Дробное уравнение с параметром как решать
Так называется уравнение, которое содержит кроме многочленов еще и дробно-рациональные функции. В процессе решения его при помощи приведения к общему знаменателю оно заменяется целым алгебраическим уравнением. Целое уравнение по отношению к данному является следствием и может иметь посторонние корни. Отбор посторонних корней и выяснение условий, при которых корни уравнения-следствия являются корнями данного уравнения, представляют собой существенную часть решения дробно-рационального уравнения.
Найти область допустимых значений уравнения.
Решить целое рациональное уравнения.
Найти те значения параметра, при которых найденные корни целого рационального уравнения являются посторонними.
Пример 1. Решить относительно х:
.
ОДЗ: (m-1)(x+3)= 0, то есть m = 1, x = –3.
Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение
, получаем
.
Отсюда при m = 2,25 .
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых найденное значение x равно –3.
,
решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.
Ответ: при т = 1, т = 2,25, т = –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение ; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т = 1 уравнение (1) не имеет смысла.
Пример 2. Решить уравнение = а.
Решение. Очевидно, х ? 1. Приведем исходное уравнение к виду:
(1 – а)х = а, заметим, что при а = 1 уравнение не имеет корней, а при а ? 1 получаем х = . Проверим нет ли таких значений а, при которых найденное значение х равно – 1, т. е. нужно решить уравнение
— 1 = относительно а. Так как последнее уравнение не имеет корней, других вариантов, кроме рассмотренных выше, не имеется.
Ответ: 1) если а ? 1, то х = ;
2) если , то корней нет.
Пример 3.
Решение. Очевидно, x ? — 3, x ? 2, a ? — 1.
При условии, что х ? 2, исходное уравнение можно упростить:
.
Преобразуем и получим уравнение 2ах = 1 – а, которое при а = 0 не имеет корней, а при а ? 0 . Теперь проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых найденное значение х было бы равно – 3 или 2. Для этого решим относительно а уравнения:
и . Корень первого уравнения — 0,2, корень второго уравнения 0,2; т. е. при а = ± 0,2 соответствующие значения х не входят в область определения исходного уравнения.
Ответ: 1) если ; ;, то корней нет;
2) если ; ; , то .
Дробно-рациональные уравнения с параметром. 9-й класс
Разделы: Математика
Класс: 9
Тип урока – урок усвоения новых знаний.
Цели урока:
- использовать ранее полученные знания при решении дробно-рациональных уравнений и целых уравнений с параметрами, приводимых к линейным;
- развивать умение анализировать;
- использовать полученные навыки для решения дробно-рациональных уравнений с параметрами;
- воспитывать культуру математической речи.
Эпиграф урока: «Учиться нелегко, но интересно!», Ян Амос Коменский (1592-1670)
1. Организация начала урока
– Что такое параметр?
– Какое уравнение называется линейным?
– Сколько корней может иметь линейное уравнение? Об условиях поговорим попозже.
– Какие уравнения называются дробно-рациональными?
– Какие уравнения называются равносильными?
2. Проверка выполнения домашнего задания
Сканируется работа одного из учеников и даётся к ней комментарий.
3. Организация деятельности по усвоению новых знаний
– Сколько корней имеет линейное уравнение ax = b, если:
2. Решите уравнения:
3. Каким цветом изображены графики лробно-рациональных функций? Как вы это определили?
4. Совместное решение основной задачи урока
№ 1:
– Ваши предложения, с чего начинаем работу? (Приводим к общему знаменателю и переходим равносильной системе уравнений)
– Получили линейное уравнение. Приступаем к его анализу. Какие ситуации рассмотрим?
– Проверим, нет ли таких значений а, при которых х = … (мои объяснения, запись ответа)
Физминутка
Расправим плечи… Спина прямая. Немного разомнёмся.
Плечи: круговые движения назад, вперёд
Глаза: вверх, вниз, вправо, влево, зажмурились. Немного поморгали.
Сделали глубокий вздох и медленный выдох.
