Сложение, вычитание, умножение дробей. 5 класс. Учебник авторов Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. (2 часть)
план-конспект урока по алгебре (5 класс) на тему
Урок систематизации имеющихся знаний. Учебник авторов Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. (2 часть)
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Дроби, 5кл, Л.Г. Петерсон | 37 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема урока: «Сложение, вычитание и умножение дробей». (систематизация имеющихся знаний)
Учебник «Математика – 5», авторы Г.В. Дорофеев и Л.Г. Петерсон
— образовательные: закрепление практических умений и навыков при работе с дробями, смешанными числами;
— развивающие: развивать познавательный интерес к работе с дробями, развивать математическое мышление, память, внимание, речь, расширять кругозор;
— воспитательные: воспитание и формирование навыков самооценки и самоконтроля.
I. Организационный момент.
— Доброе утро! Не волнуйтесь! Несмотря на то, что у нас сегодня гости, мы будем работать как всегда замечательно.
II. Проверка домашнего задания (ответы на доске)
б) 5 3/10 — вырази в процентах (530 %);
г) 11 — 11% представь в виде дроби;
е) 3/2 * 2/3 * 5/4 * 4/5 * 7/6 * 6/7 = 1
— Ребята, пары чисел 3/2 и 2/3, 5/4 и 4/5, 7/6 и 6/7, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными.
— При работе с данным примером вы использовали правило умножения дроби на 0, сформулируйте его. ( а/в * 0 = 0)
№ 344 (2) (записаны действия, пояснение устное).
- 1 3/5 * 2 ½ = 4 (км/день) — скорость работы II бригады
- 1 3/5 + 4 = 5 3/5 (км/день) — общая производительность двух бригад
- 5 3/5 * 10 = 50+6 = 56 (км) — длина дороги
— С какой интересной единицей измерения производительности вы встретились? (км/день)
— Оцените свою домашнюю работу. У кого «5»? Сколько «4»?
Часть от числа: 3/5 от 15: 15 : 5 * 3 = 9.
Число по его части 15 – это 3/5 : 15 : 3 * 5 = 5 * 5 =25.
Процент от числа 80% от 15: 80% = 4/5 15 : 5 * 4 = 12.
— Какое свойство помогло вам сократить дробь?
(Основное свойство дроби а:n / в:n )
— Эта работа поможет вам при выполнении домашнего задания.
№ 351 (задача о выборах генерального директора предприятия)
III. – Недавно я прочла строчки из стихотворения В. Лившица, которые заставили меня задуматься:
И стены возводятся косо.
И рухнут вагоны с откоса.
Ошибись лишь на три десятых аптека, —
Станет ядом лекарство,
— Что хотел сказать автор этого стихотворения?
(Очень важно знать дроби)
— Вот поэтому мы так основательно дроби и изучаем.
— Какие действия с дробями мы научились выполнять?
(Сложение, вычитание, умножение)
— Цель сегодняшнего урока:
закрепить практические умения и навыки при работе с обыкновенными дробями, смешанными числами.
— Откройте тетради, запишите дату, «Классная работа».
— Для тех, кто идет вперед, номера заданий выписаны на доске.
№ 662 (с. 143) ( задача о прямоугольном параллелепипеде)
(читаем условие вслух)
— Как находится объем прямоугольного параллелепипеда?
— Сможем ли мы его сразу найти?
— Что необходимо знать?
1) 2 2/5 х 1 7/8 = 4 ½ (дм) — длина
2) 4 ½ — 1 1/6 = 3 1/3 (дм) — высота
3) V= 2 2/5 * 4 ½ * 3 1/3 = 36 (дм 3 ) – искомый объем
Ответ. Объем прямоугольного параллелепипеда 36 дм 3 .
— Сколько вершин у прямоугольного параллелепипеда?
— Найдите периметр передней грани: Р = (4 ½ +3 1/3) * 2 = (4 3/6 +3 2/6) * 2 = 7 5/6 * 2 = 15 2/3(дм)
IV. Физкультминутка ( пропедевтика сложения отрицательных и положительных чисел: если сумма положительна, то дети вытягивают руки вверх, если сумма отрицательна, то выполняют приседания)
V. № 658 Решение уравнения.
5 1/3 – (х +2 5/6) = 1
х + 2 5/6 = 5 1/3 -1
(Выполняется проверка, задаются дополнительные вопросы о компонентах уравнения)
VI. — Мы готовимся к конкурсу «Кенгуру», поэтому нам полезно разобрать № 659 (приведите алгебраические дроби к одному знаменателю)
— Дополнительный № 323 а, б, в (необходимо сократить дроби)
VII. – Подведем итоги урока. (Выставление оценок)
— Что полезного вы почерпнули для себя на этом уроке?
— За что вы можете похвалить себя? А учителя?
— Вы пополнили свой багаж знаний о дробях, и, думаю, нам пора уже переходить к делению дробей.
— Спасибо за урок. До завтра!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок — путешествие по г. Омску «Сложение, вычитание, умножение десятичных дробей»
материал может быть интересен учителям математики.
Сложение, вычитание, умножение, деление обыкновенных дробей и смешанных чисел
Урок математики в 6 классе.
Обобщающий урок по теме «Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел». 5 класс
Урок закрепления и развития знаний, умений, навыков. В урок включены различные интересные задания, требующие творческого подхода и логического мышления.
Рабочая программа учебного курса «Математике» для 6 класса Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон
Рабочая программа учебного курса математика для 6 класса учебник Л.Г. Петерсон, Г.В. Дорофеев.
Календарно-тематическое планирование уроков математики в 6 классе ( 5 часов в неделю) к учебнику «Математика. 6 класс». Г.В.Дорофеев, Л.Г.Петерсон. – М.: Издательство «Ювента»
Данное тематическое планирование составлено на основе примерного поурочного планирования, опубликованного в учебном издании «Программа «Учусь учиться» по математике для 5-6 классов с.
Контрольная работа по теме: «Сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение обыкновенных дробей» 5 — 6 класс
Данный материал содержит контрольную работу по теме: «Сложение, вычитание, умножение, деление и сравнение обыкновенных дробей» 5-6 класс. Здесь представлены дроби в виде умножения, де.
Урок систематизации знаний «Сложение, вычитание, умножение обыкновенных дробей»
6 класс, учебник «Математика 6 класс» автор А.Г. Мерзляк. Первый урок второй четверти, перед изучением деления степеней. Уровень изучения базовый.
Математика, 5-6 классы, Сборник самостоятельных и контрольных работ, Кубышева М.А., Петерсон Л.Г., 2007
Математика, 5-6 классы, Сборник самостоятельных и контрольных работ, Кубышева М.А., Петерсон Л.Г., 2007.
В пособии представлены самостоятельные и контрольные работы к учебникам математики 5-6 классов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон. Данные самостоятельные и контрольные работы могут использоваться учителями, работающими как по традиционной технологии обучения, так и по технологии деятельностного метода.
Вводная контрольная работа.
1) Запиши числовое выражение и найди его значение:
а) Сумма числа 49 и частного чисел 98 и 14;
б) Разность частного чисел 105 и 7 и произведения чисел 3 и 5.
2) Реши задачу, составляя выражение:
«Между Москвой и Ржевом 250 км. Автомобилист по шоссе ехал 3 ч со скоростью 70 км/ч. Оставшийся путь он ехал по проселочной дороге со скоростью 40 км/ч. Сколько времени он ехал по проселочной дороге?»
3) Реши уравнения:
а) 30047 — x = 549;
б) 705 + (x+70) = 2005.
4) Найди значение числового выражения:
(70 • 3 + 40) : 5 — 48 : 4 + 7.
5) Вычисли: а) 9 м 5 см — 4 дм 7 см;
б) 76 м + 3 км 5 м.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, 5-6 классы, Сборник самостоятельных и контрольных работ, Кубышева М.А., Петерсон Л.Г., 2007 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Математика 5 класс Учебник Дорофеев Петерсон часть 2
, 2., 1В., ^ в виде частного. 4 7 11 1 9 45 Реши уравнения: 2)^^=16; 3)^ 8; 4) 336 29 п = 7. Образец: § = 2оа = 8-2оа = 16 О 1) Ленту длиной 3 метра разрезали на 4 равные части. Сколько метров в каждой части? 2) Пловец за 7 секунд проплыл 5 метров. С какой скоростью он плыл? 10 Глава 3, §1, п.1 24 ИЮ 26 i Сколько седьмых долей в единице? Представь единицу в виде дроби со знаменателем 5, 67, 89, 100, л. Сколько пятых долей в числе 3? Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, k замени равными им дробями сначала со знаменателем 9, затем — 11, а затем — со знаменателем 100. Как записать с помощью знака процента сотые доли величины? 1) Нарисуй числовой луч, приняв за единицу 8 клеток тетради. Отметь на 1 5 3 5 1J7 2 ’ 2 ’ 8 ’ 8 ’ 8 ■ 1 3 2) Сравни дроби 77 и — . Как сравнить дроби с помощью числового луча? 2 о 3 5 3) Сравни дроби и —. Вспомни правило сравнения дробей с одинаковыми ° ° 19 53 знаменателями. Пользуясь им, сравни дроби — и —. 78 78 5 5 4) Сравни дроби 77 и —. Запиши две какие-нибудь дроби с одинаковыми чис- 2 8 лителями и сравни их. 17 5) Представь дробь — в виде смешанного числа. 8 7 11 15 19 1) Выдели целую часть из дробей —, —, -тг»• Проиллюстрируй решение 6 6 6 6 с помощью числового луча. 2) Выдели целую часть из дробей —, —, —, 5^ 9769 7 12 18 100 125 1000 1) 19 кг халвы разложили поровну в 4 коробки. Сколько килограммов халвы положили в каждую коробку? 2) Из 40 м ткани сшили 9 одинаковых костюмов. Сколько метров ткани пошло на каждый костюм? Знак какого арифметического действия пропущен в записи смешанного числа между его целой и дробной частью? 1) Представь смешанные числа 1-^,2-^,3-§-,4-§- в виде неправильных дро- 5 5 5 5 бей. Проиллюстрируй решение на числовом луче. 2) Прюдставь в 7 2 9 4 21 виде неправильных дробей числа I77,5 —, 7 —, 15—,10 — 9 5 13 7 47 Счет-тест (5 мип) 3)2+-i; 5)в1+з|; 7)5f-2f; б)12|-4|: 11 Глава 3, §1, п.1 Числа на карточках записываются по общему правилу. Найди его и заполни клетки со знаком вопроса. 3^ 4 4 4 8^ з1 33 О Найди расстояние между точками Аи В координатного луча, если: 1) А (28 715), В (103 600); 2) А (3^), В (7 j^); 3) А (81), В (11). 1^3^ Запиши число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 1) 2-10=’+ 5-102+ 9* 10+ 6; 3) 5-10« + 6-10=4-2-10 + 4; 2) 8-10=’+ 9-10^ + 7-10=’ + 1-10 + 5; 4) 4-10^ + 8-10^ + 7-10^ +2-10^. Представь в виде суммы разрядных слагаемых числа, используя степени числа 10: а) 7984, 6)42 012; в) 505 050; г) 9 090 909; д) 123 456 789; е)4 400 040 004. Найди методом проб и ошибок число: 1) квадратом которого является 1764; 2) кубом которого является 2197. Можно ли ответить на вопрос с одной попытки? 1) (863 + 256 — 0) — (214 : 214) — 1 — 863; 2) о — (996 + 7008 — 32 — 74 359) + 785:1- (543 — 543): 9374; 3) 1596 — о : 1249 + (188 : 188) — 4]: 1 + (712 — 60 928 : 952) — (38 — 38); 4) 72 — (49 : 49) — [(7602 : 14 — 36) — (6815 — 6815) — 0 : 325 + 12 : 1] -1. Запиши в виде буквенных равенств правила вычитания числа из суммы и суммы из числа и реши с их помощью примеры первого столбика. Перепиши полученные равенства, заменив в них знак “+” на знак “ • ”, а знак ” на знак Какие правила получились? Используй их для решения примеров второго столбика. д) (29-720): 72; е) (18 000- 56): 18; ж) 1250: (125-5); з) (2430: 5): 2. Переведи условие задачи па математический язык: 1) На выставке кошек представлены кошки сибирской, ангорской, персидской и сиамской пород. Сиамских кошек в 2 раза больше, чем ангорских, персидских — в 3 раза больше, чем сиамских, а сибирских — на 13 меньше, чем персидских. Сколько кошек каждой породы на выставке, если всего их 77? 2) На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: “Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек”. Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? а) (283 + 195)-83; б) (549+ 678)-478; в) 756-(256+ 36); г) 842 — 396 — 4; 12 Глава 3, §1, п.1 Ш ш [43] 5] Ш О liU 1) Если задуманное число вычесть из числа 777, результат уменьшить в 7 раз, а затем увеличить на 7, то получится число, которое на 7 больше, чем наименьшее трехзначное число. Найди задуманное число. 2) Задумали число, разделили на него 555, полученное частное вычли из 55, результат увеличили в 5 раз и получили число, в 10 раз большее квадрата числа 5. Какое число задумали? 1) В классе 28 учеников. Девочки составляют у количества всех учеников класса. Сколько девочек в классе? 2) В шахматном турнире приняли участие 48 человек, что составило 6% всех учеников школы. Сколько учатцихся в этой школе? 3) В танцевальном ансамбле 32 танцора. Из них 8 человек уехали на гастроли. Какая часть участников ансамбля уехала на гастроли? 1) Рабочий получил за месяц k рублей. 14% этих денег он истратил на ремонт квартиры. Сколько денег пришлось ему заплатить за ремонт? 2 2) Маляр покрасил т рам, что составило — всех рам, которые ему надо по- 5 красить за день. Сколько рам он должен покрасить в этот день? 3) В автобусном парке п машин. Из них 7 машин ремонтируется. Какая часть всех машин находится в ремонте? Русские изобретатели отец и сын Черепановы построили первый паровоз в 1834 году. Он проезжал 1 км за 4 мин. Какое расстояние проезжал этот паровоз за 1 минуту? Вырази его скорость в километрах в час. Во сколько раз паровоз Черепановых шел медленнее современных поездов, средняя скорость которых составляет примерно 90 км/ч? Скорость катера 24 км/ч. Успеет ли он за 15 мин проплыть 8000 м? Построй 3 угла, в сумме образуюш;их развернутый угол, так, чтобы первый из них был в 2 раза больше второго, а третий — в 3 раза больше первого. Напиши все возможные натуральные числа, составленные с помощью двух пятерок и пяти нулей. Расположи их в порядке убывания. Представь каждое из полученных чисел в виде суммы разрядных слагаемых. 1) 79 797 979 \ х=1 067 452 300; 2) х- 544 544 = 11 756 686; 3) л:: 9307 = 8640; 4) 4 540 200 : л: = 564 Математический фокус. Запиши четырехзначное число, у которого калсдая последующая цифра на 1 больше предыдущей. Затем запиши число теми же цифрами, по в обратном порядке. Вычти из большего числа меньшее. Повтори это еще 3 раза, беря иные числа, и сравни полученные результаты. ^1то ты замечаешь? 13 Глава 3, §1, п.1 Переведи условие задачи на математический язык: На изготовление свитера, шапки и шарфа израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие? 1) Какую часть километра составляют 1 м, 58 м, 1 дм, 439 дм? 2) Какую часть квадратного метра составляют 1 дм^, 214 дм^, 1 см^, 75 см^? 3) Какую часть центнера составляют 1 кг, 9 кг, 1 г, 547 г? 4) Какую часть суток составляет 1 ч, 5 ч, 1 мин, 32 мин? 5 С одной пасеки собрали 1350 кг меда, что составляет — меда, собранного со О второй пасеки. На какой пасеке было больше ульев и на сколько, если с каждого улья получили по 90 кг меда? D ” 176 237 413 У21 Выдели целую часть дробей: __ к 2 5 9 53 I Представь смешанное число в виде неправильной дроби: 9 —; 4 — ; 2 —. 7 42 9о 541 Расшифруй скороговорку. Повтори ее 10 раз подряд. 55 I Реши уравнения: =9; У 2) y = 9; 3)^4-^ = 23; 4) 7-^^= 72. Ф 9 ’ ‘5-18 Лодка проплыла по реке 300 м за 2 мин. Во сколько раз скорость лодки меньше скорости теплохода, плывуш;его по той же реке в том же направлении со скоростью 27 км/ч? Через сколько времени теплоход догонит лодку, если сейчас между ними 36 км? 57 I Дбдка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка. Жучка и кошка вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки — не могут. Сколько надо позвать мышек, чтобы они смогли сами вытащить репку? Продолжи ряд на две фигуры, сохраняя закономерность: Ф Е 14 Глава 3, §1, п.2 2. Основное свойство дроби. Преобразование дробей. На рисунке закрашена — круга. В каждой половине со- 5 держится — круга. Обе дроби равны между собой, но при этом числитель и знаменатель второй дроби в 5 раз превышает числитель и знаменатель первой дроби. Полученное равенство можно записать двумя способами: 5 5 : 5 _ 1 2 2-5 10 10 10 : 5 2 ‘ Если числитель и янаменателъ дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: а _ а • п а _ а : п h п Ъ : п а,Ь,п е N Это верно и для любых других дробей. Действительно, для натуральных чисел ранее было доказано, что а : Ь = (а • п) : <Ь • п) и а : Ь = <а : п) : (Ь : п) (п. 2.4.5). С другой стороны, нам известно, что знак деления можно j заменить чертой дроби (п. 3.1.1). Таким образом, приходим к выводу: ! Мы получили утверждение, которое называют основным свойством дроби. С его помощью можно преобразовывать дроби. Второе равенство позволяет упрощать дроби, например: 36 _ 36 : 4 44 44:4 11 ‘ Такое преобразование называют сокращением дроби. В примере мы сокра-36 9 тили дробь —— на 4. Полученную дробь —— сократить нельзя, так как 9 и 11 -44 11 взаимно простые числа (то есть НОД (9; 11) = 1). Дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, называется несократимой. Каждую дробь можно единственным образом записать в виде несократимой дроби. Для этого нужно сократить ее на наибольший обш,ий делитель числителя и знаменателя. Например, НОД (245, 15) = 5. Поэтому, разделив числитель и знаменатель дроби на 5, мы получим равную ей несократимую дробь. 49 Запись обычно ведут так: 49 3^^ 3 ' На практике часто удобно не вычислять НОД числителя и знаменателя, а проводить сокращение дроби последовательно, например: 210 70 _ 14_ 2 315 105 21 3 15 Глава 3, §1, п.2 (сначала сократили на 3, а потом на 5 и на 7). При этом, разумеется, для нахождения общих делителей полезно использовать признаки делимости. Можно также раскладывать числитель и знаменатель дроби на множители, причем не обязательно простые: 750 _ 75 _ W-Ж _ 5 1200 120 8‘ 2 1 Таким образом, основное свойство дроби позволяет упрощать запись дроби. Но иногда для выполнения некоторого действия ее, наоборот, приходится услож- 1 2 нять. Например, чтобы сравнить дроби и — , можно числитель и знаменатель 2 15 5 дроби — умножить на число 3: 2 5 2 • 3 5 • 3 15 тя 1 6 1/2 И поскольку — 8" 6 6 ’ ^ >8″ 6 6 6 Проверь с помощью вычислений. Можно ли сократить дробь 18 19 Глава 3, §1, п.2 81 I Применив распределительный закон, представь числитель в виде произведения, а затем сократи дробь: а) 15 • 9 — 15 • 6. «Л7 • 4 + 17 • 9. 18 • 7 + 18 • 3 — ? о) ——— ; в) 9 • 30 34 • 52 1200 г) 24 • 11 — 24 • 3 300 Образец: 1 1 32 • 5 + 32 • 9 _ 32 • (5 + 9) ^ 3^- >Г _ 1 • 1 _ J_ 160-28 160-28 5-2 10 5 2 ‘821 Докажи, что дроби несократимы: а) 39 б) 111 в) 13 013 г) 25 + 49-2 35 Д) 38 100’ ‘2500’ ‘ 20 480’ :!^азложи на множители числитель, а затем сократи дробь: 18-8-19-3 1) 4а + 4Ь 8с очЗлг-би. а^ + ас, ^ ^ 2)-!^, 6)—^(а*0у. i) (m.n^O). Знаменатель дроби равен: а) 18; б) 100. Дробь сократили. Может ли знаменатель этой дроби после сокращения стать равным семи? Какие простые множители могут входить в разложение на множители нового знаменателя? 85 I Сколько в числах 1, 7, 9, /п. содержится вторых, третьих, восьмых, пятнадцатых, сотых долей? 86 I Приведи дробь: а) к знаменателю 56; о б) — к знаменателю 80; 16 в) — к знаменателю 42; 14 g г) — к знаменателю 75. 15 87 I Из ряда чисел выпиши те, которые могут быть общими знаменателями для указанных дробей: а) |и1 6,12,24,40,48; в) ^ ^ 68 10 15 б) и I 18, 24, 36, 72, 90; г) | и А 12 9 8 14 20, 30, 45, 50, 60; 14, 16, 28, 56, 70. 88 I Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби: , 5 3 «Ч-б»4- ,, 2 7 ,11 23 в) Г-;:? И -г:- ; ’12 60’ 1 4 1 «>5 — 6- , 8 2 Д) 9 и , 7 6 = , 4 5 ^^ТЬ’’Г2’ . 11 17 ^^Г2^Г8’ , 23 2 «%»45’ Ч 3 ^^56 “ 7 . 126’ , 15 13 л) гг:; и — ; ‘ 52 78 , 29 35 м) ттгг и 180 216 20 Глава 3, §1, п.2 ш Вырази следующие части величин в процентах: ^ ^ Г7 3 5 10 20’25’50’ 2 ‘ Сократи дроби, а затем приведи их к наименьшему общему знаменателю: ^ 2’ 4 ’ 5 ’10’20’25’50’ б)|, |,л, 4 ,36 55 “’54 » 99 = ш .,707 48 , ®’808 “в0= “* 80 и 135 ,234 75 г) . и 3200 “162’ Чб8 225’ Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю. Если возможно, вначале сократи их. 5 1 125 28 ^ 2 63’ й, 4 16 17 «^21’56“35’ в)^ ^12’ 18’777 444 120 И 720 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему знаменателю: За — аЪ ^ 8с + 4с 0)5/1 + — 2fl2 1г\ ах Qcd ’ ‘ Зп “ баг/ Игорь, Дима и Олег играли в игру. Игорь заработал а Дима — -f- всех разыгранных очков. 4 5 Какую часть всех очков заработал Олег? Вырази части выигрыша каждого из ребят в процентах. Кто из них выиграл? 7(у + 2fe) k’^ — kxf \у^Чк)Ъс ” ЪЪк 94 I Мировой океан разделяют на пять больших частей — океанов. Тихий океан 23 занимает примерно ^ всей поверхности Мирового океана. Атлантический -6 X X — , Индийский — , а. Северный Ледовитый океан — — . Вырази площади океанов земного шара в процентах от их общей площади. Какую часть всей поверхности океанов занимает пятый — Южный океан? Сколько способов ответа на последний вопрос ты сможешь найти? 1) Ира прошла 4 км за 48 мин, а ее брат прошел 2 км за 20 мин. Кто из них шел быстрее и на сколько? 2) 21 л молока разлили в 6 одинаковых бидонов, а 13 л кваса — в 4 одинаковые банки. Чья вместимость больше — бидона или банки, и на сколько? т О 98 L96J Прочитай утверждения. Какие из них истинные, а какие — ложные? Обоснуй. 1) Э д: еЛГ: 4 75 «Тб’ 04 5 3 и 2а За !• 7 13 ^^3-2 ^24’ 6)13,11 и 25 15 20 о\ Ь п ^\cd ^ lOd Приведи дроби с натуральными числителями и знаменателями к наименьшему общему знаменателю, сделав сначала сокращение: 1) 88 и 36 о, 30 875 2)^т^ и 275 135’ ‘540 1750’ ’ А8Ьс Ibcnk’ 04 8а6 ЪЬпк 3) ■„и 4) 9с 9t 9t 5а + За — и 56a^ ш Найди неизвестные числа при следующих условиях: 1) Если из утроенного неизвестного числа вычесть 16, то получим 17. 2) Если к учетверенному неизвестному числу прибавить 39, то получим 67. 3) Если от удвоенного неизвестного числа отнять 125, то получим квадрат числа 5. 4) Если к неизвестному числу приписать справа нуль и новое число сложить с неизвестным, то в сумме получится 484. 26 Глава 3, §1, п.2 щ ш Реши уравнения: 1) [(185 — 5л:) • 15 — 90]: 45 = 58; 2) [
d ^ ad = be Действительно, если при таком “перекрестном” умножении числителей и знаменателей полученные произведения оказались равными, то это означает, что ни одна из дробей не больше и не меньше другой, а значит, дроби равны. Теперь мы можем легко сравнивать смешанные числа. При этом даже не нужно переводить их в неправильные дроби, например: 3 12 8 13 ^ , потому что 12 12 Y , потому что -g > у Так можно сравнить любые две смешанные дроби. 30 о ————————————-Глава 3, §1, п.З Ш5 8 3 Т Что меньше: — или ? Что больше: — или ? Запиши, пользуясь знаком равносильности, правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. Тзб| Сравни дроби, приводя их к наименьшему общему знаменателю: ч 7 5 ‘‘>12″ 9 ’ ®>Т8”Т5’ ,10 7 . 27 » 24’ , 25 23 » 48 Щ щ 17 1 3 1113 Приведи дроби наименьшему общему знаме- о 15 1^ 10 4 о о нателю и расположи их: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. Существует ли число, расположенное между числами: г) I и I? 7 7 Найди несколько значений х, удовлетворяющих неравенству: а) ^ ——, —- Г25»43’ «>ГГГ —— » 307’ ®’ю01 » 2005’ И 750 1429’ ш 20 2 Х32 13 Приведи дроби 7Г,ТТ»ТТ» тт» ’ 77’Т к наименьшему общему числи- 9 41 11 3 8 7 24 телю и расположи их: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. Определи, какая из дробей ближе к единице, и сравни их : , 8 15 “Тб „20 17 “ 18’ и il 95 39 l4^ 4 2 9 8 Расположи дроби в порядке возрастания: ■g »»g» Jq > •g 5 ,120 85 ■■’m “ 88 ■ 3 n ^ ^ 7’ 5’15’59‘ Сравни c числом i дроби: — ^ ^ 24^ 2 8 19 45 80 504 Укажи наибольшую и наименьшую из дробей. Запиши дроби в порядке убывания. а) П 21 20’ 40’ 60’ 6)13, 11 24 16 20 в) М П ^ ^ 48’ 36 ’ 72 ‘ 31 Глава 3, §1, п.З 147| Сравни дроби наиболее удобным способом: 14 13 ^>25″ 2) и 77 1481 Сравни дроби, пользуясь общим правилом сравнения дробей: 27 Q4 6 ^>59″ 3 K4I9 5)— и 7 . 50’ 29 ’ 19 ’ 10 . 4)^ И 64 2 «4 35 ®*зв “ 36 . 8)бА „ бА. 33 ’ 135 ’ 37 ’ 4 8 4 ^ 11 ’ Образец: ., 9 5 , 5 9 , 7 11 б)^^и-; в)-и
