Два одинаковых корня в квадратном уравнении

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z 2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
2. имеет два действительных корня z_{1, 2} = ±√a
3. Не имеет действительных корней, если a 2 + x + 1 = 0.
   Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x 2 ; y = x + 1.

y = x 2 , квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

3) Если D

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

Если знаки a и с разные (например, a>0, c

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если -a 0, обе части уравнения делим на -a

и получаем то же уравнение

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^<2>-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении квадратных уравнений . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если \(D\) равен нулю – только один корень;
— если \(D\) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, \(\sqrt\) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: \(x_<1>=\) \(\frac<-b+\sqrt><2a>\) и \(x_<2>=\) \(\frac<-b-\sqrt><2a>\) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_<1>\) и \(x_<2>\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt\) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Найдем корни уравнения

Получили два различных корня из-за разных знаков перед \(\sqrt\)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение \(x^2+2x-3=0\) имеет корни \(x_<1>=1\) и \(x_<1>=-3\), значит при подстановке \(1\) и \(-3\) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию \(y=x^2+2x-3\) получим \(y=0\). То есть, функция \(y=x^2+2x-3\) проходит через точки \((1;0)\) и \((-3;0)\) (подробнее смотри статью Как построить график функции ).

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: \(x_<1>=\) \(\frac<-b+\sqrt><2a>\) и \(x_<2>=\) \(\frac<-b-\sqrt><2a>\) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Находим корни уравнения

Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция \(y=x^2-4x+4\) будет выглядеть вот так:

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Находим корни уравнения

Оба корня содержат невычислимое выражение \(\sqrt<-11>\), значит, и сами не вычислимы

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!