Две стороны заданы уравнениями найти остальные стороны

Две стороны заданы уравнениями найти остальные стороны

Стороны треугольника заданы уравнениями:

Найти координаты вершин треугольника.

Координаты вершины A найдем, решая систему, составленную из уравнений сторон AB и AC:

Систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными решаем способами, известными из элементарной алгебры, и получаем

Вершина A имеет координаты

Координаты вершины B найдем, решая систему из уравнений сторон AB и BC:

получаем .

Координаты вершины C получим, решая систему из уравнений сторон BC и AC:

Вершина C имеет координаты .

Помогите, пожалуйста, решить задачу по геометрии.

1. Даны две противоположные вершины квадрата А (1;3) и С (-1;1). Найти коорди-наты В и D.

2.Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = х — 2 и 5у = х + 6. Его диа-гонали пересекаются в начале координат. Написать уравнения диагоналей.

1) Уравнение диагонали АС:
(у-ус) /(уА-уС) = (х-хС) /(хА-хС)
(у-1)/2 = (х+1)/2
у = х+2
Диагональ BD перпендикулярна АС (угловой коэффициент равен -1) и проходит через середину АС, т. е. через точку О (0;2).
Уравнение диагонали BD
y = 2 — х
Искомые координаты вершин могут быть найдены, например, из условий
АO=OВ и AO=OD
(1-0)^2 + (3-2)^2 = x^2 + (2-x-2)^2
2 = 2*x^2
x = 1; y = 2-1=1 — координаты т. В
x = -1; y = 2+1 = 3 — координаты т. D
2) Одна из вершин параллелограмма — точка пересечения данных прямых. Решение системы линейных уравнений
у = х — 2
х = 5*у — 6
даст точку вершины с координатами А (4; 2).
Начало координат — точка пересечения диагоналей, поэтому противоположная вершина С (-4; -2) — центрально симметрична точке А относительно начала координат.
Собственно, сразу можно было найти уравнение диагонали АС (то же, что и прямой АО) :
у = 2*х/4 = х/2
Для нахождения второй диагонали достаточно найти третью вершину параллелограмма, например, как точку пересечения стороны, задаваемой уравнением
х = 5*у — 6
и стороны, параллельной прямой
у = х — 2
и проходящей через точку С.
уравнение этой стороны будет иметь вид:
у = -2 + х + 4
у = х + 2
Координаты вершины В найдем из решения системы:
х = 5*у — 6
у = х + 2
Вершина В (-1; 1)
Уравнение диагонали BD (то же, что и прямой ОВ)
у = -х

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

.

.

, .

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

.

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

, .

, .

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем: