Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

1. Одно решение;
2. много решений;
3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

• перемена мест уравнений системы;
• почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
• сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Если с системой уравнений:

Произвести такие действия:

• умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
• менять местами уравнения;
• к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

• берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
• берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же уже исключались, тогда переходим к , и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

,

,

,

,

.

.

Ответ

,

,

.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Реферат: Способы решения систем линейных уравнений

– очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей. В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера – Капелли. И в той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую часть моего реферата.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры важнейших моментов этой работы.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ;

a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a nn x n = b n ;

a). Если  , то система (1) имеет единственное решение,

которое может быть найдено по формулам Крамера: x 1 = , где

определитель n-го порядка  i ( i=1,2. n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b 1 , b 2 . b n .

б). Если  , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет . Например:

решить систему уравнений

.

Вычислим определитель системы:

Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x , ∆y:

.

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n -го порядка:  ,  x 1 ,  x 2 , …,  x n . Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а 11 х 1 + а 12 х 2 + …+ а 1 n х n = b 1 ;

а 21 х 1 + а 22 х 2 + …+ а 2 n х n = b 2 ;

а m1 х 1 + а m2 х 2 + …+ а m n х n = b m

Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении переменных. Например:

Решить методом Гаусса систему уравнений

x 1 – 2 x 2 + x 3 + x 4 = –1;

3 x 1 + 2 x 2 – 3 x 3 – 4 x 4 = 2;

2 x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = 9;

x 1 + 3 x 2 – 3 x 3 – x 4 = –1.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

1 –2 1 1 –1

Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

x 1 – 2 x 2 + x 3 + x 4 = –1;

X 2 – 6 x 3 + 8 x 4 = –28;

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x 4 = –1 , из третьего х 3 = 3 . Подставив значения х 3 и x 4 во второе уравнение, найдем x 2 = 2 . Подставив значения x 2 , x 3 , x 4 в первое уравнение, найдем x 1 = 1.

Теорема совместности Кронекера – Капелли звучит следующим образом: Для того, чтобы система неоднородных линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу её основной матрицы. Рассмотрим следующий пример:

5 x 1 – x 2 + 2 x 3 + x 4 = 7;

2 x 1 + x 2 – 4 x 3 – 2 x 4 = 1;

x 1 – 3 x 2 + 6 x 3 – 5 x 4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например

5 –1 = 7,

а все миноры третьего порядка равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например

5 –1 7

Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

В процессе работы я узнала много нового: какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, а так же многие другие теоретические вопросы и провела практические исследования, приводя примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

МОУ Гимназия № 11

Способы решения систем линейных уравнений

Реферат по математике

Ученица 9 2 класса

Введение. 2

Глава I. Матрицы и действия над ними. 5

1.1. Основные понятия. –

1.2. Действия над матрицами. 8

1.3. Обратная матрица. 11

1.4. Ранг матрицы. 16

Глава II. Системы линейных уравнений. 23

2.1. Основные понятия. –

2.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило

2.3. Однородная система n линейных уравнений с n

2.4. Метод Гаусса решения общей системы линейных

2.5. Критерий совместности общей системы линейных

Список литературы. 46

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений , т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a 11 x 1 + … + a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + … + a 2n x n = b 2 ;

a m1 x 1 + … + a mn x n = b m .

Здесь x 1 , … , x n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n ) строить так называемые определители , при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы , стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра , т.е. теория

векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правила Крамера . Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.

Применение правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса . Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение ( определённая система ), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений ( неопределённая система ); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения ( несовместная система ). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [ а ij ] и [ a ij , b j ]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А , то система несовместна ( теорема Кронекера-Капелли ).

Несколько уравнений вида a 1 x 1 + …+ a n x n = b образуют систему линейных уравнений

a j1 x 1 + …+ a jn x n = b j , j = 1, …, m,

которую можно записать как

x 1 a 1 + …+ x n a n = b,

где а 1 , …, а n , b m -мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы В системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения

являются бесконечномерными аналогами обычных систем линейных уравнений.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы.

Глава I. Матрицы и действия над ними.

Матрица размерами m Ч n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А )

А = 3 10 7 — матрица.

