Движение материальной точки по окружности уравнения движения

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Движение материальной точки по окружности уравнения движения

Равномерное движение материальной точки по окружности в физике с примерами

Содержание:

Равномерное движение материальной точки по окружности:

Более 5000 лет назад жрецы древнего Вавилона, наблюдая за Луной, определили такой хорошо известный нам интервал времени, как неделя. Как они это сделали? В чем особенность движения Луны? Встречается ли на Земле подобное движение?

Движение по окружности

Попробуйте представить линию, вдоль которой движутся ребенок, кружащийся на карусели, носок в барабане стиральной машины во время отжима, кончик ножа блендера при изготовлении коктейля или смузи. Уверены, что вы легко определили: этой линией является окружность. Итак, в перечисленных случаях имеем дело с движением по окружности; простейшим является равномерное движение по окружности. Далее, говоря о равномерном движении по окружности любого физического тела, будем считать это тело материальной точкой. Равномерно по окружности движутся, например, кабинки колеса обозрения. Близким к равномерному движению по окружности является движение планет вокруг Солнца (рис. 12.1, а), естественного спутника (Луны) или искусственных спутников вокруг Земли* (рис. 12.1, б). Приведите примеры движения по окружности. В каких случаях это движение можно считать равномерным? Можно ли считать движение точек обода колеса велосипеда относительно его рамы равномерным движением по окружности? Обоснуйте свой ответ.

Равномерное движение материальной точки по окружности — это такое криволинейное движение, при котором точка, двигаясь по круговой траектории, за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь.

Определение периода вращения

Равномерное движение по окружности — это периодическое движение, то есть движение, повторяющееся через определенные равные интервалы времени. Например, кончик секундной стрелки часов, двигаясь равномерно вдоль циферблата, повторяет свое движение через каждые 60 с (рис. 12.2).

Любое периодическое движение характеризуется такими физическими величинами, как период и частота. При равномерном движении по окружности говорят о периоде вращения и частоте вращения.

Период вращения — это физическая величина, равная времени, за которое материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, совершает один оборот. Период вращения обозначают символом T. Единица периода вращения в СИ — секунда: [T]=c. Период вращения равен одной секунде, если за одну секунду совершается один оборот. Кончик секундной стрелки часов совершает один оборот за 60 с, поэтому период его вращения, как и каждой точки секундной стрелки, равен 60 с T =(60c .) Подумайте, каковы периоды вращения точек минутной и часовой стрелок часов. Когда взбивают молочный коктейль блендером, каждая точка его ножа за 30 с делает 6000 оборотов (рис. 12.3). Чтобы определить время одного оборота, нужно время вращения (t = 30 с) разделить на количество оборотов за это время (N = 6000): . То есть период вращения T точек ножа блендера равен 5 мс. Таким образом, чтобы определить период вращения T, следует подсчитать количество оборотов N, совершенных за интервал времени t, и воспользоваться формулой:

Определение частоты вращения

Указывая технические характеристики устройств, используют не период вращения, а частоту вращения (рис. 12.4). Частота вращения — это физическая величина, которая равна количеству оборотов за единицу времени. Частоту вращения обозначают символом n и определяют по формуле: где t — время вращения; N — количество оборотов за данное время. Единица частоты вращения в СИ — оборот в секунду: Учитывая, что , приходим к выводу, что период вращения и частота вращения являются взаимно обратными величинами: Чем больше период вращения тела, тем меньше его частота вращения, и наоборот. Попробуйте рассчитать частоту, с которой вращаются точки ножа блендера (см. рис. 12.3).

Как возникли единицы времени: сутки и неделя

Как измерить время? Ответ на этот вопрос подсказала людям сама природа. Дело в том, что многие движения, происходящие в природе, являются периодическими, а период такого движения может служить единицей времени. Например, вращение Земли вокруг своей оси — периодическое движение. Ежедневный восход (закат) Солнца, обусловленный этим движением, подсказал нашим предкам единицу времени сутки, которые равны периоду вращения Земли вокруг своей оси. Несколько единиц времени были получены в древнем Вавилоне. Наблюдая за ночным небом, жрецы заметили, что «молодая» Луна появляется на небосклоне приблизительно каждые 28 суток. Периодическое рождение лунного диска служило своего рода вечными «часами». Так возникла единица времени месяц*. За это время Луна, вращаясь вокруг Земли, про­ходит полный цикл изменения фаз: новолуние, первая четверть, полнолуние, последняя четверть (рис. 12.5). Именно поэтому жрецы разделили лунный месяц на четыре части (поколичеству лунных фаз) и получили семь дней — единицу времени, которая называется неделя.

