Два уравнений кривых найти пересечение

Взаимное пересечение поверхностей в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Взаимное пересечение поверхностей:

При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум поверхностям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

  1. Введем вспомогательную поверхность Ф.
  2. Строим линии пересечения поверхности Ф с поверхностями
  3. Определяем точки пересечения К и М, простроенных линий a и b
  4. Многократно повторяя эту операцию, найдем ряд точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям.
  5. Соединяем последовательно точки с учетом видимости.

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые линии пересечения с заданными поверхностями.

Взаимное пересечение поверхностей

Линия, общая для двух пересекающихся поверхностей — линия пересечения.

Чтобы определить проекцию линии пересечения, необходимо найти проекции точек, общих для этих поверхностей. Их находят способом вспомогательных секущих плоскостей или вспомогательных сфер.

Если рёбра призмы или ось вращения цилиндра перпендикулярны какой-либо из плоскостей проекций, то на этой плоскости проекций линия пересечения совпадает с контуром основания призмы или цилиндра.

Пересечение двух многогранников

Для построения линии пересечения двух многогранников необходимо определить точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, затем ребер второго с гранями первого. Полученные точки соединить отрезками прямой с учетом видимости. На рисунке 9.2 заданы поверхности трехгранной призмы DEFD’E’F’ и трехгранной пирамиды SABC. Так как призма F, фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с гранями призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию. Для этого определяем точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Ребро SC пересекает грани призмы в точках I и 2, ребро SB — в точках 3 и 4, ребро SA не пересекает призму. Затем определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды.

По чертежу видим, что только ребро DD’ пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения 5 и б через ребро DD’ проводим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки 5 и 6 получаем, как пересечение DD’ с построенным треугольником.

Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию.

В том случае, когда обе гранные поверхности общего положения, последовательность соединения точек вызывает затруднение. Поэтому для соединения точек используется диаграмма Ананова — условные развертки поверхностей (см. учебник).

Пересечение гранной и кривой поверхности

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую линию, с точками излома на ребрах многогранника.

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рисунке 9.3 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса.

Так как призма фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию линии пересечения.

Сначала определяем точки пересечения ребер призмы с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму но прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.

Пересечение двух кривых поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух кривых поверхностей, представляет пространственную кривую линию. Поэтому для ее построения необходимо определить ряд точек принадлежащих этой лини.

На рисунке 9.4 заданы поверхности конуса и сферы. Точки строятся при помощи горизонтальных плоскостей посредников, которые рассекают обе поверхности но окружностям.

Обязательно находим опорные точки, к которым относятся высшая и низшая точки линии пересечения и точки границы видимости. Так как оси поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, контурные образующие поверхностей пересекаются в точках 1 и 2 — это и будет высшая и низшая точки. Точки границы видимости лежат на экваторе сферы, поэтому точки 3 и 3′ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы. Она рассекает сферу по экватору, а конус но параллели радиуса R.

Взаимно пересекаясь, они и дают точки 3 и 3′ фронтальную проекцию определяем по вертикальной линии связи на плоскости Затем берем еще две вспомогательные плоскости расположенные выше и ниже плоскости и выполняя, аналогичные построения определяем точки 4 и 5 и 5′. Полученные точки соединяем с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращении. Метод вспомогательных секущих сфер

Способ вспомогательных секущих сфер применяется при следующих условиях:

  1. Пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения.
  2. Оси этих поверхностей пересекаются.
  3. Оси поверхностей параллельны одной из плоскостей проекций.

Перед рассмотрением этого способа разберем понятие соосных поверхностей. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Соосные поверхности пересекаются по окружностям перпендикулярным оси вращения.

На рисунке 9.5 приведены некоторые из них.

Именно то, что поверхности пересекаются по окружностям, которые проецируются в линии и используется в методе сфер.

Рассмотрим пример на рисунок 9.6. Даны поверхности вращения — конус и цилиндр. Так как оси лежат в одной плоскости, можно определить точки пересечения контурных образующих в точках 1 и 2, как в предыдущем примере.

Однако, для нахождения промежуточных точек, вспомогательные секущие плоскости не подходят, т.к. горизонтальные плоскости рассекут цилиндр по эллипсам, фронтально-нроецирующие — конус по эллипсам. А сам эллипс строить непросто. Поэтому именно в этом случае удобно использовать в качестве посредников — сферы. За центр вспомогательных сфер, принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Далее необходимо определить, размеры радиусов вспомогательных секущих сфер. Максимальный радиус сферы

  • — это расстояние от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения контурных образующих (в данном случае точка 1). Минимальный радиус сферы — радиус сферы, которая вписана в одну из поверхностей, а другую пересекает.

В данном случае минимальная сфера вписана в конус. Минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности, а цилиндр пересекает по окружности. Нужно, иметь ввиду, что проекции окружностей пересечения перпендикулярны осям вращения. Эти две окружности пересекаются в точке . Фактически таких точек две, они совпадают на фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек берем вспомогательные сферы радиусов в пределах от

Они пересекают и поверхность цилиндра, и поверхность конуса по окружностям, которые пересекаясь даюг промежуточные точки. Полученные точки соединяются плавной линией.

Здесь построена только фронтальная проекция. Для построения горизонтальной проекции, если это необходимо, точки строят как лежащие на окружностях полученных радиусов.

Теорема Монжа

Рассмотрим вариант, когда минимальная сфера касается двух поверхностей вращения. В этом случае для построения линии пересечения поверхностей используется теорема Г. Монжа, которая формулируется так:

Если две поверхности вращении второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечении распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходит через прямую, соединяющую точки пересечении линий касании.

В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанного около сферы (рисунок 9.7) будут плоскими кривыми -эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми проходящими через — точки линий пересечения окружностей касания.

Пересечение поверхностей вращения с многогранниками

Внешние и внутренние формы большинства предметов образуются сочетанием нескольких поверхностей. Пересекаясь между собой, они образуют линии, которые принято называть линиями перехода.

На рис. 9.1 изображена деталь с несколькими линиями перехода. Линия 1 является границей между плоской и торовой поверхностями, 2 — торовой и конической, 3 — конической и плоскими (гранями призмы), 4 и 5 — торовой поверхностью корпуса и цилиндрическими поверхностями патрубков.

Рисунок 9.1 – Корпус с линиями перехода

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся в пересечении ребер многогранника с телом вращения и называются точками излома. Участок линии пересечения может быть и прямой линией в случае пересечения линейчатой поверхности вращения гранью многогранника по образующей.

При проницании (полном пересечении) получаются две замкнутые линии пересечения. Они могут быть плоскими (поверхность вращения проницает одну грань) или пространственными, состоящими из нескольких плоских кривых с точками излома в местах пересечения поверхности вращения ребрами многогранника.

При врезании (неполном пересечении) получается одна замкнутая пространственная линия.

Таким образом, в соответствии с указанным выше, задачи данной темы решаются по следующему плану:

  • Определяются точки излома линии пересечения, являющиеся точками пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
  • Находятся точки принадлежащие линиям пересечения отдельных граней многогранника с телом вращения. При этом сначала следует найти характерные (опорные) точки кривых. Это точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой, это проекции наивысших и наинизших точек линии пересечения, ближайших и наиболее удаленных, крайних слева и справа на проекциях линии пересечения;
  • Определение видимости линии пересечения поверхностей и их очерков. Видимость проекций участков линии пересечения определяется из условия расположения их на видимой стороне каждой поверхности.

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым для построения линиям (прямым или окружностям).

Рассмотрим линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью конуса вращения. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями, а ось конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

Призму можно рассматривать, как три плоскости, проходящие через ее грани, а задача сводится к нахождению линий пересечения этих плоскостей с конусом.

Рисунок 9.2 — Пересечение трехгранной призмы с конусом

Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с поверх-ностью трехгранной призмы (рис. 9.3).

Решение. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями и фронтальная проекция линии пересечения совпадают с проекцией боковой поверхности призмы. Из фронтальной проекции видно, что в данном случае имеет место проницание тора призмой (две замкнутые линии пересечения).

На рис. 9.3 рассмотрен пример пересечения поверхностей тора и треугольной призмы [2].

По двум заданным проекциям строим третью – профильную.

Рисунок 9.3 – Построение линии пересечения трехгранной призмы с тором

Заданная призма – горизонтально-проецирующая. Так как грани призматического отверстия перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, то на чертеже известна горизонтальная проекция линии пересечения, она совпадает с вырожденной проекцией поверхности призмы.

Следовательно, линия пересечения совпадает с горизонтальной проекцией основания призмы.

Определяем характерные точки: самую близкую точку 1 фронтальной плоскостью и самые далекие – и 3 фронтальной плоскостью S ().

Определяем промежуточные точки 4 и 5 при помощи вспомогательных фронтальных плоскостей .

Соединяем полученные точки плавной кривой линией с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми и даже прямыми линиями.

Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Точки подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные (случайные).

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих поверхностей – посредников. При пересечении данных поверхностей вспомогательной поверхностью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Для определения линии пересечения часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода — метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Положение их выбирают таким, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям – прямым или окружностям.

Этот способ рекомендуется применять, если сечениями заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

  1. Если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня;
  2. Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической;
  3. Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.

Пересечение цилиндрической и торовой поверхности

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью – проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 9.4 построена линия перехода между цилиндром и тором. Так как поверхность цилиндра перпендикулярна плоскости Н, то горизонтальная проекция линии перехода известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальную и профильную проекции строим по принадлежности точек линии перехода не проецирующей поверхности тора.

Рисунок 9.4 — Построение линии пересечения цилиндра с тором

Линия пересечения заданных поверхностей представляет собой пространственную кривую линию, имеющую фронтальную плоскость симметрии, образованную пересекающимися поверхностями цилиндра и тора.

Рассмотрим линию пересечения поверхности сферы с поверхностью конуса вращения (Рисунок 9.5).

Точки 1 и 7, расположенные на очерках фронтальных проекций конуса и сферы, очевидны и определяются без дополнительных построений.

Точка 4 на экваторе сферы построена с помощью горизонтальной плоскости, пересекающей конус по окружности. В пересечении горизонтальных проекций этой окружности и экватора находится горизонтальная проекция 4′ точки 4 и фронтальная 4» проекции точки 4 определим с помощью линии связи. Точка 4 на горизонтальной проекции разделяет кривую на видимую и невидимую части.

Точки 2, 3, 5 и 6, расположенные в промежутке между характерными точками 1,4 и 7 строим аналогично. С помощью линий связи определим фронтальные и горизонтальные проекции этих точек.

Рисунок 9.5 — Построение линии пересечения конуса и сферы

Особые случаи пересечения

Пересечение соосных поверхностей вращения

Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают. Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций – в прямую линию.

На рис. 9.6 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения параллельна горизонтальной плоскости). На рис. 9.6, а приведены сфера и конус, б – сфера и цилиндр, в – сфера и тор.

Рисунок 9.6 — Пересечение соосных поверхностей вращения

Теорема Монжа для пересекающихся поверхностей вращения

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Для этого случая пересечения поверхностей вращения необходимо выполнение трех условий:

  • пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
  • оси поверхностей должны пересекаться;
  • плоскость, образованная осями поверхностей, должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Рисунок 9.7 — Пересечение поверхностей вращения по теореме Монжа

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка.

Способ вспомогательных секущих сфер

При построении линии пересечения поверхностей вращения не всегда удается подобрать секущие плоскости так, чтобы они пересекали поверхности по линиям, проекции которых были бы прямыми или окружностями. В некоторых таких случаях в качестве секущих поверхностей (посредников) целесообразно применять сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, проецирующимся в прямые линии, необходимо выполнить условия:

  • Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер).
  • Оси поверхностей вращения должны располагаться параллельно какой-либо плоскости проекций.

Пример. Построить проекции линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра (рис. 9.8) [1].

Заданы прямой усеченный конус и наклонный цилиндр – тела вращения. Их оси параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точке О(о′,о), т.е. соблюдены условия метода сфер.

Как и в предыдущих задачах, найдем проекции характерных точек. Точка 1 – самая высокая, точка 2 – самая низкая. Чтобы убедится в этом проведем через оси тел вспомогательную фронтальную плоскость . Эта плоскость рассекает рассматриваемые тела по крайним очерковым образующим, которые на фронтальную плоскость проекции проецируются без искажения и, пересекаясь между собой, образуют искомые точки 1′, 2′. С помощью вспомогательных сфер найдем другие точки линии пересечения заданных поверхностей. Для определения радиуса наименьшей сферы из центра О(о′) проведем две нормали, перпендикулярные очерковым образующим этих тел и большей нормалью выполним эту сферу. Эта сфера будет наименьшей , проведенной в большем теле, поэтому поверхности конуса она касается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка m′′n′′, а поверхность наклонного цилиндра пересекает по окружности, фронтальная проекция которой также проецируется в прямую линию k′′l′′. В пересечении k′′l′′ и m′′n′′ получим точку 3′′ – самую глубокую точку пересечения. Для нахождения промежуточных точек проведем ряд концентрических сфер, радиусы которых должны находится в пределе , и аналогично точке 3′′ находим необходимые промежуточные точки.

Рисунок 9.8 — Построение линии пересечения конуса и цилиндра

Учитывая, что сфера минимального радиуса всегда касается той поверхности, которая пронизывается другой, соединим найденные фронтальные проекции плавной кривой. Получим фронтальную проекцию линии пересечения. В нашем случае сфера радиусом касается поверхности конуса, значит, поверхность цилиндра пронизывает поверхность конуса.

Построим горизонтальную проекцию линии пересечения. Т.к. точки 1′′, 2′′ лежат на очерковой образующей конуса, то горизонтальные проекции этих точек находятся на оси конуса, т.е. на горизонтальной проекции этой образующей. Для нахождения горизонтальных проекций точек 3′, 4′, 5′ воспользуемся горизонтальными плоскостями , проведенными через эти точки соответственно. Каждая плоскость рассекает поверхность конуса по окружности, которая на горизонтальной плоскости проекций не искажается. По линиям связи найдем горизонтальные проекции точек 3′, 4′, 5′.

Для правильного соединения точек определим их видимость. Границей видимости на плоскости Н является точка 4′′, лежащая на осевой фронтальной проекции цилиндра. Горизонтальные проекции ее находятся на очерковых образующих цилиндра. Соединив плавной кривой найденные точки, получим горизонтальную проекцию линии пересечения рассматриваемых тел.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Суть способа — вспомогательная секущая плоскость одновременно пересекает поверхности каждого тела и образует фигуры сечения, контуры которых пересекаются. Точки пересечения контуров соединяют.

Этот способ применим тогда, когда контуры отдельных сечений представляют прямые линии или окружности.

Точки являются очевидными — это точки пересечения очерковых и оснований конусов. Найдём соответствующие вторые проекции этих точек.

Проведём горизонтальную плоскость которая рассечет оба конуса. В сечении конусов будут окружности причем их фронтальными проекциями являются прямые. Построим горизонтальные проекции этих сечений — окружности радиусом

На пересечении этих окружностей сечений на определим горизонтальную проекцию общей точки — Фронтальную проекцию точек 2 и 2 определим по линиям связи на секущей плоскости

Проведём еще ряд горизонтальных секущих плоскостей и определим проекции других промежуточных точек линии пересечения, которые соединим лекальной кривой с учётом видимости.

При взаимном пересечении конуса и цилиндра (рисунок 1) ось вращения цилиндра перпендикулярна . Значит, на линия пересечения совпадет с контуром основания цилиндра, т.е. фронтальной проекцией линии пересечения будет являться фронтальная проекция цилиндра.

Построив горизонтальную проекцию линии пересечения, на на пересечении горизонтальной оси симметрии цилиндра с проекцией цилиндра наметим точки — точки границы видимости линии пересечения, лежащие на экваторе цилиндра.

На точки линии пересечения, лежащие выше экватора будут видимы, а точки, лежащие ниже экватора — невидимы.

Способ вспомогательных сфер

Этот метод можно применять при соблюдении следующих условий :

  • пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
  • их оси должны пересекаться ; точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;
  • их оси должны быть // какой-либо плоскости проекций.

Сфера проходит через самую дальнюю очевидную точку.

Сфера , должна касаться образующей большего тела, а меньшее тело -пересекать.

Сфера определяется как большее расстояние от центра сфер до образующих обоих тел — перпендикуляры из центра сфер к очерковым образующим. Больший перпендикуляр и будет являться радиусом минимальной сферы.

Сфера пересекает тела по окружностям, проецирующимся на одну из плоскостей проекций отрезком.