; г)-и-; 4 4 3 ^>45^ 3“7 8 4 „ 25 11 v25 • 4 88 V 100 88 , 24″ 32- ч 18 8 в)— и —; X 16 .4 а с 4)-7 и 77 d Ь ч 14 22 16 _ 6 д: 15 ^ 16-15 = д:-6 ^ X 16-15 40 1) Митя записал дробь, знаменатель которой на 12 больше числителя, и пос- 5 ле сокращения получил дробь — . Какую дробь записал Митя? 6 2) Ира задумала число, прибавила его к числителю и знаменателю дроби 11 3 —, затем сократила полученную дробь и получила в результате — . Какое 41 число задумала Ира? 8 1531 шагов Тани составляют 9 м, а 20 шагов Кати -17 м. Чей шаг короче — Тани или Кати? 2) Алеша, Толя и Саша играли в баскетбол. Алеша сделал 5 бросков и попал 3 раза. Толя из 9 бросков попал 5 раз, а Саша из 15 бросков — 7 раз. Кто из мальчиков был более метким? 32 Глава 3, §1, п.З ИЗ 1) Автобус проезжает расстояние от города до деревни за 6 ч, а автомобиль -за 4 ч. Кто из них проедет большее расстояние — автобус за 5 ч или автомобиль за 3 ч? 2) Трех метровое бревно распилили на 7 равных частей, а пятиметровое -на 9. Части какого бревна длиннее? Лев Толстой как-то заметил, что человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель — то, что он думает о себе. Как ты считаешь, какой дробью, правильной или неправильной, лучше быть? А себя ты какой дробью считаешь? Найди общие утверждения и утверждения о существовании (типа «хотя бы один»). Докажи или опровергни их. 1) Существует правильная дробь со знаменателем 2. 2) Существует неправильная дробь с числителем 2. 3) Любая правильная дробь меньше любой неправильной. 4) Две дроби с равными знаменателями равны. 5) Дробь, числитель и знаменатель которой кратны 5, сократима. 6) Дробь сократима тогда и только тогда, когда ее числитель и знаменатель кратны 5. 7) Дробь сократима в том и только в том случае, когда ее числитель кратен знаменателю. 8) Дробь сократима, если и только если наибольший общий делитель числителя и знаменателя больше 1. Прочитай высказывания. Найди и опровергни ложные высказывания. Докажи истинность остальных высказываний. 1) 3 X е N: л: j; 3) 3a,heN: a^-b’^ = 7; 4) 3 a, 6 e A: (a — b)^ = 7. Ш Переведи на математический язык следующие утверждения, если буквами в них обозначены натуральные числа. 1) Число k кратно 4. 2) Число d кратно 5. 3) Число т четно. 4) Число п нечетно. 5) При делении числа а на число Ь получается частное 3 и остаток 8. 6) При делении числа с на 9 получается частное q и остаток 1. 7) Существуют 2 натуральных числа, сумма квадратов которых меньше 20. 8) Существуют 2 натуральных числа, квадрат суммы которых равен 64. 6 кл., ч. 33 Глава 3, §1, п.З Ш Реши примеры и уравнения. Расшифруй имя английского писателя конца XIX века и название одного из самых известных его произведений. ©(52 : 13 + 7)-3 @(12-5)*8: 1 ©81 : (36: 4)+ 45 ® (40 • 8): 2 : 5 ©(7-4-27:3) *2 ® (600 : 5 — 72): 8 • 60 @ 80х — 540 = 180 ® (90-450: 9): 8-6 ® 150-630 : д: = 60 @ 200 : [(21 • 7 + 13): 40] (g) (260 — х): 6 = 30 © [(420 : 7 • 9 — 50): 70] • 6 © (д:: 7) • 50 — 75 = 175 32 — (70 • 9 — 390): 60 © 360 : (8д: + 7х) = 6 360 30 42 28 360 50 30 33 50 360 30 35 38 32 80 7 33 33 50 7 35 28 56 33 30 56 33 30 54 360 30 35 7 4 Щ Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: а) • ^^Т05’ ч 3 • 14 • 62 ®^31 • 10 • 27 ’ д) 24yz ж) + 2л. 12л ’ б) ; 1200 ч 56 • 15 • 38 . ^ 75 • 16 • 57 ’ ч 30а2 з) 6а — 66 12 ■ 161 Приведи к общему знаменателю дроби и найди их сумму (а, 6, с, d е N): , 4 5 а) — и — ; 3 а «ч 3 2 б) — и — ; а о ч а 2 ”>2 «I- ч а с “I- ш Из примера г) выведи правило сложения дробей и сложи по этому правилу 1 3 дроби — и — . Можно ли упростить полу^юыную дробь? 6 8 Сумма всех чисел в клетках квадрата равна 10. Какое число надо поставить в пустую клетку? 4 si ^7 3 7 9 4 32 2^ ^5 5 9 ? 2I ^ 9 4 7 2 11 2-^ ^ 11 1631 Найди значение выражения: i4^i5^„7^2 4,7^1 1) а + 1-+2- + — ,еслиа = -, 1д,2-; 2) 6+^ + 4-^ +3-^,если6 = 5,6^, 7г|^. 15 15 1о 1515 34 Глава 3, §1, п.З Игра “Остров сокровищ”. 1) На острове сокровищ была пещера, в которой Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ган. Перед смертью Бен Ган решил оставить для потомков шифрованное письмо с описанием системы координат. Далее с помощью координат он зашифровал место, где спрятан клад: Тбб| Пещера с сокровищами находится в точке пересечения диагоналей четмрехуголкника, оврозованного четырьмя дувами: (0;1),(2;7),(8;5),(5;1). Определи координаты входа в пещеру. 2) Нанеси на карту объекты: А — форт, В — бухта, С — склад, D — водопад, Е — гора, F — форт, N — наблюдательная вышка и еще два каких-нибудь объекта М и Я. Опиши их положение с помощью координат и сообщи эти координаты соседу по парте. Пусть он восстановит твою карту, а ты, в свою очередь, восстанови его карту. Кто сумел правильнее расшифровать местонахождение зашифрованных объектов? 1) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 96 км. Скорость первого велосипедиста 15 км/ч. Чему равна скорость второго велосипедиста, если велосипедисты встретились через 3 ч? Какое расстояние будет между велосипедистами через 2 ч после встречи, если они продолжат движение? 2) По шоссе в одном направлении едут автомобиль и автобус. Автобус движется впереди со скоростью 60 км/ч, а автомобиль догоняет его со скоростью 75 км/ч. Сейчас между ними 45 км. Через сколько времени автомобиль перегонит автобус на 30 км? Из двух городов, расстояние между которыми 320 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 7 равна 45 км/ч, а скорость второго составляет — скорости первого. Пусть *7 d км — расстояние между мотоциклистами через t ч после выезда. Составь формулу, задающую зависимость d от t, рассмотрев два случая: а) мотоциклисты еще не встретились; б) встреча мотоциклистов уже произошла, но они продолжают движение. 2* 35 Глава 3, §1, п.З Построй математическую модель задачи: 1) Вася идет из дома в школу. Если бы он шел со скоростью на 20 м/мин больше, то пришел бы в школу на 4 мин раньше, а если бы его скорость была на 12 м/мин меньше, он пришел бы в школу на 4 мин позже. С какой скоростью идет Вася, если расстояние от дома до школы 440 метров? 2) Расстояние между двумя пешеходами, идущими навстречу друг другу, 720 м. Скорость одного из них на 8 м/мин больше скорости другого. Найти скорость пешеходов, если известно, что они встретились через 6 мин. 3) Две лодки плывут по реке в одном направлении. Скорость лодки, плывущей впереди, составляет 80% скорости лодки, плывущей сзади. За 15 мин расстояние между ними уменьшилось с 800 м до 200 м. С какой скоростью плывут лодки? Рассмотри выражение: 10-2-1-4-14-5-7-2 + 11. Как изменяет число 10 каждое действие? Сколько раз увеличивали число 10 и на сколько увеличили всего? Сколько раз уменьшали число 10 и на сколько уменьшили всего? Как изменится число 10 в результате всех операций? Зависит ли ответ от порядка, в котором эти операции выполняются? Используя предыдущее задание, проанализируй образец и определи способ вычислений. Найди значения данных выражений таким же способом. а) 18 + 9- 2- 4 + 6- 8-1 + 5-4; в) 64+ 79-28- 4 +21-42+ 6 + 9-16; б) 30-7-4 + 9- 6 + 3 + 7- 8 +2; г) 45-26- 3 + 17 +20-24+ 5 + 3-8. Образец: 25 + 27- 16-9 + 3-4-11 = 15 — ЛЛ —— АЛ 1) 27 + 3 = 30(+) 3) 40 — 30 = 10 (-) 2) 16 + 9 +4 + 11= 40 (-) 4)25-10 = 15 ш ml 1) На первых трех этажах шестиэтажного дома проживает 85 человек. На четвертом этаже на 4 жильца больше, чем на первом, на пятом — на 7 жильцов меньше, чем на втором, а на шестом — на 8 больше, чем на третьем. Сколько всего жильцов в этом доме? 2) В поезде 8 вагонов. В первых четырех едут 129 человек, в пятом вагоне на 3 человека больше, чем в первом, в шестом — на 5 человек меньше, чем во втором, а в седьмом и восьмом вагонах вместе столько же, сколько в третьем и четвертом. Сколько всего пассажиров в этом поезде? Сравни дроби: 47 428 440 : 948 • 56 — [(908=^ — 908 • 2): 24 — 32 597] [(5689 • 7002): 3501 + (40 280 — 39 572)^+ 87 358] • 4 и 4 ТтЗ Сравни дроби и —^ , приведя их: 1) к общему знаменателю; 105 120 2) к общему числителю. 36 — —-Глава 3, §11 п.З mu а) Переведи смешанные числа в неправильные дроби и расположи их в порядке возрастания, сопоставив соответствующим буквам; 16’ 29’ 26’ 9 ’ 3 ’13’ 12’ 2’ 17’ 11’ 8 ’ 4 ’ 24’ 6 ’ 27′ ©©®®@®@®©©®®©©© б) Выдели целую часть из неправильных дробей и расположи полученные смешанные числа в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам: ^^^^^35^^31 5’ 10’ 9’ 5’ 8’ 9’11’ 5’ 9’ 4’ 5’ 7’ 4’ 8’ 8’ 5’ 10′ ®©®®®©®®©®©©®©®®© Расшифруй имя английского писателя конца XIX — начала XX века и название одного из его произведений. тз Сравни дроби наиболее удобным способом: 17 . 20 ’ 2007 ^ 2008 2008 . “ 2009 ’ 5) А 11 4 “ 5’ 4 .. 12345 ^67890 98765 . ^ 43210 ’ 6)8| ^ 2 h4j 179’ 1751 Сократи дроби, а затем сравни их: 7 • 15 • 48 52 15 1) И 2) И 8•81 • 59 171 260 195’ ‘ 25-49-24 59 • 45 • 1б‘ В 4-литровую кастрюлю с водой хозяйка бросила три столовые ложки соли, а в 3-литровую — две. Где раствор оказался более соленым? По реке движется моторный катер со скоростью 225 м/мин, а впереди него в том же направлении плывет экскурсионный теплоход, скорость которого 2 составляет — скорости катера. Каким станет расстояние между теплоходом 3 и катером через 15 мин, если сейчас между ними 3 км? Через сколько времени катер догонит теплоход? На каком расстоянии они окажутся через 10 мин после встречи, если будут продолжать движение? Собака, почуяв приближение хозяина, побежала ему навстречу, когда он находился на расстоянии 150 мот дома.Через 10 с расстояние между ними сократилось до 50 м. С какой скоростью шел хозяин, если скорость собаки на 8 м/с больше скорости хозяина? Глава 3, §1, п.З Тт^ 1) По графику опиши движение путешественников (определи скорость и направление их движения на всех участках пути, количество и продолжительность остановок, продолжительность всего маршрута). I80| 2) Как, не выполняя вычислений, определить, на каком участке пути скорость движения была наибольшей, а на каком — наименьшей? 3) На каком расстоянии от пункта С находились туристы через 3 ч после выхода? На каком расстоянии были они в это время от пункта D? 4) В котором часу находились туристы на расстоянии 12 км от пункта С? Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему знаменателю: 222 . 5abd 4ху . 12 ^ ^ 32’ 80 ^ 333 ’ 5abd о) —г и ^ ‘ 35аЬ 2х^ Построй многоугольник А. А^^ по координатам его вершин: А, (2; 14), А2(4; 14), А,(4; 15), А^(5; 15), А,(5; 16), А,(6; 16),АД6; 9), Аз(13; 9), АД13; 10), А,,(14; 10), А,^(14; 0), А^^^З; 0), А,з(13; 6), AJ12; 6), А,,(12; 0), AJ11; 0),А,,(11; 6), AJ6; 6), А„(6; 0), AJ5; 0), Аз,(5; Q),AJ3; 6),А^^(3; 3), AJ2; 3),Аз,Д2; 7),Аз,(4; 7),Аз,(4; 12), Аз,(2; 12), А^. Что получилось? Сравни дроби: [(90 480 • 364): 312 : 104 : 29) • (70 000 — 69 942 + 2f [1 022 200 : 3800 — (197 745 600 : 2080 — 18 899): 4009] • 1092 -I 1831 в сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с девятью Барабасами, а каждый Барабас знаком с десятью Карабасами. Кого в этой стране больше — Кара-басов или Барабасов? 38 I84| Тетушке Маше на три года меньше, чем Саше вместе с его ровесником Пашей. Сколько лет было Саше в то время, когда тетушке Маше было столько, сколько сейчас Паше? 185| Сравни дроби: ,41 411 6П’ д. 200200201 ^200200203 ^ 300300301 300300304 Глава 3, §1, п.З Задачи для самопроверки Т8б| 1881 Запиши цифрами число: семь миллиардов сорок два миллиона пятьдесят шесть тысяч тридцать девять. Запиши предыдугцее и последующее числа. Сравни числа: а) 58 072 318 и 694 899; б) 35 240 648 и 35 240 715. Вычисли: [7070 • 309 — 230 • (168 324 : 156) + 63 540]: 2500. п й 1485 Сократи дробь и выдели из нее целую часть. 450 5 Представь число 4 — в виде дроби. X U 1911 Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю: , 8 11 9 “ 18- Ш1 Сравни дроби: |Т^ Реши уравнения: , 3 8 «.4 3 ®>Г5 » 7’ ,5 5 .,17 2 6 » 8’ ®’зо “ ¥■ , 7 13 ®>24 » 30 , 79 5 ”>68 ”ПЗ- 2)х-2^ — l| 7 7 , 11 19 ‘■>12 ” 20 3)6| -у f, 3 о ^ «>216” ^16’ 1) Отцу 42 года, а возраст сына составляет — возраста отца. Сколько лет сыну? 2) В одном отрезе а м ткани, что составляет 30% длины второго отреза. Чему равна длина второго отреза? 3) Какую часть тонны составляют 125 кг? С двух станций, расстояние между которыми 960 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда — пассажирский и товарный. Скорость пассажирского поезда 90 км/ч, а товарного — на 20 км/ч меньше. Какое расстояние будет между поездами через 2 ч после выхода? Из деревни в город вышел пешеход со скоростью 80 м/мин. Через 20 мин вслед за пешеходом выехал велосипедист, который догнал пешехода уже через 10 мин. С какой скоростью ехал велосипедист? 39 Глава 3, §2, п.1 § 2. Арифметика дробей 1. Сложение и вычитание дробей. Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями мы научились еще в начальной школе. Для сложения таких дробей нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. На математическом языке это правило записывается следующим образом: Для любых натуральных чисел а, Ь,с:
• Аналогично, но чуть сложнее записывается правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: Для любых натуральных чисел а, Ъ, с при а > Ь: а Ъ с а — Ь Что же касается дробей с разными знаменателями, то для их сложения или вычитания достаточно привести их к одному знаменателю. А это можно сделать на основании основного свойства дроби, например: Чу’ Чу гу 27 + 28 55 11 . 5 _ 5 9 35 — 27 8 ^ 21′ ^ 10 15 = =11 = ii 30 6 6’ 2)i-^ = 6 14 30 30 6 6 ’ ‘ 6 14 42 42 В ответе дробь обычно приводят к несократимому виду, а из неправильной дроби выделяют целую часть. Для сложения и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий. Их использование иногда позволяет упрощать вычисления, например: П , JL= + + = i + ^ = 1 3 . ^ 99 25 99 25 \99 99/ \25 25/ 99 25 5 5’ 2)/5 ^17\17^5 /17_17\ 5 5 Мб 49/ 49 6 \49 49/ 6 6‘ Сформулируем на математическом языке общие правила сложения и вычи- d С тания дробей. Пусть даны дроби — и ^, где а, b,c,de N. Их общим знаменателем может служить произведение bd — оно делится и на 6, и на d. Поэтому dy by — 4- — = — + — — £ _ £. =
Ь d bd bd bd ‘ b d bd bd bd ’ Ясно, что вычитание возможно только в случае, когда числитель полученной дроби больше или равен нулю, то есть ad-bc> 0. Заметим, что общий знаменатель bd для данных дробей далеко не всегда является наименьшим. Поэтому непосредственное применение этих правил часто ведет к более громоздким вычислениям. 40 о Глава 3, §2, п.1 Выполни действия: 1 2 + 1 . 3 ’ Ч 1 л. 1 . ■^^6 12 ’ И)| + 5 . 12 ’ ч 17 л. 11 . 20 15 ’ 1 1. • ч 2 4 3 27’ 5 . 19 5 . 42 63 ’ 4 5’ 18’ 3 + 4 , ^ 25 5 ’ Л)| + 19 . , 16 ^ 13 ^15’ 5 7 ’ 20 ’ 5 3. .29 7 . 60 30 ’ м)|- 8 , 21 3 9 8’ 15 ’ ЁЦ Найди значение выражения: ^ 3 ^ 4’ 7 , 1 _ 2 . ^ 8 6 3 ’ ,9 3^5 «5 7 ’ г) A-J_ ’ 24 60 40 „л 5 ^ 10 _ 3 . ■^44 21 4 ’ е) А +А. ^ 6 16 12’ .10 ^ 2 _/А4-2\_ А. 3 \20 9/ 18’ ^^456 7 Реши уравнения: 14^3 5 , : ^ 20 12 ! П 12 4 10 ^^7 ^ 54 9 27’ 2^ Найди значение выражения: 1) ^ , если а = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 8 а 2) ^ ’ если Ь = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 3) 4 + если с = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 4 6 8 Для дробей с обш;им знаменателем п запиши в буквенном виде и докажи: 1) переместительное свойство сложения; 2) сочетательное свойство сложения; 3) правило вычитания числа из суммы; 4) правило вычитания суммы из числа. Пользуясь свойствами сложения и вычитания дробей, вычисли наиболее удобным способом: ч 13 “>Т7 в) (- + -) V44 в/ 7 . ,35 ^^68 (-i- + -LV 44’ \68 22/’ -А)- г) 1 f5+19\ Is зв/ 1 36 ’ ч14 ®^39 (-+-). \12 39/ 41 Глава 3, §2, п.1 20^ Запиши для дробей в общем виде и докажи особые случаи сложения и вычитания с нулем. Для каждого случая придумай и реши соответствующие примеры. Ш1 Выполни сложение и вычитание дробей с натуральными числителями и знаменателями: 1)^ + ^; л: у 2) — — — ; т п + ас 7),— + “ от. 10/е’ сч d т 8) 2^ — _L xt 8л: ‘ Щ 205| 1) За день с лотка продано — ц винограда и — ц яблок, причем до обеда про- ^ и “Г 7 дано — ц этих фруктов, а остальное — после обеда. Сколько центнеров винограда и яблок продано после обеда? 2) Велосипедист проехал в первый час \ пути, во второй час — пути, а в 3 4 5 третий час — — пути. Какую часть пути он проехал за 3 часа? Какую часть ему еще осталось проехать? Гк -IQ 1 XT От веревки длиной — м отрезали м. На сколько метров отрезанный ку- сок веревки меньше оставшегося? 1) Одна сторона треугольника равна — дм, вторая — на дм длиннее пер- 5 10 „ 7 вой, а третья — на — дм короче второй. Чему равен периметр треугольника? ш и 1 3 2) Ширина прямоугольника —м, что на —м меньше длины. Найди его 4 10 периметр. 1) Через большую трубу бассейн наполняется за 6 ч, а через маленькую — за 14 ч. Первая труба проработала 1 ч, а вторая -7 ч. Какую часть бассейна осталось наполнить? 2) Через большую трубу бассейн наполняется за 9 ч, а через маленькую — за 12 ч. Какую часть бассейна останется наполнить после 4 ч совместной работы обеих труб? 1) Двое рабочих выполнили задание за 6 ч. Если бы работал один первый рабочий, то он выполнил бы это задание за 10 часов. Какую часть работы выполнял за час каждый рабочий, если они работали с постоянной производительностью? 2) Мастер может выполнить задание за 3 ч, а его ученик — за 6 ч. Какую часть работы выполнят они за 1 час, работая вместе с той же производительностью? 42 ———————————————-—_ Глава 3, §2, п. 1 1) Из двух городов одновременно навстречу другу другу выехали 2 автомобиля. Один может проехать все расстояние между городами за 5 ч, а другой — за 4 ч. Какая часть первоначального расстояния будет между ними через 1 ч? 2) Реши предыдуш,ую задачу для случая движения вдогонку. 7 1) Запиши множество дробей, удаленных на числовом лу^1е от дроби -— 1 на — . Проиллюстрируй полученный ответ на чертеже. 2) Запиши с помощью двойного неравенства множество чисел х, удаленных 7 1 2 19 на числовом луче от дроби — меньше, чем на —. Докажи, что дроби — , ——, 15 3 375 101 875 ттт: ’ тттг^ принадлежат этому множеству. 150 1500 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие (буква е читается: “эпсилон”): “Множество точек числового луча, удаленных от точки а на расстояние меньшее, чем с, называется е-окрестностью точки а”. Изобрази с помощью числового луча Б-окрестность точки 3 при б = 1. 2) Используя чертеж, установи, верно ли сделан перевод приведенного определения на математический язык: Точка X принадлежит Б-окрестности точки а + Б ^+ Т’ 4) ^ Sx 6х ш 1) Фермер с октября до января израсходовал — годового запаса овса, а с 1 января до апреля — на — больше. Какая часть овса у него еще осталась? О 2) Рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч, а его ученик — за 8 ч. Какую часть работы останется выполнить после 2 ч их совместной работы? Как изменяется сумма а + Ьи разность а-Ь при изменении аиЬ? Перерисуй таблицы в тетрадь и заполни пропуски (см. № 219): 1) а Ь а + Ь а-Ъ + 5 + 2 -5 + 2 + 5 -2 -5 -2 2) а Ь а + Ь а-Ь + 8 + 12 -8 + 12 + 8 — 12 -8 -12 ш Сократи дроби, а затем расположи их в порядке возрастания (а, h ^ N): 112 5 + 7 26 • 8 • 17 32-3 + 32 25аЬ 392’ 14 ’ 51-13-24’ 32-7 ’ 156а’ Реши уравнения: 1 \ ^
9 . 04 32 — у ^ ^ ^4 16 ’ ^24 8 ’ 3) 35 11 40 + 32 22 января в 15 ч из Петропавловска-Камчатского в Тикси вышел ледокол со скоростью 18 км/ч. Вслед за ним 23 января в 19 ч вышел караван судов со скоростью 32 км/ч. Устойчивая радиосвязь между ледоколом и судами может быть установлена, когда расстояние между ними составит 70 км. Какого числа и в какое время это произойдет? 47 Глава 3, §2, п.1 23^ По шоссе навстречу друг другу едут автобус и мотоциклист. Скорость автобуса равна 900 м/мин, а скорость мотоциклиста составляет 75% скорости автобуса. Сейчас расстояние между ними равно 25 км 200 м. Через сколько времени они встретятся? Какое расстояние будет между ними через 4 мин после встречи, если они продолжат движение? 2 Задумано число. Если к нему прибавить 4у, из полученной суммы вычесть 3 Y, а разность вычесть из 8 то получится 2 -у. Какое число задумано? 2411 Найди значения выражений: 1) (8 мин 25 с — 3 мин 45 с) • 36; 3) (8 м^ 4 см^ — 9 дм^ 64 см^): 260; 2) (5 ц 2 кг -Ь 78 кг) • 5; 4) (5 м^ 45 дм^ 45 см® — 5 м® 5 дм® 5 см®): 40. О Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка вместе. При этом каждый из предметов — картина, корзина и картонка — в отдельности весил больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что если к собаке на весы добавить саквояж, то вместе они перевешивают диван, и то же самое происходит, если к собаке на весы добавить чемодан. Докажи, что претензия дамы была справедлива. Что больше: ,1^1 1^1 a)—f- или — + — в) -f 1 2005 2009 или б) -ь 2006 2008’ г) 2006 2007 или 2008 2009 ш На волшебном дереве выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Если сорвать один из плодов — вырастет такой же, если одновременно сорвать два одинаковых плода — вырастет апельсин, а если одновременно сорвать два разных плода -вырастет банан. Как надо срывать плоды, чтобы в какой-то момент на дереве остался ровно один плод? Какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы через некоторое время на дереве ничего не осталось? 245| Расшифруй ребус: КИС + КСИ = ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные. 48 Глава 3, §2, п.2 2. Сложение и вычитание смешанных чисел. Из начальной школы нам известно, что при сложении смешанных чисел можно сначала сложить целые части, а затем — дробные части. Это следует из переместительного и сочетательного свойств сложения: Записывают короче: +4l = 5L±J = 5i = 5i Если дробные части смешанных чисел имеют разные знаменатели, то их предварительно приводят к общему знаменателю. А из дробной части суммы, если она окажется больше 1, выделяют целую часть: — ЛО+11 .21 7 . 3 Таким образом, чтобы сложить смешанные числа, можно: 1) привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить отдельно целые и дробные части; 3) если необходимо, сократить дробную часть; 4) если дробная часть суммы окажется неправильной дробью, выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы. Аналогично вычитание смешанных чисел сводится к вычитанию (если это возможно) отдельно целых частей и дробных частей: Как и при сложении, запись упрощают, а дробные части, в случае необходимости, приводят к общему знаменателю: ^1 о 25 — 16 ^15 =^“30“ 2-5- =2— . 30 10 Если дробные части “не вычитаются” (в уменьшаемом дробная часть меньше, чем в вычитаемом), то из целой части уменьшаемого можно “занять” единицу: ‘^2 11 *8 9§-ЗГ2-4 11 12 .20 .11 ^12“^l2 Итак, чтобы вычесть смешанные числа, можно: 1) привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; 2) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, ”занять” единицу из целой части; 3) вычесть отдельно целые и дробные части; 4) если необходимо, сократить дробную часть. По приведенным правилам можно проводить также совместные вычисления с дробями, натуральными числами и смешанными числами, например: ..7 5 8 — = 3^=3^^ 8 8 ^4 11-2^ = 10|-2| = 8^. 7 7 7 7 49 Глава 3, §2, п.2 Qm Вычисли суммы и найди, что общего в примерах каждого столбика: 1)2| + 7|; 9 4 + 3 + 4 2 2)1|+з|; ^^^12^^48 ’ 29 17 Вычисли разности. Что общего в примерах каждого столбика? е\ ^ 3 5 ^>®4 “8 = 13)2|-l| ; 2)3-1; к\ ч 5 4 . “9 = 14)101-б1; 3)8-2|; 7)9— ——• ^16 24’ 11 \ 31.5 _ 1 _Z_. ^^^^44 ^33’ 4)5-4§; 8)415-А; ^ 49 14’ 16)7^-21. Найди значения выражений: 1)15-7| ) 0 + 2|; 3)1 -4)= На вершине горы, возвышающейся на 784 — м над уровнем моря, постав- X ^ лена башня высотой 38 м. На крыше башни стоит громоотвод, высота 4 которого равна 3 — м. На какой высоте над уровнем моря находится шпиль О этого громоотвода? ! 3 семье пятеро сыновей. Старшему 11 лет, а каждый следующий младше предыдущего 7 на 2— года. Сколько лет младшему сыну? JL ^ Через сколько лет в семье родится следующий сын, если эта закономерность сохранится? 1| Запиши два смешанных числа так, чтобы выполнялось одно из условий: 7 1) одно из чисел больше другого на 4 8’ 2) разность чисел равна меньшему числу; 3) сумма чисел равна натуральному числу. 50 Глава 3, §2, п.2 Реши уравнения: 1) (4-x)+li-3^; 3)lf+(*-2|)-i + 6i; 2) 4|+(,-2|) = 5§; 4)(7^-*)-11=б —к 2 1 25^ Отцу 42 •д года. Мать моложе отца на 3 лет. 5 Когда родился сын, матери было 24^^ года, а когда родилась дочь — 27-^ лет. О 1) Сколько сейчас лет сыну и дочери? 2) На сколько лет сын старше дочери? 3) Сколько лет было отцу, когда родились его сын и дочь? Садовник собрал клубнику с четырех грядок. С первой собрал 1-|- кг, со второй — на ^ кг больше, чем с первой, с третьей — на кг больше, чем с 4 2 g первых двух вместе, а с четвертой — на 2 — нг меньше, чем с третьей. Сколько килограммов клубники собрал он со всех четырех грядок? Перерисуй таблицу в тетрадь и определи, как изменяется сумма а + 6 и разность а — Ь при указанных изменениях а и &: 1) а ь а + Ь а-Ь -4 -4 -4 2) а ь а + Ь а-Ь -1 +4 -4 «4 -4 -4 -4 Выполни действия наиболее простым способом: 24 -2^> ‘4г7+4)= 4^^ 35 + 1 6/ 56/’ 789 51 Глава 3, §2, п.2 О 153 711 3 1 Вычисли: + + 2-§- + 1 —. Как ты думаешь, какая 7 711112 о о о из сумм может быть лишней? 2581 Вычисли: ‘^“’1’”’ 1^®*^**® числа будут получаться, если продолжить эту цепочку разностей, сохраняя правило? Чему равна разность, стоящая на 100-м месте? ^3 6 ’ 5 10 ’ 7 14 ’ 25^ Вычисли: а)|+;|; j+|; | + Продолжи цепочку выражений, сохраняя правило. Можно ли, не вычисляя, сказать, какие ответы будут получаться дальше? 1) Прочитай задачу: “В классе а девочек и с мальчиков. По болезни сегодня отсутствуют Ь девочек и d мальчиков. Сколько учащихся сегодня присутствует на занятиях?” Что означают выражения: (а + с) — (6 + d) и (а-Ь) + (с- d)? 2) Из равенства (а + с) — (Ь + d) = (а — Ь) + (с — d) сформулируй правило вычитания суммы из суммы. Используй это правило для вычисления разности ‘iT ’ 3) Исходя из правила вычитания суммы из суммы, докажи равенство: (а + с) — <Ь + с) = а - Ь. Замени в нем знак “+” на знак “ • ”, а знак на знак Что получилось? Что получится, если заменить в новом равенстве знак деления на черту дроби? 4) Замени в равенстве <а + с) - <Ь + d) = <а - Ь) + (с - d) знак “+” на знак “ • ”, а знак на знак Переведи получившееся высказывание с математического языка на русский. Что получится, если в новом равенстве заменить знак деления на черту дроби? Сформулируй гипотезу об истинности этих высказываний и попробуй ее доказать. 1) Представь ^ в виде дроби со знаменателем 8, 20, 36, 56, 96. 2 2) Можно ли дробь — привести к знаменателю 45, 82, 120, 514, 8075? о 2621 Сократимы ли дроби: 123 123456 123456789 321 ’ 654321 ’ 987654321 52 ----------------------------------------------------Глава 3, §2, п.2 В числителе дроби стоит число 123456789101112131415. 272829, а в знаменателе - число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: 92827262. 321. Сократима ли эта дробь? Докажи или опровергни высказывания: 1) 3 п 6 ЛГ: дробь сократима; 3)3 п е N: дробь ^ сократима; 2)3 п € N: дробь 2 2п + 1 Q п 4- 1 несократима; 4) 3 п € iV: дробь—- несократима. 26^ 2 ‘ ' ' ' ■* 2 Могут ли быть сократимыми дроби <т, п, k & N): 2п + 1 Зп - 1 2п + 1 Зп + 1 2п + 1 2п + 1 2п + 1 5п + 3« 4 ’ 6 ’ 15 ’ 25 ’ 2п ’ 2п-1’ 2k ’ 7m - 1 Какие из этих дробей не могут оказаться натуральными числами? 1) Сократи дроби, представляя степени в виде произведений (значения всех переменных — натуральное число): iL ^ ^ — — £l £l а^’ с^’ d ’ m«’ n^' ’ q'^ ’ Как найти ответ, не выписывая произведений? 2) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: у1 у^' а" ^ ,п I 2 ’ I 5 , £^(т>4), |1(п 9). ^(Р 107 » 623 . 345 ’ ,612 д) и ‘^411 8586. 1401’ 47 . , 107 г) —— и 238 345. ,111 «*6Т2 » 1401 98’ 623’ 8586 ■ 2681 Придумай, как, используя рисунок, доказать, что + 4 + + + «А» 25’®8 = B)4i •s2- ^5’ ж)1|-б|; „^9! 1®. ^^2 25’ •1^- ^8’ 3)4f2|; м)5|—з|; Р)12|-3|. 60 Глава 3, §2, п.З Ш Найди значение выражения: 1) 1.2. 3 ‘234 з)|’| зод Вычисли: а)1| -3; 4 4)li • И -И .1 5 ’ ^3 ^4 ^ ; 9 10 5) (l + 10 11 ’ 23 24 24 ■ 25 ’ 6)(i- l)-(i-i)-/ 6)2 1 „ 2 5 7 ■ ‘ =)4^ •6; г)з| 1 5 ’ 6/ _J_). 4/ \ 99/ \ 100/ 303 1) Сколько весит стеклянный кубик с ребром 5 см, если 1 см® стекла весит 2 — г? 5 1 2) В килограмме морской воды — кг соли. Сколько килограммов соли в двух бочках морской воды, содержащих по 500 л воды каждая, если 1л мор- 1 12 „ СКОИ воды весит Itttt: кг? 125 ЁЗ 1) в палатку привезли 30 ящиков винох’рада. В 18 ящиках было по 8-^ кг, 3 ^ а в каждом из остальных — на 1-j кг меньше. Сколько килограммов винограда привезли в палатку? |Щ Щ 2) Площадь первого поля 16 га, а площадь второго поля а 1 раза больше. Урожай пшеницы на первом поле составил 37 ц с гектара, а на втором -2 в 1 раза больше. На сколько килограммов пшеницы больше собрали со 15 второго поля, чем с первого? По шоссе едут в одном направлении велосипедист со скоростью 17-^ км/ч и автобус со скоростью 45 км/ч. Сейчас между ними 38 км. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 1-^ ч, если: 1) автобус едет впереди велосипедиста; 2) велосипедист едет впереди автобуса? Реши уравнения: 4 4 а)2| -л: = 2|; б) 6 — • I/ = 0; =7i ; г)А=-4^ = 0. 61 Глава 3, §2, п.З Великий древнегреческий ученый Архимед (III в. до э.) установил, что длина окружности примерно в 3 у раза больше ее диаметра. Пользуясь этим результатом, найди приближенные ответы на вопросы задач: 1) Чему примерно равна длина беговой дорожки иппо-дрома, имеюш;ей форму круга радиусом — км? О 3 2) Диаметр колеса мотоцикла равен — м. Колесо делает в минуту 233 i оборота. Чему примерно равна скорость О мотоцикла в час? 3) На пруду сделаны для конькобежцев две круговые дорожки. Расстояние между дорожками 3 м. Отец с сыном сделали по 8 кругов. Сын ехал по внутренней дорожке, а отец — по внешней. На сколько примерно метров больше проехал отец, чем сын? 4) Радиусы кругов на двух различных параллелях земного шара составляют соответственно 5600 км и 3500 км. По какой параллели короче “кругосветное” путешествие и примерно на сколько километров? 308| Найди значение выражения: 0-5^-17 49’ 2 15 1) Сравни а и а • — при а = 5, 20, тт > «о • Что ты наблюдаешь? Сформулируй о ^ о гипотезу о том, как изменяется число при его умножении на дробь, меньшую единицы. 5 15 2) Сравни Ь W Ь • — при & = 5, 20, » «3 ‘ Сформулируй гипотезу о том, как изменяется число при его умножении на дробь, большую единицы. 3) Какой смысл у слова “умножение” в русском языке? Может ли изменяться смысл этого слова, когда мы говорим об умножении дробных чисел? 62 Глава 3, §2, п.З щ Не выполняя умножения чисел, сравни: о ^ о\ ^ 3
