Дробно линейная функция задана уравнением

Дробно-линейная функция

Разделы: Математика

Функция у = и её график.

ЦЕЛИ:

1) ввести определение функции у = ;

2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;

3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства преобразования графиков функций;

4) научить читать графики функций у =.

I. Новый материал – развёрнутая беседа.

У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

у = (1).

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).

Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.

Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:

= = = , то есть у = — линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.

Имеем: = = = 1 + .

График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).

Пример 2. Построим график функции у = —.Выделим из дроби целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = —-2.

График функции у = —-2 можно получить из графика функции у = — с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х -3.

Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = — (рис. 2).

У: Что является графиком дробно-линейной функции?

Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

У: Как построить график дробно-линейной функции?

Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = — называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.

У: Какова область определения дробно-линейной функции?

Д: D(y) =

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

Д: Е(у) = .

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = —. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad 0 и в которых у 0.

8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = — в) у = г) у = д) у = е) у = . -5-

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = — и у = х-7; б) у = и у = х+2х+3.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = — в) у = г) у = д) у = е) у = .

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+2; б) у = и у = х-2х+3.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = — в) у = г) у = д) у = — е) у = .

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = — и у = -х-1; б) у = —-2 и у = -х-2х-3.

1. Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = — в) у = г) у = — д) у = — е) у = .

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+1; б) у = — и у = — х-2х-5.

Примерное содержание карточки “Результаты исследования функции» см. “Приложение 1”.

Список литературы.

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 8 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Мнемозина, 2001г.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 2001г.
3. Звавич Л. И., Рязановский А. Р. Алгебра 8 класс: Задачник для класса с углубленным изучением математики. – М. Мнемозина,2002 г.
4. Виленкин Н. Я., Сурвилло Г. С., Симонов А.С., Кудрявцев А. И. Алгебра для 9 класса : Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996г.
5. Зив Б. Г., Гольдич В. А. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. С. – П. Черо – на – Неве, 2001г.

Задача 54490 Дробно Линейная Функция задана.

Условие

Дробно Линейная Функция задана уравнением: y=2x+5/2x-2
А) Найдите горизонтальную и вертикальную асимптоты функции;
Б) используя результаты предыдущего действия ;
Приведите функцию y=2x +5/2x-2 к виду y=m+k/x+n
C) Найдите точки пересечения функции с осями координат постройте график функции.

Решение

Область определения функции
[m] 2х-2 ≠ 0[/m] ⇒ [m] х ≠ 1[/m]

Прямая [blue]x=1 [/blue] является вертикальной асимптотой, так как

Прямая [red]y=1[/red] является вертикальной асимптотой, так как

[red]y=1 [/red]- горизонтальная асимптота
[blue]x=1[/blue] — вертикальная асимптота

Точки пересечения с осью Оу

Точки пересечения с осью Оx
y=0 ⇒ [m] 2х+5=0[/m] ⇒ x=-2,5

Дробно линейная функция задана уравнением

Построение графиков дробно-линейных функций

Рассмотрим специальный класс функций, графиками которых будут гиперболы.

Дробно-линейной называют всякую функцию вида

1. ПР6: `f_1(x)=1/(x+d/c)`;

2. ПР4: `f_2(x)=((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`;

3. ПР5: `f_3(x)=a/c+((bc-ad)/c^2)/(x+d/c)`.

На первом шаге нужно сдвинуть график y = f 0 ( x ) y = f_0(x) на `−d/c` вдоль оси O x Ox ,

на втором – сжать его или растянуть и, возможно, отразить в зависимости от коэффициента `(bc-ad)/c^2`, а

на третьем – сдвинуть вдоль оси O y Oy .

Покажем на примере, как это нужно делать.

Построим график функции `y=-2/x` (ветви гиперболы лежат во 2-ой и 4-ой четвертях) (рис. 25).

Далее, необходимо, воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинуть график `y=-2/x` на две единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 26). Получим график `y=-2/(x+2)`. Теперь используем преобразование ПР5 и поднимаем график на рис. 26 на единицу вверх. Получим необходимый график функции

Постройте график функции

Будем выполнять построения в таком порядке:

1) Преобразуем данную функцию:

2) Построим график функции

`y=1/(x+6//5)` (ПР6, см. рис. 28).

Далее, построим график `y=(2//25)/(x+6//5)`, сжав график относительно оси абсцисс в `2//25` раз (ПР4, см. рис. 29).

3) Осталось сдвинуть график на `3//5` единиц вверх и получим окончательный график (ПР6, см. рис. 30)

Построим график функции

Будем решать данный пример в таком порядке:

1. Построим гиперболу `y=2/x` (рис. 31).

2. Воспользовавшись преобразованием ПР6, сдвинем эту гиперболу на единицу вправо (вдоль оси абсцисс) и получим график функции `y=2/(x-1)` (рис. 32).

3. Теперь воспользуемся преобразованием ПР1 для построенного в п. 2. графика. Получим график функции `y=2/(|x|-1)` (рис. 33).

4. Воспользуемся преобразованием ПР2 и получим график искомой функции `y=|2/(|x|-1)|` (рис. 34).