1. Определяем очевидные точки

2. Восстанавливаем перпендикуляры из центра сфер к очерковым образующим цилиндра и конуса. Перпендикуляр к цилиндру больше, чем перпендикуляр к образующей конуса. Значит, и будет являться радиусом минимальной сферы. На проводим из центра этим радиусом R окружность, которая рассечет и конус и цилиндр по окружностям, фронтальной проекцией которых будут прямые — сечение конусаи сечение цилиндра

На пересечении этих сечений определяем фронтальную проекцию точки 3 — .

3. На строим горизонтальную проекцию сечения конуса, на котором находится точка 3 -окружность радиусом / 2, на которой по линии связи определяем точки

1. Проводим ещё ряд секущих сфер радиусом больше минимальной и меньше максимальной и определяем другие промежуточные точки линии пересечения, которые соединяем лекальной кривой с учётом видимости.

Большее тело поглощает меньшее.

2. Видимость линии пересечения определяем следующим образом:

  • — на пересечении фронтальной проекции линии пересечения с осью симметрии цилиндра намечаем точку определяем на на очерковых образующих цилиндра);
  • — часть линии, находящаяся выше точки К — видимая. Точка К — граница видимости.

Элементы технического рисования

Технический рисунок — это наглядное изображение, выполненное по правилам аксонометрических проекций от руки, на глаз, соблюдая пропорции. Им пользуются на производстве для иллюстрации чертежей.

Обычно технический рисунок выполняется в изометрии.

Выполнение рисунка модели или детали начинается с проведения аксонометрических осей. Затем рисуется основание и строятся габаритные очертания -прямоугольные параллелепипеды. Деталь мысленно расчленяют на отдельные геометрические элементы, постепенно вырисовывая все элементы.


Технические рисунки получаются более наглядными, если их покрыть штрихами. При нанесении штрихов считают, что лучи света падают на предмет справа и сверху или слева и сверху.

Взаимное пересечение поверхностей с примерами

Алгоритм решения задач по определению линии пересечения поверхностей Ф’ и Ф» (рис. 9.1) в целом аналогичен решению второй позиционной задачи и состоит в следующем:

  1. Обе заданные поверхности Ф’ и Ф» рассекают третьей, вспомогательной плоскостью или поверхностью P.
  2. Определяют линии пересечения каждой заданной поверхности со вспомогательной: Ф’ × P =l’, Ф» × P =l».
  3. Определяют точки пересечения полученных линий l’×l» = A и A’. Точки A и a´ принадлежат обеим поверхностям.
  4. Проведя несколько вспомогательных поверхностей, находят достаточное количество точек и соединяют их плавной лекальной кривой, которая и является искомой линией пересечения поверхностей.
  5. Определяют видимость поверхностей и линии их пересечения.

Рис. 9.1. Пересечение поверхностей

В качестве вспомогательных поверхностей P следует выбирать поверхности — плоскости или сферы, которые пересекают обе заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям — прямым или окружностям. Кроме того, если в сечении поверхности получаются окружности, они должны проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажения.

Определение точек линии пересечения поверхностей начинают с построения так называемых опорных точек. К ним относятся:

  • точки пересечения очерковых образующих, если образующие лежат в одной плоскости,
  • точки, лежащие на очерковых образующих поверхностей,
  • точки, лежащие в общей плоскости симметрии,
  • экстремальные (верхние — нижние, правые — левые) по отношению к плоскостям проекций, к центру концентрических сфер.

При соединении точек следует иметь ввиду, что проекции линии пересечения не могут выходить за пределы общей площади — площади наложения — проекций пересекающихся поверхностей. Видимыми будут те участки линии пересечения, которые принадлежат видимым частям обеих поверхностей.

Способ вспомогательных параллельных плоскостей

Этот способ заключается в том, что обе поверхности рассекаются параллельными плоскостями уровня. Этот способ применяют лишь в тех случаях, когда вспомогательные плоскости рассекают поверхности по простым линиям — прямым или окружностям, которые проецируются на соответствующую плоскость проекций без искажения.

Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и сферы (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Линия пересечения поверхностей прямого кругового конуса и сферы

Фронтальные плоскости уровня пересекают поверхность конуса по гиперболам, следовательно, для решения данной задачи нужно применить горизонтальные плоскости уровня, которые рассекают обе данные поверхности по окружностям.

Решение задачи начинают с построения опорных точек. Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии γ(γ1), параллельную плоскости П2. Поэтому высшая точка A и низшая точка F линии пересечения получаются как результат пересечения очерковых образующих конуса и сферы (рис. 9.3).

Остальные точки определяются с помощью горизонтальных плоскостей уровня. Более подробно разберем построение точек E и E'(рис. 9.4).

1. Пересечь обе поверхности вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня α(а2). Плоскость а(а2) пересекает сферу по окружности m(m1,m2), а конус — по окружности q(q1,q2):
m(m1 ,m 2)=Ф сф а (а2);
q(q1 ,q2) =Ф к а (u2).

2. Построив горизонтальные проекции окружностей m и q, определить точки их пересечения E и E’:
E1= m1 × q1; E2=E1E2α2.
E’1=m1 × q1; E’2=ElE2α2.

Рис. 9.3. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

3. Аналогичным образом определяются остальные точки, формирующие линию пересечения (рис. 9.5,а). Они получены с помощью горизонтальных плоскостей уровня β(β2), δ(δ2) и μ(μ2). Пределы этих плоскостей по высоте определяют высшая и низшая опорные точки линии пересечения поверхностей. Плоскость μ(μ2)рассекает поверхность сферы по очерковой образующей b (b2, b2),поэтому полученные точки В и В’ являются опорными, ограничивающими линию пересечения поверхностей по ширине.

4. Последовательно соединить одноименные проекции полученных точек плавной лекальной кривой. Полученная линия не должна выходить за пределы области перекрытия проекций данных поверхностей.

5. Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих.

Поверхность конуса на горизонтальной плоскости проекций полностью видима, следовательно, видимость линии пересечения определяется по поверхности сферы. Видима будет та часть сферы, которая на П2 лежит выше очерковой образующей b2.Точки В и В’ на очерковой образующей сферы являются точками смены видимости линии пересечения на плоскости проекций П1.
Искомая линия пересечения поверхностей конуса и сферы d(d1,d2) (кривая второго порядка), полученная способом вспомогательных секущих плоскостей, приведена на рис 9.5,б.

Рис. 9.4. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей:
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Рис. 9.5. Определение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных параллельных плоскостей:
а — определение промежуточных точек;
б — искомая линия пересечения

Способ вспомогательных сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер возможны два случая. В одном из них используются сферы, проведенные из одного, общего центра (концентрические), а в другом -сферы, проведенные из разных центров (эксцентрические).

Способ концентрических сфер

Этот способ применяется для построения линии пересечения поверхностей вращения произвольного вида, при условии, что оси этих поверхностей пересекаются.

В основу способа концентрических сфер положено свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности.

Если центр сферы находится на оси любой поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 9.6).

Рис. 9.6. Соосные поверхности вращения:
a- наглядное изображение;
б — на комплексном чертеже

Рассмотрим способ концентрических сфер на примере построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i(i1,i2) и q(q1,q2) пересекаются и точка пересечения осей обозначена через O (O1 ,O2)(рис. 9.7).

Рис. 9.7. Линия пересечения поверхностей цилиндра и прямого кругового конуса

Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.

Алгоритм решения задачи об определении линии пересечения поверхностей состоит в следующем:

1. Определить опорные точки (рис. 9.8). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ1), параллельную плоскости проекций П2, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П2,пересекаются. Точки A(A1,A2), B(B1,B2), C(C1,C2) и D(D1,D2) пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

2. Определить радиусы максимальной и минимальной сфер, необходимых для определения точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы Rmax равен расстоянию от центра вспомогательных сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае Rmax=O2A2 (рис. 9.9).

Чтобы определить радиус минимальной сферы Rmin, необходимо провести через точку O2 нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет Rmin. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй — пересекаться.

В данном случае сферой минимального радиуса является сфера, касающаяся цилиндрической поверхности (см. рис. 9.9).

Сфера радиусом Rmin касается цилиндрической поверхности по окружности m, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой m2, перпендикулярной q2(m2q2). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по двум окружностям. Но, в данном случае, нам интересна только окружность n, так как только она дает решение. Эта окружность n изображается на фронтальной проекции в виде прямой n2, перпендикулярной i2(n2i2). Точки E и Fпересечения этих окружностей будут принадлежать обеим поверхностям:

Чтобы построить горизонтальные проекции точек Е и F следует воспользоваться окружностью n, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций П1:

Рис. 108. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

Рис. 9.9. Определение радиусов максимальной и минимальной сфер.

