Два одинаково направленных колебания заданы уравнениями

Два одинаково направленных колебания заданы уравнениями

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Найти амплитуду А и начальную фазу φ₀ гармоничного колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: X = 0,2 sіn (5t + π/2) и X = 0,03 sіn (5t + π//4).

Дано:

Решение:

Амплитуда результирующего колебания

Начальная фаза результирующего колебания

Ответ: ,

Примеры решения задач

Пример 1. Колебания материальной точки происходят относительно положения равновесия по закону х=А∙sinωt с периодом T=12 с. Определить, за какой наименьший промежуток времени t₁ точка удалится от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды x=A/2. За какой промежуток времени t₂ она пройдет оставшуюся часть пути до максимального отклонения.

Решение. В момент времени t₁ cмещение равно А/2: А/2=А∙sinωt₁, sinωt₁=1/2, т.е. ωt₁=π/6, или (2π/Т)t₁=π/6.

Расстояние от точки равновесия до точки максимального отклонения материальная точка проходит за t=T/4. Следовательно, t₂=T/4- T/12= 2 c.

Пример 2.За какую часть периода точка, совершающая гармонические колебания по закону косинуса, сместится на половину амплитуды, если в начальный момент она находилась в положении равновесия?

Решение.Колебания точки описываются уравнением x=Acos(ω₀t+α). Поскольку при t = 0 смещение х = 0, то начальная фаза φ должна равняться π/2, т.е. уравнение имеет вид:

По условию смещение x=A/2, следовательно, (знак «минус» не учитываем, т.к. нас интересует первое попадание колеблющейся частицы в данное положение).

Отсюда и

Пример 3.Точка совершает колебания по закону x=5cosω₀t (м), где ω₀= 2 с –1 . Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость равна 8 м/с.

Решение.Зависимости скорости и ускорения колеблющейся точки от времени задаются уравнениями

Следовательно, . Тогда и с учетом того, что α=0, получаем

Пример 4.Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение равно 100 см/с 2 . Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду.

Решение.Из формул

a=-A cos(ω₀t+α)=- a_maxcos(ω₀t+α),

Период

Амплитуда

Пример 5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 0,02 м, полная энергия колебаний W=3∙10 –7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F= 2,25∙10 –5 Н?

Решение.Из можно выразить

Тогда, используя выражение F=-kx, получим

Пример 6.В качестве физического маятника используется стержень, подвешенный за один из его концов. Чему равен период колебаний при длине стержня 1 м?

Решение.Для того, чтобы воспользоваться формулой , необходимо по теореме Штейнера посчитать момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса:

Тогда, учитывая, что x=l/2,

Пример 7.Два одинаково направленных гармонических колебания заданы уравнениями x₁=A₁∙sinω₀t и x₂=A₂∙cosω₀t, где А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; ω₀ = 1 с –1 . Определить амплитуду результирующего колебания А, его частоту v и начальную фазу α. Найти уравнение этого движения.

Решение.Преобразуем первое уравнение, заданное в условии задачи, к виду x=A∙cos(ω₀t+α) и получим

Тогда по формуле амплитуда результирующего колебания:

=1+4+2∙2∙cos0,5π=5 см 2 .

Частота результирующего колебания равна частоте складывающихся колебаний

Начальную фазу находим по формуле:

Начальная фаза α=arctg(-0,5)=-26,6°=-0,46 рад.

Уравнение результирующего колебания имеет вид x=2,24∙10 -2 cos(t-0,46) м.

Пример 8.Складываются два колебания одинакового направления (рис.23), выражаемых уравнениями x₁=A₁cosω(t+τ₁) и x₂=A₂cosω(t+τ₂), где А₁=1 см; А₂=2 см; τ₁=1/6 с; τ₂=1/2 с; ω=π рад/с. Определить начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний; найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания.

Рис.23

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний: φ₁=ωτ₁=π/6 рад и φ₂= ωτ₂=π/2 рад.

Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис.23.

Согласно теореме косинусов, получим:

Подставим значения А₁, А₂ и φ₂-φ₁ в (3), извлечем корень и получим: А=2,65 см.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим непосредственно из рисунка 41.1:

Тогда φ=arctg(5/ )=70,9°=0,394π рад.

Так как циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω.

Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде х=А∙cos(ωt+φ),

где А=2,65 см, ω=π рад/с, φ=0,394π рад.

Пример 9. Шарик массой m=10 -2 кг=10 г совершает гармонические колебания с амплитудой А=0,2 м и периодом Т=4 с. В начальный момент времени t=0: х=А. Найти кинетическую и потенциальную энергию в момент времени t= 1 с.

Решение: Запишем уравнение гармонических колебаний

Т.к. при t=0 х=А, то можно определить начальную фазу Асоs(ω∙0+φ₀)=A, соsφ₀=1, φ₀=0.

Таким образом, х=0,2cos[(2π/4)t]= 0,2cos[(π/2)t] (м).

