Движение материальной точки массой 1 кг задается уравнением

Движение материальной точки массой 1 кг задается уравнением

скорость точки момент времени

Материальная точка массой m = 5 г совершает гармонические колебания с частотой ν = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А = 3 см. Определить; 1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу F_max, действующую на точку; 3) полную энергию E колеблющейся точки.

Материальная точка начинает двигаться по окружности с угловым ускорением ε = k·t, где k = 4 рад/с 3 . Определить угловую скорость точки в момент времени t₁ = 2 c.

Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x₁ = A₁+B₁t+C₁t 2 , x₂ = A₂+B₂t+C₂t 2 , где A₁ = 20 м, A₂ = 2 м, B₁ = B₂ = 2 м/с, C₁ = 4 м/с 2 , С₂ = 0,5 м/с 2 . В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v₁ и v₂ и ускорения a₁ и а₂ точек в этот момент.

Материальная точка массой т = 900 кг движется по горизонтальной прямой под действием силы F = 270t, которая направлена по той же прямой. Определить скорость точки в момент времени t = 10 с, если при t₀ = 0 скорость ν₀ = 10 м/с.

Точка движется по траектории согласно уравнению s = 0,5t 2 + 4t. Определить, в какой момент времени скорость точки достигнет 10 м/с.

По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: х₁ = 10 + t + 2t 2 и x₂ = 3 + 2t + 0,2t 2 . В какой момент времени скорости этих точек одинаковы?

Две материальные точки движутся согласно уравнениям x₁ = A₁t + B₁t 2 + C₁t 3 и x₂ = A₂t + B₂t 2 + C₂t 3 , где A₁ = 2 м/с; B₁ = –4 м/с 2 ; C₁ = 1 м/с 3 ; A₂ = 4 м/с; B₂ = 8 м/с 2 ; C₂ = –16 м/с 3 . В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения точек в этот момент времени.

Точка движется по прямой согласно уравнению x = At – Bt 3 – С, где А = 4 м/с, В = 3 м/с 3 , С = 1 м. Найти координаты х точки в моменты времени, когда скорость v равна нулю.

Материальная точка на плоскости совершает движение, которое задается кинематическими уравнениями: х = A·cos(ω·t); у = B·cos(ω·t + φ₀), где х и у — координаты точки в момент времени t, А = 4 м, В = 8 м, φ₀ = π, ω = π рад/с. Определить траекторию точки и скорость точки в момент времени t₁ = 1 с.

Движения двух материальных точек задаются уравнениями v₁(t) = B₁t + C₁t 2 , х₂(t) = B₂t 2 + C₂t 3 , где B₁ = 8 м/с, B₂ = 2 м/с 2 , С₁ = 4 м/с 2 , С₂ = 5 м/с 3 . Определить скорости v₁ и v₂, ускорения а₁ и а₂ точек в момент времени когда их скорости будут одинаковыми.

Движение точки задано уравнениями x = A₁sinωt и y = A₂sinω(t+τ), где А₁ = 10 см, А₂ = 5 см, ω = 2 рад/с, τ = π/4 с. Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени t = 0,5 с.

Движение материальной точки задано уравнением: x = A+Bt 2 , где А = 4 м/с, В = –0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в который скорость точки v = 0. Найти координату и ускорение точки в этот момент.

Две материальные точки движутся вдоль одной прямой с ускорениями a₁ = A₁+B₁t, a₂ = A₂+B₂t, где A₁ = 4 м/c 2 , B₁ = 3 м/с 3 , A₂ = 12 м/с 2 , B₂ = –1 м/с 3 . Начальные скорости этих точек были равны, соответственно, 8 м/с и 12,5 м/с. В какой момент времени t скорости точек будут одинаковы?

Материальная точка массой m = 5 кг в начале движения по горизонтальной прямой малая скорость V₀ = 3 м/с и на нее действовала сила F = 8 + 3t, которая направлена по той же прямой. Определить скорость точки в момент времени t₁ = 4 с.

Механические и электромагнитные колебания

4. Колебания и волны

1. Гармонические колебания величины s описываются уравнением s = 0,02 cos (6πt + π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

2. Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания с амплитудой A = 8 см, если за t = 1 мин совершается n = 120 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.

3. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 4 см и периодом T = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения x₀ = 2 см.

