Две системы уравнений называют равносильными если

Равносильные системы уравнений, равносильные преобразования

В этой статье мы поговорим про равносильные системы уравнений. Здесь мы дадим соответствующее определение, а также разберем, какие существуют преобразования, позволяющие переходить от исходной системы уравнений к равносильной ей системе.

Навигация по странице.

Определение равносильных систем уравнений

В учебниках [1, с. 199; 2, с. 74] дается определение равносильных систем уравнений с двумя переменными:

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

В старших классах оно обобщается на системы с любым числом уравнений и переменных [3, с. 265] :

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Примеры равносильных и неравносильных систем приведем в следующем пункте.

Равносильны ли данные системы уравнений?

Чтобы сделать вывод о равносильности или неравносильности данных систем уравнений на основе определения, надо наперед знать решения этих систем. Приведем пример. Пусть нам известно, что системы уравнений и не имеют решений (это достаточно очевидно: первая содержит не имеющее решений уравнение 0·x=4 , а вторая – уравнение |x|=−1 ). А по определению системы уравнений, которые не имеют решений, равносильны.

Чтобы доказать неравносильность систем уравнений, достаточно привести одно частное решение, являющееся решением одной системы, но не являющееся решением другой. Например, легко обосновать, что системы уравнений и неравносильны. Действительно, пара (0, 0) является решением первой системы, при этих значениях переменных оба уравнения системы обращаются в верные числовые равенства 0=0 и 0=−0 , но не является решением второй, так как ее второе уравнение при подстановке этих значений дает неверное равенство 0−0=2 . А по определению решения равносильных систем должны быть одинаковыми.

А как доказать равносильность систем уравнений, если их решения неизвестны? Конечно, можно найти решения, после чего сделать вывод касательно равносильности на основе определения. Но иногда для этого решать системы необязательно, это касается тех случаев, когда видно, что одна система получена из другой при помощи некоторых так называемых равносильных преобразований. Их мы подробно изучим в следующем пункте, а пока приведем пример.

Рассмотрим две системы уравнений и . При внимательном взгляде на их записи можно заметить следующие вещи: уравнение второй системы есть результат почленного сложения соответствующих частей уравнений первой системы, а второе уравнение второй системы получено из второго уравнения первой системы посредством переноса слагаемого в другую часть. Описанные преобразования являются равносильными, и в результате их проведения получается система, равносильная исходной. Итак, указанные системы равносильны. А мы переходим к разбору основных равносильных преобразований.

Равносильные преобразования систем уравнений

Существует ряд преобразований, позволяющих преобразовать данную систему уравнений в равносильную ей систему. Они получили название равносильных преобразований, и нашли основное применение при решении систем уравнений. Эти преобразования можно считать свойствами систем уравнений. Рассмотрим и обоснуем основные из них.

Перестановка местами уравнений системы дает равносильную систему уравнений.

Доказательство этого утверждения очевидно. В силу определения решения системы уравнений любое отдельно взятое решение системы уравнений является решением каждого уравнения этой системы. Понятно, что оно является и решением каждого уравнения системы с этими же уравнениями, но переставленными местами, значит, является решением и системы с переставленными местами уравнениями.

К примеру, и — равносильные системы.

Если любое уравнение в системе заменить равносильным уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Доказательство этого факта тоже лежит на поверхности. Любое решение системы уравнений является решением каждого уравнения системы. Мы также знаем, что равносильные уравнения имеют одинаковые решения. Поэтому, любое решение исходной системы уравнений будет решением всех уравнений системы, в которой какое-то уравнение заменено равносильным ему уравнением, а значит, и решением этой системы.

Важность доказанного свойства огромна: оно дает нам право на работу с отдельными уравнениями системы. С ними мы можем проводить всевозможные уже знакомые нам равносильные преобразования, например, перестановку местами слагаемых, перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число и т.д.

Приведем пример. Пусть дана система . В ее первом уравнении можно выполнить умножение чисел, то есть, заменить его равносильным уравнением 12·x−y=1 . А во втором уравнении можно собрать все слагаемые в левой части, раскрыть скобки, после чего привести подобные слагаемые. В результате получится равносильная система более простого вида .

Если к левой и правой части одного из уравнений системы прибавить соответственно левую и правую часть другого уравнения системы, то полученная система будет равносильна исходной.

