Движение груза на пружине описывается уравнением

§ 1.2. Уравнение движения груза, подвешенного на пружине

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела m на ускорение равно действующей на тело силе :

m = . (1.2.1)

Второй закон Ньютона (1.2.1) непосредственно описывает движение тела, размеры которого не оказывают существенного влияния на характер движения. В таком случае тело можно считать материальной точкой.

Чтобы записать второй закон Ньютона для проекций на оси координат, надо выбрать подходящую систему отсчета, относительно которой уравнение движения выглядит особенно просто и потому удобно для решения. Далее надо выяснить, как модули и направления сил зависят от положения (координат) тела и его скорости. Если тело движется вдоль прямой, как в случае колебаний груза на пружине, то сделать это нетрудно.

Запишем уравнение движения для груза на пружине. На груз действует сила упругости _у и сила тяжести = m. Действием трения пренебрежем. Направим ось X вертикально вниз (рис. 1.7).

Начало отсчета (точку О) выберем на уровне положения равновесия. В положении равновесия пружина растянута на величину x₀, значение которой определяется из закона Гука: kx₀ = mg, где k — жесткость пружины, m — масса груза, a g — ускорение свободного падения. Отсюда

(1.2.2)

Проекция силы упругости

где x — координата груза относительно положения равновесия. Величина x₀ + х представляет собой удлинение пружины (см. рис. 1.7).

Уравнение движения груза запишется так:

Подставляя в это уравнение значение x₀ из выражения (1.2.2), получим окончательно:

Уравнение движения не содержит силы тяжести. Сила тяжести, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину. Но это не влияет на характер движения груза. Просто колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на x₀ пружине. В отсутствие тяготения уравнение движения (1.2.4) имело бы точно такую же форму, но только колебания происходили бы относительно конца нерастянутой пружины. Наличие силы тяжести несущественно для колебаний груза на пружине в отличие от колебаний маятника.

Масса m и жесткость пружины k — постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (1.2.4) на m и введя новое обозначение

Это уравнение колебаний груза на пружине. Оно очень простое: ускорение груза прямо пропорционально его координате X, взятой с противоположным знаком. Самым замечательным является то, что такие же (с точностью до обозначений) уравнения описывают свободные колебания самых различных систем, в частности колебания математического маятника.

Постоянная ω₀ имеет важный физический смысл. Как мы впоследствии увидим, — это циклическая частота колебаний груза. Она выражается в секундах в минус первой степени.

Колебания груза на пружине — формулы, уравнения и задачи

Общие сведения

Колебания — это изменения какой-либо величины в точности или приблизительно повторяющиеся во времени. Если рассматривать процесс, с точки зрения механики, то он описывается положением тела. Повторение в точности является периодическим. Математически это можно записать формулой: x (t + T) = x (t), где T — время, в течение которого совершается одно полное колебание (период). Число циклов принято обозначать буквой N. Его находят как отношение времени к периоду: N = t / T.

При исследовании процесса не всегда бывает удобно оперировать временем, поэтому часто используют число колебаний за единицу времени. Эта величина называется частотой. Находят её количество по формуле: f = 1 / T. Доказать справедливость приведённого равенства просто. Число колебаний зависит от времени и частоты: N = f * t. Отсюда: f = N / t = (t / T) / t = 1 / T.

Очень важно не только понимать суть характеристик колебания, но и знать единицы его измерения. Вот основные из них:

• период — секунды (с);
• частота — герцы (Гц);
• число колебаний — безразмерная величина.

Если в течение времени меняется и координата, то периодически будет изменяться и скорость. Значит: vx (t + T) = Vx (t).

Исходя из верности равенства, можно сказать, что условие периодичности будет справедливо и для проекции, то есть изменения ускорения. Отсюда следует, что сила действующая на тело тоже будет переменной: Fx (t + T) = Fx (t).

При процессе также происходит изменение потенциальной и кинетической энергий. Действительно, так как в процессе колебания скорость не является постоянной величиной, то соответственно будет меняться кинетическая работа. Потенциальная же энергия зависит от координат. Например, если рассмотреть период колебаний пружинного маятника, то за это время тело переместится из нижнего положения в верхнее и вернётся обратно. Значит, координата физического объекта изменится от нуля до какого-то граничного значения.