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

а 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

M = a 31 a 32 … a 3n

a m1 a m2 … a mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n , то матрица называется квадратной , а число строк (или столбцов) – её порядком .

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [ a ij ] и В = [ b ij ] одинакового типа называются равными , если a ij = b ij при всех i и j .

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой ( матрицей-столбцом ), а матрица, у которой все элементы а ij = 0 , – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ , а элементы квадратной

матрицы порядка n ,сумма индексов каждого из которых равна n+1 , –

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е ):

1 0 … 0

Е = 0 1 … 0

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной :

a 11 а 12 … а 1n b 11 0 … 0

А = 0 а 22 … а 2n ; B = b 21 b 22 … 0

0 0 … a nn b n1 b n2 … b nn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

a 11 a 12 … a 1n

A = a 21 a 22 … a 2n ;

a n1 a n2 … a nn

a 11 a 21 … a n1

A T = a 12 a 22 … a n2 .

a 1n a 2n … a nn

Определитель n -го порядка матрицы

а 11 а 12 … а 1n

А = а 21 а 22 … а 2n

а n1 а n2 … а nn

а 11 а 12 … а 1n

∆ = а 21 а 22 … а 2n = ∑ (-1) I(k , k , …, k ) a 1k a 2k … a nk

а n1 а n2 … а nn

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а ij , т.е. на всевозможные перестановки ( k 1 , k 2 , …, k n ). Числа а ij называют элементами определителя .

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной .

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из

нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.

Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Если все элементы i -й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -й, те же, что и у данного определителя; i -я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i -й строки данного определителя, а i -я

строка другого – из вторых слагаемых элементов i -й строки.

Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

1.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В . Таким образом, если

а 11 … а 1n b 11 … b 1n

А = ………….. ; (1) В = …………… , то (2)

a m1 … а mn b m1 … b mn

a 11 + b 11 … a 1n + b 1n

a m1 + b m1 … a mn + b mn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

a 11 – b 11 … a 1n – b 1n

A – B = ………………………

a m1 – b m1 … a mn – b mn

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц . Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

А + В = В + А ; (коммутативность)

А + (В + С) = (А + В) + С ; (ассоциативность)

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [а ij ] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим

λА. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

a 11 … a 1n λa 11 … λa 1n

a m1 … a mn λa m1 … λa mn

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица –А = –1А называется противоположной матрице А . Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

Здесь А, В – произвольные матрицы; μ, λ — произвольные числа; О – нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В :

а 11 … а 1 n b 11 … b 1n

a m1 … a mn b m1 … b mn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В , которые

заданы в определенном порядке ( А – 1ая, В – 2ая ), является матрица С , элемент которой с ij определяется по следующему правилу:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj = ∑ n α = 1 a iα b αj,

где i = 1,2, …, m ; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

1 2 3 7 8

А = ; В = 9 10 , то (1)

4 5 6 11 12

1 7 + 2 9 + 3 11 1 8 + 2 10 + 3 12 58 64

АВ = = (2)

4 7 + 5 9 + 6 11 4 8 + 5 10 + 6 12 139 154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А , а число столбцов – числу столбцов матрицы В .

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц . Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ≠ ВА . Убедимся в примере матриц (1). Перемножив их в обратном порядке, получим:

39 54 69

Сравнив правые части выражений (2) и (3), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В , для которых АВ = ВА, называются перестановочными . Например:

1 2 -3 2

А = ; В = перестановочны, т.к.

-2 0 -2 -4

-7 -6

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

А(ВС) = (АВ)С ; (ассоциативность)

А(В + С) = АВ + АС . (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ — произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В – квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

Пусть дана квадратная матрица

a 11 … a 1n

= A – её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А , а сама матрица А – обратимой . Обратная матрица для А обозначается А -1 .

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х 1 . Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ 1 = Е . Умножив второе равенство на матрицу Х , получим ХАХ 1 = ХЕ =Х. Но, т.к. ХА = Е , то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ 1 = Х или Х = Х 1 .