1 7 5 7 _ и \ Q 4 _ о 7 ^^19^19*^4’ ^^24^4*24’ Известно, что некоторое число а больше 1. Сравни и а^. 31^ Известно, что некоторое число Ь меньше 1. Сравни и Ь^. 313| Упрости выражение и найди его значение: 1) 3-|а + ■| + 2^a+l|-, если а = 0,1, 4, 1-| ; 2) 4|ь + 1|+1^& + 2,еслиЬ = 0, 1,5,^, l| . При каких значениях переменной верно равенство: Щ ^56 ’ 8 Ь 3)f f = i; 4) d — = 1‘? 7 Что ты наблюдаешь? Сделай вывод. Найди х: 1) 1^ = 1; 2) -х = 1; 5 зП 3)8x = 1; Реши уравнение по образцу и сделай проверку: ^8 7’ Образец: 2)^У = 2; ’ 9 2 4) 12х= 1. 4)А,.6. зТЗ Игра “Интеллектуальный марафон”. Найди произведение всех чисел, сидящих на каждом дереве: 63 Глава 3, §2, п.З О 1) Напиши все числа, взаимно простые с числом 12 и меньшие его. Все ли они являются простыми? 2) Напиши все числа, взаимно простые с числом 10 и меньшие его. Сколько среди этих чисел простых, а сколько составных? Докажи или опровергни высказывания: 1)3р — простое число: дробь сократима; 3)3 п е N: п р + 10 2)3 k- составное число: НОД (к; 15) = 1; >1; п + 10 4)3meN: HOK(m;15) = 5. 3^ Приведи к несократимому виду дроби: 22•333-44•555 20082008 2008 -20092009 2 • 4•6•8•. •200 а) б) 222 • 33 • 444 • 55 ’ 20092009 ’ 2009 • 20082008’ 1 • 2 • 3 • 4 • . • 100 ’ 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 111111111’ 222222222’ 333333333’ 555555555’ 777777777′ ш Используя свойство делимости суммы, разности и произведения натуральных чисел, докажи, что ч ^ Р Н+-4″2- 32^ 1) Переднее колесо экипажа имеет в окружности 225 см, а заднее — 325 см. Какое наименьшее расстояние должен проехать экипаж, чтобы и переднее и заднее колесо сделали по целому числу оборотов? 2) Из двух сцепляющихся зубчатых колес одно имеет 28, а другое 16 зубьев. До начала движения краской отмечены два соприкасающихся зубца этих колес. Через какое минимальное количество оборотов того и другого колеса опять совпадут отметки на них? Легенда рассказывает, что в древности великий Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль “Сиракосия”. Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда. Расшифруй их. (Буквы соответствуют полученным значениям д;.) Глава 3, §2, п.З |з^ 1) Запиши с помощью несократимых дробей части величин, выраженные в процентах: 3%, 5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 48%, 70%, 96%. 1132 7 1 19 4 1 47 2) Вырази в процентах части величин: 1) iVT’iV-6aHK начисляет по обычному вкладу доход 6% годовых от внесенной суммы, а по срочному вкладу -15%. Какой доход получит вкладчик в конце года, если он внесет в начале года в NTN-6a.nK 250 000 р., причем 150 000 р. из них — на срочный вклад? 2) В первом туре математической олимпиады принимали участие 340 чело- 4 ..3 век. — всех участников прошли во второй тур, а — участников второго 17 16 тура были премированы. Сколько человек получили премии? 3) В библиотеке имеется 22 500 книг. Из них 84% всех книг — на русском языке. Среди иностранных книг 35% на французском языке. Сколько французских книг в библиотеке? 1) Шахматная команда школы набрала в соревнованиях 72 очка, что со- 3 ставило — от максимально возможного количества очков, которые можно 5 было набрать во всех сыгранных ею партиях. Сколько партий сыграли в соревнованиях шахматисты школы, если в каждой партии разыгрывалось одно очко? Сколько партий сыграл каждый шахматист, если в составе команды было 12 человек и все они сыграли одинаковое количество партий? 2) Помогая летом на уборке овощей, Вадим заработал 4500 р., что составило 60% суммы, необходимой ему для покупки гитары. Сколько денег надо ему еще заработать, чтобы купить эту гитару? 3) Картофелем засажен участок земли площадью 180 м^, что составляет 45% площади огорода. А огород занимает 40% площади всего дачного участка. Чему равна площадь этого дачного участка? щ В кооперативном доме проходили выборы председателя кооператива. Было 3 выдвинуто 4 кандидатуры. За г-на Деточкина было отдано — всех голосов, 2 ЧТО составило — хюлосов, отданных за г-на Лужина. Господин Коридоров набрал на 30 голосов меньше, чем Деточкин и Лужин вместе. А остальные проголосовали за г-на Швабрина. Кто стал председателем кооператива, если в кооперативе 252 члена и по Уставу председателем становится кандидат, получивший наибольшее число голосов? Смог бы этот кандидат стать председателем, если бы по Уставу требовалось набрать не менее 50% голосов? 66 Глава 3, §2, п.З 33II Как изменится сумма двух чисел, если: 1 1 1) одно слагаемое увеличить на 4 —, а другое — на 3 — ; 1U 5 2) одно слагаемое уменьшить на 4^, а другое — на 3 ; 10 5 3) одно слагаемое увеличить на 4т^, а другое уменьшить на 3-^ ; 10 5 4) одно слагаемое уменьшить на 4 , а другое увеличить на 3-^ ? 10 5 7 1) Как и на сколько изменится дробь —, если к ее числителю и знаменателю прибавить по 5? 10 1^ 2) Как и на сколько изменится дробь —, если к ее числителю и знаменателю прибавить по 5? Построй математическую модель задачи и найди ответ, воспользовавшись при необходимости методом перебора: 1) Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96. 2) У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала? 3) Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м^. Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными числами. 4) В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок? Упрости выражение и найди его значение: 1) 4а + 56 + 12 + 2а + 4 4 96, если а = 7, 6 = 3; 2) 12с + с? + 7 + 8сН- Зс + 5, если с = 4, d = 2; 3) 9 + 2т + 46 + 6 + Зт + 6, если m = 8, 6 = 1; 4) Ъх + 2 + у + \1 + Чу + 6х, если х= 1, t/ = 0. Образец: ^ 6^= (2 • а + 3 • а) + (4 • 6 +1 • 6) + (7 + 5) = = (2 + 3)а + (4 + 1)6 + 12 = 5а + 56 4- 12. Если а = 6, 6 = 1, то 5а + 56 + 12 = 5 • 6 + 5 • 1 + 12 = 47. 1^ Преобразуй произведение в сумму: 1) (25 + х) <х + 3); 2) <у + Ъ)<у + 17); 3) (6 + 2)2; 4) (3 + nf 3* 67 Глава 3, §2, п.З------------------------------------------------------- |Щ в бассейн проведены три трубы. С помощью первой трубы бассейн можно наполнить за 10 ч, с помощью второй трубы - за 8 ч, а с помощью третьей трубы вся вода из бассейна может вылиться за 5 часов. Какая часть бассейна наполнится за 1 ч, если будут действовать все три трубы? Л острой график движения по рассказу “Приключения пса Грея”, считая движение Грея прямолинейным, и ответь по графику на вопросы. (1 час -4 клетки, 1 км - 1 клетка.) “Однажды хозяин Грея поехал из деревни в город за покупками, встретил там своего старинного друга и остался у него ночевать. А Грей, проснувшись утром и почувствовав сильный голод, решил отправиться в лес за добычей. В 1он выбежал из дома со скоростью 6 км/ч и через 1 ч достиг опушки леса. Залег в траву и стал ждать. Через 30 мин на опушку выскочил заяц, и пес погнался за ним со скоростью 40 км/ч. Через 15 мин гонки Грей понял, что зайца ему не догнать, и остановился на 15 мин отдышаться. А потом побежал обратно, озираясь и принюхиваясь, со скоростью 4 км/ч. Через 30 мин он увидел барсука и погнал его в сторону деревни со скоростью 24 км/ч. Через 15 мин Грей почти уже его догнал и совсем было схватил за толстый бок, но в этот момент барсук юркнул в нору. Целый час пес рыл нору и наконец понял, что это занятие бесполезное. На всякий случай он еще 30 мин сторожил барсука, притаившись около норы. Но у барсука были другие планы по поводу своего будущего и вылезать он не собирался. Удрученный пес, понурив голову, потрусил в деревню со скоростью 4 км/ч. Через 30 мин он добрался до опушки леса и издалека увидел, что из трубы его дома идет дымок. Окрыленный надеждой, он бросился бежать и через полчаса был уже дома, где его ждали хозяин, вернувшийся из города, и прекрасная кость в миске”. 1) В котором часу Грей вернулся домой? 2) С какой скоростью бежал он последние полчаса? 3) На каком расстоянии от дома был Грей в момент, когда вернулся домой хозяин, - в 14 ч 30 мин? Что в это время делал Грей? 4) В какое время Грей находился на расстоянии 6 км от дома? зз| Найди значение выражения: а) (5080 » 604 - 432 ♦ 7002 + 200):107 б) 293 100 000 : 750 - 390 770 (706 • 24 - 53 5209 • 101) : 7240 (5322-38=*) : 79 : 361 + _ (507 ♦ 7050) : (13^ • 5^) : 47 . (204 034 - 201 989) : 409 ’ (31 023 - 30 918)2 . 245 8^: 82 68 |Щ 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Глава 3, §2, п.З Четырехугольник называется ромбом, если все его стороны имеют одинаковую длину. 2) Сколько ромбов на рисунке? 3) Сформулируй гипотезу о свойстве диагоналей ромба. 4) Что общего между фигурами ромб и квадрат и чем они различаются? 5) Построй диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В, С и D, где А -множество всех четырехугольников, В - множество ромбов, С — множество квадратов и В - множество прямоугольников. Qm Выполни действия: а) _8_ 35 85 25 в) 4 19 21 Д)() a 32’ 7 ‘ 40 ' 38’ э) ’ 6 ■ 5 г) 11 9 10 e)(; , 2kt 39 ’ 36 ’ 20 ■ 11’ l) ’ Ь с а т 341| 1) Найди объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина равна 7 3 — м, ширина на — м меньше длины, а высота в 6 раз больше ширины. 8 8 4 2) Тетя Даша купила 4 пакета гречки массой — кг, 5 а тетя Глаша купила за ту же сумму 5 пакетов такой же точно гречки, но расфасованной в пакеты 3 по — кг. Докажи, что тетя Даша совершила более 5 выгодную покупку, чем тетя Глаша. Вычисли: 2 5 6)12-3 2 , 39’ M 1 1 2 Д) 1 2 * 1 3 8 15’ r)l|-8; +i)(i - iK* + i)(i - i)(i - ?)• 69 Глава 3, §2, п.З---------------------------------------------------- Ш 1)( 3.7 2 7 „Р.37. 2 7 ^ Р . 2 7_/>2 7 4 7′ 353 9^3 = 21 . 16 ’ ж)А. 8. йч 2 13 ‘ 10’ 6 . 7 ’ ч 3 . 7 ®^10‘100‘ ЗбЗ| ч20 Д)-д-: 8; ж)И: 12; 6)|:2; ^21 ■ ч56 «>13^ 7; зб4 6)0:^; ^ 6 . 6 . ®^23 *23’ ‘■’“•(14) §3 к 1 ж) 8 : 2 ^; р-ч 7 , « 6 , \ 1 п 3 1 23 3)3|:4; л)41:7; 5 в1 5— • — • ^^13*39’ е) 1— • 2 — • ^25*^25’ и)15:б1; 4 ч 1 7 о 3 м)1д:3-; н) 12А:4; о) 45|§:5; п) 34П:17. Ш Выполни деление, если значения всех переменных -натуральные числа: ч аЬ За 3 с
(Г7 • тт; ’ п п 5d 10 3 ч ч -3 Ь’^ в)_:х; г)6— Банка вмещает — кг меда. Сколько таких банок надо взять, чтобы разложить в них 13 — кг меда? 75 Глава 3, §2, п.4 368| За 1 — кг конфет покупатель заплатил 324 р. Сколько стоит 1 кг таких кон-—J 5 фет? 369| Бревно, длина которого 8— м, распилили па 11 равных частей. Чему равна 5 длина каждой части? щ За сколько времени Максим дойдет до школы, удаленной от его дома на рас- 1 7 стояние 2 — км, если будет идти со скоростью 2 км/ч, 2— км/ч, 3 км/ч, 4 10 3 — км/ч, 4 км/ч, 5 — км/ч? 4 2 8 ‘ ‘ ‘ I g 37II На ткацком станке за -^ч изготавливают 8 — м ткани. Сколько метров тка-—* 20 4 ни будет изготовлено на этом станке за рабочий день, продолжительность которого составляет 7 — ч? 5 1X5 372| 1) Сравни т и т : — при m = 4, 10, — , — . Как изменяется число при его ‘ —* 5 5 8 делении на дробь, меньшую единицы? 5 125 2) Сравни пип: — при п = 5, 15, — , — . Как изменяется число при его делении на дробь, большую единицы? 3) Для натуральных чисел делимое никогда не бывает меньше делителя и частного. Сохраняется ли это свойство для деления дробей? Сравни, не вычисляя, если значения всех переменных — натуральные числа: ,,_3 _3 ,5 очЛ2 6 .12 о 2 ,74 5 1)8^7 и 5-: Ijj; 3)4-:-и4^; 5)аиа:3-; 7)е:-ие; .,о21 q21 7 . 11 . 8) d и d : —. 5 3^ 1) Разность двух чисел а их сумма — 17. Во сколько раз одно из них больше второго? 5 1 2) Сумма двух чисел 10 ^ , а их разность “ 2 . Во сколько раз одно из них меньше второго? 375| Найди значение выражения: 1) з|:а,еслиа=^,1, l|,l|,2j^,3, з|,10; 2) Ь : 4|, еслиЬ = -|, 1, 2^, 4|, б|, 7,12|, 28. Что ты замечаешь? 76 Глава 3, §2, п.4 3761 Расположи дроби в порядке возрастания: Mirant |з^ Как найти неизвестный множитель, делимое, делитель? Реши уравнения: 3\1« /зу“* 2/ ‘ к 1 7 1) 5^-а-р 2) 4|-б|.г, 3781 Вычисли: 11 4 . 9 ’ «м2 „7 7) 4т = 2 1 2 11’ 6) 2 2 — 1 3 • .(/> 8)24- 3 7 112 1 2’4=(Н)= 3^ 1) Сторону прямоугольного участка земли, равную 35 м, увеличили на 7 8 — м и получили прямоугольный участок площадью 882 м^. Чему была ^ vl щ равна площадь первоначального участка? 2) Площадь поверхности куба равна 13-^ см^. Чему равна длина ребра этого куба? 1) Длина основания прямоугольного параллелепипеда 2 — м, а ширина 9 в 1 — раза меньше длины. Чему равна высота этого параллелепипеда, если 4 его объем равен 12 — м^? 5 3 2) Из куска свинца, имеющего форму куба с ребром — дм, сделали квадрат- 5 пый лист толщиной дм. Чему равна площадь листа? Выполни действия: i-l2.о2. 6 ^ 9 ■ 3 ’ 4) 5) ■ilNIh 6) ±.l±:2f.24-2±:( 77 Глава 3, §2, п.4 383| 1) Расстояние между двумя железнодорожными станциями 336 км. С этих станций выехали одновременно навстречу друг другу два поезда и встрети- 2 лись через 2—ч. Найди скорость каждого поезда, если скорость одного из 5 них на 5 км/ч больше скорости другого? 2) С аэродрома в 12 ч дня вылетел вертолет. Через 1 ч с того же аэродрома Cl в том же направлении вылетел самолет. Скорость самолета равна 800 км/ч, что в 4 раза больше скорости вертолета. В котором часу самолет догонит вертолет? На каком расстоянии от аэродрома это произойдет? Велосипедист и мотоциклист выехали в разное время навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 168 км. Скорость мотоцикли- 3 3 ста 36— км/ч, а скорость велосипедиста в 2^ раза меньше. Проехав 70 км, велосипедист встретил мотоциклиста. На сколько раньше мотоциклиста он выехал? ш Из дачного поселка в деревню вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 25 мин из того же поселка в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 21 км/ч. Успеет ли велосипедист догнать пешехода до его прихода в деревню, если расстояние между деревней и дачным поселком 3 ^ км? 385| 1) Межгалактическая экспедиция профессора Селезнева в результате проведенных ею измерений установила, что экваториальный диаметр Юпи- 4 тера составляет примерно 142— тыс. км. Во сколько раз экваториальный 5 диаметр Юпитера больше, чем экваториальный диаметр Земли, равный при- 3 мерно 12— тыс. км? 2) Алиса Селезнева, спасаясь от космических пиратов, мчится по планете X 2 на вездеходе к “машине времени” со скоростью 4— км/мин, а пираты гонят- 2 ^ ся за ней со скоростью 4 — км/мин. О Сколько времени требуется пиратам, чтобы догнать Алису, если сейчас расстояние между ними равно 12 км? Успеет ли Алиса убежать от пиратов, если до “машины времени” ей нужно добираться еще 176 км, а для того, чтобы завести машину, ей требуется 2 минуты? 78 Реши уравнения: (.sq!./ i 7ч_17 ^5. 5)3 8 :(j: ^^24^ 18 *^^6’ 1)3л: + 5л: = 7; 2) 1 = бл: — 2х -Н л:; 6)24i+8f-(x:li).5^; 3)7^д:-д: = 9|; 1 14 4 8 4)1 :2^=x + 4jx; 0\ 1^ A 1^ 8)4-:l—2—4-ljg*. Глава 3, §2, п.4 О Составь и реши уравнения: 1) Задуманное число сначала увеличили в два с половиной раза, затем умеыь- 1 1 7 1 5 и .. шили в 1— раза, вычли
и получили 1 — . Наиди задуманное число. 1 ^ 10 О 2 2) Изб— вычли задуманное число, а разность увеличили сначала в 1— раза, 4 3 ® а потом в 2 — раза. В результате получилось число, в 5 — раза меньшее числа 146. Какое число задумали? 4 3) Сумма двух чисел равна 12—, одно из них в 3 раза больше другого. Найти эти числа. 5 4) К задуманному числу прибавили 4 у и получили число, в 12 раз больше задуманного. Найти задуманное число. 5) Задуманное число увеличили на , затем то же самое число увеличили 1 ^ на 2 ^2 и полученные суммы перемнолсили. В результате получилось число, на 8 — большее квадрата задуманного числа. Какое число задумано? 4 3881 Может ли быть: а) несократимой дробь, у которой числитель и знаменатель оба делятся на 3? 6) сократимой дробь, у которой числитель и знаменатель оба не делятся на 3? в) сократимой дробь, у которой числитель делится на 3, а знаменатель не делится на 3? г) несократимой дробь, у которой числитель делится на 3, а знаменатель не делится на 3? Числитель дроби делится на 3, а знаменатель не делится на 3. Может ли эта дробь быть сократимой? 79 Глава 3, §2, п.4 3^ Найди наименьшее и наибольшее трехзначное число п, при котором дроби 3 4 5 6 п + 1 л + 2 /1 + 3 // + 4 все несократимы. 391 Сократи дроби, если значения всех переменных — натуральные числа и уф г: 2640 5544 ’ 3) 5670 . ’ 33075 ’ 4) 8а^6 . Збаб^с ’ 52/nfe^ . 5) 6) 56 • 78 29 • 56 — 56 • 16’ 11 ‘ 25 — 7 • 25 . 25 • 44 — 14 • 25’ 7) 8) а(Ь + с) _ ас ’ ху — XZ У — Z Назови пять чисел х, таких, что т ^ • Можно ли назвать еще 10 таких 4 2 чисел? А сто чисел, тысячу, миллион? U g 2 393| 1) Найди число, которое на столько же меньше 5 — , на сколько 2 меньше 2) От неизвестного числа отняли два раза по 2 -j, три раза по — и два раза 4 о 2 11 по —, после чего осталось 3 —. Найди это число. О 24 1) к числителю и знаменателю дроби — прибавили по 2. Как изменилась 4 дробь и на сколько? 2) К числителю и знаменателю дроби ^ прибавили по 2. Как изменилась О дробь и на сколько? 3^ 1) Сформулируй гипотезу о том, как изменяется правильная дробь, когда к ее числителю и знаменателю прибавляют одно и то же натуральное число. Докажи свою гипотезу, используя метод введения буквенных обозначений. 2) Выполни предыдущее задание для случая, когда данная дробь неправильная. 3961 Двое играют в следующую игру. Разрешается называть любое число, меньшее 1, и проиграет тот, кто не сможет назвать число большее, чем назвал его соперник. Кто выиграет, если оба знают математику достаточно хорошо? 3^ Придумай 100 несократимых дробей и расположи их в возрастающем порядке. 80 Глава 3, §2, п.4 398| 1) Увеличь в 3 раза каждое из чисел: 13 1 2) Найди числа, которые больше числа 1— в 2 раза, 3 раза, 5 раз, 1 — раза, 15 4 « 3 6 — раза. 3991 Выполни действия, если значения всех переменных — натуральные числа: п . 04 4 ^ I/ . ^Дба Ь . ,, 21d^ ^ ^ 5г Ш’
ЬГ’ 32- ш 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Факториалом натурального числа п называется произведение всех натуральных чисел от 1 до л: л! = 1-2-3-4-. -л (л! читается: “эн факториал”). и • 2) Вычисли: 2!, 3!, 41, 51, 61, 101. 3) Сравнш±„^. 4) Приведи к несократимому виду дроби: 11 11 51 81 121 1001 7Г 41’ 31-41’ 4! • 41’ 51-71’ 981 — 2Г 5) Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю: 1 _ 1 JLhJ- —и_______ 71 51’ 991 ЮОГ 6) Найди значение разностей: J__J_ J__J_ J_ _ J_ J_ _ J_ 21 31’ 31 41’ 41 51’ 5! 61 ‘ Запиши следующие две разности и найди их 1 1 значение. Чему равна разность л1 (л+1)1 БЫЛЬ: “Однажды на экзамене. ” Преподаватель. Прочитайте выражение: 21 31 41 51 Студент. Единица, деленная на два-а-а. Плюс единица, деленная на три-и-и. Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре. Преподаватель. Постойте, постойте. Почему вы кричите? Студент. Но там же написаны восклицательные знаки?! 81 Глава 3, §2, п.4 14011 ;L) Среди малышей Солнечного города Знайка славился сообразительностью и хорошей памятью. Однако в своих финансовых делах он не полагался на память, а предпочитал тщательно записывать все свои доходы и расходы. Доходы он обозначал знаком а расходы — знаком Например, запись + 15 + 3 + 8-5 + 9-3 + 2-7-1-2 Ь 4, которую Знайка сделал в январе, означает, что в начале месяца у него было 15 монет, а в течение месяца к ним добавились сначала 3 монеты, потом 8, потом он израсходовал 5 монет и т. д. а) Какие еще доходы и расходы были у Знайки в январе? б) Как удобнее подсчитывать итог за месяц? 2) Вслед за Знайкой все малыши Солнечного города стали вести свои финансовые дела методом “доходов и расходов”. Сиропчик, Пончик, Тюбик и Авоська сделали в феврале такие записи: Сиропчик: + 8- 2 + 4 + 9-11-5 + 4 + 5- 2; Пончик: + 17-1-3 + 6- 2- 5 + 4- 2 + 1; Тюбик: + 5 + 1 + 6- 2- 8 + 4- 3-3; Авоська: + 3- 2 + 1- 3 + 4- 2-1 — 5. а) Как в течение февраля изменилось количество монет у каждого малыша? б) Сколько монет стало в конце февраля у Сиропчика и Пончика? в) Что произошло у Тюбика? г) Какой долг образовался у Авоськи? Как удобно его обозначить? д) Проследи изменения числа монет у малышей с помощью числового луча. Всегда ли хватает для этого чисел? Какие числа и где удобно записать? Что тебе напоминает получившаяся шкала? 3) У Незнайки в конце февраля долг составил 12 монет. Поэтому запись за март у него выглядела так: -12 + 2-1-6 + 4-3 + 5 + 4. Что произошло с его финансовыми делами за март? Какой получился итог? Найди значение выражения, используя метод “доходов и расходов”: 1 3 2 5 р71 .31. о 3 I 5 — 4 о ^ А ^ л 1 ^ ^^^16^6 ^13 ^6^48 ^39^ ^3′ 40 82 Глава 3, §2, п.4 4031 Упрости выражение и найди его значение: 1V . 3 Q1 7 ^1 9 ^4 — 1) 4—х + х + 2—х + гтДС + Згтгд:, если х =тт» 1т> 3; о Z 1о 1U 14 о о. .2 ,q2, ,i3 5 .qI 6 2) lgi/ + 3- + y+l^+g rs^4-12- 87 Глава 3, §2, п.4—————————- Ш Упрости выражение и найди его значение; 14 к 3 ^ о 2 ^ ^35 1 1 о 6 1) 5— а + 3 — а + а+ — а, если а = 1, -, 2—. 1 р рр; р; Числовой кроссворд. По горизонтали: а. 76 090 • 5800 б. 2 603 120 : 520 в. 908 • 8042 г. 3 347 020 : 9046 Д.272 е. 46» ж. (300 + 9)2 з. (526-496)2 и. 705•430 к. 208 080 : 36 л. 505 050-495 532 м. 1 928 730 : 239 н. 44 539 132 : 8002 По вертикали: а. 316 688 + 85 691 к. 495 954 : 8406 о. 250 908-93 815 п. 1 529 544 : 5048 р. 499 807 + 1 509 453 А л-п А 3 ^ ^ > если Ь X 2 ^ 4 а о п р с б в у ф X Г т ж д 3 е III и э ю я к ц ч м Л н с. 217*121 т. 2 544 500 : 3500 у. 1 297 800 : 9270 ф. 2 109 000 : 5550 X. 6 004 848 + 98158 ц. 531 750 : 7090 ч. 5 184 000 : 64 000 ш. 1 164 416 : 352 э. 285 670 : 742 ю. 422 100 : 4020 я. 576 576 : 1001 ш о Пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, построй на листе без клеток правильный: а) шестиугольник; б) треугольник; в) четырехугольник; г) пятиугольник. Зб| Найди закономерность и запиши следующие два числа в ряду: ш Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные): ХОД + ход + ход + ход + ход = МАТ Сколько решений этой задачи ты сможешь найти? .1 2 4 7 11 3 ’ 5’ 8’ 12 88 Глава 3, §2, п.5 Ш И ш Докажи, что среди любых восьми различных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых делится на 7. Начерти прямоугольник размером 4×6 клеток. Покажи, как его можно “замостить” трех клеточными уголками так, чтобы никакие два из них не образовывали прямоугольник. (“Замостить” — покрыть без наложений и свободных клеток.) Из пунктов А и В одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Через час оказалось, что велосипедист находится точно посередине между А и мотоциклистом, а еще через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше, чем скорость велосипедиста? Олегу подарили игрушечного робота. Наблюдая за ним в течение долгого времени, он заметил, что: 1) если сейчас робот кивает, то через минуту он моргает; 2) если сейчас робот топает, то через минуту он хлопает; 3) если сейчас робот пищит, то через минуту он кивает; 4) если сейчас робот трещит, то через минуту он пищит; 5) если сейчас робот моргает, то через минуту он топает; 6) если сейчас робот хлопает, то через минуту он трещит. Сейчас робот пищит. Что он будет делать через 40 минут? 5. Примеры вычислений с дробями. Нам известно, что частное двух натуральных чисел равно дроби, у которой делимое — числитель, а делитель — знаменатель, например: 5:12 = -^ 12 При этом черту дроби можно рассматривать как другое обозначение действия деления. Такое обозначение действия деления с помощью черты дроби часто оказывается очень удобным, и его принято использовать для записи более сложных выражений. Например, частное 1 можно записать в виде дроби • При вычислении Го^Гб значения получившейся “многоэтажной” дроби последним выполняется действие деления: выражение в числителе делят на выражение в знаменателе. 89 Глава 3, §2, п.5 Запись решения можно вести “по действиям’’’ или “цепочкой”. Запись “по действиям”’. У’ У .Л _5 — 2_ 3 . ^ 2 5 10 10 ’ 4- 8 _9 + 16 ^>То'»Т5““30“ 3) 3 10 ■ 6 105 Запись “цепочкой”: 11 5-2 2 5 30 6’ 3 3 -Ж 9 ) 25 >ег 5 10 _8_ 15 10 _ 3 9 + 16 10 30 30 _3_ 10 6 5 3 3 »Ж КГ • 5 5 25 Однако во многих случаях вычислений с дробями быстрее всего приводит к цели переход к натуральным числам. Например, в нашей “многоэтажной” дроби наименьшим общим знаменателем всех дробей, входящих в ее запись, является число 30: НОК(2, 5, 10, 15) = 30. Следовательно, если мы умножим и числитель, и знаменатель .этой дроби на 30, то оба они станут целыми, а дробь при этом не изменится. Поэтому (И) 30 \10 15/ 30 15-6 9 + 16 25′ Особенно удобен переход к натуральным числам при работе с выражениями, содержащими сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить значение выражения 2 3 4 5 6 Р е щ е II и е: Обозначим искомое значение буквой S. Наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей — число 60, и мы подсчитаем, чему равно 60S: 60S > = (l — -^ + 4 Т f т • 60 = 60 — 30 + 20 — 15 + 12 — 10 = 37. \ 2 о 4 5 о / 37 Отсюда находим, что S =-;77г . 