Для доказательства покажем, что любое решение изначальной системы уравнений является решением полученной, и обратно, что любое решение полученной системы является решением исходной. Это будет означать равносильность систем.

Любое решение начальной системы является решением каждого ее уравнения, оно обращает все уравнения в верные числовые равенства. Нам известно свойство числовых равенств, которое утверждает, что при почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Отсюда следует, что взятое нами решение начальной системы является решением уравнения, полученного в результате почленного прибавления к нему другого уравнения. Поэтому, это решение является решением и полученной системы уравнений, так как является решением каждого ее уравнения.

Теперь обратно. Возьмем любое решение полученной системы, оно является решением каждого ее уравнения, то есть, оно обращает их в верные числовые равенства. Существует свойство, позволяющее выполнять почленное вычитание верных числовых равенств. Вычтем из равенства, соответствующего уравнению, полученному в результате почленного сложения, равенство, соотетствующее прибавленному ранее уравнению. Это даст верное числовое равенство, отвечающее начальному уравнению системы до прибавления к нему другого уравнения. Отсюда следует, что взятое решение будет решением каждого уравнения исходной системы, а значит, и ее решением.

Приведем пример выполнения этого равносильного преобразования. Возьмем систему двух уравнений с двумя переменными . Прибавив к левой и правой части первого уравнения соответственно левую и правую часть второго, получим уравнение с одной переменной 3·y=3 , а система примет вид . Полученная система уравнений имеет более простой вид, но при этом равносильна исходной.

Понятно, что если система содержит три или большее число уравнений, то можно не ограничиваться почленным прибавлением к левой и правой части выбранного уравнения левой и правой части одного уравнения, а прибавлять левые и правые части двух, трех, да хоть всех остальных уравнений системы. В результате этих действий все равно получится равносильная система уравнений.

На доказанном равносильном преобразовании базируется один из методов решения систем уравнений – метод алгебраического сложения.

Если одно из уравнений системы представляет собой переменную, выраженную через другие переменные, то в любое другое уравнение системы можно подставить вместо этой переменной ее выражение, система, полученная в результате такого преобразования, равносильна исходной.

Приведем пример для пояснения. Возьмем систему . В ее первом уравнении переменная x выражена через y . Оставим первое уравнение системы без изменений, а во второе подставим вместо x ее выражение через y , то есть, 2·y−1 . В результате приходим к системе , которая равносильна исходной. Обоснуем это.

Пусть пара (x₀, y₀) – решение исходной системы, тогда x₀=2·y₀−1 и x₀+3·y₀−1=0 – верные числовые равенства. Докажем, что при этом равенство (2·y₀−1)+3·y₀−1=0 тоже верное, что будет доказывать, что (x₀, y₀) является решением системы, полученной после преобразования, а это будет означать, что полученная система имеет те же решения, что и исходная.

Легко показать, что при условии x₀=2·y₀−1 значения выражений x₀+3·y₀−1 и (2·y₀−1)+3·y₀−1 равны. Для этого составим их разность и покажем, что она равна нулю: x₀+3·y₀−1−((2·y₀−1)+3·y₀−1)= (x₀−(2·y₀−1))+(3·y₀−1−(3·y₀−1))= x₀−(2·y₀−1) , а полученное выражение равно нулю в силу равенства x₀=2·y₀−1 . Итак, справедливо равенство x₀+3·y₀−1=(2·y₀−1)+3·y₀−1 , но справедливо и равенство x₀+3·y₀−1=0 , а из них по свойству транзитивности вытекает справедливость равенства (2·y₀−1)+3·y₀−1=0 .

Аналогично доказывается, что любое решение системы уравнений является решением исходной системы. В итоге можно сделать вывод, что системы равносильны.

Суть доказательства рассматриваемого утверждения в общем виде та же. То есть, показывается, что любое решение исходной системы является решением системы, полученной после преобразования, и обратно.

Это равносильное преобразование дает разрешение на решение систем уравнений методом подстановки.

В заключение скажем, что обычно при решении систем уравнений разобранные равносильные преобразования используются сообща и иногда по нескольку раз. Дальше на практике Вы увидите это.

Системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Формальная запись общего вида может выглядеть так: Фигурная скобка означает, что решение. должно удовлетворять каждому уравнению.