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Найдем теперь выражение для матрицы А -1 при условии, что матрица

А – обратимая. Пусть дана обратимая квадратная матрица А с элементами а ij . Обозначим через А ij алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе ∆ матрицы А и составим матрицу В :

А 11 A 21 … A n1

A 1n A 2n … A nn

Заметим, что в i -й строке матрицы В расположены алгебраические дополнения элементов j -го столбца определителя ∆ . Матрица (4) называется присоединённой для матрицы А . Докажем, что матрицы А и В удовлетворяют матричному равенству

Для этого вычислим элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце произведения АВ . Искомый элемент равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В:

a i1 A j1 + a i2 A j2 + … + a in A jn . (6)

Согласно правилу разложения определителя по элементам строки (или столбца) выражение (6) равно определителю ∆ при i = j и нулю при i ≠ j . Следовательно, мы установили, что произведение АВ есть матрица вида

∆ 0 … 0 1 0 … 0

Таким образом, АВ = ∆Е. Аналогично доказывается и равенство

Пусть теперь А – невырожденная матрица (т.е. ∆ ≠ 0 ). Тогда, умножив обе части равенства (5) на числовой множитель 1/∆ , получим

Сравнивая равенства (5) и (7) и учитывая единственность обратной

матрицы, замечаем, что

Таким образом, доказано, что, во-первых, обратимы только невырожденные матрицы, и, во-вторых, для матрицы А обратной является матрица

Пусть А невырожденная матрица, тогда АА -1 = Е. Переходя в этом равенстве к определителям, получаем А А -1 = 1 , откуда

А -1 = А -1 .

Таким образом, определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя данной матрицы. Из этого следует, что если матрица А – невырожденная, то обратная матрица А -1 также невырожденная.

Пусть теперь дана матрица А -1 . Для неё обратной будет матрица

(А -1 ) -1 .Поэтому из определения обратной матрицы будем иметь

А -1 (А -1 ) -1 = Е . Умножив это соотношение слева на А , получим

АА -1 (А -1 ) -1 = АЕ или (А -1 ) -1 = А.

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

1 2 3 1 2 5

∆ А = –3 –1 1 = –3 –1 0 = 5 –3 1 = 5 (–3 + 2) = –5 ≠ 0.

2 1 –1 2 1 0 2 1

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А :

А 11 = –1 1 = 0; А 12 = –­­ –3 1 = –1;

А 13 = –3 –1 = –1; А 21 = – 2 3 = 5;

А 22 = 1 3 = –7; А 23 = – 1 2 = 3;

А 31 = 2 3 = 5; А 32 = 1 3 = –10;

–1 1 –3 1

А 33 = 1 2 = 5.

Составим присоединённую матрицу для матрицы А :

Отсюда находим обратную матрицу:

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В , если:

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А -1 , получим:

А -1 АХ = А -1 В; Х = А -1 В.

Найдем А -1 : ∆ А = 1, А 11 = 2, А 12 = -1, А 21 = -3, А 22 = 1 , следовательно,

Найдем матрицу Х:

Х = А -1 В = 2 -3 3 4 = 9 5 .

1.4. Ранг матрицы.

Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу

а 11 … а 1 n

Выделим некоторое число k строк этой матрицы и такое же число столбцов. Элементы матрицы (8), стоящие на пересечение выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы А . Если не все числа а ij матрицы А равны нулю, то всегда можно указать число r такое, что у матрицы А имеется минор,

имеющий порядок r + 1 и выше, равен нулю.

Число r , представляющее собой наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А , называется рангом матрицы и обозначается rangA . Если все элементы а ij равны нулю, то ранг матрицы принимается равным нулю. Отличный от нуля минор r -го порядка матрицы A (таких миноров у матрицы А может быть несколько, но все они имеют один и тот же порядок r ) называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, из которых построен базисный минор, называют базисными . Понятие ранга матрицы широко применяется в различных приложениях теории матриц.

Выделим в матрице А произвольно k строк. Пусть это будут строки

а α 1 1 , а α 1 2 , … , а α 1 n ;

а α 2 1 , а α 2 2 , … , а α 2 n ;

а α k 1 , а α k 2 , … , а α k n .

Если существуют такие числа λ 1 , λ 2 , …, λ k , не все равные нулю, что для элементов некоторой другой, отличной от выделенной, строки i выполняются следующие соотношения:

то говорят, что i -я строка линейно выражается через строки

α 1 , α 2 , …, α k . В случае, если равенства (9) выполняются тогда и только тогда, когда все числа λ 1 , λ 2 , …, λ k – нули, то говорят, что i -я строка линейно зависима от строк α 1 , α 2 , …, α k . Аналогичным образом можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости между столбцами матрицы.