Определяем скорость равномерного движения по окружности

Кроме периода вращения и его частоты важной характеристикой движения по окружности является скорость движения. Если тело равномерно движется по окружности, то за время, равное периоду вращения t(=T, )тело совершает один оборот, то есть проходит путь, равный длине окружности. Длину окружности l можно вычислить по известной вам из математики формуле: — математическая константа; R — радиус окружности. Зная путь и время, за которое этот путь пройден, получаем формулу для расчета скорости равномерного движения по окружности:

Сейчас, как правило, используют понятие календарного месяца, который не зависит от фаз Луны и длится от 28 до 31 суток.

Именно об этой скорости идет речь, когда, например, определяют скорость движения человека, кружащегося на карусели, говорят о скорости полета искусственных спутников Земли и т. д.

Итоги:

Равномерное движение материальной точки по окружности — это такое криволинейное движение, при котором точка, двигаясь по круговой траектории, за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь. Равномерное движение по окружности — это периодическое движение, то есть движение, повторяющееся через определенные одинаковые интервалы времени. Период вращения T — физическая величина, равная времени, в течение которого материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, совершает один оборот. Единица периода вращения в СИ — секунда (с). Частота вращения n — это физическая величина, которая равна количеству оборотов за единицу времени. Единица частоты вращения в СИ — оборот в секунду (об/с, или 1/с). Период вращения T и частоту вращения n определяют по формулам: , где t — время наблюдения; N — количество оборотов за это время. Частота вращения и период вращения — взаимно обратные величины:

• Колебательное движение
• Физический и математический маятники
• Пружинные и математические маятники
• Скалярные и векторные величины и действия над ними
• Равномерное и неравномерное движение
• Равномерное движение
• Неравномерное движение
• Вращательное движение тела

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ

Движение по окружности является простейшим случаем криволинейного движения. Скорость v движения материальной точки по окружности называют линейной. При постоянной по модулю линейной скорости движение по окружности является равномерным. Касательное ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности отсутствует: а_к = 0. Это значит, что отсутствует изменение скорости по модулю. Изменение вектора линейной скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением а_н * 0.

В каждой точке круговой траектории вектор а_н направлен по радиусу к центру окружности.

Модуль нормального ускорения можно определить следующим образом. Пусть за интервал времени At материальная точка прошла по окружности из состояния 1 (рис. 1.5), где она имела линейную скорость г>!, в состояние 2, где она имеет скорость v₂, путь As. Радиус- вектор при этом переместился на угол Дф. В состоянии 2 путем графического вычитания векторов линейной скорости найдем вектор изменения скорости До = о₂ — и определим его модуль До. Очевидно (рис. 1.5), что Z2 = Z2AB, так как они являются углами

с взаимно перпендикулярными сторонами. Поскольку линейная скорость по модулю постоянна (oj = о₂), то можно оперировать скоростью о без индексов. Из изложенного следует вывод о подобии равнобедренных треугольников 102 и 2АВ с одинаковым углом Дф при вершине. И поэтому До / о = |1—2| / R, где |1—2| — длина хорды

1—2 и До = о|1—2| / R. На основании формулы (1.6) а = lim — =

= lim —- L . Поскольку о и R постоянны и а = а_и, то а_н =

= — lim —. При At —^ 0 длина хорды 1—2 приближается к длине

дуги As и lim ‘?— 1 = lim — = о. Следовательно,

Полученное ускорение действительно является центростремительным (нормальным), так как при At ^ 0 Дф тоже стремится к нулю

(Аф —> 0) и векторы Av и а_н будут направлены вдоль радиуса окружности к ее центру.