Следует отметить, что периодичные движения обязательно будут происходить в той системе, в которой есть положение равновесия. Причём оно должно быть устойчивым. То есть существует равнодействующая сила, стремящаяся привести объект в положение, соответствующее покою. Поэтому для поддержания отклонений нужна дополнительная сила. Колебательную систему (осциллятор) под действием вынужденной периодической силы называют вынужденной.

Пружинный маятник

Это устройство является простейшим примером свободных колебаний. В его состав входит кронштейн, пружина и груз. В качестве последнего может выступать любое физическое тело. Масса пружины по сравнению с грузом считается малой и при исследованиях не учитывается.

При изучении такой системы важной задачей является измерение периода движения тела, подвешенного к пружине. Определение понятию пружинного маятника, которое даётся в учебниках по физике довольно обобщённое. Считается, что это конструкция, в которой тело, имеющее массу m, подвешено на упругой пружине обладающей жёсткостью K. При этом из состояния равновесия систему может вывести упругая сила F = — k * x, где: x- расстояние от середины пружинного элемента до поверхности прикреплённого к нему груза.

Можно выделить два достаточных условия возникновения свободных колебаний:

1. Во время отклонения тела от положения равновесия должна возникать возвращающая сила.
2. Силы сопротивления (трения) должны быть малы по сравнению со стремящей вернуть энергией тело назад.

Суть изучения гармонических колебаний состоит в определении их частоты движения или периода. В пружинном маятнике, впрочем, как и в любой колебательной системе, параметры зависят от ряда характеристик. Из основных величин, описывающих процесс, можно выделить: массу груза и жёсткость. Поэтому задача и состоит в выяснении, как период зависит от этих двух параметров.

Во время экспериментов регулировать массу довольно легко. Для этого можно взять эталонные гири и, соединяя их, увеличивать вес. Жёсткость же пружины можно изменить, добавляя параллельно или последовательно к ней другое сжимающееся тело. Чтобы выяснить, как будет изменяться характеристика растягивающегося элемента, нужно знать, что же представляет собой параметр. Так, под жёсткостью тела понимают отношение силы упругости к удлинению: k0 = F / Δ L. Измеряется величина в ньютонах, делённых на метр (Н/м).

Исходя из правила, если соединить две пружины параллельно и деформировать их, то можно утверждать, что первый и второй элемент растянется на одинаковую длину ΔL. Значит, возникнет две одинаково направленных силы упругости. Отсюда равнодействующая будет равняться: K = 2F/ ΔL = 2k0. Для последовательного же соединения длина всей системы увеличится на 2 ΔL. Сила упругости будет равна F. Соответственно, жёсткость будет изменяться по формуле: K = F / 2ΔL = k0 / 2.

Зависимость периода

При проведении эксперимента можно исследовать пять различных комбинаций поведения груза на пружине — два варианта связаны с весом и три с жёсткостью. Чтобы выполнить опыт самостоятельно нужно будет взять вертикальный кронштейн, две одинаковые пружины и два равных по весу груза. Так как в реальности период будет довольно маленький, то для его измерения можно взять время, например, пятидесяти колебаний, а потом полученный результат разделить на это число. Подсчёт времени удобно выполнять с помощью секундомера.

Вычисленные результаты нужно занести в таблицу. Примерный порядок чисел должен получиться таким:

Эти данные можно проанализировать. Выводы будут следующими:

• с ростом массы физического тела период цикличности увеличивается;
• по мере увеличения жёсткости период колебаний уменьшается.

Приведённые утверждения, возможно, описать и количественно. Исходя из результатов, величины, стоящие в ячейке m0k0 и 2m02ko почти совпадают. С точки зрения физики, так и должно быть. Если взять грузик на пружине и измерить характеристику, а потом добавить к нему точно такую же систему, то период не поменяется. Это и можно наблюдать во время опыта. Значит, период движения зависит от того каким будет отношение массы к жёсткости.