Теорема 1.2.(о базисном миноре) Любая строка матрицы А является линейной комбинацией её базисных строк.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что базисный минор матрицы (8) расположен в её верхнем левом углу, т.е. в первых r строках и первых r столбцах. Такое предположение не уменьшает общности рассуждения. Пусть k – номер любой строки матрицы А ( k может принимать значения от 1 до m ), а l – номер любого её столбца (l может принимать значения от 1 до n ).

Рассмотрим следующий минор матрицы (8):

a 11 a 12 … a 1r a 1 l

a 21 a 22 … a 11 a 1l

a r1 a r2 … a rr a rl

………………………

a k1 a k2 … a kr a k l

Если k r , то ∆ = 0, так как в нем имеется две одинаковые строки. Аналогично ∆ = 0 и при l r .

Разложив определитель ∆ по элементам последнего столбца, получим

a 1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + … + a r l A r l + a k l A k l = 0,

Придавая l значения, получаем:

Равенства (11) показывают, что k -я строка матрицы А является линейной комбинацией первых r строк с коэффициентами

λ 1 , λ 2 , …, λ r . Так как эти равенства справедливы при любом k от 1 до n , то т е о р е м а д о к а з а н а полностью.

Основываясь на теореме о базисном миноре, докажем справедливость следующих предложений.

1. Ранг матрицы не изменяется, если к ней приписать строку, являющуюся линейной комбинацией строк матрицы.

Действительно, базисные строки исходной матрицы будут также базисными строками в дополнительной матрице, так как строку из линейной комбинации всех строк исходной матрицы можно

представить как линейную комбинацию базисных строк.

2. Ранг матрицы А не изменится, если вычеркнуть из неё строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

В самом деле, исходная матрица А получается из матрицы с вычеркнутой строкой путем добавления строки, являющейся линейной комбинацией строк матрицы А . Таким образом, предложение 2 сводится к предложению 1.

Нахождение ранга матрицы, как это следует из его определения, требует вычисления большого числа миноров (т.е. определителей разных порядков) матрицы. Однако этот процесс можно упростить: вычисляя ранг матрицы, гораздо удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор r -го порядка, отличный от нуля, то при следующем шаге нужно вычислять миноры ( r + 1 )-го порядка, окаймляющие прежний минор. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Другим простым способом вычисления ранга матрицы является метод Гаусса, основанный на так называемых элементарных преобразованиях , выполняемых над матрицей. Такими преобразованиями будем считать:

вычеркивание строки состоящей из нулей;

прибавление к элементам одной из строк соответствующих элементов других строк, умноженных на любое число;

перестановку двух столбцов.

Теорема 1.3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Преобразование 1 следует из теоремы о линейной комбинации элементов любой строки матрицы. В самом деле, так как нулевая строка не может быть базисной, то её исключение, как и включение, не изменит ранга матрицы.

Преобразование 3 очевидно, так как перестановка двух столбцов матрицы не нарушает никаких линейных зависимостей между её строками.

Остается рассмотреть преобразование 2. Пусть к k элементам i -ой строки матрицы А прибавляются соответствующие элементы j -ой строки, умноженные на число k . Указанное преобразование можно выполнить в два приёма: сначала добавить к матрице А новую строку

с элементами a il + ka jl , вставив её после i -й строки, затем из полученной матрицы вычеркнуть j -ю строку. При первой операции ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы А согласно предложению 1, а при второй операции – согласно предложению 2.

Т е о р е м а д о к а з а н а.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается в том, что путем элементарных преобразований можно привести данную матрицу А к виду

b 1 l b 1 2 … b 1 r … b 1 n

B = 0 b 22 … b 2r … b 2n

0 0 … b rr … b rn

в котором все диагональные элементы b 1 l , b 22 , …, b rr отличны от нуля, а элементы других строк, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Учитывая, что ранг не меняется при элементарных преобразованиях, имеем rang A = rang B .

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

1 –2 –1 3

Р е ш е н и е. Выберем минор второго порядка, стоящий в верхнем левом углу:

М 2 = 1 –2 = 4.