4. Точка совершает гармонические колебания с периодом T = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

5. Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда A = 15 см, максимальная скорость колеблющейся точки v_max = 30 см/с, начальная фаза φ = 10°.

6. Точка совершает гармонические колебания по закону x = 3 cos (πt/2 + π/8), м. Определите: 1) период T колебаний: 2) максимальную скорость V_max точки; 3) максимальное ускорение a_max точки.

7. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 10 см и периодом T = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение.

8. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t) = -6 sin 2 πt, м/с. Запишите зависимость смещения этой точки от времени.

9. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению x = A sin ωt. В какой-то момент времени смещение точки x₁ = 15 см. При возрастании фазы колебания в два раза смещение x₂ оказалось равным 24 см. Определите амплитуду A колебания.

10. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,02 cos (πt + π/2), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия.

11. Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A = 3 см и периодом T = 4 с.

12. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой ν = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х₀ = 5 см, со скоростью v₀ = -15 см/с. Определите амплитуду колебаний.

13. Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону х = 0,1 cos(4πt + π/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

14. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,1 cos 3πt/2, м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.

15. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону x = 0,1 cos(4πt + π/4), м. Определите полную энергию Е этой точки.

16. Полная энергия E гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила F_max, действующая на точку, равна -0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период T колебаний равен 4 с, а начальная фаза φ = π/6.

17. Определите отношение кинетической энергии T точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебания.

18. Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону x = A cos(ω₀t + φ).

19. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A = 8 см. Определите жесткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия T_max груза составляет 0,8 Дж.

20. Материальная точка колеблется согласно уравнению х = A cos ωt, где A = 5 см и ω = π/12 с -1 . Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу ωt.

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Движение материальной точки в теоретической механике

Динамика:

В динамике завершается изучение законов движения. Здесь объясняется, почему материальные точки или тела двигаются именно так, а не иначе, что служит причиной тех или иных изменений в характеристике их движения.

Первая аксиома динамики — закон инерции —объясняет, что равномерное и прямолинейное движение точки или тела происходит лишь в том случае, если на точку (тело) действует уравновешенная система сил. И наоборот, если нужно, чтобы точка или тело двигались равномерно и прямолинейно, то необходимо создать условия для равновесия всех сил, приложенных к данной точке или к данному телу.

В каждой задаче, в которой рассматривается криволинейное или неравномерное движение точки, применяется вторая аксиома динамики—основной закон динамики точки

Закон равенства действия и противодействия (третья аксиома динамики) в задачах по динамике, так же как и в статике, используется при определении взаимодействия двигающихся тел.

Четвертая аксиома динамики— закон независимости действия сил — позволяет при решении задач динамики выбирать пути их решения. Если па материальную точку действует несколько сил, го можно найти их равнодействующую, а затем рассмотреть ее действие на точку — найти ускорение точки, но можно сначала найти ускорения, приобретенные от действия каждой силы отдельно, а затем эти ускорения геометрически сложить.

Решая любые задачи по динамике, необходимо учитывать, что все уравнения, выражающие основные законы динамики, а также многие формулы, как правило, выражены в форме, позволяющей использовать их лишь при подстановке числовых значений величин в единицах одной системы.

Поэтому перед тем как приступить к решению задачи по динамике, необходимо выбрать, в какой из двух употребляемых систем единиц решать задачу: либо в единицах СИ, либо в единицах МКГСС (единицах технической системы).

Заметим, что единицы длины (1 м), времени (1 сек), скорости (1 м/сек) и ускорения (1 м/

Как известно из статики, в СИ единицей силы служит 1 « — сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 м/, в системе МКГСС единицей силы служит 1 кГ — основная единица.

Единицей массы в СИ служит 1 кг (основная единица) —масса платино-иридиевого эталона, а в системе МКГСС—единица массы производная. Она образуется при подстановке в уравнение основного закона динамики

вместо Р значения 1 кГ и вместо а значения 1 м/, т. е.

Таким образом, технической единицей массы (т. е. м.) является масса, которой сила, равная 1 кГ, сообщает ускорение 1 м/.

Техническая единица массы в 9,81 раза крупнее 1 кг (единицы СИ).

