Два уравнения равносильны тогда и только тогда

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Конспект лекции для 10-11 классов по теме «Равносильность уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Определение 1: Два уравнения с одной переменной f ( x )= g ( x ) и p ( x )= h ( x )

называются равносильными , если множества их корней совпадают.

Определение 2: Если каждый корень уравнения f ( x )= g ( x ) (1)

является в тоже время корнем уравнения p ( x )= h ( x ) (2),

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Очевидно: Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Схема решения любого уравнения:

1.Технический этап. Осуществляется преобразование уравнения (1)→(2)→(3)→(4) …

2 . Анализ решения. Все ли преобразования были равносильными?

Реализация данного плана связана с поиском ответов на четыре вопроса:

Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?

Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?

Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?

В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

1.Теоремы о равносильности уравнений.

Теорема 1. Если какой либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) =а g ( x ) ( где а>0, а≠1) равносильно уравнению f ( x )= g ( x ).

Определение: Областью определения уравнения f ( x )= g ( x ) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f ( x ) и g ( x ).

Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x )= g ( x ) умножить на одно и то же выражение h ( x ), которое:

А) имеет смысл всюду в области определения (в ОДЗ) уравнения f ( x )= g ( x )

Б) нигде в этой области не обращается в 0 –

то получится уравнение f ( x ) h ( x )= g ( x ) h ( x ), равносильное данному.

Следствие («спокойное» утверждение): Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f ( x )= g ( x ) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному f ( x ) n = g ( x ) n .

Теорема 6. Если f ( x ) >0 и g ( x ) >0, то логарифмическое уравнение log _а f ( x )= log _а g ( x ), где а>0, а≠1, равносильно уравнению f ( x )= g ( x ).

2. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие.

Если в процессе решения уравнения мы применили заключение одной из теорем 4,5,6, не проверив выполнения ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то получится уравнение-следствие.

Некоторые переходы от одного уравнения к другому приводят к расширению области определения уравнения. Именно в добавленную часть ОДЗ и «проникают» посторонние корни.

Причины расширения области определения уравнения.

Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.

Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени.

Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.

Обязательна проверка всех найденных корней, если:

произошло расширение области определ6ения уравнения.

осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во всей области определения уравнения).

3. О проверке корней.

Как правило, самый легкий обходной путь проверки – по области определения (ОДЗ) заданного уравнения. Но не переоценивайте этот способ: он является полноценным только в том случае, когда при решении уравнения других причин нарушения равносильности, кроме расширения области определения, не было (это чаще всего бывает в логарифмических уравнениях). При решении же иррациональных уравнений, где используется метод возведения в квадрат, способ проверки найденных корней по ОДЗ не выручит; лучше, если это возможно, делать проверку подстановкой.

О потере корней.

Причины потери корней при решении уравнений:

деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h ( x ) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h ( x ) ≠0).

сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

замена уравнения h ( f ( x ))= h ( g ( x )) уравнением f ( x )= g ( x ) в том случае, если функция

у= h ( x ) – немонотонная функция.

Этот метод можно применить только в том случае, если функция у= h ( x ) – монотонная функция.

Равносильность уравнений

Презентация к уроку по теме «Равносильность уравнений»

Просмотр содержимого документа
«Равносильность уравнений»

Определение 1. Два уравнения с одной переменной

Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например , уравнения х 2 — 4 = 0 и (х + 2)(2 x — 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и √ x =-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения

является в то же время корнем уравнения

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например , уравнение х — 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х — 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1 = 5, х 2 = -1. Корень уравнения х — 2 = 3 является одним из корней уравнения (х — 2) 2 = 9. Значит, уравнение (х — 2) 2 = 9 — следствие уравнения х — 2 = 3.

Достаточно очевидным является следующее утверждение.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3) → (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х). » width=»640″

Теоремы о равносильности уравнений

• «Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теорема 1 . Е сли какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) (где а 0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х).

Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

0 и a ≠1, X — решение системы неравенств f (х) О, g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х) » width=»640″

« Беспокойные теоремы » работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5 . Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а0 и a ≠1, X — решение системы неравенств

Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень ⇒ проверка!

Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

(2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Последовательно получаем: 100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ² 9х ² — 416х + 796 = 0 х ₁ = 2; х₂ = 398/9 Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение. х₂ = 398/9 — посторонний корень. Ответ: х = 2 » width=»640″

Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) — (2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ²

9х ² — 416х + 796 = 0

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.

х₂ = 398/9 — посторонний корень.

Решение. Первый этап . Воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением

ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

О потере корней

Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ≠ 0);

2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f (х ) h (х) = g <х ) h <х) к уравнению h ( x )( f ( x ) – g ( x ))=0 ( а не к уравнению f ( x )= g ( x ) ). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2 = 4 и решим его двумя способами.

Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:

Обратите внимание: при втором способе произошла потеря корня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х 2 = 2 lg l х l мы воспользовались непра вильной формулой

lg х 2 = 2 lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.

Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей