Движение тела на плоскости описывается уравнениями

Движение тела на плоскости описывается уравнениями

Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.

1.Равномерное прямолинейное движение тела.

При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta vecr` за одинаковые промежутки времени `Delta t`. Иными словами, скорость `vec v` те ла не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:

При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:

`vec r(t)=vec r_0+vec v t`, (7)

где `vec r_0` — радиус-вектор тела в начальный момент времени $$ t=0$$ . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4. Вектор $$ <\overrightarrow>_<0>$$ здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор $$ \overrightarrow$$ тела в любой момент времени в процессе движения.

Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени $$ t $$ координат $$ x$$ и $$ y$$ движущегося тела:

где $$ _<0>$$ и $$ _<0>$$ — начальные координаты тела в момент времени $$ t=0$$, а $$ _$$ и $$ _$$ -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.

Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: $$ \mathrm\alpha =_/_$$. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость $$ y\left(x\right)$$, легко получить, исключив параметр $$ t$$ из системы уравнений (8):

Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости $$ xOy$$ описывается уравнениями: $$ x\left(t\right)=6+3t$$, $$ y\left(t\right)=4t$$ (величины измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени $$ v\left(t\right)$$. Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.

Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:

Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):

`y(x) =4/3(x — 6)`, или `y(x) = 4/3 x — 8`.

Модуль $$ v$$ скорости тела определим, зная $$ _$$ и $$ _$$:

График зависимости $$ v\left(t\right)$$ представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7): `Deltavec r = vec r (t) — vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный телом в течение времени `t`, определяется по формуле `Delta S = vt`, т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости $$ v\left(t\right)$$ . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.

В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:

`Delta S = vt = 5 «м»/»c»*5 «c» = 25 «м»`.

Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.

Координаты тела при равномерном прямолинейном движении на плоскости $$ xOy $$ за время $$ t=2$$ c изменились от начальных значений $$ _<0>=5$$ м, $$ _<0>=7$$ м до значений $$ x=-3$$ м и $$ y=1$$ м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.

Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:

Тогда модуль скорости `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.

Уравнение траектории $$ y\left(x\right)$$ с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:

Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения $$ _$$ и $$ _$$ в общие уравнения движения (8):

Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.

Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при $$ t$$ в соответствующих уравнениях $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$, т. е. значениям $$ _$$ и $$ _$$:

(Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)

2. Неравномерное движение тела.

Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.

Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью $$ _<1>=10$$ км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью $$ _<2>=8$$ км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью $$ _<3>=4$$ км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.

Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идёт о средней путевой скорости. Разобьём весь путь `Delta S` на три участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:

`v_»cp»= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.

По условию задачи `Delta S_1 =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3 = Delta S //2`. Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:

`Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,

`Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,

`Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.

Подставляя эти значения в выражение для `v_»ср»`, получим:

`v_»cp»=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3))) =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.

Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_»ср»= (v_1 + v_2 + . + v_n)//n`, где `v_i` — скорость движения на `i`-м участке, `n` — число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_»ср»`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.

Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.

3. Равнопеременное движение.

Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки времени `Delta t` изменяется на одинаковую величину `Deltavecv`. В этом случае ускорение `veca` тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:

(при этом `vec v != «const»`, и траектория движения не обязательно прямолинейная).
При равнопеременном движении скорость $$ \overrightarrow$$ тела изменяется с течением времени по закону

`vec v (t)=vec v_0 +vec at`, (11)

где `vecv_0` — скорость тела в начальный момент времени `t=0`.
В свою очередь, зависимость `vecr(t)` имеет вид:

`vec r(t)=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`, (12)

где `vecr_0` — начальный радиус-вектор тела при `t=0`. Вновь заметим, что величины `vecv_0` и `vecr_0` представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы `vecv` и `vecr`.

При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:

В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось $$ Ox$$, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:

Если на промежутке времени от $$ 0$$ до $$ t$$ направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность $$ x-_<0>$$текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём $$ S$$, следовательно,

Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время $$ t$$, выраженное из уравнения $$ _=_<0x>+_t$$ . Это время будет

Тогда для пути $$ S$$ после несложных преобразований получим

Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени $$ t$$ в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.

За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )

Пусть за время $$ t=2$$ с скорость тела изменилась от $$ _<0>$$ до $$ v$$. Направим координатную ось $$ Ox$$ вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать `v=v_0+at`, `a` — модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`.

За время $$ t$$ тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь

С учётом выражений для $$ _<0>$$ и $$ a$$ получим `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.

Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор $$ \overrightarrow$$ на ускорение свободного падения $$ \overrightarrow$$, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.

Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость $$ <\overrightarrow>_<0>$$ направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй; время $$ <\tau >_<1>$$ подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени $$ t$$ вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.

Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси $$ Oy$$. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: $$ _<0>=0,_<0y>=_<0>$$.

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. В этот момент $$ y=0$$ и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для $$ \tau $$ получаем: $$ \tau =0$$ или `tau=(2v_0)/g`. Значение $$ \tau =0$$ соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.

Согласно (15), при $$ t=\tau $$ имеем: $$ _=_<0>-gt$$. Тогда с учётом найденного значения $$ \tau $$ получим $$ _=_<0>-2_<0>=-_<0>$$. Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости $$ _<0>$$, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось $$ Oy$$ отрицательна.