60 90 Глава 3, §2, п.5 Пример 2. Решить уравнение 1^1 5 ^2 ^3 ,1 Решение: Умножим обе части уравнения на число 24 — наименьшее общее кратное всех знаменателей дробей, входящих в его запись. Получим уравнение, равносильное данному, но записанное уже только с использованием целых чисел: 4л: + Зл: — 5х + 16л: + 18л: = 26. Ясно, что в левой части уравнения нужно вынести л: за скобки и выполнить сложение и вычитание получившихся чисел: (4-Ь 3 — 5 + 16 + 18)л: = 26, 36л: = 26, = ^ = 13. ^ 36’ ^ 18‘ Пример 3. Решить уравнение Решение: Перейдем в данном уравнении от дробных чисел к целым. Для этого умножим обе его части на наименьший общий знаменатель исходных дробей — число 18: 5 + 6х + 20 + 27х = 69. X Пример 4. .44 33 ’ 11 2 Что больше: — + или ? 14 16 15 Пользуясь свойствами сложения и умножения, упростим левую часть уравнения, а затем найдем искомое значение х. (6х + 27х) + 5 + 20 = 69, (6 + 27)х + 25 = 69, ЗЗх f 25 = 69, ЗЗх = 44, Решение: Если одно число больше другого, то после умножения их обоих на одно и то же натуральное число неравенство между ними сохранится. Умно- 11 2 жим сумму — + Yg и число — на произведение 14*15*16. После умножения все дроби превращаются в натуральные числа, и теперь нам надо выяснить, что больше: 16*15 f 14 • 15 или 2 * 14 * 16. 91 Глава 3, §2, п.5 Можно заметить, что оба числа, 16 ♦ 15 + 14 • 15 и 2*14* 16, делятся на 2, и неравенство между ними не изменится, если оба разделить на 2. Таким образом, остается сравнить числа 8 • 15 -Ь 7 • 15 и 14 • 16. Первое из них равно 15 • 15 = 225, второе равно 224, то есть первое из этих чисел больше. А это означает, что именно первое из исходных чисел больше: 14 16 15 Решение этой задачи проще записать с помощью математической символики. В начале решения мы, естественно, не знаем, какое из чисел больше, но можем поставить между ними знак неравенства произвольным образом, понимая, конечно, что при этом могло получиться и неверное высказывание. Так мы и сделаем, “забыв” о том, что мы уже знаем правильный ответ: — Ч-— 14 16 A«14.16.15.(i+i) 16/ 224, той О 14 J_>^ 16 ^ 15 Назови числитель и знаменатель дроби. Запиши ее в виде частного. 2 а) 2| 8- 2-| 6 2 ’ 7 3 15т -2 5 3 Ч2 д) аЬ’^ 10 I е) 45 У (у ^ г). Щ а) Чем похожи и чем отличаются дроби и -^ ? Найди их значения. 2 3 б) Что может означать запись ^ ? Рассмотри различные варианты и запи- 4 ши каждую из полученных дробей в виде частного. Найди значения частных. Вычисли: 30 а) б) 12 4 4-2 11 4-1 в) г) (7i:li):(8:7) О 7I.A’ 1 9 : ( 1A-H2) ’ 2 25 \ 8т : 2 3 /ч 1-г ^ е)т-Т- \ 28 4 / 92 Глава 3, §2, п.5 msi Вычисли, используя распределительное свойство умножения: яА.бЗ 11 4 а) .5 .3 , . 5 .1’ б) 5 7 4 7 2 — . 1 _ t 2 — • 1 — 9 ^8^9 ^8 (i|r в) .2 .1^.2 „1 49*5-+4-.3- 42.5i_4l.3i 9 2 9 2 Щ Составь программу действий и вычисли: 1 + i_i 3 5 1) 1 + 3) 1- i-fi 3 5 5) 1 + 1 + 1 + 2) I- -2 1 2 4) hi ^-1 6) 2- 2- 6 2- 2-i Найди значение выражения, используя переход к натуральным числам: 111 1-1 4+4+4 а) б) 7 -1’ 1 1 1 ’ д> 2 2 , 2 ’ ж) 1^ 3 6 12 5 9 11 3^1 2 А + И 10 15 . г% ч * 2 5 3 2^ 4 8. ч 9 ч б г) . ч 3 е) . 7 20. 4^9 з) ^2 4 8 2^3 6 20 l4-2i 2i’ 5 ) i . 2 i ‘3 ^4 l^.ll.li 2 3 4 Найди значение выражения разными способами. Какой из них ты считаешь наиболее удобным? — 1 ^ 1 ^ 1 ^ 1 ^ 1 ‘*>2^3’»б + 9 + 18′ .,1 1^1 1^1 1 — . 2 1 ,5 ^^2 4^8 1б’^32 64’ ^^^11 2 ^22′ 93 Глава 3, §2, п.5—————————————— ш Реши уравнения, используя переход к натуральным числам: 1^1 _2 “ 5 4 2 3 3 10 ’ кч 7 1^1 119 ®>I0^-4^+r■^20^ 5 . 12’ 7 о 1 3 . ^^^16 ^8 4^^’ ш Перепиши уравнение и подчеркни слагаемые, содержащие множитель х. Пользуясь распределительным свойством умножения, упрости выражение и найди X. Сделай проверку. ^чо1 , 15 3 1_ 5 . ^^8 16 S 2 ^16’ ,3 ^.1^3 ^4 .3 ш Сравни: 1 ^ 1 2 Ч и ! “*30 1 1 и 1 . ^ rvwn 48 50 49’ 31 31 32’ 1 1 ^ 1 и h — : 1 1 и — — 1 гГ^ 11 21 23 ’ 58 56 57 ’ 1 Запиши ряд, составленный из ответов примеров, взятых в указанном порядке. Найди закономерность и запиши два следующих числа в этом ряду: ® (D ® ® ® ® 210 : 7 34 • 5 56-8 39 + 42 250-90 4500 : 50 • 20 + 190 : 16 : 9 : 40 • 6 -240 : 60 • 80 • 40 • 7 : 27 : 18 • 15 :2 -40 1 19 — 14 • 5 -58 -23 : 5 • 2 • 16 о 7 9 о 7 * 7 • ш Расшифруй название одного из самых ярких созвездий Северного полушария, расположив ответы примеров в порядке убывания и сопоставив их соответствующим буквам. Как отыскать это созвездие на звездном небе? 0 “*3 ^12 и ^2 6 2 Я 25* ^ 3 Е и 2-i • 3 5 О ^5 5 к ®8^Т2 С ч2 .«2 ®3-®7 12 — ■ 4 1^17 .4 ± о2 «2 16 ^5 ® 3 94 Вычисли и сравни: 4Hr-(F-(ir Глава 3, §2, п.5 Переведи высказывания с русского языка на математический. Определи вид высказываний. Докажи или опровергни их. 1) Квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов. 2) Существуют числа, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов. 3) Квадрат разности двух чисел равен разности их квадратов. 4) С>чцествуют числа, квадрат разности которых равен разности их квадратов. Переведи высказывания с математического языка на русский, если а, Ь, с ^ N. Сравни высказывания: что в них общего и чем они отличаются? Какую форму записи этих высказываний ты находишь более удобной? а , а ‘ h. — • о =— с 1) (а • Ь):с = <а:с) • Ъ 2) а'.<Ь ’ с) = (а : ft): с 3) а : ft = (а • с): (ft • с) 4) а : ft = (а : с): (ft : с) и и и 9. ft ft : с с а и — = Ь ' с а • с . h ‘ с' а : с Ь : с 45^ Переведи высказывания с математического языка на русский. Докажи или опровергни их. 1) (а • Ь)‘-а‘ ■ Ь‘\ 2) где 6 # 0. ш Вычисли: 1)2" • 5^ • 2" • 5"; 2) S'* • 2" • 2' • 5 • 5" • 2. 1) Числитель дроби больше ее знаменателя па 5. Может ли быть сократима эта дробь? 2) Числитель и знаменатель дроби отличаются на 7. В каких случаях эта дробь сократима? g^ Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: а) б) 693 + 207 . 693 108 1080 + 324 ’ в) г) 56-15-21 . 27*49-10’ 35-36 35-6 + 35-36 д) е) 48aft . 56ftcd ’ 4m^nk . 24т^п* ’ ж) з) x Тб которых дробь 2а •+• 3 а а) больше — ; 2 б) меньше — ; 2 в)равна Как от куска ленты длиной две трети метра отрезать кусок длиной в полметра, не имея никаких принадлежностей для измерения? 465| Блицтурнир. 1) Катамаран отплыл от причала со скоростью а м/мин. Через 12 мин от того же причала вслед за катамараном отплыла моторная лодка со скоростью Ь м/мин (а Ь\ 2) а 83 ^ 4)^ ^ 60 41 и -ХТГ’у 80 Г4 16 “>62** 1515. 6262’ 126 ®> 427 5т-15л 4847. 8383’ 125126 и 427427 Известно, что натуральное число а больше 10. Что больше: -,4 2а + 3 23 1)——— или — ; а 10 04 2а — 3 17 о 2)——- или — а 10 ИЗ Представь в виде дроби сумму или разность двух дробей, если значения всех переменных — натуральные числа: а о Реши уравнения: 3 _ А. с 4с ’ 3) — -1; У X 4)^ + on 4-4; 8 3 4 4 3) — f + — ‘ 5 15 Ul® =2-1. ‘ 7 21’ 4)l|+ + = . ‘ 3 9 3 9 Зт Заполни пустое место в квадрате так, чтобы сумма всех чисел в нем равнялась единице. Посчитай произведение чисел в каждой строчке. а) 1 3 1 10 ? 1 15 б) 7 1 4 1 12 1 2 Составь из чисел, записанных в квадрате, скобок и знаков и выражение значение которого равно 1. 110 ——- ——Глава 3, §2, п.б Ш Выполни вычисления по программе, заданной блок-схемой. Расшифруй высказывание. Кому оно принадлежит? Как ты его понимаешь? а 0 2 3 1 2 3 4 4 X К Ь Н р О 3 В и Е з! 8 35 5I 4 1о| 8 41 4 4 Найди сумму: 1) всех однозначных чисел; 2) всех двузначных чисел; 3) всех трехзначных чисел; 4) всех четырехзначных чисел. Реши уравнения методом проб и ошибок, если х g. N: 1)д:=^-Ы2х = 63; 2) хМ 150. Построй математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы х и у. Найди ответ методом перебора: Ученик купил 10 тетрадей в клетку и линейку, уплатив за покупку 280 р. Тетрадь в клетку стоит 30 р., а тетрадь в линейку — 25 р. Сколько тетрадей в клетку и сколько в линейку купил ученик? Докажи утверждения, введя буквенные обозначения. 1) Если к двузначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, кратное 11. 2) Если трехзначное число записано с помош;ью одной цифры, то оно де.чится на 37, 111 Глава 3, §2, п.6 Щ 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия: Прямоугольным треугольником называется треугольник, один угол которого прямой. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. 100 2) Начерти прямоугольный треугольник. Измерь его непрямые углы и найди их сумму. Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Можно ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника? Попробуй его доказать. 3) Начерти прямоугольный треугольник. Соедини отрезком вершину прямого угла с серединой гипотенузы. Сравни по длине проведенный отрезок и гипотенузу. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу. 4) Начерти прямоугольный треугольник и проведи окружность, диаметром которой является его гипотенуза. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу. у см д 5331 На рисунке показано, как из- -менялся рост Жени от рождения до 7 лет. Определи по графику: 1) Какие величины обозначают переменные х и у1 2) Какой рост был у Жени, когда она родилась, в полгода, в 3 года, в 5 лет? 3) В каком возрасте рост ее был равен 60 см, 80 см, 90 см? 4) На сколько сантиметров изменился ее рост с 4 до 7 лет? 5) В течение какого времени рост Жени увеличился с 60 см до 90 см? Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу: X лет 0 1 2 3 4 5 6 7 у см X лет 112 Глава 3, §2, п.6 Найди значение выражения: 1 а) , если а = 2; б) если 6 = 3. а + Ь- а + а + 1 6-1 535| Найди частное куба числа а и квадрата числа 6, если: а = [(8039 • 7005 — 4 730 895): (4004 + 56)]: (48^ + 79 • 3), 1) Обозначая “+а” — доход (прибавление денег), а “-а”-расход (уменьшение денег), найди, что получится в результате указанных преобразований: (+2) + (+3) (-4) + (-1) (-2) +(-4) (+1) + (-2) (-3) + (+5) (-6) + (+3) 2) Придумай и реши свои аналогичные примеры на сложение чисел, обозначающих доходы и расходы. 3) Где на числовой прямой разумно расположить числа, обозначающие до- ходы (-f 1, +2, +3 и Т.Д.), а где — числа, обозначающие расходы (-1, -2, -3 и Т.Д.)? Как в таком случае интерпретировать прибавление чисел со знаком “+”, а как — прибавление чисел со знаком Проверь с помощью числовой прямой ответы решенных выше примеров. —I—-1—-1—1—-1—1—1—1—-1 ) н——1—1—-и—1—► @|53^ о Найди: 1)^ от 220; 2) 45% от 1 3 ’ 3) 250% от X. 1) Тетушка Полли заставила как-то раз Тома отчистить до блеска а серебряных ложек. Том похвастался трем своим друзьям, что это очень интересное занятие, и друзья Тома тоже захотели почистить ложки. Дик по- 1 15 чистил — всех ложек, Джим — —,э. Билл — — . Сколько о 5 12 ложек осталось почистить Тому? Составь выражение и найди его значение при а =- 24. 2) Том Сойер и Гек Финн нашли клад, стоимость которого оценили в 200 000 долларов. Их вознаграждение составило 20% от стоимости клада. Том и Гек решили отдать в пользу школы 12% своих денег, церкви — 8% и дому престарелых — 10%. Остальную сумму они решили поделить между собой поровну. Сколько денег получил каждый из них? 113 Глава 3, §2, п.6 5391 Найди число, если: а) его составляют 90; -.7 к 5 б) — его составляют 5 — 3 6 в) 20% его составляют —; о г) 125% его составляют у. 54^ 1) Буратино, Пьеро и Карабас-Барабас измеряли свой рост. Выяснилось, что рост Буратино равен 6 см и g он составляет — роста Пьеро. Рост Пьеро составляет 3 9 — роста Карабаса-Барабаса. Во сколько раз Карабас- О ^ Барабас выше Буратино? Зависит ли ответ от значения Ь7 2) Карабас-Барабас гонится за Буратино. За минуту Карабас-Барабас делает 60 шагов, что составляет — числа шагов, которые делает за минуту Буратино. 5 Длина шага Буратино равна 25 см, что составляет ^ длины шага Карабаса- Барабаса. С какой скоростью бегут Буратино и Карабас-Барабас? Каким станет расстояние между ними через 10 минут, если сейчас Буратино впереди Карабаса-Барабаса на 10 метров? ш Запиши дробью часть, которую составляют: а) 5 от 6; б) 24 от 16; в) а от 4; г) k от п (п¥^0). 1) Три Толстяка съели за завтраком торт массой а кг. Первый Толстяк съел кусок массой Ь кг, второй -массой с кг. Какую часть торта съел третий Толстяк? 2) Суок раздобыла у наследника Тутти ключ от клетки оружейника Просперо. Чтобы пробраться к клетке, ей надо незаметно пройти по дворцу 120 м, по парку — 3 — ее пути по дворцу, а вдоль зверинца столько, сколько 4 по парку и по дворцу вместе. Какую часть всего ее пути составляет путь по парку? ш 1) Длина минутной стрелки кремлевских курантов — 328 см. Высота цифр на циферблате составляет ^ от длины минутной стрелки. Вычисли высоту цифр на циферблате кремлевских курантов. 2) Автодорожники делают за неделю 4 км дороги. Когда длина дороги достигла 76 км, построенную часть дороги начали размечать. Через сколько недель разметчики догонят автодорожников, если скорость автодорожников составляет — скорости разметчиков? 114 —————————————————-Глава 3, §2, п.б |544| в коллекции нумизмата 45 старинных монет. Монеты XVII века состав-. ^ 2 3 ляют — числа всех монет и — числа монет XVIII века. Монеты XIX века составляют от числа всех монет за минусом монет XVII-XVII в.в., а 5 остальные — дореволюционные монеты XX века. Какую часть всех монет составляют монеты XX века? 5^ Реши уравнения: 04 5 _u О ^ _L 1 с 1 ш Построй математическую модель задачи, введя для обозначения неизвестных величин буквы х и у. Найди ответ методом перебора. Произведение двух натуральных чисел равно 48, а их сумма составляет от произведения. Чему равна разность этих чисел? 3 Какие из высказываний являются общими, а какие — типа «хотя бы один”? Определи их истинность. Докажи или опровергни их. 1) Все прямоугольные треугольники являются равнобедренными. 2) Существуют равнобедренные прямоугольные треугольники. 3) Некоторые прямоугольные треугольники имеют ось симметрии. 4) Любой прямоугольный треугольник имеет ось симметрии. На графике показано, как изменялся рост Пети от рождения до 5 лет. Перерисуй в тетрадь таблицу и заполни ее. Ответь на вопросы: 1) Какой рост был у Пети в 3-^ года, 5 лет? Cl 2) В каком возрасте рост его был равен 60 см? 3) На сколько увеличился рост Пети с полугода до трех с половиной лет? 4) Когда он рос быстрее — в четвертый или пятый год жизни? 115 Глава 3, §2, п.6 5^ Построй график изменения роста Оли в течение первых шести лет жизни, пользуясь таблицей: X лет 0 1 2 1 4 2 2^ 2 3 3^ ^2 4 4 5 .1 6 у см 51 60 66 72 77 81 85 88 91 94 96 98 100 550| 553| Найди сумму чисел, обозначающих доходы и расходы. Проиллюстрируй решение на числовой прямой (см. № 536). 1) (-5) + (+3); 2) (+4) + (-6); 3) (-2) + (-3). Выполни вычисления по программе. Составь выражение, задающее ту же самую программу действий. 1) 314 340 разделить на 620. 2) 243 810 разделить на 27. 3) Сложить результаты первых двух действий. 4) Из полученной суммы вычесть 649. 5) 564 умножить на 309. 6) 15 336 288 разделить на полученное произведение. 7) Результат 4-го действия разделить на результат 6-го действия. 55:^ Записаны все числа подряд от 1 до 40. Не изменяя порядка записи, вычеркни 60 цифр так, чтобы оставшиеся 11 цифр выражали: а) наименьшее число; б) наибольшее число. Докажи, что среди пяти произвольных натуральных чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых кратна четырем. После того как туристы прошли 1 км и половину оставшегося пути, им еще осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен путь? Старинная задача. К адвокату обратились 5 человек с просьбой разделить наследство. Оно состояло из трех старинных картин одинаковой стоимости. Адвокат предложил: первые три человека заплатят оставшимся двум по 18 тыс. р. каждый, а картины возьмут себе. Оставшиеся 2 человека, разделив деньги, получат поровну с другими тремя. Сколько стоит каждая картина? Найди произведение: 116 Глава 3, §2, п.7 7. Задачи на дроби (продолжение). Рассмотрим теперь более сложные, комбинированные задачи на дроби. Задача 1. У Ани было 120 р. Из них 40% она затратила на завтрак в буфете, а на остальные деньги купила 6 тетрадей. Сколько рублей стоит одна тетрадь? 100% — 120 р. ( завтрак б тетрадей 40% — ? р. Стоимость тетрадей можно узнать различными способами. Рассмотрим два способа решения этой задачи. I способ: 40 12 1) 120 100 —^ = 48 (р.) — СТОИТ завтрак. JUHr, 2) 120 — 48 = 72 (р.) — стоят 6 тетрадей. 3) 72:6 = 12(р.) II способ: 1) 100% 2) 120 • — 40% = 60% — часть всех денег, затраченная на тетради. 12 о 60 100 = 72 (р.) — стоят 6 тетрадей. 3) 72 : 6 — 12(р.) Ответ: одна тетрадь стоит 12 р. «Задача 2. Мать оставила для трех своих сыновей тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым пришел из школы младший сын. Увидев на тарелке сливы, он съел третью часть и ушел гулять. Вторым пришел средний сын. Думая, что его братья не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и тоже ушел гулять. Позднее всех пришел старший сын и съел 4 сливы — третью часть слив, которые он увидел на тарелке. Сколько слив было вначале? 1 — ?с. 117 Глава 3, §2, п.7 Решение: При решении задачи следует обратить внимание на то, что средний и старший сыновья брали с тарелки треть не всех слив, а только тех, которые оставались на тарелке до них. 1)1- 1=2 ’ 3 3 часть слив, которая оставалась на тарелке. 2) 4 : ^ ^ — 12 (с.) — II остаток. О J. _ . „ . 2 W- 3 . Q , 3) 12 : — = —-^= 18 (с.) -1 остаток. О 4) 18:|-i^=27(c.) О т В е т: на тарелке было вначале 27 слив. Часто при решении задач на дроби введение буквенных обозначений позволяет упростить поиск решения, сделать его более коротким. Разберем решение двух таких задач. 2 5 Задача 3. Найти число, если — от него равны числу, — которого состав- 3 6 ляют 25. Решение: Обозначим искомое число х. Тогда по условию: Отсюда находим х: 2 5 15 2 ок 5 2 „„2 ЖГ-3 — л: = 25:— —д: = 30 д: = 30: — дг = —о х = 45. 3 6 3 Ответ: искомое число равно 45. Задача 4. В трех районах города проживает 12 000 человек. Сколько человек живет в каждом районе, если известно, что — числа жителей пер- О вого района равны ^ числа жителей второго райо-2 на и — числа жителей третьего района? 5 Решение: Обозначим число жителей первого района х, второго района — у, а третьего района — г. Тогда по условию: ■|^=-|г/=-|2 о 20х = 15i/= 12г. 118 Глава 3, §2, п.7 20л: 4 20л: 5 Из этих равенств следует, что у — = — л:, а 2 = -гтг Значит: 15 о 12 о X + £/ + 2 = 12 000 с^> л: +1 л: + |л: = 12 000 О 12лг = 36 000 X = 3000. Итак, в первом районе проживает 3000 человек. Чтобы найти число жите- 4 5 леи остальных двух районов, надо 3000 умножить соответственно на — и —: 1000 ^ ^ 3000 • = 4000 (чел.) — во втором районе. 1000 3000 • ^ ^ = 5000 (чел.) — в третьем районе. Последнюю задачу еще проще было бы решить, используя ее графическую Из схемы видно, что число жителей всех районов удобно выразить через величину, равную от числа жителей первого района. Обозна^1Им эту величину k. О Тогда в первом районе проживает 3k человек, во втором районе — 4к человек, а в третьем — 5 /г человек. По условию, во всех трех районах 12 000 жителей, значит: 3/г + 4/г-Ь5/е = 12 000 о 12/г=12 000 о ^ = 1000. Приходим к тому же ответу: в первом районе 1000 • 3 = 3000 жителей, во втором — 1000 ♦ 4 = 4000 жителей, а в третьем — 1000 • 5 = 5000 жителей. Иногда условие задачи удобнее проанализировать с помощью таблицы. Приведем пример такой задачи. Задача 5. В первый день я отпил стакана черного кофе и долил стакан мо- О локом, потом отпил еще — стакана и снова долил его молоком, после чего отпил еще стакана. Во второй-я сначала отпил стакана и долил стакан о 5 молоком, затем отпил еще \ стакана, долив стакан снова мо.гоком, после чего 4 отпил еще стакана. В каком случае я выпил кофе больше? О 119 Глава 3, §2, п.7 Решение: Составим таблицу, показывающую, как в первый день изменялась часть выпитого и оставшегося в стакане черного кофе: Отпил черного кофе Осталось в стакане черного кофе 1 1 — стакана О , 1 2 1 — — = — стакана О О 2 2 11 77 • — = -г стакана о 4 о 2 11 Т 77 стакана о о 2 3 111 _ . _ стакана Всего выпито: 3 6 10 10 + 5 + 3 30 18 3 — = 7″ стакана. оО 5 Аналогично получаем, что столько же кофе выпито во второй день. Итак, при решении составных задач на дроби, кроме основных правил, рассмотренных в предыдущих пунктах, на помощь могут прийти схемы, таблицы, числовые и буквенные выражения, уравнения. Выбор “инструментов” и способа решения задачи всегда остается за тем, кто ее решает. Однако решение тем лучше, чем оно проще и быстрее приводит к верному ответу. О 17 Ромашка при сушке теряет — своего веса. Достаточно ли собрать 2 о 105 кг цветков ромашки, чтобы сдать в аптеку 15 кг сухой ромашки? 558| 1) В классе присутствовало 30 учеников. Число отсутствовавших составило числа 1о всех учащихся этого класса. Сколько всего учащихся в этом классе? 2) Доклад ученика занял урока, рассказ 5 2 1 учителя — —, а решение задач — — урока. 15 о Остальную часть урока учащиеся писали самостоятельную работу. Сколько минут длилась самостоятельная работа, если продолжительность урока 45 мин? 120 Глава 3, §2, п.7 При размоле пшеницы получается: муки — от первоначального количе- 5 ства пшеницы, манной крупы — , а остальную часть составляют отруби. 50 Сколько муки и манной крупы получили при размоле, если масса отрубей составила 36 кг? |560| 1) Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Пер- 3 5 вый оператор набрал — всей рукописи, а второй за то же время — — всей рукописи. Сколько страниц в рукописи, если первый оператор набрал на 7 страниц больше, чем второй? 2 2) Автотурист проехал в первый день — намеченного пути, а во второй 5 день — остальной путь. Какой путь он проехал в каждый из этих дней, если известно, что в первый день он проехал на 80 км меньше, чем во второй? 5621 1) В питомнике вырастили 3200 саженцев фруктовых деревьев. Сажен- 2 цы яблонь составили 55% всех саженцев, причем — яблонь были сорта “Память воина”. Сколько саженцев яблонь этого сорта вырастили в питомнике? 2) В пятые классы гимназии поступало 400 учеников. Конкурсный отбор по 3 математике выдержали — всех учеников, а 60% сдавших математику успешно написали работу по русскому языку и были зачислены в гимназию. Сколько пятых классов в этой гимназии, если в каждый из них зачислено по 24 ученика? 1) Для кошки купили 3 кг сухого корма. В первую неделю она съела часть корма, 6 во вторую — ^ остатка. Сколько корма 25 еще осталось? 2) Семья заготовила на зиму 60 банок кон- 2 сервированных фруктов. В — этих банок D 3 были абрикосы, в — всех банок за минусом 4 банок с абрикосами — вишни, а в остальных банках — персики. На сколько банок с абрикосами было больше, чем банок с персиками? 121 Глава 3, §2, п.7 56^ 1) Петя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 10% от первоначальной массы. После второго откусывания она составила 160 г. Какой она была вначале? За сколько откусываний Петя при этих условиях доест пирожок? 2) В соответствии с экологическими нормами, необходимо провести плановую вырубку деревьев в городском парке так, чтобы после вырубки осталось 750 деревьев. Для этого сначала вырубили 3 2 — всех деревьев, а потом — еще — того, что осталось. Сколько деревьев было в парке первоначально? 564| i Забушка поставила перед тремя внуками вазочку с шоколадными батончиками. За угощением внуки подходили поочередно. Первый, но просьбе бабушки, взял \ всех батончиков и еще 1 батончик. Второму было предложено 4 взять — того, что осталось, и еще 2 батончика. Третьему полагалось взять также — остатка и еще 3 батончика. После чего ваза опустела. Докажи, что 4 всем внукам досталось поровну. Ш5 3 1) Найти число, если его равны числу, — которого составляют 27. о 5 3 5 2) Найти число, если — его равны числу, — которого составляют 10. 14 6 1) Найти два числа, если одно из них составляет у другого, а их сумма равна 22. Q 2) Найти два числа, если одно из них составляет — другого, а их разность равна 35. 56Т| 1) В классе 30 учеников, причем число девочек составляет -I- числа мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в этом классе? Какую часть всех учащихся класса составляют мальчики? 2 2) В трех домах проживает 400 человек. — числа жильцов первого дома рав- 5 ны числа жильцов второго дома и ^ числа жильцов третьего дома. Сколько О человек проживает в каждом доме? 122 Глава 3, §2, п.7 56^ 1) Велосипедист проехал — часть пути и еще 12 км, и ему осталось проехать 3 ^ — пути и еще 9 км. Сколько километров составил весь путь? О 2) Возвращаясь из Москвы домой на поезде, пассажир по рассеянности проехал свою станцию, а когда сошел на следующей, то рассчитал, что поезду 13 осталось пройти — всего своего пути, а ему придется проехать обратно 14 км. ^1ему равна длина пути поезда, если станция, на которой жил пассажир, удалена от Москвы на расстояние всего пути? О 1) Школьник прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал всей 5 5 1 книги, во второй — — остатка, а в третий — — нового остатка и последние О 3 16 страниц. Сколько страниц в книге? 2) Фермер продал картофель трем покупателям: первому — часть всего кар- 4 л, 4 4 тофеля, второму — — остатка, а третьему — — нового остатка и последние 9 о 10 кг. Сколько картофеля купил каждый из трех покупателей? 5^ Я отпил — чашечки черного кофе и долил ее молоком, потом отпил треть ча-6 шечки и долил ее молоком. Потом я выпил еще полчащечки и снова долил ее молоком. После этого я выпил всю чашечку до конца. Чего я выпил больше: черного кофе или молока? Четыре хозяина смежных садовых участков наняли рабочих для устройства общего колодца глубиной 7 м на равноправных началах. Оплату условились производить так. За прорытый первый метр — 432 р. При углублении на первые 4 метра оплата за каждый прорытый метр составляет стоимости предыдущего, а при углублении более 4 метров — -I- стоимости (ffp* предыдущего. Плотницкие работы договорились оплачивать по 1200 р. за каждый метр глубины. Кроме того, были закуплены материалы, стоимость которых составила треть от общей стоимости труда рабочих. Во сколько обошлось строительство колодца каждому хозяину? 