Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.
Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.
Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.
Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin
Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:
Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:
$$ \Delta A=\left| \begin
Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.
Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.
Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.
Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.
Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.
Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.
$$ \left( \begin
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang=2$.
Ответ: система несовместна.
Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
$$ \left( \begin
Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang\lt
Ответ: система является неопределённой.
Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.
Решение систем линейных уравнений
Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.
Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).
Как найти общее и частное решение системы линейных уравнений
Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы
Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.
Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:
Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:
Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:
Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x1=-3 → x1=3; x2=3-x1 → x2=0; x3=1-2x1 → x3=5.
x4 = 10- 3x1 – 3x2 – 2x3 = 11.
Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.
Решение. Составляем расширенную матрицу системы.
Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:
Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть rB > rA.
Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение
Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.
Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x3 = — 1 + x4 + x5; x2 = 1 — x4; x1 = 2 + x4 — 3x5
Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x3 =
— x2 + 13x3 = — 1 + 3x4 — 6x5
2x1 + 3x2 — 3x3 = 1 — 3x4 + 2x5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:
x3 = 0
x2 = 1 — 3x4 + 6x5
x1 = — 1 + 3x4 — 8x5
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.
Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡2 = 2 — 1.67x3 + 0.67x4
x1 = 5 — 3.67x3 + 0.67x4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной
Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера — Капелли. Согласно теореме Кронекера — Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение
http://matrixcalc.org/slu.html
http://math.semestr.ru/gauss/example-system.php