Основной закон динамики точки

Точка, движение которой ничем не ограничено, называется свободной. Свободная точка под действием приложенных сил может двигаться в каком угодно направлении. Задачи, в которых рассматривается свободная точка, решаются при помощи основного уравнения динамики

Если на точку действует только одна сила (примером такого движения может служить так называемое свободное падение — движение точки под действием силы тяжести в безвоздушном пространстве), то векторное уравнение (а) заменяется скалярным уравнением

выражающим зависимость между модулями силы и ускорения.

Если на точку действует несколько сил то векторное уравнение (а) примет вид

где равнодействующая и, согласно закону независимости действия сил, (ускорение точки равно геометрической сумме ускорений, сообщенных ей каждой силой в отдельности).

Векторное равенство (в) заменяется двумя или тремя скалярными равенствами.

Если силы действующие в одной плоскости, спроектировать на две взаимно перпендикулярные оси, получим два скалярных уравнения (уравнений проекций на оси х и у):

где — проекции ускорения соответственно на ось хну.

Если система сил, приложенных к точке,— пространственная, то вместо векторного уравнения (в) составляется три скалярных уравнения проекций на оси х, у иг.

В условиях задач по динамике, имеющихся в учебниках или задачниках, очень часто вместо массы точки или тела задается их вес (в кГ). В таких случаях массу точки (тела) определить очень легко: числовое значение массы (в кг) можно считать равным числовому значению веса (в кГ), так как масса 1 кг весит 1 кГ.

Задача №1

Свободная материальная точка, вес которой 5 кГ, движется прямолинейно с ускорением 50 см/. Определить силу, приложенную к точке.

1. Выразим значения обеих данных величин в единицах СИ. Так как точка весит 5 кГ, то ее масса т=5/сг, ускорение точки а = 50 см/ = 0,5 м/.

2. Согласно основному закону динамики,

Таким образом, сила, сообщающая массе, равной 5 кг, ускорение равна 2,5 н, что соответствует 0,26 кГ, так как

Задача №2

Свободная материальная точка находится под действием постоянной силы Р = 5,1 кГ в течение 20 сек и проходит за это время по прямолинейной траектории путь 0,5 км. До начала действия силы точка находится в покое Найти массу точки.

Решение 1—в единицах СИ.

1. Выразим данные величины в единицах СИ: действующая сила Р = 5,1 кГ=5,1 *9,81 =50 н; время t=20 сек; пройденный путь s=0,5 км = 500 м. Так как точка начала движение из состояния покоя, то

2. Найдем ускорение точки. Сила постоянна, поэтому ускорение, приобретенное точкой, также постоянно и, следовательно, движение точки по прямолинейной траектории будет равнопеременным, т. е.

3. Из основного закона динамики

легко найти массу точки:

Решение 2 —в единицах МКГСС.

1. Выразим величины в единицах технической системы: действующая сила Р=5,1 кГ; время t=20 сек; пройденный путь s=0,5 км =50 ) м.

2. Ускорение определим так же, как и в первом решении:

3. Из основного закона динамики

найдем массу точки:

4. Если перевести получившиеся 2,04 технической единицы массы в кг, то

2,04*9,81=20 кг.
Как видно, результаты обоих решении одинаковы.

Задача №3

Точка массой m=5 кг движется горизонтально по прямой АВ с ускорением а = 2 , направленным вдоль той же прямой. Чему должны быть равны постоянные силылежащие в одной плоскости и действующие на точку, как показано на рис. 244.

1. На точку действуют две силы, сообщившие ей ускорение числовое значение и направление которого известны. Поэтому векторное равенство (в) для дайной задачи примет вид

2. Выбираем расположение осей координат, как показано на рис. 244. и, спроектировав векторное равенство на эти оси, получим два уравнения:

(вектор направлен вдоль оси х и перпендикулярно к оси у, поэтому его проекция на ось х равна mа, а проекция на ось у равна нулю).

3. Решаем получившуюся систему уравнений.

Из первого уравнения находим

Из второго уравнения находим

Задачу можно решить иначе. Сначала найти числовое значение равнодействующей сил воспользовавшись скалярным выражением уравнения (г):

R=ma.
Затем, зная, что вектор совпадает по направлению с вектором по правилу параллелограмма разложить его на составляющие и вычислить модули этих сил.

• Аналитическая статика
• Теорема о движении центра инерции
• Теорема количества движения
• Теорема моментов количества движения
• Движение твердого тела
• Сложение движений точки
• Сложение движений твердого тела в теоретической механике — формулы и определения с примерами
• Динамика материальной точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.