123 Глава 3, §2, п.7 57^ Таня, Надя и Света собирали грибы. Таня собрала седьмую часть того, что собрали Надя и Света вместе. Надя собрала третью часть того, что собрали вместе Таня и Света. 1) У кого больше грибов и во сколько раз — у Нади или у Тани? 2) Какую часть сбора Светы составляет совместный сбор Нади и Тани? 573| Старинная задача-шутка. Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол-яйца, второму — половину того, что у нее осталось, и еще пол-яйца, третьему — половину нового остатка и еще пол-яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось от прежней торговли, и еще пол-яйца. После этого у нее ничего не осталось. Сколько она принесла яиц? О 5741 Вычисли устно: 25-9 25-99 25 — 999 25-11 2525: 25 25 000:25 42-9 42-99 42 — 999 42-11 42 042:42 42 000:420 63-9 63-99 63 — 999 63-11 630 063:63 63 000:6300 Запиши множество правильных дробей и множество неправильных дробей, которые можно составить из чисел 2, 3, 4, 5. Какая из записей может быть «лишней» и почему? 4_i 2^ 3-fi i + 2^ 3^ 3.^ i + 3 Продолжи ряды на два числа, сохраняя закономерность. Уменьшаются или увеличиваются значения дробей в этих рядах? 1) 48 24 12 80 ’ 40’20’“ Ё1 Одна из дробей: 2 6 18 ’ 3’ 9’27 33 3 6 i А J 8 ’23’16 11210 19 ’30 является несократимой записью дроби Какая именно? 8532111 28440370 124 Глава 3, §2, п.7 Ш Сократи дроби (а фО, хф 0): 1) 5 + 40 2) 28 3) 25-4 + 25-6 б® 4)|т; 10 ’ “44*9’ ‘^25-9 — 25-4’ ‘5 Найди три дроби, удовлетворяющие неравенству: 5)^; 6) 12а6 18а2 л 3 ^ 4 . б)| а; 2)3 а gN: а^ п. 136 Глава 3, §2, п.8 Приведи к наименьшему общему знаменателю дроби Р „ Я . Р „ Я . Р 1) и 2) и 3) и 6331 ш 2.53 ‘2-3-52 22-5 ’11» 32.7-Ц2 Какие из дробей можно привести к знаменателю 1000: 7 3 3 3 3 41 2 1 1 1 33 133 133о 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 5 ’25 ’ 3 ’ 2-2-2-5*5’ 2=^-5″’ 2^-5 ’ 15 ’ 35 ’ 49 ‘ Докажи, что дробь, в знаменателе у которой нет простых делителей, кроме 2 и 5, можно привести к знаменателю вида 10″, где п & N. Что можно сказать о числе р, если известно, что дробь можно привести к знаменателю 1000: а) б) 3=»- 5® 63^ Вычисли: 1 о о 3 . . 1 1^5 в) 2″ — 5- 7’ г) 2 • 5′ 1) ц2 oi.^1 3 ‘^7*^4 2) 3) 14 15^-21 8 ■ ^ 5 1) Параллельные прямые а и Ь пересечены прямой с. Среди образовавшихся углов найди: а) вертикальные углы; б) смежные углы, 2) Как ты думаешь, почему Z 3 и Z 6 называют внутренними накрест лежащими? Почему Z 1 и Z 8 называют внешними накрест лежащими? Есть ли еще внутренние и внешние накрест лежащие углы на этом черетеже? 3) Почему Z 3 и Z 5 называют внутренними односторонними? Почему Z 1 и Z 7 называют внешними односторонними? Есть ли еще внутренние и внешние односторонние углы на этом чертеже? 4) Z 1 = 135°. Найди величины углов 2, 3 и 4. 5) Z 7 = 45°. Найди величины углов 5, 6 и 8. 6) Понаблюдай, как связаны между собой величины накрест лежащих углов (внутренних и внешних)? Как связаны между собой величины односторонних углов (внутренних и внешних)? Сформулируй гипотезу и проверь ее для каких-нибудь двух других параллельных прямых а и 6 и секущей с. Можно ли установленную закономерность распространить на общий случай? Почему? 137 Глава 3, §2, п.8 1) Выполни действия с помощью числовой прямой (см. № 588). Что общего в примерах каждого столбика? Проанализируй, как изменяется число, если к нему прибавляют (t 2)? А если к нему прибавляют (-2)? Придумай более удобный способ записи этих примеров — без скобок. -н -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 О (+5) + (+2) (-1) + (+2) (-7) +(+2) (+6) + (-2) (+1) + (-2) (-4) +(-2) 2) Запиши примеры в виде суммы чисел со знаками или и найди ответ: -7+3 -6-2 5-6 -2-3 1-8 -4+5 -1-5 -6+4 Проверь ответы с помощью числовой прямой. 638> На чертеже изображен график изменения температуры в один из дней ноября. Что обозначают на оси у числа со знаком А числа без знака? 1) Какая температура воздуха была в 5 часов, в 20 часов? 2) Была ли в этот день достигнута температура 6“, -2″? Если да, то в котором часу это произошло? 3) В котором часу температура воздуха была самой высокой, самой низкой? 4) В какое время температура увеличивалась, уменьшалась? 5) На сколько градусов изменилась температура с 5 до 12 часов, с 16 до 23 часов? 6) В какое время температура была равна 0″? В какое время она была положительной, отрицательной? Пусть А — множество правильных несократимых дробей со знаменателем 10, а В — множество правильных сократимых дробей с числителем 7. Есть ли в этих множествах равные дроби? 138 ф ———————————————-Глава 3, §2, п.8 Малыш может съесть банку варенья за 30 мин, а Карлсон — в 5 раз быстрее. За сколько времени они съедят такую банку варенья, если начнут со своей обычной скоростью есть ее вместе? Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 2 ч 40 мин. Винни-Пух может пройти все расстояние между домиками за 8 ч. За сколько времени может пройти это расстояние Пятачок? 643 Реши уравнения: Ux X 8’ 2)-+ 1_ , 12 ’ 3’2^+81 Винтик и Шпунтик прокладывали трубы для фонтана из газированной воды. Они рассчитали, что вместе сделают всю работу за 5 -I» ч, при этом Винтик будет работать в 2 раза быстрее Шпунтика. 1) За сколько времени может выполнить всю работу каждый из малышей в отдельности? 2) После того как Винтик и Шпунтик проработали вместе 2 ч, Шпунтика срочно вызвали устранять аварию. Через сколько времени Винтик, работая один, закончит прокладку труб? Приведи к наименьшему обш;ему знаменателю дроби: 1 — 1 . 04 1 1 . 04 1 1) 10′ и 2) 2 • З’- 5′ и 2^-32 3) 22 — 5- 7′ и 32-52.7 Выбери дроби, которые можно привести к знаменателю вида 10″, где п е N, и выполни преобразования. Из букв, соответствуюш;их этим дробям, составь фамилию известного шахматиста. 53_1_4^2_^П 1 9 7’ 20’ 12’ 9’ 35’ 55’ 60’ 25’ 22*32.5’ 0 0 0 К П Вычисли и отгадай, кто был первым чемпионом мира по шахматам? 99 — 9 . [(8 . 9 — 40 : 5): 16 + (9 . 4): 6] + 70 . 8 : (4 . 7 + 12) 914 — Х.Р. Капабланка 23 — В. Стейниц 149 — Эм. Ласкер 139 Глава 3, §2, п.8 64^ Реши примеры и с их помощью найди зашифрованный путь конем из верхнего левого угла в нижний правый угол (первый ход показан на рисунке): 1) 63 018:9; 2) 15 018:6; 3) 92 250 : 30; 4) 212 320 : 40; 5) 697 202 : 86; 6) 5 420 880 : 720; 7) 5 413 694 : 598; 8) 14 804 550 : 4925. 7 5 2 4 3 1 0 6 0 6 9 3 0 8 1 8 0 2 7 5 7 1 3 0 4 5 0 9 7 0 5 6 2 0 3 8 5 2 4 1 3 4 8 9 2 3 0 9 7 6 2 0 5 3 0 0 0 3 0 5 4 8 5 6 Проведи две параллельные прямые и секущую. Измерь транспортиром один из образовавшихся углов. Исходя из результатов исследования данной фигуры, проведенного в № 636 (стр. 137), сделай предположения относительно величин остальных углов и проверь их с помощью измерений. Полученные результаты занеси в таблицу: Z 1 = Величины углов Z 2 Z3 Z4 Z 5 Z 6 Z 7 Z8 Гипотеза Измерения Какие из твоих предположений подтвердились измерениями? Какие предположения ты можешь доказать? 6491 На чертеже изображен график изменения температуры в один из дней марта: 1) Какая температура воздуха была в 6 часов, в 15 часов? 2) В котором часу температура воздуха была -Ы», -4“? 3) В котором часу температура воздуха была самой высокой, самой низкой? 4) В какое время температура увеличивалась, уменьшалась? 5) На сколько градусов изменилась температура с 3 ч до 6 ч, с 9 ч до 12 ч? 6) В какое время температура была равна 0°? В какое время она была положительной, отрицательной? 140 —Глава 3, §2, п.8 Запиши выражение в виде суммы чисел со знаками “+” или (см. № 637). Найди ответ и проверь его с помош;ью числовой прямой. а) -5 + 3; б) -4-1; в) 3 — 7; г)-2-4. Ф 6531 т Имеются 4 палочки длиной 1 см, 4 палочки длиной 2 см, 7 палочек длиной 3 см, 5 палочек длиной 4 см. Можно ли из всех палочек этого набора сложить прямоугольник? Какие из фигур на рисунке являются развертками прямоугольного параллелепипеда? в) б) ‘ ^ ‘ а) г) 65^ Найди ошибку в рассуждении: “Рассмотрим верное равенство: 35+10-45 = 42+ 12-54. В каждой части этого равенства вынесем за скобки общий множитель: 5 • (7 +2-9) = 6 • (7 + 2-9). Разделим обе части полученного равенства на множитель (7 + 2-9). Получим: 5 = 6”. На одном заводе работают 3 друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назови фамилии слесаря, токаря и сварщика. Задачи для самопроверки. 6551 Выполни действия: l)^+i-4 8’ 3)2|+lf; 2)^-А. 4 21’ 4)4-2|; 6)з|-1 Найди значение выражения: (ю-9|) + з1 -K-D- 20’ 15’ Глава 3, §2, п.8 65Т| На окраску окон израсходовали 3 кг краски. На окраску дверей пошло на 3 5 — кг меньше, чем на окраску пола. Сколько всего израсходовали краски, 4 если на двери пошло 2 — кг ? 5 65^ Реши уравнение: 5 — -^д: + 2—j = l. Лредставь в виде дроби: l)i-f (а,6.0); 2)i+i(c0). 6601 Найди произведение: 4- 10. 21’ 3)8 • 3 4’ . 9 35 . 4)3| . II- * 16 * 27 ’ S’ 66 Ц Из двух городов, удаленных друг от друга на расстояние 467 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного поезда со-3 1 ставляет 56 — км/ч, а скорость другого — 71 — км/ч. На каком расстоянии X и о 3 друг от друга будут поезда через 1 ч после отправления? 5 66^ Ширина прямоугольного параллелепипеда 2 — дм, длина — в 1 «g раза больше ширины, а высота — на 1-^ дм меньше длины. Чему равен объем этого б прямоугольного параллелепипеда? 663| Выполни деление (6, X 0): 4 4 4)А:3; 10) 1 . b . ■ 6’ 2)5:|; 5) 12 : 48; 11’т . Зх , ■ 10 ’ 3)1;|: 6)8:2|; 12)f : 10. Реши уравнения: l)5x = 2; 2)1у-9\-, 3)г:2|-1^; 4) si :(-з| 142 Глава 3, §2, п.8 6651 Выполни действия: . 3 5 о 2 д 6 2)lf li:2af; 3)7|.2:li.lf. 1) Участок земли площадью — га разделили на 6 равных частей. Чему равна 5 площадь каждой части? Вырази ее в гектарах, в арах, в квадратных метрах. 3 1 2) Пешеход за 2 ^ ч прошел 8 — км. С какой скоростью он шел? 4 4 2 5 3) За 1 — ч выполнено ^ всей работы. Какая часть работы выполнена за 1 ч? 3 4) Покупатель на 900 р. купил 3 — кг колбасы. Сколько надо заплатить за 4 кг такой колбасы? о Докажи, что значение выражения является наименьшим натуральным числом: 66^ Найди значение выражения: 9 -f-: а, если а= 3, 5-^, 16. о 5 3 2 Расстояние между поселками А и В равно 14-д км. Из поселка А в В вышел 2 1 пешеход со скоростью 3 км/ч. Через ч после его выхода из поселка В в А вышел второй пешеход со скоростью в 1 раза меньшей, чем у первого. О За сколько времени каждый из пешеходов пройдет весь путь от А до В ? Через сколько времени после своего выхода второй пешеход встретится с первым? 6^ Составь и реши уравнение: Число 1-|- разделили на задуманное число, к полученному частному приба-2 2 вили 2 —, сумму умножили на 1 —, а затем из полученного произведения 5 3 2 5 вычли 1—. В результате получили 2 — . Найти задуманное число, о о 143 Глава 3, §2, п.8 671 Вычисли: 1) 2| • з| -5-i 3 4 8 , 13 . j, ^ 13 ’ 42 ■ 3 2) 2 4 6 3*7*11 2 5 9 3*7*11 1 + 1 + i 2 4 3) 1 — 1 + i 2 4 Щ ;.) Саша за выполнение некоторой работы должен получить а р. В первый день он выполнил 30% всей работы. Сколько денег он заработал за первый день? 2) Наташа прошла Ь км, что составило — всего пути. Чему равен весь ее путь? У 3) Ведро вмеидает с л воды. В него налили 5 л воды. Какая часть ведра заполнена водой? 6^ Средняя продолжительность сна человека составляет 8 ч в сутки. Какую часть суток человек в среднем бодрствует? В фотоальбоме у Игоря заполнено ^ всех страниц, а свободных 20 страниц 8 Сколько всего страниц в фотоальбоме у Игоря? 67^ Первый рабочий сделал за смену всего заказа, а второй всего зака-h—iJ lb lb за. Второй рабочий получил за выполненную работу на 800 р. больше, чем первый. Сколько стоил весь заказ, если оплата рабочим производилась пропорционально выполненному объему работы? Сколько денег заработал за эту смену каждый рабочий? |б7^ На огород приходится ^ садового участка, причем ^ огорода отведено под клубнику. Какую часть всего садового участка занимает клубника? Щ Мама купила 800 г сыра. За завтраком съели -у всего сыра, за обедом — остатка, 4 5 а остальной сыр съели за ужином. Сколько граммов сыра съели за ужином? 678| Из всех собранных грибов засушили, 5 — оставшихся — засолили, а остальные 28 штук пожарили. Сколько всего собрали грибов? Какую часть всех грибов засолили? 144 Глава 3, §2, п.8 67^ Сережа и Дима соревновались, кто лучше бросает мяч в кольцо. Сережа из 20 бросков попал в кольцо 15 раз, а Дима из 30 бросков попал 18 раз. Кто из них более меткий? В апреле было 12 солнечных дней, а остальные дни были пасмурные. Какую часть апреля составили солнечные дни, а какую часть — пасмурные дни? 6811 Отец может выкопать всю картошку со своего огорода за 6 ч, старший сын — за 8 ч, а младший сын — за 12 ч. За сколько времени они могут выкопать всю картошку, работая вместе? В бассейн проведены 2 трубы — большая и маленькая. Обе трубы вместе могут наполнить бассейн за 5 ч, а одна большая — за 6 ч. За сколько времени может 2 наполнится — бассейна через одну маленькую трубу? О Двум машинисткам поручено перепечатать рукопись. Первая машинистка может выполнить всю работу за 10 ч, а вторая — за 15 ч. После 4 ч совместной работы первая машинистка ушла к врачу, и работу закончила одна вторая машинистка. За сколько времени был выполнен весь заказ, если машинистки работают с постоянной производительностью? Найди натуральные корни уравнения методом проб и ошибок: 4х = 93. Реши задачу методом перебора: Одно из натуральных чисел на 5 больше другого. Найти эти числа, если их произведение равно 104. Упрости выражение и найди его значение: . 2 „3,5 4 1) 1—а + 2—а + —а, если а = —; о 4 о 7 2) ^Ь+ 1-^ -Ь 3-^^> + если & = 1-^ ; 5 2 о о о 3) 2с + 4d + с + 7d + Зс, если с = 5, d = 4. 4) 8т -Ь 12 + 4п + 3 -f- 6т + 5п, если m = 3, п = 2. 1) Построй правильный шестиугольник и измерь его углы. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. 2) Можно ли на основании выполненных построений и измерений утверждать, что наблюдаемое свойство верно для всех правильных шестиугольников? Почему? 145 Глава 4, §1, п.1 Глава 4 Десятичные дроби § 1. Понятие десятичной дроби 1. Новая запись чисел. В истории было много разных способов для записи натуральных чисел, но в конце концов “победила” одна — десятичная позиционная система записи, которая в настоящее время получила наибольшее распространение. Похожая история произошла и с записью дробей. Дроби, как известно, возникли в связи с делением предмета на несколько равных частей. И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей, то и дроби рассматриваются с самыми различными знаме- 1 3 29 тт й нателями — например, , — и т.д. При этом вычисления с дробями гораздо 5 8 56 сложнее, чем вычисления с натуральными числами, в чем каждый уже убедился на собственном опыте. Так, в Древнем Египте такие вычисления могли проводить только жрецы — самые образованные люди того времени. Около шести столетий назад, в XV веке, знаменитый ученый Средневековья аль-Каши из города Самарканда изобрел способ записи дробей, который позволил резко уменьшить сложность вычислений. В Европе этот способ записи дробей заново изобрел более столетия спустя голландский ученый Симон Стевин. Идея заключалась в том, чтобы ограничить число рассматриваемых дробей только дробями со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. Несколько позднее дроби со стандартными знаменателями вида 10’“ (ц е N) стали записывать в строчку и называть десятичными дробями. А введенные ранее, привычные дроби стали называть обыкновенными. Заметим, что точнее было бы говорить не о десятичных дробях, а о десятичной записи дробей: это те же дроби, только со знаменателями вида 10″ (п^М)и иначе записанные. Записывают и читают десятичные дроби так: 3 Yq = 0,3 (ноль целых три десятых); 2^ 100 156 1000 = 2,47 (две целых 47 сотых); = 0,156 (ноль целых 156 тысячных); 2309 5 20 ООО 5,2309 (пять целых 2309 десятитысячных). 146 Глава 4, §1, п.1 Таким образом, читают десятичные дроби так же, как и обыкновенные, но с обязательным указанием числа целых единиц (даже если их “ноль”). При этом целая часть десятичной дроби отделяется от дробной части запятой. Вместе с тем, используются и другие способы записи десятичных дробей. Так, в Англии, Америке и многих других странах вместо запятой ставится точка. Точно так же точка может ставиться при записи десятичных дробей на дисплее калькулятора или компьютера. Из приведенных примеров видно, что в десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей 156 обыкновенной дроби. Так, в знаменателе дроби три нуля, и в ее десятич- ной записи 0,156 три знака после запятой. Все приведенные примеры обладают, однако, одной особенностью: в числителях дробей столько же цифр, сколько нулей в знаменателе. А как быть в случае, когда 72 это не так? Например, как записать в виде десятичной дробь ^^^qqqq ‘ Оказывается, это несложно, если применить маленькую “математическую хитрость”: разрешить приписывать нули к натуральному числу слева, условно считая, что оно от этого не меняется, например: 72 = 072 = 0072 = 00072 = . Впрочем, такое обозначение натуральных чисел с нулями в начале используется и в обычной жизни. Например, на четырехцифровом кодовом замке в подъезде вместо номера квартиры 18 набирают 0018, полагая при этом, что 0018= 18. Поэтому наша дробь записывается так: „72 „ 0072 10000 ^10000 Аналогично, ^ = о 09* 100 100 ’ ’ 2 нуля и 2 знака = 3,0072. 34 00034 100000 100000 5 нулей и 5 знаков = 0,00034. Таким образом, для дробей, имеющих знаменатели вида 10» (п е N), можно пользоваться следующим алгоритмом десятичной записи: 1. Выделить целую часть дроби и записать ее (если она есть). 2. Уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе, не меняя значения дроби. 3. Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной. 4. Записать числитель дробной части. 147 Глава 4, §1, п.1 По числу знаков, стоящих в записи десятичной дроби после запятой, можно узнать, чему равен знаменатель дроби. Например, дробь 7,025 имеет три знака после запятой, — значит, знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен 1000. Таким образом, десятичная запись числа указывает как его целую часть, так и числитель и знаменатель дробной части. Поэтому любую десятичную дробь легко записать в виде обыкновенной дроби (простой или смешанной), например: 7,025 = 7 J I—^ 25 ^1 1000 40′ целая часть дробная часть Приписывание одного, двух, трех и т.д. нулей справа от знаков, стоящих после запятой, не изменяет десятичной дроби, так как является, по сути, умножением числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. Действительно, 7 70 700 _ 7000 10 , и поэтому 0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,7000 100 1000 10000 Это означает, в частности, что натуральное число также можно записать в виде десятичной дроби, и при этом бесконечным числом способов: 31 = 31,0 = 31,00 = 31,000 = 31,0000 = . Способ записи десятичных дробей является естественным продолжением известного нам десятичного позиционного способа записи чисел. При этом новыми разрядными единицами являются: 10 = 0,01; 1 = 0,001; = 0,0001; 100 ’ ’ 1000 ’ ’ 10000 Каждый знак в записи десятичной дроби обозначает, сколько единиц соответствующего разряда в ней содержится. Так, число 5,627 содержит 5 целых единиц, 6 десятых, 2 сотых и 7 тысячных. Действительно, 5, 627 = 5 627 1000 5 + 600 -ь 20 1000 1000 7 .62 1000 10 100 + 1000′ Таким образом, первая цифра после запятой обозначает число десятых, вторая — число сотых, третья — число тысячных и т.д. Используя новые разряды, десятичную дробь, как и натуральное число, можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Итак, в десятичной записи дроби: 1) значение каждой цифры зависит от ее места в записи (позиции); 2) единица каждого разряда содержит 10 единиц предыдущего разряда (одна десятая содержит 10 сотых, одна сотая — 10 тысячных и т.д.). Поэтому, так же как и для натуральных чисел, ее можно назвать десятичной позиционной системой записи. 148 Таблица разрядов десятичных дробей имеет следующий вид: Глава 4, §1, п.1 Дробь Десятичная дробь Целая часть Дробная часть • S о о S :t: н « с 0) КС 2 ST S я JS ф Ф S н № О Ф ф 3 Н О о 1 ф Ц « Е ^ л ф д ф 6 у Н & О в Щ 3 СЗ X я о • 100000 3 8 9 0 0 1 3 5 Из таблицы видно, сколько и каких разрядных единиц содержит дробь 38,00135. При этом отсутствие единиц в разряде, как и прежде, обозначается нулем. Изобретение десятичных дробей существенно повлияло не только на научную жизнь, но и на жизнь простых людей. Благодаря этим дробям оказалось возможным — через много лет — перейти к единой системе измерения величин, к метрической системе мер, которой мы широко пользуемся в быту. Так, единицы расстояния, массы, площади, объема принято делить именно на 10, 100, 1000 и т.д. частей, и известные “приставки” деци, санти, милли возникли от латинских слов decimus, centesimus, miliarius (десятый, сотый, тысячный): 1 дм = 0,1м; 1см = 0,01м; 1 мм = 0,001м. Денежные единицы большинства стран делятся на 100 частей: 1 копейка = 0,01 рубля, 1 цент = 0,01 доллара, 1 евроцент = 0,01 евро, 1 пенс = 0,01 фунта стерлингов. Вместе с тем, для некоторых величин по традиции, идущей из древности, используют не десятичные, а другие соотношения. Так, например, при измерении времени некоторые более мелкие единицы равны ^ части более крупных 11 единиц: 1 мин = гг ч, 1 с = — мин. 60 60 Интересно также, что в спорте используется “смешанная” система измерения времени: минуты делят на 60 частей, а секунды — на 10 и 100 частей. Поэтому результат бегуна на 400 м записывается в виде 4 : 04,25 или 4 : 04.25 -при этом минуты и секунды разделяются, как это ни странно с точки зрения математической традиции, двоеточием. [688| в больших общественных зданиях для нумерации помещений используют систему, в которой все номера имеют одно и то же количество цифр, и по номеру помещения можно узнать одновременно и этаж, на котором оно находится. Например, в 22-этажном отеле, где на каждом этаже меньше 100 помещений, номер 1844 означает комнату 44 на 18 этаже. Какой номер будет иметь в этом отеле тридцать пятая комната на 8 этаже, третья на 21 этаже, седьмая на 2 этаже? 149 Глава 4, §1, п.1 Запиши в виде десятичной дроби и прочитай: 9 24 375 7 41 3 92 а) 256 10 ’100 ’ 1000’100 ’ 1000’ 1000’ 10000 ’100000 ’ ^10’ ®1оо’ 549 9 6 14 105 4801 1000’ «100’ 10000’ 100000’ 1) Сколько знаков после запятой имеет десятичная дробь, если знаменатель ее записи в виде обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000? 2) Чему равен знаменатель дроби, если ее десятичная запись содержит 1,2, 3, 4, 5, 6 знаков после запятой? 691| Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей или смешанных чисел: 0,2; 5,6; 0,04; 25,18; 1,049; 8,007; 0,0005; 12,0321; 0,6042; 3,000096. 1) В числе 1 030 405 отдели запятой одну цифру справа и прочитай получившуюся десятичную дробь. Затем последовательно сдвигай запятую на одну цифру влево и называй, какие дроби при этом получаются. 2) Прочитай число: 0,0870421. Последовательно сдвигай запятую на одну цифру вправо и называй получившиеся десятичные дроби. 693| Сколько различных десятичных дробей, имеющих три знака после запятой, можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 (цифры в записи десятичной дроби не повторяются)? Запиши и прочитай эти дроби. Запиши десятичные дроби: а) 0 целых 5 десятых; б) 0 целых 5 сотых; в) о целых 5 десятитысячных; г) 1 целая 43 сотых; д) 2 целых 8 сотых; е) 6 целых 201 тысячная; ж) 24 целых 1025 десятитысячных; з) 3 целых 4 тысячных; и) 12 целых 56 стотысячных; к) 5 целых 837 миллионных. 695| Приведи дробь к знаменателю вида 10″, /г е ?V, и запиши соответствующую десятичную дробь: 1 3 2 7 18 23 2 2 ’ 4’5 ’20’25’50’125‘ Упрости запись числа, представленного в виде десятичной дроби: а) 4,8000; 6)002,900200; в) 05,3070; г) 71,00000. Среди приведенных ниже дробей найди дроби, равные 2,17. Из соответствующих им букв составь название животного: ‘ ‘ ” 20,17 К 2,017 О 2,1700 Е 02,17 Ь 02,170 С л 2,170 И 2,0017 Т 21,70 А 2,0107 н Н 002,17 6981 Представь дробь в виде суммы разрядных слагаемых и назови число единиц каждого разряда: а) 3,42; 6)0,518; в) 1,027; г) 2,9034. 150 ——————————————————Глава 4, §1, п. 1 Дано число 123,456789. Какая цифра записана в разряде: а) сотых; б) десятых; в) тысячных; г) десятитысячных; д) миллионных; е) стотысячных? |Щ Найди цену деления шкалы координатной прямой и её фрагментов и определи координаты точек А, В, С, D, Е, F: л В С D Е . ^ 1 . F 0 1 2 3 б) А В 1 ^ ^ С D Е F 0 ОД 0’,2 в) А 1 . . . ^ . в . . 1 ^ . С D Е F 9 1 1 1 V 1 1 1 10 11 12 13 14 А 1 — в С ‘ ■ 1 D Е 1 • 1 1 1 1 1 • 1 F ► 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 701| 1) Начерти координатную прямую, приняв за единичный отрезок 10 клеток. Отметь на ней точки: А (0,4), В (0,8), С (1,3), D (1,7), Е (2,1). 2) Начерти координатную прямую, приняв за единичный отрезок 20 клеток. Отметь на ней точки: А (0,05), В (0,25), С (0,4), D (0,55), Е (0,75), i^(0,9). 702| 1) Вырази с помощью десятичных дробей, какую часть более крупных единиц измерения составляют: а) 1 см; б) 1 г; в) 1 кг; г) 1 м^. Образец: 1 дм = 0,1 м = 0,0001 км 2) Пользуясь десятичными дробями, вырази: а) в километрах: 418 м; 27 м; 4 м; 8 км 175 м; 3 км 56 м; 1 км 2 м; б) в метрах: 5 дм; 42 мм; 9 см; 1 м 36 см; 2 м 5 см; 4 м 7 мм; 342 см; в) в дециметрах: 3 см; 5 мм; 7 дм 4 см; 2 дм 1 см 8 мм; 15 дм 2 мм; г) в килограммах: 372 г; 3 г; 58 г; 1 кг 32 г; 1 кг 4 г. 7^ Вырази: а) в сантиметрах и миллиметрах: 2,4 см; 36,2 см; б) в килограммах и граммах: 5,314 кг; 1,042 кг; 3,24 кг; 8,5 кг. 151 Глава 4, §1, п.1 7^ Начерти отрезки АВ, CD, EF и MN, если известно, что АВ = 2,4 см, CD = 1,2 дм, EF = 1,35 дм и MN = 0,056 м. 1) Объясни, почему 2 ч 45 мин 2,45 ч, 1 мин 30 с т* 1,3 мин. 2) Вырази в часах и запиши результат десятичной дробью: 6 мин; 30 мин; 1 ч 12 мин; 3 ч 15 мин; 2 ч 48 мин. 3) Вырази в секундах: 0,5 мин; 1,4 мин; 3,7 мин; 1,75 мин. Ф 70^ Прочитай число и назови все его разряды. В каких разрядах записана цифра 5? Представь это число в виде суммы разрядных слагаемых: 1) 7 500 058; 2) 50 205 640. Прочитай выражение и найди его значение: 1)52; 2)3^; 3)72; 4) 2^; 5)152+32; 6) (15+ 3)2; 7) (5 — 4)»; 8)52-4®. 