице. Нам только надо проявить наблюдательность при анализе данных в таблице.

к	…
	…

Обратите внимание на последние цифры квадратов чисел. Что вы заметили?

На какие натуральные числа может делиться точный квадрат числа?

Свойства квадрата целого числа

1. Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.
Первое свойство очевидное и доказательства не требует.

2. Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то = 4 – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то = ( = 4 + 4к + 1 = 4к (к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1.

3. Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда = ( = 9 — делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда = ( = 9 ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.

Вот мы и сформулировали свойства точного квадрата числа. Теперь вашему вниманию я предлагаю ряд задач, в решении которых используются вышеперечисленные свойства.

1. Найти все натуральныеn, при которых число является точным квадратом.

Решение:

Если n=1, то – не является точным квадратом.
Если n=2, то – не является точным квадратом.
Если n=3, то – не является точным квадратом.
Если n=4, то , значит, при n=4 число является точным квадратом числа.
Если , то оканчивается 0, тогда оканчивается 7, но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться цифрой 7. Значит, других натуральных чисел n, удовлетворяющих данному условию, не существует.

Ответ: при n=4.

Эта задача могла быть сформулирована иначе:

Решить в целых числах уравнение .

Способ решения тот же. Только надо помнить, что по определению

Ответ: .

2. Решить в целых числах уравнение: .

Решение:

Так как – произведение первых натуральных чисел, значит, , а целым может быть только k.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться ни 3, ни 8, значит, других целых решений уравнение не имеет.

Ответ: .

3. Решить в целых числах уравнение: .

Решение:

В решении этого уравнения надо использовать тот же приём, что и в предыдущих. Его легко решить устно.

Но тогда оканчивается 8 или 3, а это противоречит свойству (1). Значит, при уравнение не имеет решений в целых числах. Поэтому решения уравнения следует искать для
Если n=1, то
Если n=2, то .
Если n=3, то .
Если n=4, то .
Как видим, ни при каком число не является точным квадратом.

Ответ:уравнение не имеет целых решений.

4. Решить уравнение в целых числах: .

Решение:

, и опираемся на свойство(1) квадрата целого числа.

Значит, оканчивается 7, но тогда и оканчивается 7.
Но квадрат целого числа не может оканчиваться 7, значит, целых решений нет.
Значит, решения уравнения следует искать при = 1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Ответ: .

5. Решить в натуральных числах уравнение .

Решение:

В этом уравнении должны быть натуральными числами, а в остальном – решение аналогично предыдущим.

Но квадрат целого числа не может оканчиваться 3, значит, при натуральных решений уравнение не имеет. Остаётся проверить наличие решений при =1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Ответ:

6. Решить уравнение в целых числах: 1!+2!+3!+…+

Решение:

Если =1, то 1! = , тогда
Если =2, то 1!+2! = – число не целое.
Если =3, то 1!+2!+3! =
Если =4, то 1!+2!+3!+4! = – число не целое.
Если , то 1!+2!+3!+4!+…+х! оканчивается цифрой 3, но квадрат целого числа не может оканчиваться 3.
Значит, при

Ответ: =1, 2) =3,

7. Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

если делится на 5, а это возможно, если оканчивается 0 или 5, тогда

Но квадрат целого числа не может оканчиваться ни цифрой 3, ни цифрой 8.

Значит, уравнение не имеет целых решений. Что и требовалось доказать.

8. Решить в целых числах уравнение .

Решение:

Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то
Если уравнение целых решений не имеет, так как при чётном
1 2 3 4 … ( 1 2 3 4 … ( =
=1 2 3 4 … (
При нечётном
1 2 3 4 … ( 1 2 3 4 … ( =1 2 3 4 … ( – не делится на 4, а при делении на 8 даёт остаток 3, а не 1.

Ответ: 1)

9. Решить уравнение в целых числах: .

Решение:

Если =1, то

Если =4, то
При (1 2 4 5 … +1) = – левая часть уравнения делится на 3, значит, число должно делиться на 9.
Но 1 2 4 5 … +1 на 3 не делится, поэтому левая часть уравнения не кратна 9 Значит, при уравнение не имеет целых решений.

Ответ: 1) =1, =4,

10. Решить в целых числах уравнение:

Решение:

1) Если m – число чётное, то – числа нечётные и их произведение
– тоже число нечётное, но правая часть уравнения – чётное число. Значит, при чётном m уравнение не имеет решений.
2) Если m – число нечётное, то – числа чётные, причем, – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда , значит, , но квадрат целого числа делится на 4 или при делении на 8 даёт остаток 1. А лишь в единственном случае, если n=0. При n=0 уравнение примет вид:

Ответ: .

11. Решить в целых числах уравнение:

Решение:

1) Если n – число четное, то – числа нечётные, значит, – тоже нечетное число, а это возможно лишь тогда, когда , т.е. . При всех других чётных уравнение целых решений не имеет.
2) Если n – число нечётное, то – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда их произведение . Значит, и левая часть уравнения
, но – число нечётное, значит, только
. Это возможно, если . При .
При ,
.
Если же , то , а правая часть уравнения , значит, других решений уравнение не имеет.

Ответ: 1) 2)

12. Решить в целых числах уравнение:

Решение:

– имеет решение, если:
1) = 0, тогда
— число нечётное, . Тогда, ,

.
( ) – нечётное число при . Значит, тоже должно быть нечётным, а это возможно, если . Тогда при исходное уравнение примет вид .

Ответ: 1) ; 2)

13. Доказать, что число, оканчивающееся двумя одинаковыми цифрами, отличными от 0 и 4, не может быть точным квадратом.

Доказательство:

Так как квадрат любого числа может оканчиваться цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9, то кроме 0 и 4 последними цифрами могут быть: 11; 55; 66; 99.

— число чётное, тогда .

Значит, не существует таких чисел , что оканчивается 55, 66, 11 или 99.