Содержание:

Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы

Пусть даны два уравнения с двумя переменными: f(x; у) = 0 и g(x; у) = 0. Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Пару значений переменных, обращающую в верное равенство каждое уравнение системы, называют решением системы уравнений. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Уравнения, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись

означает, что уравнения образуют систему.

Две системы уравнений называют равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Если, в частности, обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными. При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более «удобной», но равносильной первоначальной. Возможность такой замены обусловлена следующими двумя теоремами.

Теорема 5.

Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

Следствие:

Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.

Так, равносильными будут следующие системы:

Теорема 6.

Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

равносильны: мы заменили уравнение х — Зу = 10 суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение Зх — 2у = 2 оставили неизменным.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

Метод подстановки заключается в следующем.

1) Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражен через х (или х через у).

2) Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3) Находят корни этого уравнения.

4) Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующие значения у (или х).

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения находим х = Зу + 10. Подставим выражение Зу + 10 вместо х во второе уравнение системы. Получим откуда находим Соответствующие значения х найдем из уравнения х = 3у + 10. Если у = 0, то х = 10; если у = -4, то х = -2. Итак, система имеет два решения: (-2; -4) и (10; 0).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения

Метод сложения основан на теоремах 5 и 6 (см. п. 163). Суть его поясним на примерах.

Пример 1.

Решить систему уравнений

(1)

Решение:

Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

(2)

равносильную данной по теореме 5.

Сложим уравнения полученной системы. По теореме 6, система

(3)

равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

Из уравнения 11х = 55 находим х = 5. Подставив это значение в уравнение 2х + Зу = 7, находим У = -1.

Итак, (5; -1) — решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Пример 2.

Решить систему уравнений

Решение:

Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени:

Мы приходим к более простой системе

которую нетрудно решить методом подстановки. Имеем у = х — 1; значит,

Если х = 0, то у = х — 1 = 0 — 1 = -1; если х = 1,5, то у = х — 1 = 1,5 — 1 = 0,5

Ответ: (0; -1) и (1,5; 0,5).

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 1.

Решение:

Положим , тогда и первое уравнение системы примет вид . Решим полученное уравнение относительно новой переменной z:

Таким образом, либо , т.е. , либо

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: В соответствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем:

Из первой системы находим х = 2, у = 3, из второй х = 3, у = 2.

Ответ: (2; 3); (3; 2).

Пример 2.

Решить систему уравнений

Решение:

Положим

Тогда и система примет вид

Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения через , получим . Подставим этот результат в первое уравнение системы (1):

Соответственно находим Итак, нашли два решения системы (1):

Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность двух систем

каждую из которых нетрудно решить методом подстановки (выразив, например, у через х из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.

Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Пример 1.

Решить графически систему линейных уравнений

Решение:

Построим прямую — график уравнения Зх + 2у = 5 — по двум точкам, например (1; 1) и (3; -2) (рис. 1.111).

Построим прямую — график уравнения 2х — у = 8 — по точкам (0; -8) и (4; 0) (рис. 1.111).

Полученные прямые не параллельны, их пересечением служит точка М(3; -2). Значит, (3; -2) — решение заданной системы.

Пример 2.

Решить графически систему уравнений

Решение:

Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5 (см. «Геометрия», п. 107). Графиком уравнения ху = 12 является гипербола (см. п. 82). Построив графики в одной системе координат (рис. 1.112), найдем координаты точек А, В, С, D пересечения окружности и гиперболы: А(4; 3), Б(3; 4), С(-4; -3), D (-3; -4). Значит, решения заданной системы таковы:

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Пусть даны два линейных уравнения с двумя переменными и все коэффициенты при переменных отличны от нуля:

Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая (см. п. 162). Если , то прямые пересекаются в одной точке; если , то прямые совпадают; если то прямые параллельны и не совпадают.

Отсюда следует, что система двух линейных уравнений с двумя переменными

имеет единственное решение, если ,

имеет бесконечно много решений, если ,

не имеет решении, если

имеет одно решение, так как . Система

не имеет решений, поскольку Система

имеет бесконечно много решений, поскольку

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении.

Теорема 7.