Для построения промежуточных точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке O, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах Rmin

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Примеры решений: кривые второго порядка

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $\sqrt<2/5>$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=\pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.

К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ТОЧКАХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

English version

Волошинов Денис Вячеславович (Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича)

Аннотация

Доклад посвящен рассмотрению задачи нахождения координат точек, являющихся результатом пересечения двух кривых кривых второго порядка. Приведены все необходимые формулы для реализации задачи в виде программ на ЭВМ. Рассмотрены некоторые вопросы преобразования объектов коник в коллинеациях, переводящих коники друг в друга.

Ключевые слова: Конструктивное геометрическое моделирование, пересечение кривых второго порядка, Симплекс

Задача о нахождении точек пересечения двух кривых второго порядка является исключительно важной для дальнейшего развития теории конструктивного геометрического моделирования, поскольку она служит отправным моментом для реализации проекционных методов в задачах образования кривых более высоких порядков. В частности, алгоритмы пересечения коник с прямыми и другими кониками, учитывающие возможность получения мнимых решений, позволяют вплотную подойти к инструментальной реализации взаимно-двузначных соответствий, при которых каждому лучу одного пучка соответствуют два действительных или мнимых луча другого и обратно [1]. Отсутствие программных систем, которые обладали бы средствами выполнения квадратичных [2], кремоновых [3] и других сложных преобразований [4], позволяющих генерировать и обрабатывать сложные кривые, существенно ограничивают возможности инженерного проектирования в тех областях, в которых к форме изделий предъявляются специальные требования [3]. Необходимость оперирования с объектами мнимой природы требует качественного пересмотра функционально-алгоритмического аппарата систем конструктивного геометрического моделирования для обеспечения возможности работы с такими объектами. Это означает, в частности, что большинство функций, оперирующих с данными геометрических объектов, должны быть созданы или переработаны с таким расчетом, чтобы принимать в себя, и, конечно же, порождать объекты с мнимыми (комплексными) значениями. Визуально-графический интерфейс таких систем должен быть рассчитан на отображение и интерактивное взаимодействие с объектами, имеющими как вещественную, так и мнимую природу.

Несмотря на то, что объявленная в заглавии доклада задача не является чем-то принципиально новым и сводится к формированию коэффициентов уравнения четвертой степени, решение которого в радикалах всегда возможно, в литературе и в Сети практически нет материалов, освещающих решение этой задачи в исчерпывающей полноте. Отсутствие необходимой информации служит причиной того, что написание компьютерных программ, выполняющих поиск точек пересечения двух кривых второго порядка, для многих разработчиков, которые хотели бы воспользоваться соответственным геометрическим алгоритмом, становится довольно трудным делом.

Соответственная функция, выполняющая поиск пересечения двух коник с обеспечением получения мнимых решений, реализована в системе Симплекс [5, 6]. Несмотря на относительную простоту математических выкладок, которые, без всякого сомнения, способен выполнить любой человек, имеющий высшее техническое образование или хорошую математическую подготовку, автору видится целесообразным восполнить этот информационный недостаток, представить решение поставленной задачи как нечто единое, цельное и завершенное.

Хочется также отметить, что в процессе решения этой задачи автором были обнаружены весьма любопытные геометрические факты, которые, вероятно, потребуют более глубокого осмысления, а возможно и теоретических обобщений. Так, например, геометрическое место центра кривой второго порядка, получаемое при коллинеарных преобразованиях плоскости, заставляет задуматься о причинах получаемого результата и, возможно, о целесообразности или уместности определения этого понятия как результата полярного преобразования бесконечно удаленной прямой по отношению к конике [7, 8].

Итак, пусть имеется кривая второго порядка, заданная своими пятью точками. Будем предполагать, что все эти точки – собственные точки плоскости. Если же среди точек, определяющих кривую, имеются несобственные, заменим их на любые инцидентные с этой кривой собственные точки плоскости. Пусть также в плоскости начерчена окружность произвольного радиуса с центром в начале координат. Задавшись целью определить координаты точек пересечения двух кривых второго порядка l и m, начнем решать эту задачу в частной постановке: найдем пересечение коники с окружностью.

Переведем одну из пересекающихся коник, например m, в окружность d. Для этого выберем на конике (пусть это будет эллипс) главные диаметры, а на окружности два произвольных перпендикулярных друг другу диаметра, и установим коллинеарное соответствие ksi между двумя парами точек пересечения диаметров коники с самой кривой с соответственными точками пересечения диаметров окружности с самой окружностью. Казалось бы, аналогичное действие с гиперболой выполнить будет невозможно ввиду отсутствия у нее второго вещественного диаметра. Тем не менее преобразование такого типа можно определить – к детальному рассмотрению этого случая вернемся несколько позже.

Наметим общий ход решения. Задав соответственную коллинеацию ksi, преобразуем в ней и вторую конику l в l*=ksi(l). Решив задачу нахождения точек пересечения преобразованной коники l* и окружности d: p*1, p*2, p*3, p*4, выполним обратное коллинеарное преобразование p1=ksi –1 (p*1), p2=ksi –1 (p*2), p3=ksi –1 (p*3), p4=ksi –1 (p*4) над полученными точками и тем самым найдем решение исходной общей задачи. Заметим еще раз, что все сказанное будет относиться как к вещественным, так и к мнимым точкам пересечения двух коник.

Найдем совместное решение уравнений коники и окружности, центр которой для упрощения вида уравнения разместим в начале координат. Для нахождения коэффициентов a, b, c, d и e уравнения кривой второго порядка воспользуемся методом Гаусса, подставив в систему из уравнений, задающих конику, x и yкоординаты пяти точек, определяющих конику. Коэффициент f для определенности приравняем к единице. Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом:

Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения прямой для определения значений координат искомых точек:

Выразим из второго уравнения системы x через y:

xsqrt(Ry 2 ), где sqrt – функция корня квадратного.

При подстановке x в первое уравнение с учетом знаков перед радикалом получим два уравнения:

Перенесем члены со знаками радикалов в правую часть уравнений, а без радикалов – в левую часть.

После возведения в квадрат левых и правых частей уравнений (4) и (5) для освобождения от радикалов получим одинаковые уравнения вида (6)

Обозначим левую часть уравнения (6) через A, а правую через B.

Раскроем скобки в этих частях и приведем подобные.

Перенеся члены правой части уравнения (6) в левую часть, приравняем полученный результат нулю:

Таким образом, нами получено уравнение четвертой степени (7) относительно y, позволяющее найти решение [9] поставленной задачи. Для выполнения дальнейших действий обозначим коэффициенты при степенях переменной y через M, N, P, Q и S. Тогда:

Для решения уравнения четвертой степени (8):

записанного в общем виде, выполним подстановку: y=tb/(4a). Напомним, что в нашем случае b=N и a=M. Получим так называемое неполное уравнение четвертой степени следующего вида:

Известно, что корни этого уравнения равны одному из следующих выражений

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

В данном уравнении коэффициент при третьей степени равен единице, поэтому при дальнейших рассуждениях для него можно было бы не вводить отдельное обозначение.

Однако для полноты картины решим это уравнение в общем виде.

Пусть кубическое уравнение (12) записано следующим образом:

Посредством замены z=hu/(3g) уравнение (13) приводится к каноническому виду

Зная значение дискриминанта T=(p/3) 3 +(q/2) 2 , можно заранее определить тип корней.

При T 0 получим один вещественный и два сопряженных корня. При T=0 в решении будет присутствовать однократный вещественный корень и один двукратный, если же p=q=0, то решением станет трехкратный вещественный корень.

В соответствии с методом Кардано корни уравнения будут равны:

z1=alpha+beta, z2,3=–(alpha+beta)/2±i(alpha+beta)/2×sqrt(3), где

alpha=cubert(–q/2+sqrt(T)), beta=cubert(–q/2–sqrt(T)); cubert – функция корня кубического.

Подставляя в (11) найденные значения z1, z2, z3 со всеми возможными сочетаниями знаков, отметим из них те, которые удовлетворяют условию этого уравнения, а из выражения (10) найдем четыре значения корней уравнения (9) относительно переменной t. Преобразовав значения t к y, найдем значения корней уравнения (8). Соответственно, все четыре возможных значения x можно будет найти подстановкой соответственных y в выражение (3). Знак перед радикалом определяется путем подстановки найденных x и y в первое уравнение системы (2). Таким образом, задача нахождения точек p*1(x1,y1), p*2(x2,y2), p*3(x3,y3), p*4(x4,y4) пересечения коники с окружностью решена, и потребуется лишь выполнить коллинеарное преобразование p1=ksi –1 (p*1), p2=ksi –1 (p*2), p3=ksi –1 (p*3), p4=ksi –1 (p*4).