7081 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями: а) 7а — 2а б) 12 в) 8с — 2с г) 2®-3-52 Д) 2bx^z Щ 35 ’ ‘»2Ь + Ь* “’8с + 2с’ ^’2-32*52’ 125х^у Выполни действия и сократи получившиеся дроби: 36 9 8’ «ч 7 . 5 17 8А 6 24ft ** Какая из величин больше, а какая меньше? На сколько или во сколько раз? 1)а = 6 + 7; 2)3c = d; Z)m:b = k; 4)jc-4 = i/. 7111 в корзине а яблок и Ь груш. Переведи на математический язык каждое из предложений: 1) Яблок в корзине столько же, сколько груш. 2) Яблок на 6 больше, чем груш. 3) Яблок в 2 раза меньше, чем груш. Построй математическую модель задачи и реши ее: 1) В школьной спортивной олимпиаде участвовало 124 человека, из них мальчиков на 32 больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в олимпиаде? 2) В трех пятых классах школы 79 человек. Число учаш;ихся 5 “Б” составля-ет Y от числа учащихся 5 “А”, а в 5 “В” учится на 3 человека больше, чем в 5 “Б”. Сколько учащихся учится в каждом из пятых классов? 71 3| Нарисуй в тетради координатную прямую и отметь на ней точки (см. № 536): А (1); В (-1); С (|); П (-|); Е (l|); F (-l|). 152 —————————————————————/лава 4, §1, п.1 тщ Найди сначала сумму чисел со знаком затем сумму чисел со знаком а затем — их общий результат: 1) (+4) + (-6) + (+3) + (+2) + (-4); 3) (-3) + (+5) + (-8) + (+4) + (+2); 2) (-5) + (+1) + (+8) + (-7) + (+6); 4) (+1) + (-9) + (+3) + (+2) + (-1). Образец: (-2) + (+7) + (-11) + (+3) + (-1) = (+10) + (-14) = -4. Tin 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. О 3) Является ли параллелограммом прямоугольник, ромб, квадрат? 4) Построй в тетради параллелограмм по клеточкам, как показано на рисунке. Какие свойства сторон и углов параллелограмма ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу. Достаточно ли для ее доказательства измерить стороны и углы нескольких параллелограммов? Почему? тта Запиши числа в виде десятичных дробей и прочитай их: 39 l4^, 3 9 715 . 4- 24 Ю’ЮО’ 100’ 1000’ 10000 ’ 100000’ 1000000’ Выбери дроби, у которых в разряде десятых стоит цифра, обозначающая четное число, в разряде сотых — нечетное число, в разряде тысячных — число, кратное 3. Из букв, соответствующих этим дробям, составь название реки. И 3,940 О 0,876 Л 5,2394 Е 0,56666 8,235 Р 6,198 [Ц 4,7139 0 5,23941 0,413 т 9,401 0 0,2945 0 1,699508 153 Глава 4, §1, п.1 1718| Выдели из дробей целую часть. Полученные числа запиши в виде десятичных дробей. ч 47 б) 534 в) 985 г) 7805 д) 14756 е) 583021 10 ’ “»100’ 100 ’ 100 ’ 1000 Сравни полученные десятичные дроби с данными дробями и сформулируй гипотезу о том, как, не выполняя вычислений, записать неправильную дробь со знаменателем вида 10″ (л е N) в виде десятичной дроби. тТ| 3 трехкомнатной квартире площадь маленькой комнаты составляет площади большой и на О 8 м^ меньше площади средней комнаты. Найди площадь каждой комнаты, если общая площадь всех трех комнат равна 50 м^. Пользуясь десятичными дробями, вырази: а) в сантиметрах: 7 мм; 19 мм; 25 мм; 948 мм; 314 мм; 8 см 25 мм; 5 см 8 мм; б) в центнерах: 3 ц 48 кг; 12 ц 9 кг; 5 ц 20 кг; 831 кг; 1758 кг; 28 612 кг; в) в минутах: 1 мин 30 с; 15 с; 3 мин 45 с; 8 мин 24 с. тЩ Измерь свой рост и запиши его в метрах. Построй параллелограмм и проведи в нем диагонали. Какое свойство диагоналей параллелограмма ты наблюдаешь? Повтори эксперимент еще 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее верной для любого параллелограмма? Почему? 723| Вычисли и запиши ответ в виде десятичной дроби: (3 496 800 : 496 — 352 • 807: 66 + 342 854): 9600 в одном месяце три среды пришлись на четные числа. Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье? |725| Д’ва рыбака сварили уху из наловленных рыб. Один поймал 4 рыбы, а другой — 6 (рыбы на удивление одинаковые). К костру пригласили третьего рыбака, который не поймал ни одной рыбки. Тот с благодарностью принял приглашение, но с условием, что свой “рыбный” пай возместит в сумме 200 рублей. Хозяева сначала отказывались от денег, но потом уступили. Как следует поделить внесенные деньги, чтобы пай каждого из троих рыбаков оказался равным? 154 Глава 4, §1, п.2 2. Десятичные и обыкновенные дроби. Итак, для дробных чисел мы имеем два вида записи — “с запятой”, и “со знаменателем”. Дроби, записанные “с запятой”, названы нами десятичными дробями, поэтому и дроби со знаменателем получили специальное название -обыкновенные дроби. Такое название не означает, что десятичные дроби являются какими-то необыкновенными или сложными. Напротив, десятичные дроби — это те же обыкновенные дроби, но со стандартным знаменателем вида 10″ (л е N) и записанные не “в два этажа”, а “в строчку”. Что же касается их “сложности”, то действия с ними зачастую гораздо проще, чем с обыкновенными дробями, и выполняются почти так же, как с натуральными числами. Благодаря этому десятичные дроби стали широко использоваться в науке и в повседневной жизни. Иначе это изобретение было бы просто забыто. Таким образом, десятичные и обыкновенные дроби — это две различные системы записи чисел. И одно и то же число может иметь несколько имен — в той и в другой системе. Например, 2-^ и 2,5 — это два имени, две записи одного и того же числа. Именно этот факт записывается в виде равенства 2 — =2,5. Впрочем, и в каждой из этих систем записи число имеет бесконечно много имен: pi = А 2 2 4 6 ”■ Такого рода примеры разных имен можно найти и в обычной жизни. Одного и того же человека могут звать Ваня, Ванечка, Ванюша, Иван, Ян, Жан, Иоанн, Джон, Йоган, Йоханн, Хуан и т.д. Поскольку десятичные дроби — это лишь другой способ записи дробных чисел, то все знакомые нам свойства действий над этими числами (переместительное, сочетательное, распределительное и др.) выполняются как для обыкновенных, так и для десятичных дробей. Во всех рассмотренных выше десятичных дробях число знаков после запя-той (без >^ета нулей в конце) является конечным. Но бывают дроби с бесконечным числом знаков после запятой, например, 0,1234567891011. где после запятой выписаны подряд все натуральные числа. Конечную десятичную дробь всегда можно записать в виде обыкновенной. Действительно, если целая часть конечной десятичной дроби равна нулю, то перевод ее в обыкновенную дробь получается в результате простого прочтения данной десятичной дроби без добавления “ноль целых”, например: 82 2,5 = 2,50 = 2,500 = о 37 = -ii-‘ 100’ 0,0082 10000′ 155 Глава 4, §1, п.2 Если же целая часть конечной десятичной дроби не равна нулю, то добавляется перевод полученного смешанного числа в неправильную дробь: гг 7 _ 7-1000 + 56 7056 1000 1000 1000′ Рассмотренные примеры иллюстрируют общее правило: чтобы записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной, можно отбросить из ее записи запятую, полученное натуральное число поставить в числитель, а в знаменатель поставить единицу со столькими нулями, сколько знаков после запятой. Например: 2,73 = 273 . 100’ 3,500 = 100 100’ 0,0051 = 3500. 1000’ 00051 51 10000 10000′ Итак, всякую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной. В то же время обратное утверждение “всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной” неверно: в качестве контрпримера можно привести дробь —. ^ 1 Действительно, предположим, что существует десятичная дробь, равная —. 3 Тогда ее можно привести к знаменателю 10″ (л е Л^), и для некоторых натуральных чисел аил выполняется равенство или За = 10». Но это равенство неверно, так как За делится па 3, а 10″ не делится 3. Мы пришли к противоречию. Оно возникло из-за предположения о том, что дробь равна некоторой конечной десятичной дроби. Значит, это предположе-^ 1 ние неверно, то есть дробь — нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. О А как вообще по числителю и знаменателю дроби узнать, можно ли ее записать в виде конечной десятичной? Оказывается, если дробь несократима, то все зависит только от ее знаменателя. Это можно выяснить тем же рассуждением, которое мы провели для дроби -i-. О В самом деле, пусть несократимая дробь — (р, q ^ N) равна некоторой деся- а Р ^ тичнои дроби . Так как дробь — несократима, то числа рид не имеют общих простых делителей. Равенство ^ равносильно равенству 10″р = ад. Это последнее равенство показывает, что простыми делителями знаменателя д могут быть только простые делители числа 10, то есть только 2 и 5. 156 Глава 4, §1, п.2 Таким образом, если несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной, то ее знаменатель в качестве простых делителей может иметь только числа 2 и 5. С другой стороны, если в знаменателе несократимой дроби нет простых делителей, отличных от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде конечной десятичной. Справедливость этого утверждения проиллюстрируем на примере: 7 _ 7 _7-23 _ 56 5^ = 0,056. 125 5» 53-23 1000 Можно провести и общее доказательство. В самом деле, пусть знаменатель q несократимой дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Это означает, что в разложении числа q на простые множители имеются только числа 2 и 5 (может быть, конечно, только 2 или только 5). Если число двоек и пятерок одинаково, то, перемножив их попарно (каждую двойку со своей пятеркой), мы получим, что q есть степень числа 10, а тогда дробь переводится в конечную десятичную непосредственно. Если же двоек, например, меньше, чем пятерок, то числитель и знаменатель дроби можно домножить на недостающее число двоек. При этом дробь не изменится, но в новой ее записи число двоек и пятерок будет одинаковым, а в этом случае, как мы только что видели, дробь можно перевести в конечную десятичную. Таким образом, мы доказали, что: Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной в том и только в том случае, когда ее знаменатель не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. Полученное утверждение называют условием перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную. Это условие можно сформулировать и по-другому: Несократимую дробь нельзя представить в виде конечной десятичной в том и только в том случае, когда ее знаменатель имеет простые делители, отличные от 2 и 5. О 7261 Запиши по крайней мере семью различными способами число: 1)|; 2)2,4; 3)3,125; 4)1^. Прочитай десятичные дроби и запиши их в виде обыкновенных дробей: 1)0,042; 2)1,8; 3)5,06; 4)14,305; 5)358,0094; 6)9,730851. 728| Запиши любую конечную десятичную дробь по собственному выбору и представь ее в виде обыкновенной дроби. 157 Глава 4, §1, п.2 Докажи, что дробь 57 4200 нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Почему данную дробь можно перевести в конечную десятичную? Выполни перевод. а) 22-5 б) в): 21 г) ^; д) е), 47 2.52’ 2^ ’ ^’2“-5’ ^22-55′ Найди дроби, которые можно записать в виде конечной десятичной дроби. Из букв, соответствующих этим дробям, составь название страны. 2 3 21 7 8 35 9 4 1 33 1 9’ 4’ 5 ’ 6’ 25’ 14’ 20’ 11 ’ 50’ 8 ’ 64 А Н 0 0 Я В И Т В ш В Разложи числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократи дробь. Какие из этих дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Выполни преобразования. 1) 91 . 260’ 2) 63 . 840 ’ 3) 847 . 5500 ’ 4) 459 20400 ^3^ Математический диктант. Запиши десятичные дроби: а) 2 целых 8 десятых; б) 0 целых 7 десятых; в) 4 целых 25 сотых; г) 0 целых 3 сотые; д) 1 целая 715 тысячных; е) 27 целых 9 тысячных; ж) 10 целых 1 десятитысячная; з) 56 целых 948 десятитысячных; и) 18 целых 45 стотысячных; к) 5 целых 5005 миллионных. 734| Докажи или опровергни высказывание: * 4 4 1)21 >2А. 9 ^ 19′ 3) Дробь равна десятичной дроби 0,0003. 10000 4) Произведение двух чисел больше каждого множителя. 5) Всякий квадрат является прямоугольником. 6) Существует прямоугольник, который не является квадратом. Вычисли устно. Какие свойства арифметических действий при этом использовались? Сформулируй их и запиши в виде буквенных равенств: 1) 27 + 214 + 8973 + 86; 2) 5 • 108 • 2 • 25 • 7 • 4; 3) 475 • 38 + 475 • 60 + 475 • 2; 4) (888 + 333 + 555): 111; 5) (859 + 1374)- 759; 6) 642-(542+ 25); 7) (160 • 63): 21; 8) 54 000 : (54 • 125). 158 |736j Блицтурнир, Глава 4, §1, п,2 о д 1) На клумбе растет а роз. Из них ^ составляют розы белого цвета, — — розы у 9 красного цвета, а остальные — желтые розы. Сколько желтых роз на клумбе? 3 2) В классе Ь мальчиков. Число мальчиков этого класса составляет — числа 5 девочек. На сколько мальчиков меньше, чем девочек? 3) Турист преодолел с км. Из них d км он шел пешком, а остальной путь плыл на байдарке. Какую часть всего пути он плыл на байдарке? 4) Два пешехода вышли одновременно из одного поселка в одном направлении. Скорость одного пешехода равна х км/ч, а скорость другого составляет 5 — скорости первого. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы 6 2 9 через — ч? О Ребята проводили эксперимент: в различные сосуды меркой наливали воду и с помощью линейки измеряли высоту h уровня воды в сосуде. По результатам измерений строился график зависимости высоты уровня h от числа мерок п: Проанализируй по графику скорость изменения уровня воды в сосуде (когда уровень воды изменялся быстрее, а когда — медленнее) и по этим данным угадай форму сосуда. Докажи, что ответ примера нельзя записать в виде конечной десятичной дроби: 40 032 — (87 312 • о + 263 886 : 854) • 108′ 159 Глава 4, §1, п.2 0^ Выбери из дробей те, которые можно записать в виде конечной десятичной дроби. Из букв, соответствующих этим дробям, составь название цветка: 10 Ш ^ 255 108 200 150 207 33 210 13 75’ 14’ 60 136’ 0 0 45 И м 780’ 920’ 375’ 560’ 3000’ Ё] 0 0 0 Ш 7^ Составь выражение и упрости его. Найди значение полученного выражения при а = 21. Учащиеся собирали лекарственные растения. Они заготовили а кг листьев зверобоя, ягод бузины — Y от массы заготовленного зверобоя, а листьев мяты — 40% от общего количества зверобоя и бузины. Сколько килограммов мяты заготовили учащиеся? Измерь длину и ширину тетради и вырази результат в дециметрах. Вычисли площадь тетрадного листа и вырази ее в квадратных дециметрах. Возьми прозрачный сосуд и мерку, умещающуюся в нем 10-15 раз. Наливай в сосуд воду меркой и заноси в таблицу высоту уровня воды в сосуде (л -число мерок, Л см — высота уровня воды): п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 h см О По данным таблицы построй график зависимости высоты уровня воды в сосуде h от числа мерок л (1 мерка соответствует 1 клетке оси абсцисс, 1 см уровня воды — 2 клеткам оси ординат). [74^ Дано: т = 44. 4, л = 33. 3. Можно ли подобрать такие тип, чтобы: а) число т было делителем числа л; б) число л было делителем числа ml В день рождения к Наташе должны прийти либо три гостя, либо четыре. Для гостей приготовлен рулет, который хозяйка хочет разрезать до их прихода так, чтобы его можно было раздать им поровну. При этом желательно, чтобы число кусков было меньше 12 и чтобы каждый гость получил свою часть не более чем в двух кусках. Наташа справилась с этой задачей. Сколько получилось кусков, какой объем каждого куска (в долях це.чого) и какие куски оказались на тарелке у каждого гостя, если сама Наташа рулет не ест? 160 Глава 4, §1, п.З 3. Приближенные равенства. Округление чисел. Р1звестно, что в России в настоящее время проживает примерно 142 миллионов человек. И хотя число россиян постоянно меняется — люди рождаются, умирают, — существуют определенные границы изменений данного числа. Например, мы можем утверждать, что оно заведомо не равно 237 875 226 или 45 987 567 — эти числа “слишком сильно” отличаются от 142 000 000. Для слов примерно, приближенно в математике используется специальный знак « — знак приближенного равенства. И если обозначить число живущих в России в настоящее время буквой Р (отpopulation), то приведенное выше высказывание можно записать совсем коротко: Р« 142 000 000. Результаты большинства практических измерений — и расстояний между городами, и промслсутков времени, и объемов тел и т.д. — являются приближенными. Поэтому приближенными являются и многие равенства, описывающие реальные ситуации. С приближенными равенствами мы уже встречались в начальной школе, делая прикидку результатов арифметических действий. Прикидка помогает легко и быстро найти приближенный ответ и тем самым исключить возможные ошибки в вычислениях. Например, заменив числа 618 344 и 8356 более удобными для вычисления круглыми числами, мы убеждаемся в том, что их частное равно примерно 80, а не 8 или 800: 618 344 : 8356 « 640 000 : 8000 = 80. В практических расчетах значение имеет не столько удобство вычислений, сколько степень точности ответа. Так, на главных мировых валютных и сырьевых биржах, где определяется стоимость золота в валюте разных стран — американских долларах, английских фунтах стерлингов, евро и других, — а также стоимость валют относительно друг друга, измерения ведутся с точностью до 0,0001 — до четвертого десятичного знака. И понятно почему — например, ошибка на единицу в четвертом знаке после запятой при обмене миллиарда долларов на евро “стоит” очень дорого: 100 000 $. Поэтому в математике существуют правила округления <приближения), позволяющие заменять числа их ближайшими удобными для расчета числами с наибольшей точностью. Эти правила просты и естественны. Попробуем в них разобраться. Например, каким круглым числом с одним или несколькими нулями следует заменить 2583, чтобы ошибка была как можно меньше? Ответ, конечно, зависит от того, сколько нулей в конце записи числа мы хотим получить в результате. 5 К.Ч, ч 2 161 Глава 4, §1, п.З Рассмотрим простейший случай, когда мы хотим иметь в конце записи только один нуль. Ясно, что 2580 ю с точностью до сотых. Из предыдущего пункта мы знаем, что не всякую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А так как в знаменателе несокра-19 ТИМОЙ дроби— содержится множитель 3, отличный от 2 и 5, то перевести эту дробь в конечную десятичную нельзя. 6* 163 Глава 4, §1, п.З 19 Однако мы можем заменить дробь ^ по установленным выше правилам 6 ближайшей конечной десятичной дробью с любой указанной точностью (до десятых, сотых, тысячных и т.д.). По условию задачи нам требуется это сделать с точностью до сотых. Разделим числитель 19 данной дроби на знаменатель 6. Делить будем, как обычно, уголком. При этом, когда деление целой части закончится, продолжим делить последовательно десятые, сотые, тысячные и т.д., поставив в частном запятую: _ 19,000 [6____ 18 3,166.. 10 6 40 36 _40 36 4 . Теперь заметим, что дальше делить не имеет смысла, так как мы округляем до сотых и трех цифр после запятой нам достаточно. За разрядом сотых, до которого мы округляем, идет цифра 6, поэтому цифру разряда сотых увеличиваем на 1: 3, 1б[б|. »3, 17 19 Значит, W 3, 17 с точностью до 0,01. о Для того чтобы записывать любые дроби в виде десятичных, в математике используют бесконечные десятичные дроби. Так, поскольку при делении 19 на 6 после разряда десятых всегда идет цифра 19 6, то считают, что = 3,1666. Так как цифра 6 постоянно повторяется, то ® 19 можно записать короче = 3,1(6). Последнее выражение читают: “3 целых 6 одна десятая и 6 в периоде”. Производя деление уголком и замечая возникающие закономерности, можно проверить, что 4 5 f =0,(4); ^=0,8(3); ^ =0,(18); 109 900 = 0,12(1). Запиши с помощью двойного неравенства нижнюю и верхнюю границу чисел 1758 и 8751 с точностью: а) до десятков; б) до сотен; в) до тысяч. Сделай рисунки и определи для каждого случая, какое из приближений точнее: с недостатком или с избытком? Найди приближения числа 1,48 с точностью до десятых с недостатком и избытком. Сделай рисунок и определи, какое из них точнее. То же задание выполни для чисел 5,32 и 2,75. 164 Глава 4, §1, п.З Прочитай приближенные равенства. С точностью до какого разряда округлено каждое число? 1) 356 08§ «356 080; 356 0[^2«356 100; 356 [^82 «356 000; 35§ 082 « 360 000; |б 082 «400 000; 7[^,0395 « 80; 75,[^395«75; 75,0|3|95 « 75,0; 75,03§5« 75,04; 75,039[5]« 75,040. 7^ ш ш с точностью до какого разряда выполнено округление? Верно ли оно выполнено? Если нет, то в чем ошибка? 1)39 054 «391; 2) 27,314 « 27,4; 3) 8,0497 « 8,0. Округли число с заданной точностью: 1) 79 306; 951 043; 8 260 458 до десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч; 2) 10,5296; 7,02546; 0,897305 до единиц, десятых, сотых, тысячных. В таблице приведены данные о планетах Солнечной системы: Планеты Диаметры планет в километрах Период обращения по орбите в земных годах и сутках Средние солнечные сутки Масса в единицах массы Земли Меркурий 4880 87,97 сут. 175,952349 сут. 0,054 Венера 12 100 224,70 сут. 116,815467 сут. 0,816 Земля 12 714 365,26 сут. 24 ч 1,000 Марс 6780 686,98 сут. 1,027488 сут. 0,108 Юпитер 142 884 11,86 года 0,410069 сут. 317,366 Сатурн 120 500 29,46 года 0,456088 сут. 95,152 Уран 51 118 84,01 года 0,71806 сут. 14,543 Нептун 49 600 164,79 года 0,667 сут. 17,225 Округли: 1) Диаметр Земли с точностью до десятков, сотен, тысяч. 2) Диаметр Юпитера с точностью до тысяч, десятков тысяч. 3) Массу Венеры, Урана и Нептуна в единицах массы Земли с точностью до десятых, сотых. 4) Период обращения по орбите Меркурия, Марса и Юпитера с точностью до десятков, единиц, десятых. 5) Средние солнечные сутки Марса, Юпитера и Сатурна с точностью до стотысячных, сотых, десятых. 165 Глава 4, §1, п.З 751| Замени дробь конечной десятичной дробью с точностью до десятых, сотых, тысячных: а)1; 6)1; в)16; г)А; д)19; ж)«. 3 9 16 11 12 21 7 Докажи, что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь, и запиши ее в виде бесконечной десятичной дроби, указав период: - 1 .,25 ,34 .11 ,47 ,95 а)^; б)-; b)jj; г)-; д)е) Вырази число в десятках и округли полученное число десятков с точностью до единиц: 75, 34, 816, 421, 1859, 6394. Образец: 538 = 53,8 дес. 54 дес. 751 7^ Вырази число в сотнях и округли полученное число сотен с точностью до десятых: 612, 871, 1304, 4950, 78, 45. Вырази число в тысячах и округли полученное число тысяч с точностью до сотых: 5402, 2783, 30 456, 84 609, 731, 79. Вырази число в миллионах и округли полученное число миллионов с точностью до тысячных: 6 009 842, 15 624 035, 946 207, 34 567. Вычисли площадь фигуры, вырази ее в квадратных сантиметрах и округли с точностью до десятых: 1) 32 мм 32 мм 2) 45 мм 56 мм 70 мм О 1^ Измерения прямоугольного параллелепипеда 178 см, 62 см и 96 см. Вычисли объем прямоугольного параллелепипеда, вырази в кубических метрах и округли до сотых. |Т59| Выполни прикидку и определи пропущенные цифры: 750 354 + 13 628 = * 63 982 358 • 7639 = * 734 762 Не выполняя вычислений, найди среди чисел, записанных в рамке, точное значение частного: 1) 21 286 : 58 2) 62 748 : 83 37, 367, 3087 3)173 692:346 52,458, 502 756, 78,7000 4) 4 455 380 : 607 734,769, 7340 166 Глава 4, §1, п.З В каждом из следующих чисел перенеси запятую на 2 разряда вправо и прочитай полученные числа: 370,8; 4,35; 25,102; 0,0852; 5,60094. А теперь выполни то же задание, перенося запятую на 2 разряда влево. Запиши в виде десятичной дроби числа: а) 8 целых 7 сотых; б) 4 целых 37 десятитысячных; в) 0 целых 475 миллионных. Уравняй число знаков после запятой в следующих числах, не меняя их значения: 2,05; 6,7; 9,438; 7; 0,00021. Упрости: 1) 7а + 18а-а — 9а; 3) 6с + 4d + с + 3d; 2) 12Ь — ЪЪ — АЪ + h; А) х + 2у + Зх -\-Ах; Сократи дроби, если а, Ь,с, N: 5) 15 + m -Ь 6 + 2т; 6) 3/е + 11 + 9 + Й. 1) 18-75-49 . 28-35-27 ’ 2) 300 + 400 + 500 400 3) ЗбаЬс^ . 81а’‘&с ’ 4) 24d 24d — Sd ш Выполни действия и сократи получившиеся дроби (а, Ь е N); о л 1 За 5а 15а ’ 76Л Найди методом перебора множество пар (т, п) натуральных чисел, удов- 5 п 1 летворяющих равенству:—Б» “ «о • т о 2 Туристы прошли маршрут за три дня. В первый день они прошли — часть маршрута и еще 4 км. Во второй день прошли 25% оставшегося пути и еще 5 6 км. В третий день прошли — оставшегося пути и последние 8 км. Сколько У километров содержал весь маршрут? Построй математическую модель задачи: 1) Патрульная машина движется по шоссе из пункта А в пункт В. Когда до 2 пункта В осталось — расстояния АБ, водитель получил приказ вернуться к пункту С, расположенному на этом шоссе на расстоянии, равном АВ от пункта А. Чему равно расстояние АВ, если машина при движении обратно прошла до пункта С 52 км? 2) На самолете старого образца перелет из города М в город N продолжался 3 ч 40 мин. На усовершенствованном самолете за счет увеличения его скорости на 405 км/ч время перелета снизилось на 1 ч 48 мин. Чему равно расстояние между городами М и N7 167 Глава 4, §1, п.З ш 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие; Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны. 2) Найди на рисунке трапеции; 3) Является ли трапецией параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат? 4) Пусть А — множество четырехугольников, В — множество трапеций, С -множество параллелограммов, D — множество прямоугольников, Е — множество ромбов иР — множество квадратов. Построй диаграмму Эйлера-Венна этих множеств. 5) Перечерти трапецию ABCD в тетрадь и продолжи ее стороны. Проанализируй чертеж и сформулируй гипотезу — как связаны между собой величины углов трапеции? Проверь с помощью измерений. Повтори эксперимент еще 2 раза. Можно ли на основании нескольких измерений распространить полученный вывод на все трапеции? 5-2-4 + 3 + 1-8. 1) Сравни примеры (см. № 637); (+5) + (-2) + (-4) + (+3) + (+1) + (-8) и Что в них общего и чем они отличаются друг от друга? 2) Реши эти примеры с помощью числовой прямой. Какие перемещения по числовой прямой надо выполнить в том и другом случае? Какой способ записи удобнее? 3) Реши эти же примеры, используя понятия доходов и расходов. Зависит ли ответ от способа решения? Реши примеры сначала с помощью числовой прямой, а затем используя понятия доходов и расходов (см. № 637); а) —2 -ЬЗ 6 + 4 — 5; б) 1-4 + 2Ч-5-7; в) -3-1 + 4-3+ 2. 168 Глава 4, §1, п.