Если обе части уравнения ни при каких значениях (х; у) одновременно не обращаются в нуль, то системы

Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение:

Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0 при у = 0. Если у = 0, то правая часть обращается в 0 при х = 0. Но при х = 0 левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар (х; у), при которых обе части первого уравнения системы одновременно обращаются в 0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Преобразовав первое уравнение этой системы, получим

8 = (х + у) — (х — у), т.е. у = 4.

Подставив найденное значение у во второе уравнение системы, получим

(1)

Решим это иррациональное уравнение (см. п. 150):

Второе значение не удовлетворяет уравнению (1), т. е. является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение

Пример 2.

Решить систему уравнений

Решение:

Ни при каких значениях (х; у) обе части второго уравнения системы не обращаются в нуль одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе

Из второго уравнения этой системы находим

Подставим найденное выражение у через х в первое уравнение системы. Получим и далее — Из уравнения находим, что если х = 5, то у = 3. Итак, (5; 3) — решение системы.

Системы показательных и логарифмических уравнений

Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений (см. пп. 151, 152) и обычные приемы решения систем уравнений (см. пп. 164—166, 169).

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы. Воспользуемся тем, что

(см. п. 121). Тогда уравнение можно записать в виде и далее (см. п. 120), откуда Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

Задача свелась к решению следующей системы уравнений:

Подставим 15у + 4 вместо в первое уравнение:

(15у + 4)у = 256,

Если у = 4, то откуда находим Если то

т.е. — это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, мы нашли две пары значений переменных:

Так как заданная система содержит выражения то должны выполняться условия х > 0, у > 0. Поэтому пара исходной системе не

Ответ: (8; 4).

Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными

При решении систем тригонометрических уравнений используются обычные приемы решения систем уравнений и формулы тригонометрии.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Положим Тогда получим систему Из первого уравнения этой системы находим Подставив выражение вместо во второе уравнение системы, получим

Если

Если то

Итак, мы получили две пары решений

Так как то нам остается решить две системы уравнений:

Из уравнения sin х = 1 находим

Из уравнения находим

Значит, решения системы имеют вид

Из уравнения находим

Из уравнения cos у = 1 находим

Значит, решения системы имеют вид

Замечание:

При решении систем тригонометрических уравнений следует использовать различные обозначения для параметра в записи решений первого и второго уравнений системы. Иными словами, если в первом уравнении системы при записи решения в качестве параметра использована буква k, то для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя — в рассмотренном примере для этой цели использовалась буква .

Системы трех уравнений с тремя переменными

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными

Решением такой системы называют всякую тройку чисел, удовлетворяющую каждому уравнению системы.

Для систем трех уравнений с тремя переменными применяются методы решения, аналогичные тем, что используются для систем двух уравнений с двумя переменными.

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х через у и z и подставим результат во второе и третье уравнения системы.

Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки.

Из уравнения находим . Из уравнения у = z — 3 получаем соответственно а из уравнения х = 2 — у — z находим

Итак, получили два решения исходной системы: (3; -2; 1) и (-1; 0; 3).

Решение задач с помощью составления систем уравнений

3адача 1.

Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то встреча произойдет через 2,5 ч после выхода второго. Если же второй пешеход выйдет на 2 ч раньше первого, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первого. С какой скоростью идет каждый пешеход?

Решение:

Пусть х км/ч — скорость первого пешехода, а у км/ч — скорость второго пешехода. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет идти до встречи 4,5 ч, тогда как второй — 2,5 ч. За 4,5 ч первый пройдет путь 4,5л: км, а за 2,5 ч второй пройдет путь 2,5у км. Их встреча означает, что суммарно они прошли путь 30 км, т. е.

4,5х + 2,5у = 30 — первое уравнение.

Если второй выйдет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет идти до встречи 5 ч, тогда как первый — 3 ч. Рассуждая, как и выше, придем ко второму уравнению:

В итоге получаем систему уравнений

откуда находим х = 5, у = 3.

Ответ: первый пешеход идет со скоростью 5 км/ч, а второй — 3 км/ч.

Задача 2.

У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причем младший брат нашел банк, который дает на 5% годовых больше, чем банк старшего брата. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил 4600 руб., а младший — 2400 руб. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?

Решение:

Пусть х руб. — сумма денег, которую положил в банк младший брат, тогда 2х руб. — сумма денег, которую положил в банк старший брат.

Пусть, далее, банк старшего брата дает у% годовых, тогда банк младшего брата дает (у + 5)% годовых.