Кинетическая энергия шарика определяется по формуле: Е_к=mv 2 /2, где v=dx/dt=-Aω∙sinωt.

Е_к=[mA 2 ω 2 ∙sin 2 ωt]/2=5∙10 -3 Дж.

Потенциальная энергия шарика равна:

Е_п=kx 2 /2=[kА 2 cos 2 ωt]/2=[kА 2 cos 2 (π/2)]/2,

Пример 10. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой m_c=3m₁ с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d=l/2 и массой m_о=m₁. Горизонтальная ось ОZ проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 24). Определить период колебаний такого маятника T — ?.

Рис.24

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний, m — его масса, l_c — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J₁ и обруча J₂:

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по формуле J₁=m_cl 2 /12, т.е. J₁=m₁l 2 /4.

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера J=J_o+ma 2 . Применив эту формулу к обручу, получим

Подставив выражения J₁ и J₂ в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

Расстояние l_c от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J, J_c и массы маятника (m=3m₁+m₁=4m₁), найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим Т=2,17 с.

Пример 11. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (рис.25), выражаемых уравнениями x=2cosω₀t (см) и y=sinω₀t (см). Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения, если ω₀=π/3 (с –1 ).

Рис.25

Решение.Преобразуем второе уравнение к виду y=Аcos(ω₀t+α) и получим:

Как видно, разность фаз складывающихся колебаний α= -π/2 и это соответствует частному случаю, когда уравнение траектории имеет вид: . Траекторией движения в этом случае является эллипс, приведенный к главным осям, уравнение которого .

Для того, чтобы указать направление движения точки, необходимо проследить, как меняется ее положение с течением времени. Для этого найдем координаты точки для двух ближайших моментов времени. Период результирующих колебаний Поэтому моменты времени, отличающиеся на одну секунду, можно считать достаточно близкими.

Следовательно, точка 1 имеет координаты (2; 0), а точка 2 – (1; 0,86). Это означает, что движение происходит против часовой стрелке.

Пример 12.Амплитуда колебаний математического маятника длиной 1 м за время 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания колебаний и количество колебаний, совершенных за это время. Записать уравнение колебаний, если в начальный момент маятник был отведен из положения равновесия на 5 см и отпущен.

Решение.Период и частоту колебаний математического маятника найдем из выражения:

Запишем отношение амплитуд (начальной A₀=5 см и через время t = 10 мин = 600 с):

следовательно, βt=ln2, отсюда

Количество колебаний N, совершенных за время t , найдем из того, что t=NT, а, значит, βNT=ln2, и тогда

Логарифмический декремент затухания определим по:

Выбор гармонической функции для написания уравнения колебаний проведем на основании того, что в начальный момент смещение точки от положения равновесия равно амплитуде, а этому условию удовлетворяет функция косинус. Тогда уравнение данных затухающих колебаний имеет вид: x=5∙10 -2 e -0,001 t cosπt (м).

Пример 13.Пружинный маятник, (жесткость пружины которого равна k = 10 Н/м, а масса груза m = 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определить коэффициент затухания β и резонансную амплитуду А_рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F₀ = 10 мН.

Решение.Коэффициент затухания:

Тогда резонансная частота:

Пример 14.Тело D массы m_D = 10 кг расположено на гладкой плоскости, наклоненной под углом = 30° к горизонту, и прикреплено к концу A пружины, коэффициент жесткости которой с = 36.1 Н/см (рис. 26). В некоторый момент к грузу D присоединяют груз Е массы m_Е = 15 кг. В тот же момент времени верхний конец пружины B начинает двигаться вдоль наклонной плоскости по закону см, причем точка O₁ совпадает со средним положением точки B (при ). Сопротивление движению двух грузов пропорционально их скорости v, , где = 100 (Нс)/м – коэффициент сопротивления. Найти уравнение движения грузов D и E.

Рис.26

Решение. Направим оси O_x и вдоль наклонной плоскости вниз, в сторону растяжения пружины (рис. 27). Начало O координатной оси O_x совместим с положением покоя грузов D и E, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка B занимает свое среднее положение ( ). В этом положении пружина растянута на величину , где и – статические деформации пружины под действием груза D и E.

Рис.27

Изобразим грузы в промежуточном положении, отстоящем от начала координат на величину x (точка M). Если бы верхний конец пружины был неподвижен, то в этом положении пружина была бы растянута на величину ( ). Но при смещении вниз верхнего конца пружины на некоторую величину удлинение пружины окажется меньшим на эту величину , т.е. . Следовательно, проекция силы упругости пружины на ось x в точке M будет определяться выражением: . Проекция силы сопротивления . Таким образом, дифференциальное уравнение движения грузов в проекции на ось x имеет вид

,

где . Учитывая, что в состоянии статического равновесия грузов , получим

,

, (1)

Начальные условия для уравнения (1) определяются соотношениями

Как известно, решение линейного дифференциального уравнения (1) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

и частного решения x₂ неоднородного уравнения (1)

. (3)

Общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

. (4)

Частное решение неоднородного уравнения (3) будем искать в виде

. (5)

Определив производные подставив их в уравнение (3), получим

Чтобы полученное равенство выполнялось в любой момент времени, необходимо равенство нулю выражений в квадратных скобках. Таким образом, для определения коэффициентов A₁ и A₂ имеем систему из двух линейных уравнений

решение которой записывается так

или после подстановки численных данных

Следовательно, решение уравнения (1) принимает вид

причем скорость точки равна

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ определим из начальных условий: С₁ = –1.2928 см, С₂ = –0.2181 см. В результате уравнение движения груза имеет вид

Вопросы для самопроверки

— Под действием какой силы совершаются свободные колебания материальной точки?

— Какой вид имеет дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки?

— От каких факторов зависят частота, период, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний материальной точки?

— Каков вид графиков свободных и затухающих колебаний, а также апериодического движения материальной точки?

— Какой вид имеет дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки и каково его общее решение?

— Из каких составляющих движений складывается движение материальной точки, находящейся под действием восстанавливающей и возмущающей сил?

— Каковы частота и период вынужденных колебаний материальной точки?

— Какие вынужденные колебания называются колебаниями малой частоты и какие – колебаниями большой частоты? Чем характеризуется тот и другой вид колебаний?

— От каких факторов зависит амплитуда вынужденных колебаний точки?

— Что называют коэффициентом динамичности и каков график его зависимости от отношения p/k?

— При каком условии возникает явление биений? Каков график биений?

— При каких условиях возникает резонанс и каковы уравнения и график вынужденных колебаний материальной точки при резонансе?

— Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на амплитуду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний?

— Как определить максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний при данном значении коэффициента затухания n?

— При каком значении коэффициента затухания максимум амплитуды вынужденных колебаний не существует?

— Какова зависимость сдвига фазы колебаний от частоты изменения возмущающей силы p и от коэффициента затухания n?

Два одинаково направленных колебания заданы уравнениями

Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода T = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см составляет π/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

Складываются два гармонических колебания одного направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы, с периодами Т₁ = 2 с и Т₂ = 2,05 с. Определите: 1) период результирующего колебания; 2) период биения.

Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону ξ = A cosωt, а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от менее плотной среды, определите характер колебаний в любой точке стержня.

Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями х₁ = 3соs2πt, см х₂ = 3 cos(2πt + π/4), см. Определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

Гармонические колебания величины s описываются уравнением s = 0,02cos(6πt+π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

Гармонические колебания в электрическом контуре начались (t = 0) при максимальном напряжении на конденсаторе U_m = 15 B и токе, равном нулю на частоте ν = 0,5 МГц. Электроемкость конденсатора С = 10 нФ. Записать уравнение колебаний тока в контуре.

Найти амплитуду А и начальную фазу φ₀ гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями х₁ = 0,02sin(5πt + π/2) м и x₂ = 0,030sin(5πt + π/4) м.

Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60°, равна 6 см. Определить амплитуду второго колебания, если А₁ = 5 см.

Постройте в тетради графики и спектры гармонических колебаний, заданных следующими временными зависимостями: x₁ = 2 sin πt, х₂ = sin 2πt. Выполните сложение этих колебаний, расположите графики точно один под другим. Постройте спектры колебаний.

По заданному уравнению x = 20 cos 2πt (см) гармонических колебаний пружинного маятника определить основные параметры колебательной системы (x_m, ω, ν, T, k), нарисовать графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени. m = 10 г.

При сложении гармонических колебаний с близкими частотами уравнение результирующих колебаний (биений) имеет вид: х = 10·cos(4t)·cos(104t) мм. Определить частоты складываемых колебаний и записать уравнения этих колебаний.

При сложении гармонических колебаний с близкими частотами уравнение результирующих колебаний имеет вид: х = 10·cos(4t)·cos(104t) мм. Определить частоты складываемых колебаний и записать уравнения этих колебаний. Сколько колебаний совершает колеблющаяся точка за время, равное периоду биений?

Амплитуды и периоды двух одинаково направленных гармонических колебаний равны, фазы же различаются на 2π/3. Уравнение результирующего колебания в единицах СИ имеет вид x = 0,2cos(πt+π). Определить уравнения слагаемых колебаний.

Найдите период гармонических колебаний физического маятника, показанного на рисунке. Маятник представляет собой два однородных металлических стержня известной массы m каждый, сваренных перпендикулярно друг к другу. Ось вращения расположена на конце одного из стержней. Длина каждого стержня равна l.

Точка участвует в двух гармонических колебаниях одного направления: x₁ = 3·cos(10πt + π/2), см; х₂ = 4·cos(10πt+π/3), см. Записать уравнение результирующего колебания.