Движение снаряда задано уравнениями x v0 t cos

Даны уравнения движения снаряда x = v0 cos t, y

Даны уравнения движения снаряда
x = v0 cos t, y = v0 sin t — gt2/2,
где v0 исходная скорость снаряда, угол меж v0 и горизонтальной осью x, g ускорение силы тяжести. Найти линию движения движения снаряда, дальность L

• Самигуллина Ульяна
• Математика 2019-05-17 10:31:34 1 1

Очевидно что это баллистическая линия движения — движение тела с ненулевой начальной скоростью в поле силы тяжести
x = v0 cos t,
t = x/(v0 * cos())
y = v0 sin t — gt2/2 = v0 * sin()* x/(v0 * cos()) — g*x^2/2*1/(v0 * cos())^2
y = x*tg() — x^2*g/(2(v0 * cos())^2) — уравнение параболы

у=0 при х1 =0 и при tg() — x2*g/(2(v0 * cos())^2)=0
tg() — x2*g/(2(v0 * cos())^2)=0
sin(2) — x2*g/(v0 )^2=0
x2=sin(2)*(v0 )^2/g
x2-x1=sin(2)*(v0 )^2/g — дальность полета

Движение снаряда задано уравнениями x v0 t cos

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

5.1. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

,

Откуда время подъема и половина времени полета:

,

Тогда высота подъема снаряда:

,

.

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

.

Общая скорость точки:

.

3) Ускорение снаряда:

.

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.2. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

,

Откуда время подъема и половина времени полета:

,

Тогда высота подъема:

,

И дальность обстрела:

.

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

.

Общая скорость точки:

.

3) Ускорение снаряда

.

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.3. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

,

Откуда время подъема и половина времени полета:

,

Тогда высота подъема:

,

И дальность обстрела:

.

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

.

Общая скорость точки:

.

3) Ускорение снаряда .

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.4. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

1) высоту полета H и дальность обстрела L ;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

,

Откуда время подъема и половина времени полета:

,

Тогда высота подъема:

,

И дальность обстрела:

.

2) Горизонтальная скорость:

И вертикальная скорость в конце полета:

.

Общая скорость точки:

.

3) Ускорение снаряда .

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.5. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.

1) время Т и дальность L полета груза;

2) скорость груза в момент падения;

3) ускорение груза.

Дано: , .

Найти: Т, L , υ , а.

Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю :

,

Откуда время движения груза:

.

.

Скорости точек – производные перемещений по времени:

,

,

А общая скорость:

.

.

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.6. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.

1) время Т и дальность L полета груза;

2) скорость груза в момент падения;

3) ускорение груза.

Дано: , .

Найти: Т, L , υ , а.

Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю :

,

Откуда время до падения:

.

.

Скорости точек по осям:

,

,

А общая скорость:

.

.

SHAPE \* MERGEFORMAT

5.7. Даны уравнения движения точки М линейки эллипсографа.

1) уравнения траектории;

2) скорость и ускорение точки в момент, когда пересекает прямую .

Дано : ; , .

Найти: , , .

Решение: Из уравнений траекторий точки, получим :

,

.

Возводим каждое из них в квадрат и складываем:

,

Это уравнение эллипса с полуосями 10 и 12 с центром в точке (0;0).

Из условия :

,

Откуда искомый момент времени:

.

Скорость точки М по осям:

,

,

Общая скорость точки М:

.

Ускорение точки М по осям:

,

,

Общее ускорение точки М:

.

5.8. Движение снаряда в вертикальной плоскости (см. рис.1.6) описывают уравнениями: x = 300 t , м; y = 400 t – 5 t 2 , м, где t – время, с .

– траекторию, скорость и ускорение снаряда в начальный и конечный моменты времени;

– высоту подъема снаряда над уровнем горизонта H и дальность обстрела L;

– радиус кривизны траектории в ее начальной, конечной и наивысшей точках.

Решение: Найдем уравнение траектории, исключив из уравнения движения (м) время t . Сначала из уравнения определим , а затем получим уравнение траектории в следующем виде: . Траекторией снаряда в координатах х и у вертикальной плоскости является парабола.

Вычислим проекции скорости и ускорения снаряда на координатные оси:

Определим их значения в начальный момент времени t = 0:

;

Высоту подъема снаряда над уровнем горизонта можно определить, исследовав на экстремум функции y ( t ) по переменной t . Это означает, что с точки зрения кинематики проекция скорости точки на ось y в рассматриваемый момент времени должна быть равна нулю. Тогда где – время подъёма снаряда на максимальную высоту, с. Подставляя данное значение времени в выражение для y , получим y_max = H = y (40) = 8 км . Дальность обстрела определим из условия, что в момент падения снаряда функция y ( t ) принимает нулевое значение , где – время полета снаряда. Корень этого квадратного уравнения, соответствующий падению снаряда на землю, с, откуда дальность полета х _max = х (80) = 24 км.

Теперь, зная время полета снаряда, можно определить его скорость и ускорение в конце полета. Подставляя время в выражение для проекции скорости снаряда на ось y , получим м /с. Проекции скорости и ускорения на ось x не зависят от времени и постоянны в течение полета. Таким образом, снаряд движется с постоянным ускорением, равным 10 м/с 2 и направленным вертикально вниз, а его скорость в конце полета равна по модулю скорости в начале его м/с и составляют с осью x одинаковые углы .

Для определения радиуса кривизны перейдем к кинематическим характеристикам движения снаряда в естественной системе отсчета.

Вначале найдем касательное ускорение по формуле

,

а затем вычислим его для начального момента времени

и для конечного

Теперь можно посчитать нормальное ускорение по формуле , а затем и . Поскольку радиус кривизны траектории входит в формулу , то

Радиусы кривизны траектории в начале и в конце полета одинаковы. В наивысшей точке траектории

;

Как видно из приведенного примера, уравнения движения точки содержат все необходимое для исследования характеристик ее движения в любой момент времени.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Движение снаряда задано уравнениями x v0 t cos

Даны уравнения движения точки: х = 8 – t 2 , у = t 2 – cos t. Определить проекцию ускорения а_у в момент времени, когда координата x = 0.

Проекции ускорения точки во время движения определяются выражениями a_x = 0,8t (м/с 2 ], a_y = 0,8 м/с 2 . Найти касательное ускорение в момент времени t = 2 с, если при t₀ = 0 скорость точки v₀ = 0.

Изобразить на векторной диаграмме колебания: а) x = a cos(ωt+π/4), б) x = –2a cos(ωt–π/6) в моменты времени t₁ = 0 и t₂ = π/(2ω). a>0.

Записать уравнение МГК, если х_m = 50 мм, Т = 4 с, φ₀ = π/4. Найти х₁ в момент времени t₁ = 0 и х₂ в момент времени t₂ = 1,5 c.

Т = 2 с, х_m = 50 мм, φ₀ = 0. Найти υ_x1 в момент времени t₁, когда х₁ = 25 мм.

Координаты тела массой т = 10 кг, движущегося в плоскости ХОУ, изменяются от времени согласно уравнениям x = 5 cos 2πt, у = 15 sin πt. Определить импульс тела в момент времени t = 5 с.

Заданы начальная координата точки Х₀ = 2 м, её начальная скорость V_x0 = –5 м/с и переменное ускорение а_x = 3t 2 . Совпадают ли путь и перемещение для момента времени t = 3 с? Совпадают ли направления скорости и перемещения в этот момент? Определите координату точки через первые 3 секунды движения.

На рисунке приведены графики зависимости тока от времени I = I(t) в четырех разных цепях. В какой цепи в момент времени t₀ ЭДС самоиндукции минимальна? Укажите ее номер. Индуктивности цепей от тока не зависят.

Величина скорости автомобиля изменялась во времени, как показано на графике зависимости V(t). В момент времени t автомобиль поднимался по участку дуги. Укажите направление результирующей всех сил, действующих на автомобиль в этот момент времени. Ответ обоснуйте.