Нам остается теперь более подробно рассмотреть случай преобразования гиперболической кривой в окружность. Как уже было сказано ранее, в гиперболе различается лишь один вещественный диаметр, проходящий через ее центр и «стягивающий» две ближайшие друг к другу точки гиперболы. Второй диаметр считается мнимым, проходящим через центр гиперболы перпендикулярно первому диаметру. Точки пересечения этого диаметра с гиперболой являются мнимыми, так как данная прямая явно гиперболу не пересекает, а вещественные компоненты этих координат равны координатам центра кривой второго порядка. Вследствие этого, определить необходимую коллинеацию, переводящую гиперболу в окружность с помощью этих точек не представляется возможным.

Поскольку в проективной геометрии кривые второго порядка не различаются и коллинеарное преобразование переводит кривую второго порядка также в кривую второго порядка, то преобразование гиперболы в окружность, безусловно, возможно. Существуют алгоритмы, основанные на гомологическом преобразовании кривых [10], однако сущность этих алгоритмов такова, что в них явным образом не затрагивается понятия диаметров кривых. Поэтому задача коллинеарного преобразования различных видов коник в окружность (или друг в друга) не описывается единым алгоритмом, что нарушает стройность теории проективной геометрии.

В литературе остается незамеченным тот факт, что на самом деле необходимую коллинеацию совсем несложно определить, используя только вещественные точки гиперболы, если обратить внимание на то, что в качестве недостающей пары точек можно взять точки пересечения гиперболы с несобственной прямой. Действительно, подстановка в коллинеацию пары точек, полученных от вещественного диаметра и двух несобственных точек гиперболы, и сопоставление с ними аналогичных по природе точек на второй кривой, позволяет определить коллинеацию, однозначно переводящую одну кривую в другую. В этом смысле несобственная прямая, соединяющая две несобственные точки гиперболы, является как бы вторым вещественным диаметром гиперболы. В этом случае алгоритм преобразования кривых друг в друга становится единообразным, а исходные кривые неразличимыми. Исследуя полученный результат в геометрическом эксперименте, переводящем, скажем, сопряженные диаметры эллипса, находящиеся в инволюционном соответствии, в диаметры гиперболы, обнаружим, что на гиперболе диаметры образуют инволюционный пучок прямых, параллельных действительному диаметру гиперболы (рис. 1). Несобственная точка, являющаяся центром этого пучка, находится в точке пересечения вещественного диаметра с несобственной прямой, являющейся, между прочим, образом центра эллипса в установленной коллинеации, то есть в точке, в которой пересекаются все ее диаметры. Такая картина происходящего заставляет задуматься о содержательной части определения центра кривой второго порядка. Ведь при назначенной коллинеации каждой вещественной точке одной кривой соответствует вполне определенная и притом вещественная точка другой кривой, возможно, несобственная. И тогда каждому диаметру, стягивающему точки одной кривой, соответствует вещественный же диаметр другой кривой, возможно, несобственный.

Если под центром кривой второго порядка понимать точку пересечения диаметров, речь о которой шла выше, то процедура коллинеарного преобразования таких кривых друг в друга становится единообразной. Ту точку, которая традиционно называется центром гиперболы и через которую проходят ее асимптоты, можно было бы назвать ее антицентром. Аналогичная точка, между прочим, есть и у эллипса. Так, например, если в коллинеации, переводящей гиперболу в эллипс, задать преобразование асимптот гиперболы, то получим две параллельные прямые, касательные к эллипсу в одном из его диаметров и пересекающиеся в точке, являющейся «антицентром» эллиптической кривой (рис. 2).

Данный результат был получен в результате проведения многочисленных геометрических экспериментов с кривыми второго порядка в среде системы Симплекс и анализа получаемых картин. Безусловно, результаты этого эксперимента еще требуют осмысления и тщательной проверки, однако уже сам тот факт, что коллинеарное преобразование, позволяющее переводить одну кривую второго порядка в другую кривую единым для всех кривых способом, а не искусственно разными алгоритмами, побуждает к раздумьям о содержании определений и терминов, которые традиционно используются в проективной геометрии. Стройность и лаконичность полученных алгоритмов стали определяющими факторами в пользу того, что функция нахождения центра кривой второго порядка в системе Симплекс была переопределена в соответствии с изложенными выше соображениями.

Список литературы

  1. Андреев К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий. М.: В Университетской типографии (М. Катков) на Страстном бульваре, 1879. 168 с.
  2. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений / В.А. Короткий // Омский научный вестник. 2013. – № 1(117). – С. 9–14.
  3. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей : Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований / Г. С. Иванов.— М.: Машиностроение, 1987 .— 188 с.
  4. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия. /В.А. Пеклич – М.: изд-во ACB, 2000. 344 c.
  5. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее инструментария [Текст] / Д.В.Волошинов// Геометрия и графика. – 2014. Т. 2. – №1. С. 15-21. – DOI: 10.12737/3844.
  6. Волошинов Д.В. Инструмент для геометрического эксперимента. Каким ему быть? / V Международная интернет-конференция КГП-2015. URL: http://dgng.pstu.ru/conf2015/papers/47/
  7. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968. – С. 659.
  8. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия / Н.Ф. Четверухин. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1961 .— С.268
  9. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – 13-е изд., исправленное. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1986. С. 145–148.
  10. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Способы преобразования ортогональных проекций. Учеб. Пособие для вузов / С.А.Фролов . 3-е изд., испр. и доп. М.: Высш. шк. 2002. С. 91.

Рисунки к докладу

Инволюция сопряженных диаметров коник при установленном коллинеарном преобразовании эллипса в гиперболу


Рис. 2

Преобразование асимптот гиперболы в линии, касательные к эллипсу

Вопросы и комментарии к выступлению:

Здравствуйте, Антон Георгиевич!

Благодарю Вас за высокую оценку доклада. Нет никаких сомнений в том, что геометрия без комплексных элементов неполна. Работая над своей системой, я постоянно сталкиваюсь с тем, что функции, реализованные только в действительной постановке, очень часто ограничивают возможности решения задач. Именно по этой причине в Симплексе за последний год проведена генеральная ревизия функционального состава в плане перевода многих (пока не всех) вычислений в форму, допускающую работу с объектами комплексной плоскости. Результаты получаются впечатлящими, но, конечно, требуется еще много работы для того, чтобы все функционировало слажено, правильно и не противоречило бы тому, что было уже сделано и работало надежно, хотя и неполно. А для этого, безусловно, нужна четкая теория и правильное ее понимание.

С уважением,
Денис Волошинов

Денис Вячеславович, какую замечательную задачу вы ставите! От души желаю вам успеха в этом полезном деле. Кажется, нашего полку прибывает. Интерес к комплексным образам проявил и Короткий В.А., и добожелательно воспринимает тему Иванов Г.С.
А этот «Симплекс» доступен? Где о нём можно почитать?

С уважением, Антон Гирш.

Антон Георгиевич! Симплекс доступен по адресу: http://dww.no-ip.org/simplex/. Его можно загрузить и пользоваться — никаких ограничений нет.

Информацию о том, как пользоваться программой, можно также получить на страницах сайта. Сайт, конечно, сыроватый — примеры относятся к достаточно старым версиям, а на обновление, как обычно и бывает, не хватает времени. Если бы это кому-то было нужно, то был бы и стимул, а когда всем этим пользуешься только сам, то вроде бы и пояснений не надо.

Я уже давно писал на конференции о Симплексе, о его достоинствах и преимуществах при решении конструктивных задач в сравнении с системами типа Автокад, Компас и т.п. Они действительно есть, и пишу я об этом вовсе не из-за того, что я автор и продвигаю свою разработку — к Симплексу у меня совершенно спокойное отношение, это моя экспериментальная установка в геометрии, работа над которой доставляет большое удовлетворение — а потому, что мне в определенной степени огорчительно, что многие из наших коллег, которые справедливо и правильно обосновывают важность изучения начертательной геометрии, пытаются реализовывать ее алгоритмы средствами Компаса, Автокада, но убедительного эффекта достичь не могут. Прошу прощения уважаемых коллег, но невостребованными останутся эти старания. К сожалению. И всегда будут предметом критики, критики жесткой и обоснованной.

Геометрическая модель сильна тем, что она работает, она не статична. Она служит средством передачи и преобразования информации. Но это важнейшее ее качество нельзя проявить средствами, предназначенными для черчения или трехмерного моделирования, которые не являются средствами программирования. Для этого нужна система программирования особого, графического свойства, со своей парадигмой и методологией. Программирования, которое рядовой пользователь, занимающийся геометрией как своим основным дело, не должен замечать, ибо он не программист. Программа, реализующая геометрическую модель, должна создаваться как бы сама собой, исподволь, без текстового ввода, несвойственного деятельности геометра, только за счет вычерчивания геометрических образов и установки связей между ними. То есть точно в таком же стиле, как и при исполнении обычного расчетного чертежа. И минимум текста!

Самое важное, что такой неявный чертеж-программа начнет работать, изменяться под воздействиями любых влияний, оказываемых на него извне, реализуя алгоритм своего построения, а поэтому он будет ничем не хуже, чем любая компьютерная программа, написанная на символьных языках программирования, тяготеющих не к геометрическим, а к аналитическим средствам вычислений. Если такая система геометрического программирования есть, то тогда у геометрии появляются точно такие же основания для развития, применения на практике ее методов, так как ее модели могут быть использованы столь же легко и удобно, как и модели аналитические. Они становятся равными как по теоретической значимости, так и по сферам приложения. Разработка системы Симплекс и преследовала эту основную цель.

Почему система не стремится покидать компьютеры автора? Этому есть несколько причин. Во-первых, очень непросто убедить коллег в том, что ее применение сулит выгоду. Система должна найти своих пользователей. Видимо, их будет немного, но эту работу надо делать. Второе: система создавалась в условиях, когда ни на какой аналог посмотреть было нельзя. Было непонятно, как ее строить, чем она должна быть насыщена. Было много ошибок, озарений и проч. Выпустить систему в свет в таком «недоделанном» виде — означало бы создать неправильное впечатление от общей идеи и, возможно, погубить ее. Симплекс и сейчас «сбоит» иногда, иногда дает неверные результаты, есть функции, которые проработаны слабо, и это сказано совершенно честно, потому что создание такой системы — дело непростое. Ну, и третья причина, конечно тоже важна. Нужна обратная связь от тех, кто воспользовался системой, но обнаружил какие-то ошибки или что-то не понял. И, если даже такую связь наладить, то понятно, что оперативно реагировать на все вопросы или «претензии» в едином лице автору крайне сложно.

Но, видимо, систему нужно выпускать из своих рук, иначе и у нее не будет будущего, да и геометрия лишается неплохого инструмента. Не мне, конечно, судить, но есть у меня убеждение в том, что заложенная в систему идея продуктивна.

Симплекс уже несколько лет свободно доступен на моем сайте. Всех заинтересованных коллег приглашаю зайти на него и при желании загрузить программу. Научиться ей пользоваться совсем не сложно. Все делается примерно так же, как решается обычная геометрическая задача. На сайте есть примеры, которые можно тоже загрузить и проработать. Студенты, которым я эту систему предлагаю к изучению, за два часа с этой задачей справляются. Конечно, им легче, ибо они могут оперативно задать вопросы

Недавно к системе были подсоединены два модуля, которые она подзагружает сама в конце сеанса работы, для выполнения обновлений версий и для отправки сообщений по почте вместе с файлом проекта, если возникли какие-то неясности. Обновления случаются часто. Это понятно, потому что многое приходится переосмыслять, переделывать. Ошибки тоже случаются, ничего не поделаешь.

Специальной монографии об использовании системы пока нет. Была мысль опубликовать цикл статей в журнале Геометрия и графика: Николай Андреевич Сальков любезно предложил мне подготовить такой цикл. Конечно, если заинтересованность у коллег будет, то я постараюсь как можно быстрее подготовить такие статьи.

Без ложной скромности скажу, что возможностей развития и применения системы много. Важна даже не сама система, а заложенная в ней парадигма. Возможно, что кто-то подхватит идею и создаст что-то лучшее и более совершенное. Это нормально. Во всяком случае, мне удалось увлечь геометрией около двух десятков студентов Санкт-Петербургского университета телекоммуникаций, которые четко осознали, что геометрия и информатика – понятия неразделимые. А это значит, что геометрия – это концентрированное выражение самых современных информационных технологий, таких, о которых в мире, возможно, еще и не догадываются! Это мое глубочайшее убеждение!

С уважением,
Денис Волошинов

Денис Вячеславович, здравствуйте!

Я не только предлагл, но и повторяю свое предложение как можно быстрее начать публиковать Ваши статьи. Может быть, тогда не только у студентов появится желание хотя бы попробовать применить Симплекс в своих работах.

С уважением, Н. Сальков

Здравствуйте, Николай Андреевич!

Большое спасибо за комментарий и подтверждение предложения о публикации материалов по Симплексу. Я уже работаю над этим, скоро вышлю первую статью. Надеюсь также в материалах этой конференции представить решение некоторых, на мой взгляд, интересных и красивых геометрических задач, выполненных в Симплексе, относящихся к моделированию объектов плоскости, трехмерного и четырехмерного пространства. В частности, хотел бы показать, каким образом средствами начертательной геометрии можно построить гиперсферу, перпендикулярную к пяти заданным гиперсферам, а также некоторые способы формообразования поверхностей на основе преобразования инверсии относительно сферы. Задачи эти решены, осталось только дать описание и оформить в виде докладов. Надеюсь, что подобные задачи смогут показать, насколько богаты методы начертательной геометрии и что единственным фактором, мешающим использовать это богатство, является физическая трудоемкость (а потому и практическая невозможность) выполнения необходимых построений карандашом на бумаге.

С уважением,
Денис Волошинов

Приношу извинения перед читателями: в текст доклада вкралась опечатка. Строку «Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения прямой для определения значений координат искомых точек:» следует читать «Определив из системы (1) коэффициенты a, b, c, d и e, запишем систему (2) из уравнения коники и уравнения окружности для определения значений координат искомых точек:».

Здравствуйте, Денис Вячеславович! Большое спасибо за доклад. Как вы верно отметили, «в литературе и в Сети практически нет материалов» по этому и другим, близким вопросам, и все приходится выводить заново, изобретать велосипед. Не встречались ли вам аналитические выкладки к построению коник, касательных к коникам? Прямых, касательных к парам коник?

Будет очень хорошо, помимо прочего, дополнить методические материалы конференции публикациями, освещающими во всей полноте те или иные сугубо прикладные вопросы геометрического моделирования: полезно для студентов, занимающихся научной работой, для преподавателей и аспирантов, разрабатывающих технические средства преподавания.

Очень рад услышать, что в «Геометрии и графике» будут выходить статьи по Симплексу. Отличная новость!

с уважением, Бойков

Здравствуйте, Алексей Александрович! Большое спасибо за отзыв!

Задача о построениях касательных к двум коникам решается относительно просто, если есть процедура построения точек пересечения двух коник. Осуществим полярное преобразование первой коники относительно второй (красная – в красную пунктирную) и обратно (синюю – в синюю пунктирную). Найдем точки пересечения красной пунктирной коники с синей и синей пунктирной с красной. Полученные точки есть точки качания прямых линий к коникам. В Симплексе полярное преобразование – штатная процедура, которая была однажды запрограммирована для точки (построение поляры по полюсу относительно коники), а потом естественным образом распространена на другие объекты проективной плоскости. Поэтому особенной необходимости искать аналитическое выражение для расчета координат точек касания прямых к коникам нет. Это просто результат последовательного выполнения двух процедур: полярного преобразования и точек пересечения двух коник.

Пример решения задачи в Симплексе, соответствующий рисунку, привожу в таблице. Если Вы его повторите, то получите необходимый результат.

Точка ‹p1› задана координатами ‹-328.5› и ‹-58.5›.

Точка ‹p2› задана координатами ‹-302.5› и ‹43.5›.

Точка ‹p3› задана координатами ‹-116.5› и ‹63.5›.

Точка ‹p4› задана координатами ‹-57.5› и ‹-26.5›.

Точка ‹p5› задана координатами ‹-146.5› и ‹-112.5›.

Точка ‹p6› задана координатами ‹23.5› и ‹61.5›.

Точка ‹p7› задана координатами ‹50.51› и ‹211.4›.

Точка ‹p8› задана координатами ‹235.5› и ‹183.5›.

Точка ‹p9› задана координатами ‹335.8› и ‹59.65›.

Точка ‹p10› задана координатами ‹203.5› и ‹-5.19›.

Коника ‹y1› по точкам ‹p1›, ‹p2›, ‹p3›, ‹p4›, ‹p5›.

Коника ‹y2› по точкам ‹p6›, ‹p7›, ‹p8›, ‹p9›, ‹p10›.

Поляра ‹p11› точки ‹y1› относительно коники ‹y2›.

Поляра ‹p16› точки ‹y2› относительно коники ‹y1›.

Точки ‹p12›, ‹p13›, ‹p14›, ‹p15› есть результат пересечения коник ‹p11› и ‹y2›.

Точки ‹p17›, ‹p18›, ‹p19›, ‹p20› есть результат пересечения коник ‹p16› и ‹y1›.

Прямая ‹o1› касательная в точке ‹p12› к конике ‹y2›.

Прямая ‹o2› касательная в точке ‹p15› к конике ‹y2›.

Прямая ‹o3› касательная в точке ‹p14› к конике ‹y2›.

Прямая ‹o4› касательная в точке ‹p13› к конике ‹y2›.

Пока готовил пример, обнаружил, что функция пересечения двух коник пару раз дала неверный результат. Это не результат каких-либо ошибок в приведенных формулах. Где-то есть внутренняя ошибка (редко проявляющаяся) в неверной засылке значений во внутренние переменные системы. С подобными явлениями я встречаюсь неоднократно, очень часто они случаются из-за ограничений по точности или из-за недосмотра за выбором возможных альтернативных вариантов. Сбойный вариант я записал. Буду анализировать и постараюсь поскорее устранить причину, после чего сформирую обновление. Если Вы решите создать в Симплексе свой пример и обнаружите, что точки пересечения получились неправильные, то сдвиньте немного точки, задающие исходные коники, чтобы проблема ушла.

Я пока не сформировал функцию сопряжения двух коник с прямыми, потому что она требует скрупулезного осмысления проблемы порядка формирования получаемых точек. Если сейчас соединить полученные точки прямыми линиями, а затем начать изменять форму коник, то может получиться, что прямые станут соединять точки не в той последовательности, в которой следовало бы. Над этим еще надо думать. А делать так, как показано в примере, используя функцию «касательная в точке коники», мне не очень хочется, так как этот прием хоть и правильный, но нарушает естественную логику построений.

Что касается задачи о сопряжении коник кониками, то в той постановке, в которой Вы ее сформулировали, она не вполне определена. С двумя коникам можно сопрячь множество коник, так же как и в случае сопряжения двух окружностей окружностью (ее радиусы могут быть различными). Поэтому необходимы дополнительные условия. С задачами подобного рода интересно экспериментировать: например, можно выполнить сопряжение двух окружностей окружностью и преобразовать все то, что получится, в некоторой заданной коллинеации. Получатся именно те сопряжения, о которых Вы говорите. Очень много полезного для анализа и компьютерной реализации таких сопряжений можно было бы почерпнуть из статьи В.А.Короткого на конференции КГП 2012 «Центральное проектирование двух компланарных коник в две окружности» – http://dgng.pstu.ru/conf2014/papers/47/. К сожалению, я обнаружил, что доступ к материалам этой конференции сейчас закрыт, а печатной копии у меня, к сожалению не сохранилось. Помню, что именно эта статья мотивировала меня к тому, чтобы ускорить работу над функцией определения точек пересечения двух коник. С нее и начался пересмотр функций Симплекса с точки зрения учета комплекснозначных результатов.

Постараюсь поделиться и другими интересными материалами, которые, на мой взгляд, могут быть полезными для работы со студентами, и при успешном их развитии пополнить функциональный состав системы, чтобы всем нам стало возможным решать еще более сложные и интересные задачи.

С уважением,
Денис Волошинов

Ссылка на рисунок: http://dww.no-ip.org/simplex/kgp2016/kasat.png

Денис Вячеславович, здравствуйте! Получил удовольствие и хорошее настроение, прочитав Ваш доклад по кривым второго порядка. Приведу некоторые размышления относительно Ваших “раздумий о содержании определений и терминов, которые традиционно используются в проективной геометрии”.

В геометрии, Вы знаете, известен общий проективный подход к исследованию эллиптической (римановой), параболической (евклидовой) и гиперболической (Лобачевского) геометрий на плоскости и в пространстве — так называемые проективные интерпретации Келли-Клейна. В этих интерпретациях евклидова геометрия занимает промежуточное положение между двумя неевклидовыми. При рассмотрении кривых второго порядка в общей проективной схеме центры кривых второго порядка представляют собой вершины полярного относительно кривой и абсолюта треугольника. У кривых второго порядка имеются 3 центра и 3 оси, 6 фокусов и 6 фокальных прямых и др. важные характеристики (Ф. Клейн “Неевклидова геометрия”, Б.А. Розенфельд “Неевклидовы геометрии”). К сожалению, практически отсутствуют геометрические монографии с обстоятельным проективным исследованием неевклидовых плоскостей, в том числе в части кривых второго порядка в них. Но та информация, что имеется в указанных монографиях, наталкивает на мысль о том, не проявляется ли результатами Ваших исследованиях “неевклидовость” евклидовой плоскости. Ведь многие существующие понятия и определения по кривым второго порядка в неевклидовых плоскостях, несмотря на существующий единый системный проективный подход в исследованиях ко всем трем плоскостям, явно отличаются от существующих для проективной геометрии евклидовой плоскости. Может быть стоит посмотреть на результаты Ваших исследований и с этой точки зрения? В 2015 г. нами издана небольшая по объему монография “Кривые второго порядка эллиптической плоскости” с проективно-аналитическими исследованиями. Если хотите – с удовольствием Вам презентую эту работу. С искренним пожеланием успехов, К.Л. Панчук

Здравствуйте, Константин Леонидович!

Благодарю Вас за отзыв. Рад тому, что мой доклад вызвал у Вас приятные эмоции!

Буду очень признателен Вам за книгу, с радостью буду ее изучать! В тех явлениях, которые проявились с центрами кривых второго порядка, без всякого сомнения, скрыты глубокие закономерности. Конечно, было бы очень интересно их обнаружить, изучить и грамотно их применять. Признаюсь честно, то, что происходило с центрами коник на экране моего компьютера, оказались для меня большой неожиданностью, и я долго сомневался в том, что не ошибаюсь.

С уважением,
Денис Волошинов

Денис Вячеславович, спасибо за решение в Симплексе, интересно видеть решение новых задач в этом замечательном инструменте, еще раз повторюсь, буду ждать статьи в ГиГ с нетерпением!

По поводу касательных коник — была такая идея. Мы можем строить окружность, касательно к трем другим прямым или окружностям. Следующим обобщением было бы рассмотреть построение, скажем, параболы (4 параметра) или эллипса (5 параметров), касательно прямым и окружностям в разных сочетаниях, из которых по крайней мере одна — окружность. Очевидно, там порядки будут высокие, но хотелось хотя бы взглянуть на эту систему уравнений.

Здравствуйте, Денис Вячеславович.

1. С большим интересом прочитал Ваш комментарий «Здравствуйте, коллеги! Хорошо, давайте пофилософствуем, поразмышляем. » Материю вопроса Вы осветили глубоко, подробно, в деталях и на примерах. Такие эссе читать приятно и полезно. Скоротечная жизнь и быт забирает у людей время и силы и у многих не доходит до философствования. Но хотя бы прочтут, как видят некоторые вопросы их коллеги. В ряду, который Вы выстроили по пространствам (димензион), есть один момент, где говорится о влиянии точки на прямую. Здесь, как мне показалось, лежит та, ещё до времени скрытая связь с сопряжённой евклидовой геометрии псевдоевклидовой геометрии. Да, точка, в зависимости от размерности пространства, или нуль-окружность, или нуль-сфера, а эти фигуры ой как влияют на прямые и плоскости. Тут надо мне остановиться, чтобы не растечься по древу …

2. Может Вам будет интересно, я искал точки пересечения коник, напр., двух эллипсов, спускаясь до точки. По главным осям эллипса натягивал на него прямоугольник, главные оси и диагонали дают инволюционный пучок, два эллипса – два пучка. Они имеют один общий луч. В каждом пучке есть сопряжённый ему луч, они пересекаются в некоторой точке. Затем я центрально увеличивал каждый эллипс, пока он не проходил через эту точку. Эти фантомные эллипсы пересекались в точках на общих хордах двух данных эллипсов. Здесь на задачу работает электронная визуализация, на бумаге такое недостижимо. Извиняюсь, если я не по делу.

С уважением, Антон Г. Гирш.

Здравствуйте, Антон Георгиевич! Большое спасибо Вам за отзыв на мой комментарий!