Так как М 2 ≠ 0, то, следовательно, ранг матрицы не меньше двух. Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка отличный от нуля. Для этого добавим к М 2 третью строку и третий столбец:

М 3 = 2 0 1 = 2 + 4 + 2 – 8 = 0.

Заменим третий столбец четвертым:

М′ 3 = 2 0 –1 = –2 – 12 – 2 + 16 = 0.

В миноре М 3 заменим третью строку четвертой:

1 –2 –1

М″ 3 = 2 0 1 = –14 + 12 + 6 – 4 = 0.

В миноре М′ 3 заменим третью строку четвертой:

1 –2 3

М′″ 3 = 2 0 –1 = 14 – 36 – 6 + 28 = 0.

Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка, равны нулю. А это значит, что rang A = 2.

Пример 2. Найти ранг матрицы

1 2 3 4 5

Р е ш е н и е. Произведем следующие элементарные преобразования над матрицей А . Путем умножения элементов строк на числа и сложения их с соответствующими элементами других строк добьемся, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого, были бы нулями. Один нуль там уже имеется, поэтому, сложив четвертую строку со второй, умноженной на два, получим

1 2 3 4 5

Применим теперь элементарные преобразования таким образом, чтобы в матрице В все элементы второго столбца, кроме первых двух, были бы нулями. Один нуль там уже имеется, поэтому, сложив четвертую строку со второй, умноженной на 2, получим

Оставив три строки матрицы С без изменения и сложив четвертую строку с третьей, умноженной на –1, получим

1 2 3 4 5

Очевидно, что ранг матрицы D равен трем, так как минор третьего порядка

1 2 5

а все миноры четвертого порядка, окаймляющие минор М , равны нулю. На основании теоремы 1.3. заключаем, что rang А = 3.

Глава II. Системы линейных уравнений.

2.1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ; (13)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + …+ a mn x n = b m ;

где х 1 , х 2 , … , х n — неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (2.1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а 11 , а 12 , … , а mn называются коэффициентами системы , а b 1 , b 2 , … , b m — её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а ij

( i = 1, 2, . . ., m ; j = 1, 2, . . .,n ) и свободные члены b i ( i=1, 2, . . .,m ) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х i , при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b i соответствует номеру уравнения, в которое входит b i .

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (13) называется всякая совокупность чисел α 1 , α 2 , α n , которая будучи поставлена в систему (13) на место неизвестных х 1 , х 2 , …, х n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и тоже множество решений.

2.2. Система n линейных уравнений с n

неизвестными. Правило Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = b 1 ;

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = b 2 ; (14)

a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a nn x n = b n ;

Определителем системы (14) называется определитель, составленный из коэффициентов а ij .

a 11 a 12 … a 1n

∆ = a 21 a 22 … a 2n

a n1 a n2 … a nn

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (14) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (14) на алгебраические дополнения элементов i -го столбца определителя ∆ , т.е. первое уравнение умножим на А 1i , второе – на А 2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на А ni , а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

( a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1i x i + …+ a 1n x n ) A 1i + ( a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2i x i +

+ …+ a 2n x n ) A 2i + …+ ( a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a ni x i + …+ a n x nn ) A ni = b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni

или, сгруппировав члены относительно известных x 1 , x 2 , …, x n , получим

( a 11 A 1i + a 21 A 2i + …+ a n1 A ni ) x 1 + … +

+ ( a 1i A 1i + a 2i A 2i + …+ a ni A ni ) x i + … +

+ ( a 1n A 1i + a 2n A 2i + …+ a nn A ni ) x n =

= b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni . (15)

Коэффициент при неизвестной х i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный

член уравнения (15) отличается от коэффициента при х 1 тем, что коэффициенты а 1i , а 2i , …, а ni заменены свободными членами

b 1 , b 2 , …, b n уравнения (14). Следовательно, выражение

b 1 A 1i + b 2 A 2i + …+ b n A ni есть определитель i -го порядка, отличающийся от определителя только i -м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆ x i , будем иметь

a 11 a 12 … b 1 … a 1n

Доклад «Методика обучения решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МУНИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«УСАДОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

СТУПИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

« Методика обучения решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными»

учитель математики МБОУ «Усадовская СОШ»

Шарапова Лариса Ивановна

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме

§ 1. Логико-математический анализ содержания темы

§ 2. Психолого — педагогическое обоснование изучения темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»

ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме

§ 3. Примеры разработки обобщающего урока по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»

§ 4. Дидактические материалы по теме «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными»

Цель проекта: разработать практическое руководство по изучению и обобщению темы «Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными» позволяющее формировать математическую образованность учащихся, соответствующую социальному заказу.
Задачи исследования:

1.Выявить теоретические основы методики изучения темы.