Значит, через год на счету старшего брата будет руб., а на счету младшего брата будет руб.

В итоге приходим к системе уравнений

Решив эту систему, получим х = 2000, у = 15.

Осталось получить ответ на вопрос задачи: сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки? В этом случае младший брат положил бы свои 2000 руб. в банк под 15% годовых, а старший — 4000 руб. в банк под 20% годовых. Младший брат в конце года получил бы 2300 руб., а старший — 4800 руб. Всего у них стало бы 7100 руб.

Ответ: 7100 руб.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Равносильные системы неравенств, преобразование систем, определение

Продолжаем обсуждать термин «равносильные системы». Мы уже обсудили, что он означает применительно к уравнениям. В этой статье мы попробуем разобрать его применительно к неравенствам. План материала выглядит следующим образом: сначала мы введем основные определения, потом преобразуем их возможными способами, а в конце докажем, что получившаяся в итоге преобразований система равносильна той, что была взята первоначально.

Определение равносильной системы неравенств

Понятие равносильной системы неравенств в учебниках алгебры встречается нечасто. Почему-то применительно к уравнениям это термин более употребим. При этом мы можем встретить, что решения систем неравенств записываются следующим образом:

2 · x — 1 > 6 , 5 — 3 · x > — 13 , 2 · x > 7 , — 3 · x > — 18 , x > 3 , 5 , x 6 .

Аналогично определению системы равносильных уравнений мы можем сформулировать схожее и для неравенств. При этом изначальные системы неравенств можно заменить на равносильные, но более простые для понимания. Итак, определение:

Равносильные системы неравенств — это такие системы, у которых одни и те же решения (или эти решения одинаково отсутствуют).

Как понять, равносильны ли данные системы неравенств?

Если мы знаем все решения систем, то можно сразу дать ответ — да или нет, исходя из указанного выше определения.

Допустим, мы знаем, что:

2 · x > 2 , x 4 ≤ — 2 — решений не имеет.

Для системы x > 5 , x — 1 — аналогично.

Если обе системы не имеют решения, то они равносильны.

А если мы не знаем решений? Логично вычислить их и определить это. Но есть способ обойтись и без предварительных расчетов. Для этого нам надо будет провести так называемые равносильные преобразования. Давайте разберем подробнее, что же это такое.

Что такое равносильные преобразования систем неравенств

Для уравнений существует довольно много преобразований, которые могут быть полезны на практике, но для неравенств же их заметно меньше. Разберем два основных способа, которые применяются для решения задач чаще всего:

1. перестановка компонентов системы неравенств;
2. замена одного из неравенств системы на равносильное ему.

Также указанные выше понятия можно называть свойствами систем неравенств. Попробуем определить данные свойства.

1) Если мы поменяем местами неравенства, входящие в систему, то итоговая и исходная системы будут равносильны.

Это утверждение логично и не нуждается в обоснованиях: ведь позиция компонента в системе никак не влияет на его решение, следовательно, и на решение всей системы тоже.

Разберем один несложный пример. У нас есть 2 системы неравенств:

x + y > 3 , 2 · x + y 2 + x · y ≥ 1 , x 2 — y 2 12 и 2 · x + y 2 + x · y ≥ 1 , x 2 — y 2 12 , x + y > 3

Они являются равносильными, поскольку вся разница между ними состоит в порядке записи компонентов.

Какова же польза первого свойства на практике? Мы можем с его помощью передвинуть наверх то неравенство, решения у которого очевидно нет. Тогда мы сразу же можем подытожить, что вся система неравенств решения не имеет, ведь это следует из их базового определения.

2) Если заменить одно из неравенств системы равносильным ему, что система, получившаяся в итоге, равносильна изначальной.

Это утверждение также не вызывает вопросов. Если системы, являющиеся равносильными, имеют в итоге одинаковые решения, то упомянутые в формулировке второго свойства системы также решаются одинаково.

Для чего нам может пригодиться такое преобразование? Благодаря ему мы можем работать по отдельности с любым компонентом системы.

Так, возьмем первое из следующей системы:

2 · x 2 + 3 · x — 2 · x — x 2 — x 2 > 3 — 2 , 4 · x — 9 ≤ 0

Заменим его равносильным неравенством, используя способ приведения подобных слагаемых, и в итоге получим более легкую систему: