Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
- формирование понятия дробных рационального уравнения;
- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской работы.
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
- Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
- Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
- Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
- Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
- Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
- Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения
Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду \(\frac
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. Пример не дробно-рациональных уравнений: Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения: Выпишите и «решите» ОДЗ. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут. Запишите уравнение, не раскрывая скобок. Решите полученное уравнение. Проверьте найденные корни с ОДЗ. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7. Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам. Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac Сначала записываем и «решаем» ОДЗ. По формуле сокращенного умножения : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\). Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение. Приводим подобные слагаемые Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй. Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. Приводим подобные слагаемые Находим корни уравнения Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. Рациональным выражением является такое выражение в алгебре, в состав которого включены числа и переменная х, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем. Если пара рациональных выражений объединены знаком равенства, то перед нами рациональное уравнение. Дробно-рациональное уравнение представляет собой не имеющее знак корня рациональное уравнение, в котором обе части записаны в виде дробных выражений. В дробно-рациональном уравнении имеется как минимум одна дробь, содержащая в знаменателе переменную. Например, дробно-рациональными уравнениями являются: 9 x 2 — 1 3 x = 0 1 2 x + x x + 1 = 1 2 6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1 Уравнения, которые нельзя отнести к дробно-рациональным: В процессе решения дробно-рациональных уравнений требуется правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Когда корни уравнения найдены, следует проверить их на соответствие ОДЗ и выяснить, какие являются допустимыми. В противном случае образуются посторонние решения, что автоматически делает ответ неверным. Предусмотрен стандартный алгоритм действий для поиска корней дробно-рациональных уравнений: Требуется найти корни дробно-рационального уравнения: x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4 Рассмотрим уравнение из условия задания: x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4 Определим область допустимых значений: x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2 Воспользуемся формулой сокращенного умножения: x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4 x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 ) В таком случае, общим знаменателем является следующее выражение: Согласно стандартной последовательности действий, найдем произведение каждого члена уравнения и ( x — 2 ) ( x + 2 ) : x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 ) x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8 x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8 Затем следует привести подобные слагаемые: Решениями получившегося квадратного уравнения являются следующие корни: Сравним результат вычислений с ОДЗ. Зная, что x ≠ 2 , исключим первый корень, как посторонний. Запишем в ответ второй корень. Для закрепления материала и знаний метода решения дробно-рациональных уравнений попробуем решить еще одно задание с объяснением действий. Подобные задачи нередко приходится решать на уроках алгебры в восьмом классе. Решить дробно-рациональное уравнение: x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0 Рассмотрим уравнение из условия задания: x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0 Определим область допустимых значений: x 2 + 7 x + 10 ≠ 0 D = 49 — 4 · 10 = 9 x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2 x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5 Воспользуемся способом разложения квадратного трехчлена на множители: a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) Преобразуем квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 с учетом найденных x 1 и x 2 : x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0 В результате общий знаменатель равен: Умножим все части уравнения на общий знаменатель: x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 — — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0 Выполним сокращение дробей: x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0 Избавимся от скобок: x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0 Приведем подобные слагаемые: 2 x 2 + 9 x — 5 = 0 Тогда получим корни уравнения: Соотнесем решения с областью допустимых значений, которую определили ранее. Первый корень является посторонним, что выявлено с помощью контрольной проверки. По этой причине в ответ следует записать только второй корень. Задания для самостоятельной работы Найти корни уравнения: x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6 x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6 3 x — 3 + 4 x 6 = 5 x 6 Требуется решить дробно-рациональное уравнение: x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 x 2 — 3 x — 10 = 0 Вычислить корни уравнения: 33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3 33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3 — 33 — x 2 + ( 7 + x ) · ( x + 3 ) = — 2 ( x 2 — 9 ) + ( 4 — x ) · ( x — 3 ) Согласно ОДЗ, первый вариант решения не подходит: http://cos-cos.ru/math/151/ http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/8/osnovnye-svedeniya-o-reshenii-drobnoraczionalnyh-uravnenij\) \(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — выражения с иксом (или другой переменной).
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.Основные сведения о решении дробно-рациональных уравнений
Определение основных понятий по теме
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
Примеры решения задач