З 773| Реши пример и округли полученный результат до десятков тысяч: [(172 950 : 75) • 6008 — 1306 • 6008]: 125 + 75 • 1920 (li + 2# + 3 2 3 |):(l4-16i:2i).3| 4/ ‘ 8 5’ 5 Ош Округли число с заданной точностью: а) 428 056 до десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч; б) 25,6073 до десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных. 775| Месяц по лунному календарю длится примерно 29,5306 дня. Округли продолжительность лунного месяца до десятых. 1Щ О Архимед установил, что частное от деления длины окружности на ее диа- 22 метр составляет примерно —. Запиши это число в виде конечной десятичной дроби с точностью до сотых. Вырази число в сотнях тысяч и округли полученное число сотен тысяч с точностью до тысячных: 832 715, 490 562, 7 480 992, 25 349 999. 7781 Папа принес с базара арбуз. За ужином он съел 1 1 — часть арбуза, мама съела часть арбуза, а 4 о 1 сын — -g часть арбуза. После этого осталось еш;е 2 кг 300 г. Сколько весил арбуз? Мама положила на тарелку абрикосы. После того как брат взял у часть всех 1 ‘ абрикосов, а сестра — — остатка, на тарелке осталось еш,е 18 абрикосов. Сколько абрикосов положила мама на тарелку? Реши пример “-4 -Н 3 -Н 2 — 5 — 1” сначала с помош;ью числовой прямой, а потом — используя понятия доходов и расходов (см. № 637). Какой способ решения удобнее? Запиши этот пример в виде суммы чисел со знаками “-Н” и 781| Что обш;его у трапеций на рисунке? Какой термин, по твоему мнению, можно предложить для выражения этого свойства? Измерь углы трапеций и сформулируй гипотезу. Достаточно ли проведенных измерений, чтобы распространить твою гипотезу на все трапеции такого вида? 78^ D Е М Глава 4, §1, п.4 О Запиши ответ примера в виде конечной десятичной дроби и округли ее с точностью до десятых: (4-‘l)-(4+4)-4-(ir4) [240 768 + (4638 + 476 392 : 94) • 7080 — 57 390 832]: 718 : 1007 ‘ У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер? 7^ Не меняя порядка расположения цифр, поставь между ними знаки арифметических действий и скобки так, чтобы в результате этих действий в каждом ряду получилось бы по 1. Если понадобится, то две рядом стоящие цифры можно считать двузначным числом. 12 3 = 1 1 2 3 4 = 1 12345=1 123456 = 1 1234567 = 1 12345678 = 1 123456789 = 1 4. Сравнение десятичных дробей. Преимущества работы с десятичными дробями ясно видны уже при сравнении дробей. Действительно, для сравнения обыкновенных дробей приходится использовать разные “хитрые” приемы, производить громоздкие вычисления. Десятичные же дроби легко сравнивать по разрядам. Пример 1. Сравнить 5,380879 и 12,7. Данные десятичные дроби имеют различные целые части, причем 5 475 3,480 > 3,475 о 3,48 > 3,475. Таким образом, сравнение данных десятичных дробей свелось к сравнению их соответствующих десятичных разрядов. Это верно и в общем случае. Приходим к следующему правилу сравнения десятичных дробей: 1) Ёсли целые части десятичных дробей различны, то больше та дробь, у которой больше целая часть. 2) Если целые части десятичных дробей одинаковы, то больше та дробь, у которой больше цифра в первом из несовпавших разрядов после запятой (в направлении слева направо). Воспользуемся этим правилом для сравнения, например, дробей 4,305629 и 4,30568. Целые части дробей одинаковы, а в первом из несовпавших разрядов -разряде стотысячных — в первой дроби стоит цифра 2, а во второй — цифра 8. Так как 2 , 8“ 9- д)2— и 3 — ; а; ^rj . 96 97 ‘>97″96- Мужчины 3:16,937 3:16,652 3:15,527 3:16,276 3:16,901 , 39 39 , 43 54 «>88“ 1) Что произойдет с натуральным числом, если справа или слева приписать к его записи нуль? А что произойдет в этих случаях с десятичной дробью? 2) Верно ли, что: 3,4000 = 3,4; 2,07 = 2,70; 850 = 85 000; 75 = 75,0000; 1,600 = 1,060; 42,050 = 42,005? 3) Запиши три дроби, равные 8,020. Известно, что выполнив округление числа а с соблюдением всех правил получили, что а « 32. Может ли быть а = 31,28? Какие значения может принимать а? Запиши двойное неравенство, указав верхнюю и нижнюю границы а. Запиши с помощью двойного неравенства множество возможных значений а, если: 1) а « 9000 (с точностью до тысяч); 4) а « 0,23 (с точностью до сотых); 2) а » 42 (с точностью до единиц); 5) а » 0,01 (с точностью до сотых); 3) а » 7,8 (с точностью до десятых); 6) а « 0,010 (с точностью до тысячных). Докажи, что данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Запиши ее в виде бесконечной периодической дроби, указав период, а затем округли с точностью до тысячных: ^^18’ л 47 36’ 173 Глава 4, §1, п.4 804j 1) в столовой ложке вмещается 25 г муки, а в стакане — 130 г муки. Сколько примерно столовых ложек муки вмещает стакан? 2) В столовой ложке вмещается 30 г соли, а в стакане — 220 г соли. Сколькими примерно столовыми ложками можно отмерить стакан соли? 805 Реши уравнения: а) 7—Х + X 4 «^12 3 5′ B)(2|-*):3i + 2i| = 3i; г)4|-б|:(20х-14|)^1|. 6)l| + 2|x + ^ + x = 9; Найди значение выражения: 1) -I-Зх — 18, если л: = 3; 5; 8. 2) 2у^ — 1200 : г/, если у = 5; 6; 10. В деревне Простоквашино кот Матроскин и пес Шарик вспахали поле прямоугольной формы на тракторе “Митя”. Ширина поля равна 15 м, что составляет 75% его длины. Матроскин и Шарик „ 2 засеяли капустой — своего поля, а остальную 5 его часть засеяли морковью. Осенью они собрали урожай: моркови по 10 кг с квадратного метра, а капусты — по 12 кг. Все овощи Матроскин и Шарик разложили в мешки по 40 кг и увезли на тракторе за 3 рейса. В первый раз “Митя” увез всего урожая, а во второй раз — 5 — остатка. Сколько мешков увез “Митя” в третий раз? У Расстояние от деревни Простоквашино до станции 2 км 700 м. Однажды дядя Федор приехал на электричке на станцию и пошел в Простоквашино со скоростью 50 м/мин. Одновременно из Простоквашино навстречу ему выбежал Шарик со скоростью 130 м/мин. Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния d м между дядей Федором и Шариком от времени их движения t мин. Найди по этой формуле, на каком расстоянии друг от друга будут они через 8 мин? Через сколько времени после начала движения они встретятся? Имеют ли оси симметрии параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, и если да — то сколько? Ответ проиллюстрируй на рисунке. ш Определи вид высказываний. Докажи или опровергни их: 1) Всякая трапеция имеет ось симметрии. 2) Некоторые трапеции имеют ось симметрии. 174 Глава4, §1, п.4 Ш| Реши примеры (см. № 771). Что в них общего и чем они отличаются? Как ты думаешь, почему не изменился ответ? -5 + 4- 2-113; -5 +3-1+4 -2; -5 + 4 + 3-1-2; -5-2 14-1 + 3; -5-1 + 4-2 + 3; -5-2 + 4 + 3-1. Докажи, что ответ примера можно представить в виде конечной десятичной дроби. Запиши десятичную дробь и округли ее с точностью до сотых. О Ш| (409 224 : 578): (2 761 200 : 3900) • 128 — 534 905 • (156 — 156) ’ [^0| Сравни дроби: а) 0,70 и 0,8; г) 2,75 и 3,45; ж) 4,32509 и 4,3251; б) 0,03 и 0,2; д) 40,001 и 40,01; з) 5,09348 и 5,09062; в) 0,4 и 0,16; е) 19,8 и 19,800; и) 1,2121212121 и 1,221221. Выбери в каждой строке букву, соответствующую истинному высказыванию, и расшифруй название деревянных укреплений, которые были построены в 1591 г. вокруг Москвы: 1 7,02 > 7,20 7,02 = 7,20 ® 7,02 0,4999 0,5 = 0,4999 ® 0,5 0,2947 ® 2,94 = 0,2947 ® 2,94 1,8 1,8000 = 1,8 1,8000 1 0,99999 = 1 ® 0,99999 8,025 ® 8,125 = 8,025 @ 8,125 42,59 @ 4,259 = 42,59 © 4,259 5,8732 ® 5,87040 = 5,8732 © 5,87040 о^юоо’ в) 100000 ’ .2 ,1 ■■>5’ «>25’ е) 200 Вырази: а) в метрах: 15 дм; 15 см; 15 мм; б) в граммах: 0,2 кг; 8,04 кг; в) в часах: 24 мин; 1 ч 45 мин; 150 мин; г) в секундах; 0,5 мин; 2,9 мин. Запиши число “3 целых 45 тысячных” сначала в виде десятичной дроби тремя различными способами, а затем в виде обыкновенной дроби двумя различными способами. Можно ли представить дробь 18 3600 в виде конечной десятичной дроби? Докажи. Округли число: а) 24 518 до десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч; б) 73,5926 до десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных. О Замени дробь —— конечной десятичной дробью с точностью до сотых. 45 Вырази число 824 952 в десятках тысяч и округли полученное число десятков тысяч с точностью до сотых. Сравни дроби: а) 0,388 и 0,4; б) 20,7 и 2,09; в) 5,60103 и 5,6021. Расположи дроби 7,021; 0,72; 7,1; 7,02 в порядке убывания. 7’“Лорофеев, 5 кл.. ■ 177 Глава 4, §2, п.1 Переведи на математический язык тремя различными способами: 1) Натуральное число х в 9 раз меньше натурального числа у. 2) Число а на 15 больше числа Ь. В игре “Пойми меня” команда “Веселые ребята” в первой части игры заработала 300 очков, что составило числа очков, заработанных во второй час- О ти, и 50% числа очков, заработанных в третьей части. Команда “Кактус” в третьей части заработала столько же очков, сколько и их соперники, во второй части — в 2 раза меньше очков, чем соперники, зато в первой части — на 100 очков больше, чем они. Кто победил в этой игре? Па сколько больше очков заработала команда-победительница? § 2. Арифметика десятичных дробей в данном параграфе при обсуждении арифметических действий с десятичными дробями мы будем рассматривать только конечные десятичные дроби и называть их для краткости просто десятичными дробями. 1. Сложение и вычитание десятичных дробей. Возможность представления любой десятичной дроби в виде обыкновенной уже позволяет проводить с десятичными дробями все арифметические действия. Например: п ОА п л ^4 4 24*10 6 ^ -100 Ч-о — То^ “ 10 “ Конечно, десятичные дроби не получили бы столь широкого распространения, если бы для вычислений сначала нужно было бы перевести их в обыкновенные дроби, выполнить действия, а затем снова вернуться к десятичным дробям. Именно поэтому мы и должны установить правила выполнения арифметических действий непосредственно с десятичными дробями, без перевода их в обыкновенные. Начнем со сложения. Вычислим сумму 16,2 + 3,18, уравняв число знаков после запятой и переходя к сложению обыкновенных дробей: 1620 + 318 1938 16,2 + 3,18 = 16,20 + 3,18 = ?^+ = 19,38. 100 100 Из полученного равенства видно, что сложение десятичных дробей почти не отличается от сложения натуральных чисел. В самом деле, после уравнивания числа десятичных знаков мы сложили два натуральных числа, как бы отбросив запятую, а в ответе отделили запятой две последние цифры — по числу десятичных знаков в данных дробях. Аналогично выполняется и вычитание. 178 Глава 4, §2, п.1 Заметим, что сложение и вычитание десятичных дробей можно записать “в столбик”: 16,20 16,20 3,18 3,18 + 19,38 13,02 Если после выполнения действий в конце дробной части появляются несколько нулей, то их, естественно, писать не надо. Таким образом, мы получаем следующий алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей: 1) Уравнять в дробях число знаков после запятой. 2) Записать их “в столбик” так, чтобы запятая оказалась под запятой. 3) Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую. 4) Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях. Приведем несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей с помощью установленного алгоритма: + 0,579 2,800 + 5,3664 19,7336 -ь 96,99999 3,00001 7,9500 2,0612 5,8888 3,379 25,1000 = 25,1 100,00000 = 100 Правила сложения десятичных дробей дают возможность разложения десятичной дроби по разрядам, аналогично разложению по разрядам натуральных чисел. Действительно, на основании этих правил можно записать, например, равенство: 123,0456 = 100 + 20 + 3 + 0,04 + 0,005 + 0,0006. Это равенство показывает, сколько единиц каждого разряда содержит число 123,0456, а именно: 1 сотню, 2 десятка, 3 единицы, 4 сотых, 5 тысячных и 6 десятитысячных, а единицы разряда десятых в нем отсутствуют. О |835| Найди ошибки в записи и решении примеров. Повтори алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей и реши примеры правильно: 1) , 2, 15 3,9 + 2, 1 5 3, 9 2,5 4 5,2 4 |836| Вычисли: а) 2,3 + 8,4; б) 12,7-3,5; в) 0,48 + 4,12; г) 9,518-5,236; + 2, 1 5 3,9 5,0 5 2) 5, 2 8 1.6 5, 1 2 5.2 8 1, 6 4.2 2 5,2 8 1.6 4,6 8 д) 7,5 + 0, 75; е) 48,9-4,82; ж) 7,324 + 732,4; з) 91,9-0,919; и) 6,3 + 49,756; к) 2,1045-0,87; л) 3,45+ 8,6916; м) 10-4,939292. 7* Глава 4, §2, п.1 Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых: 2,73; 15,048; 750,943; 0,555555; 8,32074; 6025,6025. Образец: 43,1052 = 40 + 3 + 0,1 + 0,005 + 0,0002 838| Вычисли устно: а) 4 + 0,5; б) 0,28 + 3; в) 2+ 7,2; г) 15,4 — 3; д) 0,3+ 0,4; е) 0,9-0,5; ж) 0,08 + 0,02; з) 0,32-0,05; и) 2,3+ 5,4; к) 4,7-1,2; л) 9,74-1,54; м) 6,38+ 0,62; н) 0,003+ 0,05; 0)0,52 + 0,009; п) 1-0,3; р) 0,6 — 0,04. 839| Составь все возможные суммы из чисел 1,2; 0,12 и 0,012 и найди их значения. 8^ Составь все возможные разности из чисел 3,6; 0,36 и 0,036 и найди их значения. 841| 1) Запиши последовательность из 7 чисел, в которой первое число равно 4,4, а каждое следующее больше предыдущего на 0,6. Вычисли разность наибольшего и наименьшего членов этой последовательности. 2) Запиши последовательность из 7 чисел, в которой первое и второе число равны соответственно 9,3 и 9,1, а далее разность между каждыми двумя соседними числами увеличивается на 0,1. Найди сумму наибольшего и наименьшего членов этой последовательности. 842| Игра “Кто быстрее?”. По аналогии с игрой “крестики-нолики” найди строку, столбец или диагональ, сумма чисел в которых дает выигрышную сумму, указанную над таблицей: 1,5 0,4 0,9 0,6 0,5 0,8 0,3 0,1 0,5 0,2 5,6 3,2 1,4 0,2 1,5 2,6 2,8 0,4 4,9 0,3 12,4 5,5 2,7 1,4 3,6 7,3 4,4 9,1 2,4 0,8 0,32 0,08 0,12 0,05 0,26 0,18 0,12 0,04 0,2 0,15 21 6,9 8,2 4,3 8,4 5,6 7,6 3,7 9,1 8,5 3,25 1,04 0,9 2,81 0,41 0,25 1,6 1,8 2,7 0,03 180 ——————————————————-Глава 4, §2, п.1 |84^ Викторина “В мире литературы”. Расшифруй названия литературных терминов. Можешь ли ты объяснить их смысл? а) б) а X буква 0,1 0,2 0,3 0,5 1,8 2,4 3,2 а X буква 0,5 1,1 2,3 3,9 4,2 5,6 7,5 8,9 10 а X буква 0,8 1,7 3,6 3,9 4,5 5 6,1 7,3 181 Глава 4, §2, п.1 13 Сделай прикидку, округлив до целых, а затем найди точное значение выражения. Чему равна погрешность приближения? 1) 75,278 — 3,86 + 12,9; 3) 33,72 + 0,38 — 8,005 + 674,1; 2) 8,14 + 48,2 — 5,736; 4) 117,5 — 2,63 — 14,9 + 5,0805. 845| Реши уравнения с комментированием: 1) х + 5,95 = 761,5; 4)х- 84,52 = 218,48; 2) х- 74,85 = 338,563; 5) 30,58 + д: = 476,146; 3) 64,021-х = 9,7; 6) 256 — д: = 28,73. Поставь в примерах недостающие нули и запятые так, чтобы выполнялось равенство. Докажи истинность полученных равенств с помощью вычислений. а) 237+ 358 = 38,17; г) 183 — 79 = 17,51; б) 752-36 = 3,92; д) 120 + 3,8 = 158; в) 506+ 95 = 145,6; е) 483 — 4,25 = 4405. 84^ Игра “Проще простого”. Игра проводится по аналогии с игрой “Крестики-нолики”. Из предложенных девяти дробей надо выбрать пару чисел, а затем сложить ее или вычесть — по знаку около таблицы. Если сумма (разность) принадлежит таблице, игрок отмечает в таблице ее значение соответственно “крестиком” или “ноликом”. Выигрывает тот, кто первым заполнит “крестиком” или “ноликом” строку, столбец или диагональ. 12,5 7,3 141,6 5,4 23,9 0,8 56,4 2,1 94,2 а) © б) 0 61,8 7,5 26 8,1 2,9 63,7 12,7 148,9 58,5 23,1 10,4 43,9 11,4 55,6 117,7 49,1 88,8 5,2 в) 0 г) © 36,4 17,9 101,5 95 19,8 29,3 57,2 31,2 198 7,1 81,7 16,6 85,2 1,9 70,3 37,8 3,3 51 Д) © е) © 118,1 13,3 68,9 6,2 9,4 29,3 99,6 235,8 24,7 129,1 4,6 54,3 11,7 21,8 86,9 32,5 18,5 47,4 84^ Найди значение выражения: 1) 28,7 м2 + 15,6 м2 — 9,73 м2 — 5,2 м2 + 0,63 м2; 2) 5,2 кг — 3,6 кг — 0,321 кг + 4,075 кг — 2,93 кг. 182 Глава 4, §2, п.1 85^ Вырази в метрах и найди значение выражения: 1) 2 м 35 см — 5 дм 6 см + 74 дм — 95 см 3 мм + 1 м 8 дм 7 см 3 мм; 2) 820 см — 3 дм 14 мм + 1 м 7 см — 263 мм + 30 см 7 мм. 1) Первая сторона треугольника равна 7,4 дм, вторая на 32 см длиннее пер- 4 вой, а третья составляет — от суммы первых двух. Найди периметр этого треугольника и вырази его в дециметрах. 2) Периметр треугольника равен 1,24 м. Первая сторона равна 4 дм 3 см, а вторая на 16 см короче первой. Найди длину третьей стороны и вырази ее в метрах. Выполни программу действий, затем по данной программе составь выражение и найди его значение. Сравни полученные ответы. 1) Увеличить число 2,16 на 0,145. 2) Из числа 17,5 вычесть результат первого действия. 3) Найти разность чисел 18,4 и 3,78. 4) Из результата второго действия вычесть результат третьего действия. Выполни вычисления по схеме и составь выражение: 853 Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных дробей, взяв значения букв по собственному выбору. Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей. Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае? Вычисли наиболее удобным способом и объясни, на основании каких свойств сложения и вычитания выполнены преобразования: 1) 3,2 Ь 3,4 + 3,6 -1- 3,8; 2) 1,1 + 1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9; 3) 0,715 + 2,83 + 4,285 + 0,17; 4) (7,5 + 0,4 + 1,48) + 2,5 + (0,52 + 3,6); 5) (5,719+ 9,37)-4,719; 6) (3,31 +8,596)-8,576; 7) 4,754-(2,754 I 1,8); 8) 11,383-(5,4 + 0,383). 183 Глава 4, §2, п.1 Как изменяется сумма с увеличением или уменьшением слагаемых? Как изменяется разность при изменении уменьшаемого или вычитаемого? ш Как изменится сумма, если: а) первое слагаемое увеличится на 3,5; б) второе слагаемое уменьшится на 1,4; в) первое слагаемое увеличится на 3,5, а второе — уменьшится на 1,4; г) первое слагаемое уменьшится на 3,5, а второе — увеличится на 1,4? [85^ Как изменится разность, если: а) уменьшаемое увеличится на 3,5; б) вычитаемое увеличится на 1,4; в) уменьшаемое увеличится на 3,5, а вычитаемое увеличится на 1,4; г) уменьшаемое увеличится на 3,5, а вычитаемое уменьшится на 1,4? 85^ Перечерти таблицу в тетрадь и определи, как изменяются сумма а + Ь и разность а — Ь при указанных изменениях а и & (знак “+” означает увеличение, а знак — уменьшение): 1) а Ь а + Ь +0,5 +0,5 -0,5 +0,5 +0,5 -0,5 -0,5 -0,5 2) а Ь а- Ь +0,5 +0,5 -0,5 +0,5 +0,5 -0,5 -0,5 -0,5 Рассмотри решение примера и объясни прием вычисления. Придумай и реши 3 примера с использованием этого приема. 1) 2,98 + 6,14 = 3 + 6,12 = 9,12; 2) 5,7 — 3,9 = 5,8 — 4 = 1,8. 861| Сравни: 1) 2,5 + 9,14 и 9,14 + 2,5; 3)7,9-2,12 и 9,7-2,12; 2) 3,46 + 5,817 и 3,46 + 5,2; 4)8,04-1,56 и 8,04-1,6. Заполни пропуски так, чтобы получилась верная запись: а) П^ДбП б)_П4,7П1 в) 3,П508 2 5,9 0 0 1П,28П ■^□,2П74П ЗП,4П4 2 1,П7 1 4,0 2 9^2 Г)_1П,203 0П 8,0 бД2 7 6,П2 5ПЗ 863 Замени обыкновенную дробь десятичной и вычисли: а) 1^+0,574; б)8,32-|; в)4|-2,17; г)5,6+|. 184 ■ Глава 4, §2, п.1 Медведь весит 0,7 т, масса бегемота — на 2,9 т больше массы медведя, а общая масса слона и бегемота 8,1 т. Сколько весит слон? 1) Сваю длиной 10 м забили в землю на глубину 2,15 м. Чему равна высота видимой части сваи? 2) От каната длиной 17,24 м отрезали 5,8 м. На сколько отрезанная часть каната меньше оставшейся? По чертежу найди скорость сближения и скорость удаления объектов и определи, на каком расстоянии друг от друга они будут через час после начала движения: 1) 3,8 км/ч — 5,6 км/ч 3) 12,2 км 9,4 км/ч ——*- 6,7 км/ч —► 10,8 км 2) 12,5 км/ч — 18,3 км/ч ——-*- 44,3 км 4) 54,9 км/ч —► 98,6 км/ч 131,1 км 1) В соревнованиях по тройному прыжку Юра сделал прыжки 3,42 м, 2,76 м и 2,5 м, а Саша -3,56 м, 2,3 м и 2,54 м. Кто из них прыгнул дальше и на сколько? 2) Маляру для покраски детской площадки потребовалось 8,36 кг зеленой краски, красной краски — на 4,14 кг больше, чем зеленой, а желтой — на 6,32 кг меньше, чем красной и зеленой вместе. Сколько всего килограммов краски израсходовал маляр на покраску детской площадки? Составь задачу по выражению и реши ее двумя способами: 1) 9,8 — (2,5 + 1,8); 2) (12,9 +5,4) — 7,9. Составь выражение и найди его значение: 1) На склад в первый день привезли а т картофеля, во второй — на 6,7 т больше, чем в первый, а в третий день — половину того, что привезли во второй. Сколько тонн картофеля привезли на склад за 3 дня? (а = 11,3) 2) Из мешка муки массой Ь кг отсыпали сначала с кг, а затем — на 1,2 кг меньше. Сколько килограммов муки осталось в мешке? (& = 20,4; с = 4,1) 185 Глава 4, §2, п.1 1) Число сначала увеличили на 0,8» затем уменьшили на 0,32, после этого снова увеличили на 2,54 и уменьшили на 3,2 и, наконец, увеличили на 9,601 и уменьшили на 34,39. В результате получилось 55,111. Какое число было вначале? 2) Задуманное число сначала 10 раз увеличили на 0,5, а затем 10 раз уменьшили на 0,49 и получили 12,44. Какое число задумано? Ф [87JJ в записи десятичной дроби вычеркнули “хвост” -несколько последних цифр, отличных от нуля, стояш;их после запятой. Увеличилась или уменьшилась эта дробь? Из записи десятичной дроби вычеркнули ноль, стоящий после запятой. Как изменилась эта дробь, если: а) вычеркнутый ноль стоял в конце записи; б) вычеркнутый ноль стоял не в конце записи? [873| Из записи десятичной дроби вычеркнули цифру, стоящую после запятой. Увеличилась или уменьшилась эта дробь, если: а) эта цифра стояла в конце записи; б) эта цифра стояла не в конце записи? ЁЗ Какие из следующих дробей представимы в виде конечных десятичных: 25 842 3615 1111111 123123123 1) 32’ 64 ’ 20 25 320 222 7^ 1001 10011001 100110011001 _________ ^ 24 ’ 9 ’ 55 ’ 66 ’ 66 ’ 222222 ’ 111111 999 74 ’ 175 875| Замени звездочки цифрой так, чтобы оба высказывания были верными. Найди множество всех возможных решений: 1)9,0* 5,*9; 2) 3,8* >3,87 и 2,1*8 б) А В CD Е F 0,3 о’а 1 1 1 1 Т 1 0,5 в) А BCD Е F lio’ 2,0 1 1 1 1 « I 1 1 1 1 2,2 г) А ВС D Е F 3,28 3,29 3,30 Два велосипедиста едут по шоссе. Скорость первого велосипедиста равна 5 15 км/ч, что составляет — скорости второго велосипедиста. Сейчас рассто- 6 яние между ними равно 132 км. На каком расстоянии друг от друга будут они через 3 часа, если движутся: а) навстречу друг другу; б) вдогонку; в) в противоположных направлениях; г) с отставанием. Расстояние между Александровной и Бекасово 4 км 500 м. Из Александровки в Бекасово вышел пешеход со скоростью 60 м/мин. Через 5 мин после его выхода навстречу ему из Бекасово в Александровну вышел второй пешеход со скоростью 80 м/мин. Через сколько времени после выхода второго пешехода и на каком расстоянии от Бекасово произошла встреча? Запиши данные суммы чисел со знаками “-Ь” и без скобок и найди ответ (см. № 637). Сравни примеры каждого столбика. Что ты замечаешь? (-8) + (+3) (-5) +(-2) (-1) + (+5) (+3) + (-8) (-2) + (-5) (+5) + (-1) Вычисли и запиши ответ в виде периодической десятичной дроби: Глава 4, §2, п.1 8831 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: Внешним углом треугольника называется угол, смежный с его внутренним углом. 2) Начерти треугольник АВС и построй его внешний угол при вершине А. Сколько решений имеет эта задача? Сколько внешних углов имеет треугольник АВС при вершинах В и С? Сравни внешние углы при каждой вершине и сформулируй гипотезу. 3) Измерь внешние углы треугольника АВС по одному при каждой вершине и найди их сумму. Повтори эксперимент еш;е 2 раза для двух произвольных треугольников. Сформулируй гипотезу. Достаточно ли проведенных измерений для того, чтобы считать твою гипотезу дшеазаппой? Почему? На чертеже изображен график изменения уровня воды в реке в весеннелетний сезон по сравнению со средним уровнем (будем считать, что в месяце 30 дней): » \ А / л Л X / \ У f \ J / V / \ В с 1) Какой отметки достиг уровень воды в реке 20 апреля, 15 июня? 2) Достигла ли вода отметки 400 см, 750 см? Если да, то какого числа это произошло? 3) Какого числа уровень воды был самым высоким? 4) В какие дни вода прибывала, убывала? 5) На сколько сантиметров изменился уровень воды за первые 10 дней мая? 6) В какие дни уровень воды был выше 400 см? 188 Глава 4, §2, п.1 Выполни действия и сократи дроби, если значения всех переменных — натуральные числа: 14 6а^ о\^ . А. к ‘014’ 3) 5d Ibd .2 ’ |8^ Зо 49 ’ 6 ■ 25’ Упрости выражение: 1) 8л: — л: + 4л; — 2jc; 2) 2а + 76 + а + 36; 2 ^ 2i/ • • 4)f-: 3) Ъп + 4 + 12 + п. 8871 Составь выражение и найди его значение при а = 16: О в классе п девочек, а число мальчиков составляет — числа девочек. 4 Сколько всего учеников в этом классе? Построй математическую модель и реши задачу: 2 Три тыквы вместе весят 15 кг, при этом вторая тыква в 1— раза тяжелее О первой, а третья — па 2 кг тяжелее второй. Сколько весит каждая тыква? Блицтурнир. 1) 5 одинаковых плиток шоколада стоят х р. Сколько таких плиток можно купить на ^ р.? 2) За 12 м ткани заплатили т р. Сколько надо заплатить за 4 м этой ткани? 3) Кукла стоит а р., а стоимость машинки состав- 3 ляет — стоимости куклы. Даша купила 3 куклы и О 2 машинки. Сколько стоит эта покупка? 4) В больнице лежат 6 женш;ин и с мужчин. Какую часть всех больных этой больницы составляют женш,ины? 2 5) В банку налили d л оливкового масла, что составило — объема масла в 5 бидоне. На сколько больше масла в бидоне, чем в банке? 6) Сумка и перчатки вместе стоят п р., причем сумка на k р. дороже перчаток. Сколько стоит сумка? [890| Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствуюш;им буквам, и ты узнаешь: а) название металла, который при горении выделяет большое количество света: [й] 0,35 + 0,392 Ш 5-4,573 0 2,174-1,9 Щ 0,72+ 0,004 М н 3,087-2,84 1,5-1,028 б) название металла, который плавает в воде, как пробка: 0 0,0032 + 0,0168 0 0,0025 + 0,0015 И 4,78-4,777 Й л 8,3245-8,324 Й 3,556-3,456 189 Глава 4, §2, п.1 8911 Расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам, и ты узнаешь: а) название одного из самых прочных металлов: Щ 2,02 + 0,001 0 7,002-4,9 7,61-5,4 Щ 1,8 + 0,32 ^ 2,1-0,088 б) название металла, который можно сплющить пальцами: 6-2,9947 Щ 9,25-3,9 Т 3,273 + 1,78 Й 103,03-99, 5 н 13,103-7,6 Р 4,2 + 0,8305 Реши примеры и определи истинность высказываний. Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь название металла. Чем он интересен? Гт[ 0,9 + 0,284 4,24 + 78,26 0 1,4583 + 4,8 60,748-9,7 8931 Составь программу действий и вычисли: 1) (2,5 + 0,613 + 0,96) — (7,5 — (2,86 +3,9)); 2) 27,004 — (45 — (30,02 — 8,26) + 3,184) + (5,008 — 4,7) 0 5-0,99 14,537 + 4,37 21,28 — 12,38 25,06 + 5,5004 89д Реши уравнения: 1) (7,5 +х) — 2,94 = 5,67; 2) 50 — (л: + 6,4) = 16,33. 