Доклад по математике показательные уравнения

Доклад по математике показательные уравнения

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.

В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

• метод приведения к одному основанию;
• метод введения новых переменных;
• метод вынесения общего множителя за скобки;
• метод почленного деления;
• метод группировки;
• метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 2x-1= log 3 7 x+1 2x-1=x log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> + log 3 7 x(2- log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> )= log 3 7 x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 x= log 3 21 log 3 9 7 x= log 9 7 21 ≈12.1144 Ответ: 12.1144 4 x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.png» /> — 2 x 2 Обозначим t= 2 x 2 t 2 t 1 t 2 Так как -1 2 x 2 x 2

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 x — 1= x — 3 +2 x — 3= x — 3 x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x 0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x Ответ: — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image025.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image027.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 3; +∞ 22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 Пусть 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image030.png» />
2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х=1, 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х = 5 2 3·22х+ 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 31,5= 21· 4 9 4 9 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032.png» /> х= 3 2 2 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.png» /> 2х= 2 3 ( 5 ) 2+4+6+. +2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image035.png» /> = 5 45 1 2 Sn =n( a 1 + a n 2 x 1+ x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.png» /> =45 2 x — 3 ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 Пусть 2 x — 3 t ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t 4+ 1 6- t 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image045.png» /> – t ≤ t 2 — 10 t +25 6- t ≤ (t-5) 2 6-t ≤ t=5, t > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > Пусть 2 x Из уравнения a-3 a-3=5 a-3=-5 a=8 a=-2 Подставим вместо a= 2 x 2 x =8 2 x =-2 Модуль a — 3 Для решения неравенств a — 3 > a — 3 > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.png» /> 6 получаем a 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.png» /> -3 или a > 2 x 2 x >9 2 x > 2 log 2 9 x > log 2 9 Ответ: <3>∪ ( log 2 9 2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) 3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 Обозначим: 3 2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image069.png» /> =y, где y > y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 D = 3 log 2 3 +1 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076.png» /> 2 + 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 D >0 y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 В связи с тем, что log 2 3 >0 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 Отметим точку y на оси, y >0 y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Лекция по теме: «Показательные уравнения»

ГД 114 законспектировать лекцию и разобрать примеры!

Просмотр содержимого документа
«Лекция по теме: «Показательные уравнения»»

ГД 114 Математика

Преподаватель: Водяхина Н. В. Электронный адрес почты: [email protected]

Задание выдано 27.05.20. Задание выполнить до следующего занятия!

Лекция: «Методы решения показательных уравнений»

Цель: изучить способы решения показательных уравнений и закрепить их при выполнении упражнений

— обучающие: повторить определения и основные свойства, уметь применять их в вычислении, в решении уравнений;

-развивающие: формировать умение решать уравнения;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение а x = b, где а 0, а ≠ 1, b 0.

1) При b и b = 0 это уравнение, согласно определению показательной функции, не имеет решения.

2) При b 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = a с , а x = b с  x = c.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры. Решить уравнение:

Представим правую часть уравнения в виде 81 = 3 4 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 3 4 ; x = 4.

2.

Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5.

3.

Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 5 0 и перейдем к уравнению для показателей степеней x 2 -3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2.

4.

Заметим, что числа 0,2, 0,04, √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:

, откуда 5 — x -1 = 5 -2 x -2  — x – 1 = — 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1

Перепишем уравнение в виде 3 2 x +4 .2 2 x +4 = 3 2 x .2 x +8 , т.е. далее

2 2 x +4- x -8 = 3 3 x -2 x -4 , т.е. 2 x -4 = 3 x -4 . (Уже ясно, что x = 4). Перепишем уравнение, разделив на 3 x -4 ≠ 0. Отсюда x – 4 =0, x = 4.

Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3 x — 2∙3 x – 3 x = 9, далее 3∙3 x = 9, 3 x +1 = 3 2 , т.е. x+1 = 2, x =1.

2. Метод введения новых переменных

Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения.

1.

Перепишем уравнение иначе: . Обозначим 5 x = t 0, тогда т.е. 3t 2 – 2t – 1 =0, отсюда t₁ = 1, -не удовлетворяет условию t 0. Итак, 5 x = 1 = 5 0 x = 0.

2.

Заменим , получим уравнение 2t 2 – 5t +3 = 0, где t₁ = 1, t₂ = . Вернёмся к замене

3.

Заменим , получим уравнение 8t 2 – 6t +1 = 0, где t₁ = 1, t₂ = . Вернёмся к замене

3. Метод разложения на множители

В левой части уравнения вынести общий множитель за скобки

1. 5 x +1 — 5 x -1 = 24

Перепишем уравнение в виде Теперь в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 5 x . Получим

Вынесем за скобки в левой части уравнения 6 x , а в правой части – 2 x . Получим уравнение

6 x (1+6) = 2 x (1+2+4)  6 x = 2 x . Так как 2 x 0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2 x , не опасаясь при этом потери решений. Получим 3 x = 1 x = 0.

Решим уравнение методом разложения на множители (можно решить методом замены переменной)

Выделим квадрат двучлена