4. Актуализация опорных знаний
Совместное решение и обсуждение примеров.
– Работаем поэтапно, пробуем решать самостоятельно, советуясь с соседом по парте. Как только выполнили задание этапа – поднимаем руку.
1 этап: Перейдите от заданного уравнения к равносильной системе. Что это значит? Приводим к общему знаменателю и записываем равносильную систему… Давайте проверим, правильно ли вы это сделали?
2 этап: Исследуем получившееся линейное уравнение. Что это значит? Ищем решение уравнения при каких значениях параметра? … (Контрольные, опасные значения параметра)
3 этап: Проверим, есть ли значения параметра, при которых х=1 …
4 этап: Запишем ответ …
– Скажите, а какая отличительная особенность решения дробно-рационального уравнения с параметром от линейного? (Выявление дополнительных «контрольных» значений параметра, при которых уравнение не имеет решения. Это обусловлено областью допустимых значений уравнения)
Домашнее задание: п.17; № 359 (а, б, в), 361*
5. Контроль и самоконтроль знаний
Время работы – 5 минут. Взаимоконтроль для диагностики успешности усвоения нового материала обучающимися.
6. Рефлексия. Подведение итогов урока
– Поднимите руку, кто правильно сделал все 3 номера? …2 номера? Кто не справился с работой?
Занятие №2. Тема: Решение дробных рациональных уравнений с параметром
Тема : Решение дробных рациональных уравнений с параметром .
Напоминаю, что решить уравнение с параметрами означает:
— исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;
— найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения .
При решении дробных рациональных уравнений необходимо отметить ключевые моменты:
1) знаменатель не может быть равен нулю ;
2) затем решить как линейное уравнение;
3) из полученных значений исключить те, при которых знаменатель равен нулю.
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .
(к-1)х=к-2 –вид уравнения, удобный для исследования.
а) Пусть к 1, тогда х= .
б) Выясним, при каких значениях параметра к
х=-1, и исключим их. Для этого решим уравнение:
тогда к= 1,5.
в) Если к= 1, то 0х= — 1 решений нет.
Ответ :1) при к 1, к 1,5, уравнение имеет единственный корень х = ,
При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?
Решение. 1) ОДЗ: х ≠ — 1, х ≠ 3.
2) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (х + 1)(х – 3), получим:
(х + а)(х – 3) + (а – 3х)(х + 1) = — 2(х + 1)(х – 3)
х2 – 3х + ах – 3а + ах + а – 3х2 – 3х = — 2х2 + 6х – 2х + 6
— 2х2 – 6х + 2ах – 2а = — 2х2 +4х + 6
-2х2 – 6х + 2ах + 2х2 – 4х = 6 + 2а
2ах – 10х = 6 + 2а
Разделим обе части уравнения на 2, получим:
Уравнение имеет единственный корень х = при условии: а – 5 ≠ 0, т. е. а ≠ 5.
Но пройдёт ли этот корень по ОДЗ? ОДЗ х ≠ — 1, х ≠ 3.
1) если х = — 1 , то
Значит, при а = 1 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.
2) если х = 3 , то
Значит, при а = 9 исходное уравнение не имеет корня, т. к. он не проходит по ОДЗ.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень при а ≠ 1, а ≠ 5, а ≠ 9.
Решение. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, имеем .
Умножив обе части на получаем уравнение:
( a — b ) x =(а — b )(а + b ).
При уравнение принимает вид , то есть может принимать любые действительные числа кроме
При корень уравнения
Найдем теперь те значения параметров, при которых
Ответ : при уравнение имеет единственный корень
При a = b x — любое число, кроме
При уравнение не имеет корней
1. + = ;
2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?
В отчете нужно присылать только ответы на каждое задание. Номер задания следует обязательно указывать.
Литература:
«Уравнения и неравенства с параметром» . С.-Петербург. 2004.
Жду с нетерпением ваших ответов и желаю вам успешной работы над заданием !
http://urok.1sept.ru/articles/591989
http://pandia.ru/text/79/436/36144.php