Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби
Вы будете перенаправлены на Автор24
Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:
Приведя дроби к общему знаменателю
Используя основное свойство пропорции
Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.
1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.
Решение:
1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую
Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.
2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$
Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.
Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9\]
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9=\] \[<=2х>^2+9х+9\]
Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=<2х>^2-х-10х+5=<2х>^2-11х+5$
Тогда уравнение примет вид:
Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним
Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми , стоящими в скобках на противоположные
Приведем подобные слагаемые
Тогда дробь примет вид
3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.
Решим линейное уравнение:
4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.
Поставим условие, что знаменатели не равны $0$
Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.
Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.
Ответ:$-0,2.$
Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные
Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.
Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.
Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.
2 способ. Используем основное свойство пропорции
Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.
Используем данное свойство для решения этого задания
1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.
Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного
2.Найдем допустимые значения переменной .
Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли , что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.
Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.
Ответ:$-0,2.$
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 05 2021
Дробно-рациональные уравнения
Что такое дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:
при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.
Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.
9 x 2 — 1 3 x = 0
1 2 x + x x + 1 = 1 2
6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1
Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:
Как решаются дробно-рациональные уравнения
В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.
Алгоритм действий при стандартном способе решения:
- Выписать и определить ОДЗ.
- Найти общий знаменатель для дробей.
- Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
- Записать уравнение со скобками.
- Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
- Найти корни полученного уравнения.
- Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
- Записать ответ.
Пример 1
Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Начать следует с области допустимых значений:
x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2
Воспользуемся правилом сокращенного умножения:
x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )
В результате общим знаменателем дробей является:
Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )
После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8
x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8
Осталось решить квадратное уравнение:
Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:
Примеры задач с ответами для 9 класса
Требуется решить дробно-рациональное уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Определим область допустимых значений:
О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2
x 2 + 7 x + 10 ≠ 0
D = 49 — 4 · 10 = 9
x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2
x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5
Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:
a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —
— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0
x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Потребуется решить квадратное уравнение:
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.
Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:
4 x — 2 — 3 x + 4 = 1
В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:
— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:
( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:
— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:
Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.
Нужно решить дробно-рациональное уравнение:
x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x
На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0
x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0
x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0
— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0
Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.
— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Корни квадратного уравнения:
x 1 = — 4 ; x 2 = 2
Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.
Найти корни уравнения:
x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2
Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:
x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0
x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0
x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0
0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0
Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:
Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.
Ответ: х — любое число, за исключением 3.
Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:
5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4
На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:
5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.
Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют
Нужно найти корни уравнения:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
Начнем с определения ОДЗ:
— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0
При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )
( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )
( x — 3 ) x + x = x + 5
Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:
x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0
Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:
x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3
В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.
Второе значение не соответствует области допустимых значений.
Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
- формирование понятия дробных рационального уравнения;
- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской работы.
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
- Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
- Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
- Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
- Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
- Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
- Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/drobnoraczionalnye-uravneniya
http://urok.1sept.ru/articles/559882