Наряду с линейной скоростью v, равномерное движение материальной точки по окружности характеризуется угловой скоростью. Угловая скорость представляет собой отношение угла поворота Дф радиуса-вектора R к интервалу времени, за который этот поворот произошел:

Для неравномерного движения используется понятие мгновенной угловой скорости:

Интервал времени Т, в течение которого материальная точка совершает один полный оборот по окружности, называют периодом вращения, а величину, обратную периоду, — частотой вращения: v = 1 / Т, с -1 .

За один период угол поворота радиуса-вектора материальной точки равен 2л рад, поэтому 2л = со At, At = Т, откуда период вращения Г = 2я / со, а угловая скорость оказывается функцией периода или частоты вращения:

Известно, что при равномерном движении материальной точки по окружности путь, ею пройденный, зависит от времени движения и линейной скорости: s = vt, м. Путь, который проходит материальная точка по окружности радиусом R, равен 2nR. Время, необходимое для этого, равно периоду вращения, т.е. t = Т, следовательно,

и v = 2nR / Т = 2nvR, м/с. Поскольку угол поворота радиуса-вектора материальной точки за период вращения Т равен 2л, то, исходя из (1.10), Аф = соДt при At = = Т, 2л = в)Т. Подставляя в (1.11), получим со TR = v Т и отсюда находим связь между линейной и угловой скоростями: v = соR.

Угловая скорость — векторная величина. Вектор угловой скорости направлен из центра окружности, по которой движется материальная точка с линейной скоростью v, перпендикулярно плоскости окружности по правилу правого винта (рис. 1.6).

При неравномерном движении материальной точки по окружности изменяются линейная и угловая скорости. По аналогии с линейным ускорением в этом случае вводится понятие среднего углового уско-

рения = Асо / А/ и мгновенного в = пт — = —, рад/с 2 . Соот-

ношение между касательным и угловым ускорением имеет вид а_к= 8R.

Равномерное движение материальной точки по окружности в физике с примерами

Содержание:

Равномерное движение материальной точки по окружности:

Более 5000 лет назад жрецы древнего Вавилона, наблюдая за Луной, определили такой хорошо известный нам интервал времени, как неделя. Как они это сделали? В чем особенность движения Луны? Встречается ли на Земле подобное движение?

Движение по окружности

Попробуйте представить линию, вдоль которой движутся ребенок, кружащийся на карусели, носок в барабане стиральной машины во время отжима, кончик ножа блендера при изготовлении коктейля или смузи. Уверены, что вы легко определили: этой линией является окружность. Итак, в перечисленных случаях имеем дело с движением по окружности; простейшим является равномерное движение по окружности. Далее, говоря о равномерном движении по окружности любого физического тела, будем считать это тело материальной точкой. Равномерно по окружности движутся, например, кабинки колеса обозрения. Близким к равномерному движению по окружности является движение планет вокруг Солнца (рис. 12.1, а), естественного спутника (Луны) или искусственных спутников вокруг Земли* (рис. 12.1, б). Приведите примеры движения по окружности. В каких случаях это движение можно считать равномерным? Можно ли считать движение точек обода колеса велосипеда относительно его рамы равномерным движением по окружности? Обоснуйте свой ответ.

Равномерное движение материальной точки по окружности — это такое криволинейное движение, при котором точка, двигаясь по круговой траектории, за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь.

Определение периода вращения

Равномерное движение по окружности — это периодическое движение, то есть движение, повторяющееся через определенные равные интервалы времени. Например, кончик секундной стрелки часов, двигаясь равномерно вдоль циферблата, повторяет свое движение через каждые 60 с (рис. 12.2).

Любое периодическое движение характеризуется такими физическими величинами, как период и частота. При равномерном движении по окружности говорят о периоде вращения и частоте вращения.

Период вращения — это физическая величина, равная времени, за которое материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, совершает один оборот. Период вращения обозначают символом T. Единица периода вращения в СИ — секунда: [T]=c. Период вращения равен одной секунде, если за одну секунду совершается один оборот. Кончик секундной стрелки часов совершает один оборот за 60 с, поэтому период его вращения, как и каждой точки секундной стрелки, равен 60 с T =(60c .) Подумайте, каковы периоды вращения точек минутной и часовой стрелок часов. Когда взбивают молочный коктейль блендером, каждая точка его ножа за 30 с делает 6000 оборотов (рис. 12.3). Чтобы определить время одного оборота, нужно время вращения (t = 30 с) разделить на количество оборотов за это время (N = 6000): . То есть период вращения T точек ножа блендера равен 5 мс. Таким образом, чтобы определить период вращения T, следует подсчитать количество оборотов N, совершенных за интервал времени t, и воспользоваться формулой:

Определение частоты вращения

Указывая технические характеристики устройств, используют не период вращения, а частоту вращения (рис. 12.4). Частота вращения — это физическая величина, которая равна количеству оборотов за единицу времени. Частоту вращения обозначают символом n и определяют по формуле: где t — время вращения; N — количество оборотов за данное время. Единица частоты вращения в СИ — оборот в секунду: Учитывая, что , приходим к выводу, что период вращения и частота вращения являются взаимно обратными величинами: Чем больше период вращения тела, тем меньше его частота вращения, и наоборот. Попробуйте рассчитать частоту, с которой вращаются точки ножа блендера (см. рис. 12.3).

Как возникли единицы времени: сутки и неделя

Как измерить время? Ответ на этот вопрос подсказала людям сама природа. Дело в том, что многие движения, происходящие в природе, являются периодическими, а период такого движения может служить единицей времени. Например, вращение Земли вокруг своей оси — периодическое движение. Ежедневный восход (закат) Солнца, обусловленный этим движением, подсказал нашим предкам единицу времени сутки, которые равны периоду вращения Земли вокруг своей оси. Несколько единиц времени были получены в древнем Вавилоне. Наблюдая за ночным небом, жрецы заметили, что «молодая» Луна появляется на небосклоне приблизительно каждые 28 суток. Периодическое рождение лунного диска служило своего рода вечными «часами». Так возникла единица времени месяц*. За это время Луна, вращаясь вокруг Земли, про­ходит полный цикл изменения фаз: новолуние, первая четверть, полнолуние, последняя четверть (рис. 12.5). Именно поэтому жрецы разделили лунный месяц на четыре части (поколичеству лунных фаз) и получили семь дней — единицу времени, которая называется неделя.

Определяем скорость равномерного движения по окружности

Кроме периода вращения и его частоты важной характеристикой движения по окружности является скорость движения. Если тело равномерно движется по окружности, то за время, равное периоду вращения t(=T, )тело совершает один оборот, то есть проходит путь, равный длине окружности. Длину окружности l можно вычислить по известной вам из математики формуле: — математическая константа; R — радиус окружности. Зная путь и время, за которое этот путь пройден, получаем формулу для расчета скорости равномерного движения по окружности:

Сейчас, как правило, используют понятие календарного месяца, который не зависит от фаз Луны и длится от 28 до 31 суток.

Именно об этой скорости идет речь, когда, например, определяют скорость движения человека, кружащегося на карусели, говорят о скорости полета искусственных спутников Земли и т. д.

Итоги:

Равномерное движение материальной точки по окружности — это такое криволинейное движение, при котором точка, двигаясь по круговой траектории, за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь. Равномерное движение по окружности — это периодическое движение, то есть движение, повторяющееся через определенные одинаковые интервалы времени. Период вращения T — физическая величина, равная времени, в течение которого материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, совершает один оборот. Единица периода вращения в СИ — секунда (с). Частота вращения n — это физическая величина, которая равна количеству оборотов за единицу времени. Единица частоты вращения в СИ — оборот в секунду (об/с, или 1/с). Период вращения T и частоту вращения n определяют по формулам: , где t — время наблюдения; N — количество оборотов за это время. Частота вращения и период вращения — взаимно обратные величины:

• Колебательное движение
• Физический и математический маятники
• Пружинные и математические маятники
• Скалярные и векторные величины и действия над ними
• Равномерное и неравномерное движение
• Равномерное движение
• Неравномерное движение
• Вращательное движение тела

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.