Дробно рациональные уравнения и неравенства 10 класс

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя .

1. Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя .

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые .

Если знак неравенства строгий ,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые .

Если знак неравенства нестрогий ,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

1. Расставить знаки на интервалах.

1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = 1 – это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 3 – это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 – ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = − 8 – это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1 – нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 – это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Если вас интересуют более сложные неравенства (с корнем чётной степени кратности, например), посмотрите видео «Метод интервалов: сложные случаи».

Спасибо за просмотр этого урока! Если у вас остались вопросы, напишите их в комментариях.

Решение целых и дробно рациональных неравенств

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1 , 2 , 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · ( y − 1 ) · ( x 2 + 1 ) 2 · x x — 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

А вот неравенство вида 5 + x + 1 x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Например, неравенства вида 1 + x — 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 — 2 · 1 3 · x — 1 > 4 — x 4 и 1 — 2 3 5 — y > 1 x 2 — y 2 являются дробно рациональными, а 0 , 5 · x ≤ 3 · ( 2 − 5 · y ) и 1 : x + 3 > 0 – целыми.

Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

Как решать целые неравенства

Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r ( x ) s ( x ) , которое включает в себя только одну переменную x . При этом r ( x ) и s ( x ) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.

Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:

вида r ( x ) − s ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ )

Мы знаем, что r ( x ) − s ( x ) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r ( x ) − s ( x ) в h ( x ) . Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r ( x ) − s ( x ) и h ( x ) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) , которое будет равносильно исходному.

Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.

Условие: решите целое рациональное неравенство x · ( x + 3 ) + 2 · x ≤ ( x + 1 ) 2 + 1 .

Решение

Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

x · ( x + 3 ) + 2 · x − ( x + 1 ) 2 − 1 ≤ 0

Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3 · x − 2 ≤ 0 , равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:

Ответ: x ≤ 2 3 .

Условие: найдите решение неравенства ( x 2 + 1 ) 2 − 3 · x 2 > ( x 2 − x ) · ( x 2 + x ) .

Решение

Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.

( x 2 + 1 ) 2 − 3 · x 2 − ( x 2 − x ) · ( x 2 + x ) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x , следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.

Ответ: любое действительно число.

Условие: решите неравенство x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · ( x 2 + x − 5 ) > 0 .

Решение

Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0 . Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:

x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x 3 − 2 · x 2 + 10 · x > 0 − 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :

D = 11 2 — 4 · ( — 2 ) · 6 = 169 x 1 = — 11 + 169 2 · — 2 , x 2 = — 11 — 169 2 · — 2 x 1 = — 0 , 5 , x 2 = 6

Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак > . Нужный интервал равен ( − 0 , 5 , 6 ) , следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.

Ответ: ( − 0 , 5 , 6 ) .

Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h ( x ) , что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.

Условие: вычислите ( x 2 + 2 ) · ( x + 4 ) 14 − 9 · x .

Решение

Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

( x 2 + 2 ) · ( x + 4 ) − 14 + 9 · x 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 0

В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.

Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0 . Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1 , 2 и 3 будут его корнями.

Значит, многочлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 может быть описан в виде произведения ( x − 1 ) · ( x − 2 ) · ( x − 3 ) , и неравенство x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 0 может быть представлено как ( x − 1 ) · ( x − 2 ) · ( x − 3 ) 0 . С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.

Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1 , 2 , 3 . Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак .

Нам осталось только записать готовый ответ: ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 2 , 3 ) .

Ответ: ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 2 , 3 ) .

В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r ( x ) − s ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) к h ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) , где h ( x ) – многочлен в степени выше 2 , нецелесообразно. Это распространяется на те случаи, когда представить r ( x ) − s ( x ) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h ( x ) на отдельные множители. Разберем такую задачу.

Условие: найдите решение неравенства ( x 2 − 2 · x − 1 ) · ( x 2 − 19 ) ≥ 2 · x · ( x 2 − 2 · x − 1 ) .

Решение

Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1 , − 1 , 19 или − 19 не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.

Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:

( x 2 − 2 · x − 1 ) · ( x 2 − 19 ) − 2 · x · ( x 2 − 2 · x − 1 ) ≥ 0 ( x 2 − 2 · x − 1 ) · ( x 2 − 2 · x − 19 ) ≥ 0 .

Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x 2 − 2 · x − 1 = 0 и x 2 − 2 · x − 19 = 0 . Их корни – 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Переходим к равенству x — 1 + 2 · x — 1 — 2 · x — 1 + 2 5 · x — 1 — 2 5 ≥ 0 , которое можно решить методом интервалов:

Согласно рисунку, ответом будет — ∞ , 1 — 2 5 ∪ 1 — 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Ответ: — ∞ , 1 — 2 5 ∪ 1 — 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h ( x ) , следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.

Как решать дробно рациональные неравенства

Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r ( x ) s ( x ) ( ≤ , > , ≥ ) , где r ( x ) и s ( x ) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным. Алгоритм решения в этом случае будет таким:

1. Определяем область допустимых значений переменной x .
2. Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r ( x ) − s ( x ) представляем в виде дроби. При этом где p ( x ) и q ( x ) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
3. Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
4. Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x , которую мы определили в начале.

Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п. 2 . Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r ( x ) − s ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) , а как потом привести его к виду p ( x ) q ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) ?

Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование. Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n -ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.

На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4 . Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.

Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p ( x ) q ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) равносильным по отношению к r ( x ) − s ( x ) 0 ( ≤ , > , ≥ ) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.

Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p ( x ) q ( x ) совпадет с областью значений выражения r ( x ) − s ( x ) . Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.

Но область значений для p ( x ) q ( x ) может оказаться шире, чем у r ( x ) − s ( x ) , например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x · x — 1 3 x — 1 2 · x + 3 к x · x — 1 x + 3 . Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:

x + 5 x — 2 2 · x — x + 5 x — 2 2 · x + 1 x + 3 к 1 x + 3

Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.

Условие: найдите решения рационального равенства x x + 1 · x — 3 + 4 x — 3 2 ≥ — 3 · x x — 3 2 · x + 1 .

Решение

Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x + 1 · x — 3 ≠ 0 x — 3 2 ≠ 0 x — 3 2 · ( x + 1 ) ≠ 0 , решением которой будет множество ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( − 1 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) .

Далее нам надо сделать так, чтобы в правой части неравенства получился 0 . Выполняем перенос выражения из правой части влево с противоположным знаком и получаем неравенство, равносильное исходному:

x x + 1 · x — 3 + 4 ( x — 3 ) 2 + 3 · x ( x — 3 ) 2 · ( x + 1 ) ≥ 0

После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю ( x − 3 ) 2 · ( x + 1 ) :

x x + 1 · x — 3 + 4 ( x — 3 ) 2 + 3 · x ( x — 3 ) 2 · ( x + 1 ) = = x · x — 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x — 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 ( x — 3 ) 2 · ( x + 1 )

Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:

x 2 + 4 · x + 4 x — 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x — 3 2 · x + 1

Областью допустимых значений получившегося выражения является ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( − 1 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) . Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x + 2 2 x — 3 2 · x + 1 ≥ 0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.

Используем метод интервалов:

Видим решение < − 2 >∪ ( − 1 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) , которое и будет решением исходного рационального неравенства x x + 1 · x — 3 + 4 x — 3 2 ≥ — 3 · x ( x — 3 ) 2 · ( x + 1 ) .

Ответ: < − 2 >∪ ( − 1 , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) .

Условие: вычислите решение x + 3 x — 1 — 3 x x + 2 + 2 x — 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 — 1 .

Решение

Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме − 2 , − 1 , 0 и 1 .

Переносим выражения из правой части в левую:

x + 3 x — 1 — 3 x x + 2 + 2 x — 1 — 1 x + 1 — 2 · x + 2 x 2 — 1 > 0

Далее выполняем преобразование левой части. Сначала преобразуем первую дробь:

x + 3 x — 1 — 3 x x + 2 = x + 3 — x — 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Учитывая получившийся результат, запишем:

x + 3 x — 1 — 3 x x + 2 + 2 x — 1 — 1 x + 1 — 2 · x + 2 x 2 — 1 = = 0 + 2 x — 1 — 1 x + 1 — 2 · x + 2 x 2 — 1 = = 2 x — 1 — 1 x + 1 — 2 · x + 2 x 2 — 1 = = 2 x — 1 — 1 x + 1 — 2 · x + 2 ( x + 1 ) · x — 1 = = — x — 1 ( x + 1 ) · x — 1 = — x + 1 ( x + 1 ) · x — 1 = — 1 x — 1

Для выражения — 1 x — 1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены − 2 , − 1 и 0 . Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.

Поскольку мы пришли к неравенству — 1 x — 1 > 0 , можем записать равносильное ему 1 x — 1 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим ( − ∞ , 1 ) .

Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из ( − ∞ , 1 ) числа − 2 , − 1 и 0 . Таким образом, решением рационального неравенства x + 3 x — 1 — 3 x x + 2 + 2 x — 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 — 1 будут значения ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( − 2 , − 1 ) ∪ ( − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) .

Ответ: ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( − 2 , − 1 ) ∪ ( − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) .

В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.

Условие: найдите решение неравенства 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 — x + 1 — x 2 — 1 x — 1 ≥ 0 .

Решение

Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x 2 ≠ 0 x 2 — x + 1 ≠ 0 x — 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 — x + 1 — x 2 — 1 x — 1 ≠ 0 .

Решений у этой системы нет, поскольку

x 3 + 1 x 2 — x + 1 — x 2 — 1 x — 1 = = ( x + 1 ) · x 2 — x + 1 x 2 — x + 1 — ( x — 1 ) · x + 1 x — 1 = = x + 1 — ( x + 1 ) = 0

Значит, исходное равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 — x + 1 — x 2 — 1 x — 1 ≥ 0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.

Презентация по алгебре на тему «Решение дробно — рациональных неравенств методом интервалов»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Решение дробно — рациональных неравенств методом интервалов»

Цели урока: Повторить решение рациональных неравенств методом интервалов; Обобщить метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств; Закрепить полученные знания при решении практических задач.

Решите неравенство: (х+2)(х-3) 0. Решение: Ответ. х

2. При каких значениях х имеет смысл выражение ? Решение: Ответ.

3. Решите неравенство (х4-9х2)(-х2-3)≤0. Решение: х2(х2-9)(х2+3)≥0. х2(х-3)(х+3)(х2+3)≥ 0. Ответ. — +

3. Решите неравенство (х4-9х2)(-х2-3)≤0. Решение: х2(х2-9)(х2+3)≥0. х2(х-3)(х+3)(х2+3)≥0. х -3 0 3 + + — — Ответ.

4. Решите неравенство Решение: Ответ.

4. Решите неравенство Решение: Ответ.

Решите неравенство Решение дробно — рациональных неравенств методом интервалов

НЕЛЬЗЯ! Домножать на знаменатель, содержащий неизвестное

Решите неравенство Решение: + 0 0,5 х — — Ответ: ○ ○

Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов: 6. Выбрать ответ. 2. Разложить числитель и знаменатель дроби на линейные множители; 3. Нанести на числовую ось числа, при которых каждый множитель равен нулю и разделить числовую ось на промежутки; 4. Выколоть те точки, которые не являются решением неравенства; 5. Выяснить знаки промежутков; 1. Привести данное неравенство к виду

Выбрать ответ Определить знак Найти «нули» Отметить «нули» Выколоть «нули»

Назовите числа, при которых числитель и знаменатель будут равны нулю

Назовите числа, при которых числитель и знаменатель будут равны нулю

Назовите выколотые и невыколотые точки

Назовите выколотые и невыколотые точки

Назовите выколотые и невыколотые точки

Назовите выколотые и невыколотые точки

Решите неравенство х 0 -10 5 + — + —

х 0 -10 5 + — + — Решите неравенство

х 8 3 0 + + — — Решите неравенство

х 8 3 0 + + — — Решите неравенство

х 7 -3 1 + + — — Решите неравенство

х 7 -3 1 + + — — Решите неравенство

— — + Решение: Ответ: ● — + + + Решите неравенство

НЕЛЬЗЯ! Домножать на знаменатель, содержащий неизвестное Сокращать на одинаковые множители

Выбрать ответ Определить знак Найти «нули» Отметить «нули» Выколоть «нули» № 681(5) № 695(1)

При каких значениях параметра а множеством решений неравенства является луч?

Решение: + = + — Ответ. При а=1.

При каких значениях параметра а множеством решений неравенства являются два луча?

Задание на дом: № 681 (4,6) , № 682 (2,4), № 695 (2) .

Спасибо за работу!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 365 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.01.2016
• 1122
• 31

• 27.01.2016
• 2752
• 2

• 27.01.2016
• 1278
• 0

• 27.01.2016
• 919
• 3

• 27.01.2016
• 507
• 0

• 27.01.2016
• 1224
• 0

• 27.01.2016
• 1354
• 26

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.01.2016 4922
• PPTX 674.5 кбайт
• 364 скачивания
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лазарева Надежда Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 13717
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.