2. Описать используемые методы, приёмы и формы организации деятельности учащихся.

3.Разработать сценарии уроков по теме.

4.Подготовить дидактический материал для закрепления темы.

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике, посещение профессиональных сайтов.

Логико-математический анализ содержания темы.

В курсе алгебры 7 класса учащиеся неоднократно встречаются с равенствами содержащими две переменные.

При изучении темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными» расширяется представление учащихся о таких равенствах. Вводится новое понятие «система уравнений». Важно отметить, что изучение всех вопросов темы существенно опирается на знания учащихся о функциях и графиках. Особенно на знания и умения, полученные при изучении линейной функции, поэтому необходимо организовать планомерное повторение опорных понятий.

При изучении этой темы школьники получают новый мощный аппарат решения задач, широко используемый в последующем изучении предмета. Кроме того, совершенствуются представления учащихся о взаимосвязи алгебраических и геометрических образов.

На первом уроке в разделе « Системы линейных уравнений» вводится понятие уравнения с двумя переменными и даётся определение решения такого уравнения как упорядоченной пары чисел- значений переменных, обращающих уравнение в верное равенство. Данное определение должно быть хорошо понято и усвоено учащимися. Учащиеся имеют большой опыт работы с числовыми парами, однако в новых условиях у некоторых из них вновь могут возникнуть ошибки: запись значений переменной на «чужом» месте, в частности не различение пар вида (1;4) и (4;1). Предупреждению этих ошибок следует уделить внимание при решении устных упражнений.

Понятие решения уравнения с двумя переменными следует отрабатывать на достаточно большом числе упражнений, при этом важно обратить внимание на упражнения , которые позволят избежать неверного представления учащихся о том, что уравнение с двумя переменными всегда имеет бесконечно много решений.

В седьмом классе учащиеся впервые начинают знакомиться с понятием равносильных уравнений с двумя переменными. Далее происходит развитие понятия равносильности – равносильность систем уравнений. Завершается тема введением понятия графика уравнения с двумя переменными. Обращается внимание учащихся на то, что график линейного уравнения можно строить по двум точкам и графиком всегда является прямая вне зависимости от коэффициента. При построении графиков целесообразно повторить расположение графика в системе координат в зависимости от коэффициентов.

И наконец после всей предварительной подготовки использование геометрических представлений , связанных с уравнениями с двумя переменными , позволяет перейти к графическому способу решения систем уравнений. Решая графически системы уравнений с двумя переменными, учащиеся наглядно убеждаются, что системы могут не иметь решения, иметь конечное число решений, иметь бесконечно много решений. Ежеурочно перед графическим решением систем следует повторять следующий теоретический блок вопросов: а) что является графиком линейной функции; б) каков геометрический смысл коэффициентов в формуле линейной функции; в) алгоритм выражения переменных ( х и у ).

После того, как учащиеся усвоили графический метод решения систем уравнений, следует показать, что его использование не всегда удобно и даёт желаемый результат (приближённые значения) и как альтернативу предложить «способ подстановки». С самого начала учащиеся должны ясно представлять себе цель преобразования — добиться того, чтобы одно из уравнений системы содержало только одну переменную.

При разборе решения систем способом подстановки надо специально остановиться на этапе выбора той переменной, которую мы будем исключать из одного из уравнений: от этого часто существенно зависит сложность преобразования уравнений. Учащимся следует предложить алгоритмы решения, что значительно упростит задачу учителя по формированию прочных знаний. При решении первых систем от учащихся следует требовать полных и подробных объяснений выполняемых действий по образцу. Очень полезно 2-3 системы решить двумя способами – графическим и способом подстановки, тем самым закрепить ранее изученную тему и одновременно убедиться в большей эффективности аналитического способа решения.