895| По чертежу найди скорость сближения или скорость удаления объектов. На каком расстоянии друг от друга будут они через 1 мин после выхода? 1) 45,3 м/мин 36,8 м/мин —► 25,5 м 3) 72,4 м/мин ■ 3,14; а 3,15; а 3,133; а 3,144; а«3,143; а»3,145; а«3,146; a*3,1456. Что произойдет с суммой двух чисе.ч, если округлить: а) одно из слагаемых с избытком; б) одно из слагаемых с недостатком; в) оба слагаемых с избытком; г) оба слагаемых с недостатком; д) одно из слагаемых с избытком, а другое — с недостатком? Приведи примеры. Что произойдет с разностью двух чисел, если округлить: а) уменьшаемое с избытком или с недостатком; б) вычитаемое с избытком или с недостатком; в) уменьшаемое и вычитаемое с избытком; г) уменьшаемое и вычитаемое с недостатком; д) уменьшаемое с избытком, а вычитаемое с недостатком; е) уменьшаемое с недостатком, а вычитаемое с избытком? Приведи примеры. Упрости выражение и найди его значение: 1) 9,4 + а + (5,38 — 4,38), если а = 0,82; 2) Ь + 42,7 — (39,825 + 2,74), если Ь = 3,585; 3) 17,56-(24,16- 19,8) +с, если с = 11,04; 4) d- 50,19 — (68,7 — 9,1), если d — 130. Хозяйка заготовила корм для гусей и уток, которого хватило на 2 месяца. На сколько времени хватило бы его одним гусям и одним уткам, если утки съедают его в 2 раза быстрее, чем гуси? 197 Глава 4, §2, п.2 938| Бак наполняется через основной кран за 15 мин, а через запасной — за 25 мин. Сначала в течение 3 минут он наполнялся через основной кран, а затем дополнительно открыли запасной. За сколько времени был наполнен бак? Построй математическую модель задачи и реши ее методом перебора: В школьном зале 80 стульев. Перед утренником их расставили в несколько рядов — поровну в каждом ряду. Затем было решено уменьшить число стульев в ряду на 4, при этом число рядов увеличилось на 1. Сколько стало рядов и сколько стульев в каждом новом ряду? Запиши сумму чисел без скобок и найди ответ, используя понятия доходов и расходов (см. № 637): а) (-7,2) + (-2,4); в) (-1,5) -Ь (+0,6); д) (-4,1) + (-0,7) + (-5); б) (+3,4)+ (-0,8); г) (-0,3)+ (-5,9); е) (+6,8) + (-2,8) + (-3,6). |94lJ Рассмотри таблицы и запиши формулы, выражающие зависимость переменной у от X. Найди по формуле значение у при л: = 0, 7, 10, 15. 1) О X 1 2 3 4 5 6 у 1 4 9 16 25 36 2) X 1 2 3 4 5 6 У 1 8 27 64 125 216 Вычисли: 1)0,96 • 10; 8,34 : 10; 35,79 • 100; 0,63 : 100; 2) 1,38 • 1000; 29,7 : 10 000; 0,094 • 100 000; 2,5: 1000 000; ш Вырази в более мелких единицах: 1) 5,3 м = . см; 2) 5,2 кг = . г; 0,18м = . дм; 6,315т = . ц; 12,7 дм = . мм; 92,03 т = . кг; 0,04км = . м; 0,74ц = . кг; Вырази в более крупных единицах: 1) 7,8 мм = . см; 43,6 см = . м; 15 м = . км; 1920 дм = . км; 2) 29кг = .. 17,5ц = 8,4 кг = , 250г = .. т; .. т; . ц; кг; 3) 0,085 • 100 : 10; 56,8 : 10 • 1000; 0,9036 • 10 000: 100; 4,5 : 100 • 1 000 000. 3) 34 м^ = . дм^; 15.2 га = . а; 0,06 дм^ = . мм^; 0,95 км^ = . м^. 3) 1,5 мм^ = . см^; 140 см^ = . м^; 56.2 а = . га; 60 000 м^ = . км^. 198 Глава 4, §2, п.2 Й5| В 100 Г черной смородины содержится примерно 250 мг витамина С (1 мг = 0,001 г). Определи содержание витамина С в граммах на 1 кг черной смородины. Сколько суточных доз витамина С для взрослого человека заменяет 1 кг черной смородины, если 1 суточная доза составляет 0,05 г? Перерисуй таблицы в тетрадь и заполни пустые клетки: а) X 36,2 45 8,3 0,7 0,1л: 0,01л: 0,001л: б) У 0,025 5,48 17 2,4 у: 0,1 у: 0,01 у: 0,001 Вычисли: 1)42,5*0,1; 2)0,096:0,01; 7,8:0,01; 500*0,0001; 5300 * 0,0001; 0,84 : 0,001; Составь выражение и найди его значение: 1) разность суммы чисел 5,69 и 1,606 и числа 1,29; 2) сумма разности чисел 3,7 и 2,388 и числа 0,76; 3) разность суммы чисел 8,59 и 2,31 и их разности; 4) разность числа 54,002 и разности чисел 28,7 и 5,001. Арифметический ребус. 3) 2,19 : 10 : 0,01; 58,6 * 0,001 * 100; 741,5 * 0,1 : 1000. По вертикали: а) 10,2856 + 2,59; б) 456,399 -Ь 27188,701; Старинная задача. По горизонтали: в) 55,614-23,1569; г) 15739,045- 13,745. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 10 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 15 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? Вычисли и докажи, что полученную дробь нельзя перевести в десятичную. Запиши ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, указав период. l3.(5_(4l.2_2i:|):13.8A)_4|:3,3. 199 Глава 4, §2, п.З Числовые головоломки. 1) Из семи спичек выложено число . Как превратить эту 1 * дробь в число равное , не прибавляя и не убавляя спичек? ^ 3 2) Число 37 записано при помощи пяти троек: 37 = 33 + 3 + —. Найди другой способ выразить число 37 при помощи пяти троек, используя скобки и знаки арифметических действий. Изменение порядка множителей не считается другим способом. Расшифруй записи, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры: а) СУМК,А СУМК, А б) СЛОВ, О слов, о БАГАЖ ПЕСНЯ Ш а) Раздели фигуру Л на 9 равных по площади фигур. б) Покажи, как разделить фигуру В на 8 равных по площади фигур шестью отрезками. А В 3. Умножение десятичных дробей. Установим правило умножения конечных десятичных дробей, используя, как и ранее, переход к обыкновенным дробям. Вычислим, например, произведение 3,21 • 2,6: 8346 о о. о ^ 321 26 321 -26 = 8,346. 1000 Мы видим, что умножение данных десятичных дробей свелось к умножению натуральных чисел, которые получаются после отбрасывания запятых в сомножителях. А число знаков после запятой в произведении такое же, как в обоих множителях вместе. И вообще, алгоритм умножения десятичных дробей можно записать так: 1) Отбросить в множителях запятые и перемножить получившиеся натуральные числа. 2) В полученном произведении отделить запятой справа столько знаков после запятой, сколько их в обоих множителях вместе. 200 Глава 4, §2, п.З Записывают умножение десятичных дробей, как и натуральных чисел, -‘в столбик”, не глядя на запятые, например: + 2,3 5 0,0 1 4 9 4 0 2 3 5 0,0 о 5 6 3 4 0 0 0 + 2 2 4 16 8 О 0,0 3 2 9 о = 0,0 3 2 9 9551 Вычисли устно: 1 9 0,4 о о о = 1 9 0,4 0,2; 2)0,8 — 0,7; 3) 60 — 0,03; 4) 5,78 — 0; 5) 0,32; — 4; 0,4 — 0,3; 0,9 — 800; 1 — 92,6; 0,22; 2,5; 1,2 — 0,6; 0,004 — 0,6; 0,89 — 0,1; 0,072; • 9; 0,15 • 0,5; 3,5 — 0,02; 0,001 — 4,8; 0,012. 0,5 2 1,6 Зная, что 712 • 43 = 30 616, вычисли: 1) 7,12-43; 3)71,2-0,43; 5)712-0,0043; 7)0,712 — 0,043; 2) 7,12 — 4,3; 4)71,2 — 0,043; 6)712 — 0,00043; 8)0,712 — 0,0043. Сделай прикидку произведения: 1) 9,6-7,18; 3)5,12 — 0,308; 5)83,9 — 6,374; 7)0,027-529,4; 2) 2,346 — 8,2; 4)4,219-0,75; 6)0,48-16,109; 8)3,152 — 78,006. Образец: 36,915 — 0,028 «40 — 0,03 = 1,2 Зная, что 728 — 5609 = 4 083 352, найди правильные ответы. Из соответствующих им букв составь название созвездия. 7,28 — 56,09 40,83352 ^ 4083,352 0 408,3352 0 4,083352 0 72,8 — 0,5609 0,4083352 0 408,3352 0 4,083352 0 40,83352 0 7280 — 5,609 408,3352 0 40,83352 0 40833,52 0 4083,352 0 7,28 — 0,5609 0,4083352 0 4,083352 0 40,83352 0 408,3352 0 959| Даны числа: 29,6; 5,8; 42,13; 73,9; 11,04; 0,96; 57,109; 105,6. Выбери из них одно и вставь вместо звездочки так, чтобы ответ примера был максимально близок к указанному приближению: 1) 2,38 • *« 120; 3) *- 5,12 «150; 5)4,02 — *«400; 7) * — 30,6 « 30; 2) 3,04 — * « 18; 4) * — 0,64 «6; 6) * • 1,95 « 80; 8) 2,8 • * « 210. 201 Глава 4, §2, п.З 9601 Вычисли, проверь себя, сделав “прикидку а) 4,07-96; д) 5,09-6,09; б) 31,6-705; е) 34,2-0,407; в) 19,2-3,7; ж) 0,705-0,508; г) 70,08-0,4; з) 55,6 — 0,9003; и) 7,4 — 900; к) 9200-0,85; л) 0,907-4090; м) 6700-87,6; н) 0,25-160-12,12; 0)0,08-0,375-5,05; 11)36,67-660-0,045; р) 0,09-279,1 -3000. ED Игра “Кто быстрее?”. Игра заключается в том, чтобы найти выигрышную строчку, столбец или диагональ, произведение чисел в которых равняется числу, записанному около таблицы. Выигрывает тот, кто сделает это быстрее и сумеет доказать правильность решения. а) 66,924 в) 4,644 Д) 130,56 0,7 2,5 9,1 0,3 1,4 5,6 2,2 7,8 3,9 2,4 4,3 4,1 5,8 0,9 3,6 7,5 1,2 9,7 б) 321,3 г) 5,04 е) 3,8 6,9 2,3 7,5 5,1 8,4 0,2 1,6 4,7 4,5 1,6 0,7 3,1 2,8 8,4 6,2 5,3 7,9 1,9 7,3 6,4 5,7 8,5 3,8 2,4 1,2 0,6 22,77 8,4 9,9 1,8 1,7 0,1 2,3 3,2 6,8 5,5 Найди значение выражения (в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе): а) 0,1 — 0,01 — б) 0,2 — 0,02 — в) 0,1 — 0,01 — г) 0,1 — 0,001 д) 0,1 — 0,01 — 0,001 — . — 0,00. 01 (9 знаков); 0,002 — . — 0,00. 02 (9 знаков); 0,001 — . — 0,00. 01 (99 знаков); — 0,00001 — . — 0,00. 01 (99 знаков); 0,001 — . — 0,00. 01 (999 знаков). Скорость скворца 19,5 м/с, а скорость стрижа в 1,4 раза больше. Насколько метров меньше, чем стриж, пролетит скворец: а) в секунду; б) в минуту? Составь задачу по выражению и реши ее: а) 92,4 — 3,2; б) 18,6 — 3 + 9,5 — 2; в) (14,7+ 8,9) — 2. 202 ——————————————Глава 4, §2, п.З Садовый участок прямоугольной формы имеет длину 30,2 м, а ширину — на 9,7м меньше. Чему равна площадь этого садового участка ? Сколько надо заплатить за установку изгороди вокруг него, если 1 погонный метр изгороди стоит 250 р,, а установка одного метра стоит 50 р.? Вырази полученное число в тысячах рублей и округли до десятых. 96Я Найди площадь фигур: ш 1) Сарай имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Ширина сарая 7,5 м, длина — в 1,68 раза больше ширины, а высота — на 9,4 м меньше длины. Сарай заполнен сеном. Чему равна масса этого сена, если 1 м^ сена весит 0,6 ц? 2) Бак без крышки имеет форму куба с ребром 0,6 м. Найди объем и площадь наружной поверхности бака. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить бак снаружи и изнутри, если на покраску 1 м^ расходуется 0,2 кг краски? Прочитай выражение и найди его значение: 1) (0,5+ 0,2)2; 3)0,52-0,22; 5) (0,5 + 0,2)^; 7)0,52- 2) 0,52 + 0,22; 4) (0,5-0,2)2; 6)0,52 + 0,22; 8)(0,5- Запиши выражение и сосчитай: 1) сумма квадратов чисел 1,5 и 2) квадрат разности чисел 3,6 и 2,8; 3) разность кубов чисел 0,6 4) куб суммы чисел 3,7 и 1,3. Выполни программу действий и составь выражение: 1) Найти произведение чисел 4,06 и 30,5. 2) Число 0,007 увеличить в 310 раз. 3) Сложить результаты 1-го и 2-го действий. 4) Возвести в куб число 0,2. 5) Число 7,25 умножить на результат 4-го действия. 6) Результат 5-го действия уменьшить на 0,008. 7) Результат 3-го действия разделить на число 3. 8) Число 32 умножить на результат 6-го действия. 9) Найти разность результатов 7-го и 8-го действий. ■ 0,22; -0,2)2. 4,5; и 0,4; 203 Глава 4, §2, п.З 9711 Лайди значение выражения: 1) (15,2-4,8 • (150 • 0,12 + 1,56)) • 40-0,22 • 602 .0,53. 2) 10,697 + (0,62 + 0,82)2 . ((3,78 + 16,3)2 _ 12,9 • 0,016): 1000. Запиши с помощью букв переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения. Проверь справедливость записанных равенств для значений букв, взятых из множества десятичных дробей по собственному выбору. Можно ли на основании проведенных тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей. ____ Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае? 9731 Вычисли наиболее удобным способом: 1) 0,2 • 7,24 • 50; 2) 93,6 • 4 • 0,25; 3) 0,125 • 8 • 5,42; 4) 0,4 • 3,2 • 5 • 0,02 • 25; 5) 0,5 • 12,5 • 0,688 • 20 • 0,8; 6) 2,3 • 6,9 + 7,7 • 6,9; 7) 14,5 • 3,8-14,5 • 2,8; 8) 21,3 • 8,5 + 21,3 • 91,5; 9) 74,06 • 0,03-4,06 • 0,03; 10) 45,16 • 1,04 + 1,04 • 54,84. ‘4спользуя распределительное свойство умножения, найди одну пару хку, удовлетворяющих равенству: 1) д: • (3,6 — 0,6) = 4 • 3,6 — 4 • .v; 3) <х + 4,1) • 0,2 = 1,6 + г/; 2) 0,7 • (5 + JC) = I/ + 0,14; 4) (9 - д:) • г/ = 4,5 - 0,35. 975| Как найти часть числа, выраженную дробью? Изменится ли правило, если часть выражена десятичной дробью? Найди: 1) 0,8 от 20; 3) 0,05 от 80; 5) 1% от 0,9; 7) 40% от 60; 2) 0,6 от 12; 4) 0,15 от 4; 6) 10% от 17; 8) 50% от 0,2. 1) Первый из трех множителей равен 2,4, второй составляет 62,5% первого множителя, а третий - 0,4 первого множителя. Найти произведение. 2) Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что одно из трех ребер, выходящих из его вершины, равно 2,25 м, а длина каждого из двух других ребер составляет 80% длины этого ребра. Щ а) Что больше: 0,7 от 0,16 или 0,16 от 0,7? б) Что меньше: 48% от 30 или 30% от 48? 97^ 1) Сплав содержит 78% олова, 16% сурьмы и 6% меди. Какое количество каждого из этих металлов содержится в 150 г сплава? 2) Соя содержит 40% белка и 29% крахмала. Фасоль содержит 23% белка и 55% крахмала. На сколько больше белка в 25 кг сои, чем в 25 кг фасоли? На сколько больше крахмала в 25 кг фасоли, чем в 25 кг сои? 204 Глава 4, §2, п.З 1) Золотая цепочка весит 8 г. Какова масса золота в ней, если это золото 375-й, 583-й, 958-й пробы? 2) Серебряное колье весит 20 г. Сколько в нем серебра, если на колье указана проба серебра 800,875,916? <Пробой драгоценного металла называется число граммов этого металла в 1000 г сплава.) Периметр треугольника равен 6,4 см. Длина первой стороны составляет 0,35 периметра, а длина второй стороны - 75% длины первой. Найди длину третьей стороны. Лыжники прошли за три дня 80 км. В первый день они прошли 25% всего пути, а во второй день - 0,6 оставшегося расстояния. Сколько километров прошли лыжники в третий день? Числовой кроссворд. По вертикали: а) 6,08 • 70,5; б) 0,2457 • 3700; в) 108 000 • 0,00857; По горизонтали: г) 107,3 • 2,088; д) 5,094 • 9070. Известно, что рост А.С. Пушкина был равен 5 английским футам 5,5 дюймам. Вырази его в сантиметрах, если 1 фут = 30,48 см, а 1 дюйм = 2,54 см. Результат округли до единиц. Автомобиль затрачивает на 10 км пути при движении за городом 0,8 л бензина, в городском режиме при движении без пробок - 1 л, а в пробке - 1,5 л. По пути на дачу автомобиль проехал по городу 7,3 км, причем 1,8 км из них в пробке, а затем за городом -28,5 км. Сколько бензина затрачено на этот путь? Что произойдет с произведением двух чисел, если округлить: а) один из множителей с избытком; б) один из множителей с недостатком; в) оба множителя с избытком; г) оба множителя с недостатком; д) один множитель с недостатком, а другой с избытком? а б В г д Сравни, используя знаки >, ю лишь трех троек? 3) Что надо поставить вместо звездочки в записи 4*5, чтобы получить число, большее четырех, но меньшее пяти? 10351 Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 мин до звонка, а если вернется домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает на 7 мин. Какую часть пути он прошел до того, как вспомнил о ручке? (Временем, необходимым для того, чтобы зайти в дом и взять ручку, — пренебречь.) Ш3б1 Оле было дано пятизначное число. К этому числу она должна была прибавить 200 000 и полученную сумму умножить на 3. Вместо этого Оля приписала к этому числу цифру 2 и получила верный результат. Какое число было дано Оле? 213 Глава 4, §2, п.4 [037| Ваня, Коля и Петя играли в настольный теннис “на вылет”, то есть в каждой партии двое играют, а третий ждет и в следующей партии замещает проигравшего (ничьих не бывает). В итоге оказалось, что Ваня сыграл 12 партий, а Коля — 25 партий. Сколько партий Коля отдыхал? Ответ объясни. 4. Деление десятичных дробей. Умножение десятичных дробей, как мы видели в предыдущем пункте, легко сводится к умножению натуральных чисел — надо только внимательно определить место запятой в произведении. А вот с делением десятичных дробей дело обстоит сложнее: может оказаться, что частное двух десятичных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. Это связано с тем, что не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби. Попробуем, однако, и при делении десятичных дробей воспользоваться их аналогией с натуральными числами. Деление натуральных чисел проводится поразрядно: сначала делятся старшие счетные единицы, а затем последовательно, разряд за разрядом, -младшие. Используем этот же принцип и для деления десятичных дробей. Сначала рассмотрим простейший случай — деление десятичной дроби на натуральное число. Например, пусть надо разделить число 9,5 на 4. Разделим сначала целые единицы, затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли, оставшиеся десятые доли — в сотые и т.д. Если десятичных знаков окажется недостаточно, то всегда можно приписать к ним справа столько нулей, сколько требуется. Итак, будем делить на 4 сначала 9 целых, а затем последовательно -15 десятых, 30 сотых, 20 тысячных. В итоге получаем, что: 9,5:4 = 2,375. И вообще, чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, можно: 1) Выполнить деление целой части. 2) Поставить в частном запятую. 3) Продолжить деление, не обращая внимания на запятую, дописывая в делимом после запятой столько нулей, сколько потребуется. Теперь рассмотрим деление на десятичную дробь. Этот случай легко свести к делению на натуральное число. Найдем, например, частное от деления 0,3105 на 1,5. Для этого сначала заменим знак деления дробной чертой и применим основное свойство дроби: 0,3105 : 1,5 = * 10 _ 3,105 9,500 8 15 12 30 20 20 о 2,375 1,5 — 10 15 = 3,105 : 15. 214 — Глава 4, §2, п.4 Теперь выполним деление дроби на натуральное число по установленному выше правилу: ЗД05 I 15 О 0,207 31 105 105 о Данный способ можно применить для деления на любую десятичную дробь. Таким образом, чтобы разделить число на десятичную дробь, можно: 1) Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе. 2) Выполнить деление на натуральное число. Рассмотрим теперь случай, когда при использовании данного правила получается бесконечный процесс деления на натуральное число. Попробуем, например, найти частное дробей 0,8 и 0,6: 0,8:0,6 = 8:6 = 1,33333. Мы видим, что сколько бы мы ни продолжали деление, в новых разрядах частного всегда будет получаться цифра 3. Происходит это потому, что точное значение частного равно несократимой дроби — , в знаменателе которой есть простой мно-3 8,0000. I 6 6 1,333. 20 1J 20 20 18 20 житель 3. Следовательно, эта дробь — а стало быть, и частное 0,8 : 0,6 — не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Следует сказать, что невозможность при делении десятичных дробей всегда получать конечную десятичную дробь существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных дробей. Вместе с тем, как мы говорили, основным назначением десятичных дробей является их использование для практических измерений. А эти измерения, как правило, являются приближенными. Так, расстояния в разных случаях измеряют с точностью до 1 м, 1 см, 1 мм и т.д., массу — с точностью до 1 г, 1 ц, 1 т и т.д. Поэтому и результаты арифметических действий в практических расчетах часто приходится округлять. Заметим, что точно так же “вычисляет” и калькулятор: при делении, например, на калькуляторе с десятью разрядами числа 0,2 на 0,3 результат получается в виде десятичной дроби 0,666666667, которая является приближенным значением частного 0,2 : 0,3 с точностью до миллиардных. Подобным образом с некоторой заданной точностью одну десятичную дробь всегда можно разделить па другую десятичную дробь. 215 Глава 4, §2, п.4 О [103^ Проверь, верно ли выполнена “прикидка”: 1)86,4:4» 20; 2) 489,2 : 5» 100; 3) 419,64 : 52 »8; 27,27 :7»4; 509,4: 6 »80; 2163, 4 : 29« 70; 75,84: 8» 9; 764,7 :3»250; 5625,62 : 91 «60. Найди с помощью прикидки приближенное значение частного: 1) 27,72:3; 3)177,6:6; 5)3622,6:59; 2) 24,85:5; 4)200,56:23; 6)259,94:82. Шо| Зная, что 3595 : 5 = 719, найди частное: 1)35,95:5; 2)359,5:5; 3)3,595:5; 4)0,3595:5. 10411 Выполни прикидку и поставь в частных пропущенные запятые и нули: а) 33,28 : 8 = 416; г) 2049,74 : 22 = 9317; б) 4,23:6 = 705; д) 1505,7 : 315 = 478; в) 2558,4 : 41 = 624; е) 22,008 : 42 = 524. Вычисли устно. Результат проверь умножением: 1)8,4:4, 2) 1,6:8; 3)0,81:9; 4)9:2; 6,8 : 2; 2,4 : 4; 0,64 : 8; 1:4; 10,5:5; 6,3:7; 0,3:6; 2,8:70. 104^ Выполни деление. Проверь результат с помощью умножения: а) 81,18: 9; г) 312,156 : 39; ж) 1,463: 7; к) 5,751: 639; б) 361,2:42; д) 1852,59 : 37; з) 0,288: 6; л) 0,138: 345; в) 5168: 85; е) 4584,36 : 506; и) 4,35: 58; м) 0,05076 : 72. Реши задачи и определи, что в них общего и что различного. Придумай аналогичную задачу с другими величинами и числами: 1) Лодка проплыла 16,8 км по течению реки за 2 ч, а вернулась обратно за 3 ч. На сколько километров в час скорость лодки по течению больше, чем ее скорость против течения? 2) Саша купил 4 одинаковые ручки за 96 р., а Ира купила 6 таких же ручек за 132 р. Кто купил ручки по более низкой цене? 3) Конфеты расфасованы в коробки по 10,8 кг в каждой. Из одной коробки их разложили поровну в 9 пакетов, а из другой — в 15 пакетов. Масса каких пакетов меньше и на сколько? 216 Глава 4, §2, п.4 [10451 Выполни деление. Результат проверь с помощью умножения: а) 25,2: 0,4; е) 20,416 : 0,29; л) 427,8 : 0,046; ж) 3,7259 : 3,7; з) 648,432 : 0,72; и) 200,1 :0,69; к) 56,58 : 0,0082; б) 49,56 : 0,007; в) 397,5:0,53; г) 276,08 : 0,068; д) 7164,5: 8,9; м) 295,22 : 0,0058; н) 6 : 0,0064; о) 0,08008 : 3,85; п) 0,02292 : 0,075. 104б| Игра “Проще простого”. Игра проводится по аналогии с игрой “Крестики-нолики”. Из предложенных десяти чисел надо выбрать пару чисел, а затем найти их частное. Если частное принадлежит таблице, игрок отмечает его в таблице соответственно “крестиком” или “ноликом”. Выигрывает тот, кто первым заполнит строку, столбец или диагональ. 0,5 1,2 25 0,1 20 1,8 50 2,5 10 0,4 а) 25 0,05 12 2,4 100 5 0,18 20 0,2 б) 0,01 500 3 8 0,25 10 200 0,12 6,25 в) 40 250 0,04 18 50 3,6 4,5 125 4 10471 Найди число, если: а) 0,09 его составляют 638,1; г) 4% его составляют 0,1634; б) 0,72 его составляют 58,104; д) 35% его составляют 7,014; в) 1,96 его составляют 1097,6; е) 240% его составляют 23 040. 1048| Блицтурнир. 1) Сыну 12 лет, его возраст составляет 0,4 возраста отца. Сколько лет отцу? 2) Плотцадь одной комнаты равна 15,2 м^, что составляет 80% площади второй комнаты. Чему равна площадь второй комнаты? 3) В классе 12 девочек. Число девочек класса составляет 0,6 числа мальчиков. Сколько всего учащихся в этом классе? 4) Автотурист проехал в первый день 180 км. Это составило 120% пути, который он проехал во второй день. На сколько километров больше проехал автотурист в первый день, чем во второй? 5) Бананы стоят 40 р., что составляет 50% стоимости винограда, а стоимость винограда составляет 32% стоимости ананасов. Сколько стоят ананасы? 217 Глава 4, §2, п.4 1049| Не вычисляя, найди в строках правильные ответы. Из соответствующих им букв составь фамилию известного философа XVITI в., который выдвинул гипотезу о происхождении Солнечной системы из первоначальной туманности (космогоническая теория). В какой стране жил этот философ? 1,218 : 4 3,045 @ 30,45 0,3045 304,5 0 121,8:0,4 304,5 0 3,045 0 30,45 0 3045 0 0,1218:0,04 30,45 0 0,3045 0 304,5 0 3,045 0 1,218:0,04 0,3045 0 30,45 0 3,045 0 304,5 0 Ш| Числовой кроссворд. По горизонтали: а) 3,709 • 6,08; б) 197,5 • 40,07; в) 82 600 • 8,006; По вертикали: г) 1511,955: 125; д) 360,242 : 0,08; е) 10132,71 : 0,0375. Ш| Найди часть, которую одно число составляет от другого, и вырази ее в процентах: 1)45 от 30; 2) 0,7 от 2,8; 3) 0,36 от 6; 4) 4,8 от 64. 1) Вчера плащ стоил 3500 р., а сегодня — 2800 р. Какую часть новая цена плаща составляет от старой? Вырази эту часть в процентах, 2) Из 360 т сахарной свеклы получили 57,6 т сахара. Какой процент содержания сахара в сахарной свекле? 1) При переработке 8 ц пшеницы получено 6,8 ц муки. Какую часть первоначальной массы пшеницы составили отходы? Вырази эту часть в процентах. 2) Рыбак поймал 19,5 кг рыбы, а после вяления ее масса уменьшилась до 11,7 кг. Сколько процентов своей массы теряет рыба при вялении? Звезды имеют различную яркость. Самые яркие — звезды первой величины, а самые слабые по яркости, которые можно разглядеть в ночном небе, — звезды шестой величины. Яркость звезд при переходе от одной величины к другой последовательно уменьшается примерно в 2,5 раза. Какую часть яркость звезд шестой величины составляет от яркости звезд первой величины? Округли результат до тысячных и вырази его в процентах. 218 Глава 4, §2, п.4 1055| Найди значения а, & и с: 1) 2) 3) 4) Составь программу действий и вычисли: 1) 6,82 + (15 — 0,024): 0,72 + 10 • 0,01; 2) (44,33 + 100,006): 4,8 — 0,179 : 0,1; 3) 37,2 : (1,6 — 1,352) — 30,8 • (1,25 + 2,8); 4) 15,3 : 15 + (8,484 : 1,05 + 0,034 : 1,7) • 0,01. Папа изготовил ящик для своих инструментов. Он использовал 0,78 м^ фанеры по цене 160 р. за квадратный метр, 0,45 м^ оргалита по 96 р. за квадратный метр, 2 петли по 74 р. за штуку, 14 шурупов по 12 р. за десяток, защелку за 15 р. и 2 ручки по 27,5 р. за штуку. Кроме того, ему потребовалось 0,15 кг гвоздей по цене 140 р. за килограмм и упаковка клея за 26 р. В магазине такой готовый ящик стоит 2460 р. Сколько денег сэкономил папа? Портной для пошива рубашек приобрел 2 рулона одинаковой ткани, один рулон длиной 17,5 м, а другой-на 5 м больше. 1) Сколько рубашек он сшил из этой ткани, если на одну рубашку идет 2,5 м? 2) По какой цене за метр портной покупал ткань, если известно, что каждая рубашка была продана по цене 800 р. за штуку, а стоимость пошива и торговая наценка составили 40% цены? Дачник приобрел участок земли квадратной формы с периметром 200 м по цене 5,8 тыс. р. за сотку. Он решил поставить ограду с двумя калитками шириной 1,25 м каждая. Стоимость одной калитки равна 3,6 тыс. р., а 10 погонных метров ограды стоят 6 тыс. р. Бригада рабочих поставила ограду за два дня, работая по 8 часов в день. Их работа в течение одного часа стоит 350 р. 1) Чему равна стоимость участка земли? 2) Чему равна стоимость ограды вместе с ее установкой? Глава 4, §2, п.4 Прочитай выражение и найди его значение при а = 0,05 и & = 0,1: 1) (а:ЬГ; 3) http://nashol.me/20210516132445/matematika-5-6-klassi-sbornik-samostoyatelnih-i-kontrolnih-rabot-kubisheva-m-a-peterson-l-g-2007.html http://uchebnik-skachatj-besplatno.com/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%205%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA%20%D0%94%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%84%D0%B5%D0%B5%D0%B2%20%D0%9F%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%202/index.html