Вы совершенно правы в том, что быт и жизнь оставляют нам слишком мало времени на то, чтобы остановиться однажды и помыслить о тех вещах, с которыми мы постоянно сталкиваемся, и постараться при этом нарушить привычные и вошедшие в плоть и кровь стереотипы, дабы узреть что-то новое, общее и важное. Мне тоже, как и всем, нечасто удается это делать, но занятия геометрией, программированием и информатикой позволяют иногда обратить внимание на удивительные вещи, которые нарушают привычный ход мысли. Как правило, такие «прозрения» наступают тогда, когда с каким-либо вопросом заходишь в тупик или сталкиваешься с парадоксом.

Я не хотел бы, чтобы у читателей создалось впечатление, что в том, о чем я пишу, я всегда абсолютно и безоговорочно прав. Я просто излагаю свои соображения, которые могут быть и ошибочными. Просто это мои взгляды на природу вещей, явления которых мне не удается объяснить каким-либо иным образом, кроме как нарушением обычной привычной логики. Впрочем, многие такие соображения логическим нарушением и не назовешь. Это как бы продолжение естественного хода обычных дел, только с новой «начинкой». Ведь, собственно, идея определения пространств отрицательной размерности, например, исключительно проста. Но к ней трудно подойти, если не иметь опыта замены одних привычных объектов другими, то есть не прочувствовать до глубины души смысл информационного содержания понятия «моделирование», как всеобщего средства познания окружающей действительности. Ведь по сути, я ничего такого сверхъестественного в комментарии не описал: все просто. Логика и только логика.

Антон Георгиевич, о природе взаимодействия прямой и точки я тоже много думал. Возможно, Вы правы. Наверное, связи евклидовой геометрии с неевклидовыми геометриями надо искать где-то здесь.

В своих рассуждениях я стараюсь придерживаться принципа организации и взаимодействия звезд – организованных пространств, которые размещаются в других операционных пространствах, имеют ядра, определяющие инцидентность своих элементов-лучей определенной размерности. Анализ взаимного соотнесения звезд и их организации позволяет выявлять многие закономерности моделей, которые образуются от этого взаимодействия. Для эпюра Монжа – одной из возможных и наиболее используемых моделей трехмерного пространства – это две звезды с «ядрами» в двух бесконечно-удаленных точках и элементами – прямыми, которые индуцируют на картине (в двух полях) пучки параллельных прямых, проходящих через исключенные образы моделей и играющих исключительно важную организационную роль для этой модели: задают правило моделирования точек (да и всех остальных объектов) на единых линиях связи. Аналогичные явления происходят при организации моделей других пространств, только картина происходящего становится, конечно, иной, но схожей по принципу. Но, в целом, причинно-следственные явления — результатов взаимодействия пространств различной размерности проявляются именно здесь. Пространства отрицательной размерности не должны быть в этом смысле исключением. Та же логика должна прослеживаться и в них. Но поиском этих свойств надо заниматься, и, я думаю, это будет одной из интереснейших задач будущего, которая нам приоткроет завесу тайн мироздания в его исключительно любопытных проявлениях.

Если через точку плоски провести пучок прямых и пересечь эти прямые с другой прямой плоскости, то, как известно, между пучком и образованным на прямой линии точечным рядом образуется проективное соответствие. Если допустить мысль о том, что проективитет – это точно такой же полноценный геометрический объект, как и все другие геометрические объекты пространства (хотя мысль «приравнять» преобразование пространства его объектам может показаться безумно), то становится ясно, что этот объект (во множественных проявлениях) присущ и точке, и прямой, которая ее явно не пересекает. Значит, есть что-то такое, что мы явно не видим, но и исключить это из рассмотрения тоже не можем. Интересно, не правда ли?

По поводу точки и нуль-окружности (нуль-сферы и т.д.) я придерживаюсь несколько иного мнения. Я не считаю, что окружность при равенстве ее радиуса нулю стягивается в точку. Для меня это нуль-окружность и ничто другое. То, что чисто физически мы воплощаем на бумаге при помощи карандаша, то есть строим предметную, а не абстрактную модель, из ее чисто визуальных свойств, ставящих знак равенства между графическим образом точки и графическим образом окружности, еще не позволяет делать логического заключения о равенстве логическом между этими образами. Можно ведь нарисовать и другую картину. И не единственную. И изотропные прямые – самое сильное тому подтверждение. Об этом, собственно, и шла речь в моем повествовании о «торжестве» терминов и влиянии на этот процесс проекционного схематизма и инвариантной неопределенности.

Ведь по аналогичной же причине прямая трехмерного пространства, проходящая через произвольно выбранную точку, являющуюся центром проецирования в выбранном проекционном аппарате центр – плоскость, образует нам на картине проекцию-точку, то есть образ пространственной проецирующей прямой на плоскости. И имея только этот аппарат, мы не сможем по проекции-точке определить, что в индуцирующем ее пространстве источником информации была прямая. Но ведь от этого прямая никуда не делась. Поэтому и следует говорить о том, что не всякая картина хороша для того, чтобы по ней делать окончательные и безоговорочные заключения о мире, который мы видим только лишь через тени – проекции. Если кто-то что-то хочет спрятать в этом мире, то один из самых лучших способов сделать это: разместить объект сокрытия так, чтобы он занял «проецирующее положение» в мире вещей, который мы наблюдаем на картине нашего восприятия, и был бы неразличим в среде ему подобных. Разве не так?

Антон Георгиевич, Вы совершенно правы, говорить об этом можно очень долго и интересно и растечься по древу далеко-далеко. Тем более, что все, о чем приходится здесь рассуждать, так тесно, а порою и больно, перекликается с нашей реальной земной жизнью.

Второе Ваше замечание очень интересно. Я постараюсь разобраться в Ваших умозаключениях. Если признаться честно, у меня была распечатка всех Ваших публикаций, размещенных некогда на сайте МАИ. Я зачитывался, хотя и не все понимал, и мысль о том, как все это богатство было бы здОрово применить в средствах электронного обеспечения средств решения геометрических задач (то есть разрабатываемой мною системы) меня постоянно одолевала. Это было бы в высшей степени полезно в деле продвижения идей и проекционного геометрического моделирования, и геометрии вообще. Потому что без обобщений геометрии мнимыми образами – ну, просто никак! Я очень надеюсь, что Вы не будете в обиде на мой такой «неофициальный» порыв, хотя я понимаю, что Вашего разрешения на использование материала в своей разработке я не спрашивал. Впрочем, я пока еще и не слишком сильно продвинулся в этом деле. Просто экспериментирую. Мы ведь все проводим исследования на благо нашей науки, которая дарит нам незабываемые ощущения от чувства прозрения и постижения того, чего никто никогда пока еще не видел.

Эту распечатку у меня «зачитали». Я, конечно, могу сделать и новую, но руки пока не дошли. Пользуюсь копией сохраненного сайта. Лично, безусловно.


источники:

http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agk2

http://dgng.pstu.ru/conf2016/papers/27/


Гирш Антон Георгиевич
(25 февраля 2016 г. 14:53)

Здравствуйте Денис Вячеславович.

Хорошая, грамотная работа, на хорошей математической основе. Через исследование коник, несобственных элементов и, извините, комплексных элементов, уточняются фундаментальные вопросы и термины проективной геометрии. Мы, например, начали работу о конвертировании коник от задания их комплексными элементами к заданию их действительными элементами. Без проективной геометрии в этой работе ни шагу.

С пожеланием успехов, А.Г.


Волошинов Денис Вячеславович
(25 февраля 2016 г. 23:15)

Гирш Антон Георгиевич
(26 февраля 2016 г. 18:29)

Волошинов Денис Вячеславович
(27 февраля 2016 г. 0:32)

Сальков Николай Андреевич
(27 февраля 2016 г. 3:43)

Волошинов Денис Вячеславович
(27 февраля 2016 г. 11:03)

Волошинов Денис Вячеславович
(27 февраля 2016 г. 11:06)

Бойков Алексей Александрович
(28 февраля 2016 г. 1:38)

Волошинов Денис Вячеславович
(28 февраля 2016 г. 16:49)

Панчук Константин Леонидович
(28 февраля 2016 г. 18:08)

Волошинов Денис Вячеславович
(28 февраля 2016 г. 23:03)

Бойков Алексей Александрович
(12 марта 2016 г. 14:49)

Гирш Антон Георгиевич
(22 марта 2016 г. 1:11)

Волошинов Денис Вячеславович
(22 марта 2016 г. 23:27)