Нельзя в математике двигаться дальше без опоры на ранее полученные знания, и как говорила в начале раздела постоянно необходимо повторять теоретический материал и выполнять устные упражнения по его закреплению, а именно в данной теме: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя.

Изучив два способа решения систем уравнений, учащимся следует показать возможные сложности их использования для отдельных систем уравнений и таким образом познакомить с третьим способом – «Способ сложения». Здесь, как и при решении систем, способом подстановки необходим чёткий алгоритм.

Изучив все три способа, учитель должен подобрать достаточное количество систем уравнений, на примере которых необходимо отработать выбор способа решения с предварительным анализом.

В зависимости от возможностей учащихся класса, их уровня подготовки целесообразно познакомить их с методом определителей и ввести уравнения с двумя переменными содержащие параметр.

Завершается раздел традиционно решением задач на составление систем линейных уравнений. При решении задач особое место следует отвести самоконтролю: проверке реальности ответа по содержанию задачи.

Данная последовательность изучения материала соответствует учебнику «Алгебра 7» Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Мендюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой. В соответствии с авторской программой на раздел «Системы линейных уравнений» отводится 17 часов, которого вполне достаточно, чтобы качественно изучить материал.

Не могу не сказать о том, что данная тема входит в кодификатор заданий ГИА, причём предлагаемые задания не всегда сводятся к решению конкретной системы, а имеют достаточно глубокий смысл требующий от учащегося умения анализировать и использовать знания в определённой ситуации. Предлагаемый далее практический материал можно использовать и в 9 классе на уроках повторения.

При изучении темы использую различные методы и средства обучения, а также различные формы организации учебной деятельности: словесные методы обучения, наглядные методы, практические методы, активные методы, индуктивный и дедуктивный.

Психолого — педагогическое обоснование изучения темы «Решение систем линейных уравнений с двумя переменными».

Возраст учащихся 7 класса, когда впервые появляется в курсе алгебры данная тема относится к подростковому. В это время отмечается мощный подъем жизнедеятельности, глубокая перестройка организма. Происходит формирование личности, переход от детства к юности. Семиклассники характеризуются резким возрастанием познавательной активности и любознательности, развитием познавательных интересов. Подростки способны к самостоятельному творческому мышлению, рассуждению, сравнению, к выводам и обобщениям. Внимание и память приобретают характер организованных и управляемых процессов. Быстро развиваются смысловая логическая память, понятийное мышление. Мышление подростка приобретает способность строить логичные рассуждения на основе выдвинутых гипотез.

Волевые проявления у подростков имеют свои особенности: резко возрастает смелость, но снижается выдержка и самообладание, настойчивость проявляется только в интересной работе, снижается дисциплинированность, усиливается проявление упрямства.

Основным в этот период развития личности является становление самостоятельности. Подростки начинают ощущать способность ставить перед собой и самостоятельно решать некоторые практические задачи.

Происходит развитие самосознания и самооценки, возникновение интереса к себе, к своим качествам, потребность сравнивать себя с другими. С развитием самосознания возникает стремление к самовоспитанию.

Эти особенности возрастного развития создают предпосылки для включения подростков в активную познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).

Эмоциональное состояние подростка связанно с эмоциональным климатом всего коллектива. Занятия раскрывают привлекательность совместной деятельности, осознание понятия «мы», развивают чувство долга, ответственности перед товарищами, веру в свои силы. При проведении уроков в 7 классе следует использовать парную и групповую работу, дав, тем самым возможность учащимся общаться друг с другом, научиться слушать собеседника, отстаивать свою точку зрения, совместно находить оригинальное решение поставленной задачи.

Содержание следующей главы позволяет предлагать учащимся задания на развитие понятийного мышления, развитие способности строить логичные рассуждения, мысленно решать задачи.

В 9 классе происходит формирование сознательного отношения к процессу обучения, и имея уже определённые знания, учащиеся иначе воспринимают данную тему. На данном этапе урока целесообразно использование ИКТ (компьютер, проектор ) – презентация (приложение 1) или файл Microsoft Office Word , так как учащиеся владеют знаниями, и разбор с записью на доске займёт лишнее время.