По аналогии можно рассмотреть, как влияет жёсткость. Из эксперимента, видно, что если её увеличить дважды на одну и ту же величину, то она возрастёт в четыре раза, а значение обратное частоте уменьшится на это же число. Отсюда можно предположить, что период будет обратно пропорционален корню квадратному из жёсткости.

Объединив эти две гипотезы можно сделать заключение. Что период амплитуды колебаний груза на пружине будет прямо пропорционален корню квадратного из отношения массы к жёсткости: T = √(m / k). Проверить это утверждение можно по теории размерности. Подставив в формулу единицы измерения, получим: √(m / k) = √(кг / (Н/м)) = √(кг * м / Н). Учитывая, что ньютон — это отношение метра к секунде в квадрате или килограмму, умноженному на метр и делённому на секунду, размерное равенство примет вид: √(кг * м/Н) = √(c 2 * м/м) = √с 2 = с.

Для написания полной формулы в равенство нужно вести ещё коэффициент. Он будет равняться 2p. Значит, период колебаний пружинного маятника количественно описывается выражением: T = 2p * √ (m / k).

Примеры решения задач

Практические задания помогают лучше разобраться в теоретическом материале и запомнить нужные для решения формулы. Существуют различные примеры, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный курс. Вот два задания с подробным описанием решения на вычисления параметров пружинных колебаний тела. Разобравшись в них, можно переходить к самостоятельному вычислению более сложных примеров.

Задание № 1. Груз, подвешенный к пружине, перемещается циклически по вертикальной оси. За восемь секунд он совершил тридцать два колебания. Определить частоту. Итак, по условию задания дано время t = 8 c и число полного перемещения тела N = 32. Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться формулой нахождения периода: T = t / N. Все величины для этого есть: T = 8 c / 32 = 1 / 4 = 0,25 секунды. Частота связана с периодом выражением: f = 1 / T. После подстановки чисел получится ответ равный четырём герцам.

Задание № 2. Грузик совершает колебания на пружине с жёсткостью сто ньютон на метр. При этом максимальная скорость движения составляет два метра в секунду. Вычислить массу тела учитывая, что максимальная амплитуда отклонения от точки покоя составляет десять сантиметров. Силой трения пренебречь.

При решении примера нужно рассуждать следующим образом. Когда будет максимальное растяжение пружины, то скорость груза равна нулю: V1 = 0. Значит, кинетическая энергия тоже будет нулевой: Ek1 = 0.

В этот момент останется только потенциальная энергия вытянутой пружины Ep1. В положении равновесия скорость тела максимальная и равняется V = 2 м/с. Так как пружина в этот момент нерастянута и несжатая, то Ep = 0.

По закону сохранения энергии: Ek1 + Ep1 = Ek + Ep. Кинетическая работа при растянутой пружине равняется нулю, так же как и потенциальная в состоянии покоя, значит, Ep1 = (k * L 2 ) / 2, где L — удлинение, а k — жёсткость. Энергию же можно найти так: Ek = mV 2 / 2. Так как тело совершает колебания около положения равновесия, то вытянутость пружины будет равняться амплитуде.

Перед тем как непосредственно переходить к составлению итоговой формулы и вычислениям необходимо все значения измерений привести в соответствии с СИ. Так, амплитуда указана в сантиметрах, поэтому её нужно перевести в метры. Теперь можно переходить к составлению отношения и подстановки данных: (k * L 2 ) / 2 = mV 2 / 2. Отсюда: m = (k * L) / V 2 = (100 Н/м * 0,1 2 м) / 2 2 м/с = 1 / 4 = 0,25 килограмма.

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

где $<щu>^2_0=\frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $<\omega >_0=\sqrt<\frac>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(\omega >_0t+\varphi )$ — фаза колебаний; $\varphi $ и $<\varphi >_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

\[Re\ \tilde=Re\left(A\cdot exp\ \left(i\left(<\omega >_0t+\varphi \right)\right)\right)\left(3\right).\]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($\nu $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $\dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=\frac>^2><2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac<м><с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A<\cos \left(\omega t\right),\ \ >\ $где $A$ и $\omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит: