Дробно рациональные уравнения с параметром это

Дробно рациональные уравнения с параметром это

Так называется уравнение, которое содержит кроме многочленов еще и дробно-рациональные функции. В процессе решения его при помощи приведения к общему знаменателю оно заменяется целым алгебраическим уравнением. Целое уравнение по отношению к данному является следствием и может иметь посторонние корни. Отбор посторонних корней и выяснение условий, при которых корни уравнения-следствия являются корнями данного уравнения, представляют собой существенную часть решения дробно-рационального уравнения.

Найти область допустимых значений уравнения.

Решить целое рациональное уравнения.

Найти те значения параметра, при которых найденные корни целого рационального уравнения являются посторонними.

Пример 1. Решить относительно х:

.

ОДЗ: (m-1)(x+3)= 0, то есть m = 1, x = –3.

Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

, получаем

.

Отсюда при m = 2,25 .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых найденное значение x равно –3.

,

решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.

Ответ: при т = 1, т = 2,25, т = –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение ; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т = 1 уравнение (1) не имеет смысла.

Пример 2. Решить уравнение = а.

Решение. Очевидно, х ? 1. Приведем исходное уравнение к виду:

(1 – а)х = а, заметим, что при а = 1 уравнение не имеет корней, а при а ? 1 получаем х = . Проверим нет ли таких значений а, при которых найденное значение х равно – 1, т. е. нужно решить уравнение

— 1 = относительно а. Так как последнее уравнение не имеет корней, других вариантов, кроме рассмотренных выше, не имеется.

Ответ: 1) если а ? 1, то х = ;

2) если , то корней нет.

Пример 3.

Решение. Очевидно, x ? — 3, x ? 2, a ? — 1.

При условии, что х ? 2, исходное уравнение можно упростить:

.

Преобразуем и получим уравнение 2ах = 1 – а, которое при а = 0 не имеет корней, а при а ? 0 . Теперь проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых найденное значение х было бы равно – 3 или 2. Для этого решим относительно а уравнения:

и . Корень первого уравнения — 0,2, корень второго уравнения 0,2; т. е. при а = ± 0,2 соответствующие значения х не входят в область определения исходного уравнения.

Ответ: 1) если ; ;, то корней нет;

2) если ; ; , то .

Занятие №2. Тема: Решение дробных рациональных уравнений с параметром

Тема : Решение дробных рациональных уравнений с параметром .

Напоминаю, что решить уравнение с параметрами означает:

— исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;

— найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения .

При решении дробных рациональных уравнений необходимо отметить ключевые моменты:

1) знаменатель не может быть равен нулю ;

2) затем решить как линейное уравнение;

3) из полученных значений исключить те, при которых знаменатель равен нулю.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .

(к-1)х=к-2 –вид уравнения, удобный для исследования.

а) Пусть к 1, тогда х= .

б) Выясним, при каких значениях параметра к

х=-1, и исключим их. Для этого решим уравнение:

тогда к= 1,5.

в) Если к= 1, то 0х= — 1 решений нет.

Ответ :1) при к 1, к 1,5, уравнение имеет единственный корень х = ,

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. 1) ОДЗ: х ≠ — 1, х ≠ 3.

2) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (х + 1)(х – 3), получим:

(х + а)(х – 3) + (а – 3х)(х + 1) = — 2(х + 1)(х – 3)

х2 – 3х + ах – 3а + ах + а – 3х2 – 3х = — 2х2 + 6х – 2х + 6

— 2х2 – 6х + 2ах – 2а = — 2х2 +4х + 6

-2х2 – 6х + 2ах + 2х2 – 4х = 6 + 2а

2ах – 10х = 6 + 2а

Разделим обе части уравнения на 2, получим:

Уравнение имеет единственный корень х = при условии: а – 5 ≠ 0, т. е. а ≠ 5.

Но пройдёт ли этот корень по ОДЗ? ОДЗ х ≠ — 1, х ≠ 3.

1) если х = — 1 , то

Значит, при а = 1 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.

2) если х = 3 , то

Значит, при а = 9 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень при а ≠ 1, а ≠ 5, а ≠ 9.

Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .

Умножив обе части на получаем уравнение:

( a — b ) x =(а — b )(а + b ).

При уравнение принимает вид , то есть может принимать любые действительные числа кроме

При корень уравнения

Найдем теперь те значения параметров, при которых

Ответ : при уравнение имеет единственный корень

При a = b x — любое число, кроме

При уравнение не имеет корней

1. + = ;

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

В отчете нужно присылать только ответы на каждое задание. Номер задания следует обязательно указывать.

Литература:

«Уравнения и неравенства с параметром» . С.-Петербург. 2004.

Жду с нетерпением ваших ответов и желаю вам успешной работы над заданием !

Дробные рациональные уравнения с параметром

Примеры

Об уравнениях с параметром также см. §32 данного справочника.

Особенностью дробных рациональных уравнений с параметром являются дополнительные условия на переменные и параметры, чтобы знаменатель не превращался в 0.

Пример 1. При каких a уравнение

Проверяем условия $x \neq -1, x \neq 2$.

$$ \frac<14-a> <3a-2>\neq -1 \Rightarrow 14-a \neq 2-3a \Rightarrow 2a \neq -12 \Rightarrow a \neq -6 $$

$$ \frac<14-a> <3a-2>\neq 2 \Rightarrow 14-a \neq 6a-4 \Rightarrow 7a \neq 18 \Rightarrow a \neq \frac<18> <7>$$

Пример 2. Решите уравнение: $ \frac+ \frac = 1$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-x-a(a^2-1) = 0$

Дискриминант: $D = 1+4 \cdot a \cdot a(a^2-1) = 4a^4-4a^2+1 = (2a^2-1)^2$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

Накладываем условие $ax \neq 1$.

2) При D = 0 значение параметра $2a^2-1 = 0 \Rightarrow a^2 = \frac<1> <2>\Rightarrow a = \pm \frac<1><\sqrt<2>>$

Один корень: $x_0 = \frac<1> <2a>= \pm \frac<1> <2>\sqrt <2>= \pm \frac<1><\sqrt<2>> = a$

3) Исследуем особые точки $a = \pm 1$.

При a = 1 уравнение имеет вид 0+1-x = 1 $\Rightarrow$ x = 0 — один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид 0-(-1-x) = 1 $\Rightarrow$ x = 0 — один корень.

При a = 0 решений нет

При $a = \pm 1$ один корень x = 0

При $a = \pm \frac<1><\sqrt<2>>$ один корень x=a

При остальных a два корня $x_1 = \frac<1-a^2>, x_2 = a$

Пример 3. Решите уравнение: $ \frac = (a+1)^2$

Решаем полученное квадратное уравнение: $ax^2-(a+1)^2 x+(a+1)^2 = 0$

Дискриминант $D \ge 0$ при любом значении a.

Накладываем условие $x \neq 1$:

$a+1 \neq 1 \Rightarrow a \neq 0$

2) При D = 0 параметр равен $a^2-1 = 0 \Rightarrow a = \pm 1$

При a = 1 уравнение имеет вид: $\frac = 4 \Rightarrow x^2-4x+4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow $

x = 2 — один корень.

При a = -1 уравнение имеет вид: $-\frac = 0 \Rightarrow x = 0$ — один корень.

3) Особые точки a = 0 и a = -1(уже рассмотрели)

При a = 0 уравнение имеет вид: $0 \cdot \frac = 1 \Rightarrow x \in \varnothing$, решений нет.

При a = 0 решений нет

При a = -1 один корень x = 0

При a = 1 один корень x = 2

При остальных a два корня $x_1 = \frac, x_2 = a+1$

Пример 4. Решите уравнение: $ \frac<5a> — \frac<2a> + \frac<3a> = 8 $

1) Замена переменной:

Решаем квадратное уравнение:

2) Накладываем условия $z \neq 0, z \neq \pm a$ на полученные решения.

$$ z = \frac)> <2>\neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $$

$$ z = \frac)> <2>\neq \pm a \Rightarrow a(1 \pm \sqrt<5>) \neq \pm 2a \Rightarrow a \neq 0 $$

3) Особая точка a = 0.

При a = 0 исходное уравнение является ложным: 0 = 8, решений нет.

4) Возвращаемся к исходной переменной: x = z-2a

При a = 0 корней нет

При $a \neq 0$ три корня $x_1 = -\frac<9> <4>a; x_ <2,3>= \frac-3)><2>$