«Решение целых и дробно рациональных уравнений.»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)
Использованный материал можно применять для подготовки к ЕГЭ в 11 классе
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
dlya_podgotovki_k_ege_po_matematike_10-11klass.docx | 62.17 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема «Решение целых и дробно рациональных уравнений.»
Учитель: Незнамова Н.И
( Использовать при подготовке к ЕГЭ в 11 классе)
Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения.
Этапы решения рационального уравнения.
- Определить ОДЗ (ни один знаменатель не может равняться нулю).
- Найти наименьший общий знаменатель всех дробей.
- Умножить уравнение на этот знаменатель и решить полученное целое уравнение.
- Включить в ответ только те корни, которые входят в ОДЗ.
Решение целых уравнений
Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:
- сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
- затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.
Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Получаем следующую систему:
Первое уравнение системы – это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:
Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:
Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:
Получаем два корня: ; .
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Первое уравнение системы – это квадратное уравнение.
Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:
Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:
Получаем два корня: ; .
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один – 3.
Раскрыв скобки в знаменателях, получаем уравнение:
Полагая, что x 2 + 3х + 2 = t ,приходим к системе уравнений
Решив первое уравнение системы, получаем корни t 1 = 2, t 2 = 18. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .
Прибавим к числителю второй дроби выражение 2 х — 2 х , тождественно равное нулю:
Решив первое уравнение системы, получаем корни: t 1 = -1, t 2 = 2. Из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок алгебры 8 класс «Решение дробно-рациональных уравнений»
Приводится конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение дробно-рациональных уравнений».
Решение дробных рациональных уравнений
Презентация содержит демонстрационный материал к обяснению нового материала по теме «Решение дробных рациональных уравнений». Учебник Макарычева Ю.Н. и др. «Алгебра 8».
Решение дробно — рациональных уравнений с модулем.
Данная презентация разработана для подготовки учащихся 10 классса к КДР, может быть полезна для подготовки учащихся 11 класса к ЕГЭ.
Урок алгебры в 8-м классе «Решение дробно-рациональных уравнений»
Урок закрепления изученного материала проводится в форме игры «Лабиринт». Задания в лабиринте дифференцированы по уровням сложности, что позволяет учащимся выбрать наиболее походящий для себя режим ра.
Урок в 8 классе»Решение дробных рациональных уравнений»
Урок формирования умений и навыков.
урок алгебры в 8 классе по теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»
урок — путешествие по городам Белгородской области (с презентацией).
Алгебра. 8 класс. Решение задач с дробно рациональными уравнениями, которые сводятся к квадратным уравнениям.
Алгебра. 8 класс. Решение задач с дробно рациональными уравнениями, которые сводятся к квадратным уравнениям.
Рациональные уравнения
Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
$<2>/
$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)
Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:
- Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
- Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- Решить получившееся целое уравнение;
- Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
Решить уравнение: $4x+1-<3>/
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
3. решаем полученное уравнение
Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
Воспользуемся основным свойством пропорции
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$
В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Дробно рациональные уравнения
Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0
ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
- Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
x 2 + x − 6 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
a = 1, b = 1, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Корни, полученные на предыдущем шаге:
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Задания для самостоятельного решения
№1. Решите уравнение: 3 x − 19 = 19 x − 3 .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
3 x − 19 = 19 x − 3
[ x − 19 ≠ 0 x − 3 ≠ 0 ⇒ [ x ≠ 19 x ≠ 3
Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:
3 \ ( x − 3 ) x − 19 − 19 \ ( x − 19 ) x − 3 = 0
3 ( x − 3 ) − 19 ( x − 19 ) ( x − 19 ) ( x − 3 ) = 0
В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:
3 x − 9 − 19 x + 361 = 0
x = − 352 − 16 = − 352 16 = 22
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
№2. Решите уравнение x − 4 x − 6 = 2.
Решение:
Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.
Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 1 .
Воспользуемся основным свойством пропорции :
произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):
a b = c d ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c
x − 4 x − 6 = 2 1 ⇒ ( x − 4 ) ⋅ 1 = ( x − 6 ) ⋅ 2
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/racionalnye_uravneniya
http://epmat.ru/drobno-racionalnye-uravnenija/