Пусть при $$ t=<\tau >_<1>$$ тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что $$ y=H,_=0$$. С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:

`0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.

Из первого уравнения определяем время подъёма тела `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя $$ <\tau >_<1>$$ во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
Заметим, что время $$ <\tau >_<1>$$ подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени $$ \tau $$ полёта тела: $$ \tau =2<\tau >_<1>$$.
Путь $$ S$$, пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, $$ S=2H$$. Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.

Зависимость $$ y\left(t\right)$$ в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
Зависимость $$ _\left(t\right)$$ является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при $$ t$$ в формуле (15):

Движение тела, брошенного горизонтально.

Тело бросили с высоты $$ H$$ над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость $$ <\overrightarrow>_<0>$$, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю, дальность $$ l$$ полёта тела, скорость `vecv` тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени $$ t$$ координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.

Начало отсчёта $$ O$$ поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:

Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. Это означает, что $$ y=0$$, $$ x=l$$, и уравнения системы (18) принимают вид:

Решая их ,находим:

`tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.

В свою очередь, система уравнений (17) даёт: $$ _=_<0>,_=-g\tau $$. С учётом значения $$ \tau $$ получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:

Направление вектора `vecv` определим с помощью угла $$ \alpha $$ (рис. 16):

Уравнение $$ y\left(x\right)$$ траектории движения тела получим, исключив параметр $$ t$$ из системы (18):

Так как $$ y\left(x\right)$$ представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью $$ _<0>$$ направленной под углом $$ \alpha $$ к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю,дальность $$ l$$ полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй, время $$ <\tau >_<1>$$ подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.

Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха $$ _=0,_=g$$ С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю, тогда: $$ y=0,x=l$$. Уравнения системы (20) дают:

(Здесь использовано равенство $$ 2\mathrm\alpha \mathrm\alpha =\mathrm2\alpha .$$ )
Из полученного выражения для $$ l$$ легко определить угол $$ \alpha $$, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина $$ l$$ как функция от $$ \alpha $$ принимает максимальное значение в том случае, когда $$ \mathrm2\alpha =1$$. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.

Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора: `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при $$ t=\tau $$ ) имеем: $$ _=_<0>\mathrm\alpha $$, $$ _=_<0>\mathrm\alpha -g\tau =-_<0>\mathrm\alpha $$.

Направление скорости тела в момент падения составляет угол $$ \alpha $$ с направлением оси $$ Ox$$. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси $$ Ox$$.

Пусть при $$ t=<\tau >_<1>$$ тело достигло максимальной высоты. В этот момент $$ _=0$$, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:

Отсюда последовательно находим:

Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время $$ t$$ :

График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.

Движение тела на плоскости описывается уравнениями : x = 3 + 2t ; y = — 4 + 3t?

Физика | 5 — 9 классы

Движение тела на плоскости описывается уравнениями : x = 3 + 2t ; y = — 4 + 3t.

Определите путь, пройденный телом за 5 секунд, координаты тела в этот момент.

X(5) = 3 + 2 * 5 = 13

y(5) = — 4 + 3 * 5 = 11

Конечная точка имеет координаты (13, 11)

$x_ <0>= x(0) = 3 \\ y_ <0>= y(0) = -4$

Так какпуть — прямая линия, рассмотрим его как длину вектора в начале (3, — 4) и конце в(13, 11)

За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом при равноускоренном движении в 1, 4 раза больше пути, пройденного за предыдущую секунду?

За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом при равноускоренном движении в 1, 4 раза больше пути, пройденного за предыдущую секунду?

В начальный момент тело покоилось.

За какую секунду после начала движения путь, пройденный телом, в два раза больше пути, пройденного за предыдущую секунду?

За какую секунду после начала движения путь, пройденный телом, в два раза больше пути, пройденного за предыдущую секунду?

Тело движется равноускоренно.

Уравнение движения тела — x = 2 + 3t?

Уравнение движения тела — x = 2 + 3t.

Определить начальную координату тела и скорость движения, определить координату тела через 3 секунды.

За первую секунду равноускоренного движения тело проходит путь 1 м, а за вторую — 2 м?

За первую секунду равноускоренного движения тело проходит путь 1 м, а за вторую — 2 м.

Определить путь, пройденный телом за первые три секунды движения.

Во сколько раз путь, пройденный телом за третью секунду от начала движения, больше пути, пройденного за вторую секунду?

Во сколько раз путь, пройденный телом за третью секунду от начала движения, больше пути, пройденного за вторую секунду.

За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом при равноускоренном движении, в 1?

За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом при равноускоренном движении, в 1.

4 раза больше пути, пройденного за предыдущую секунду?

В начальный момент тело покоилось.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости за 4 секунды равен 4, 8 м?

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости за 4 секунды равен 4, 8 м.

Найдите путь, пройденный телом за четвертую секунду движения.

Уравнение движения тела имеет видx = — 80 + 6t Определите координату тела через 20 секунд?

Уравнение движения тела имеет видx = — 80 + 6t Определите координату тела через 20 секунд.

Лпределите в какой момент времени координата тела x = 100м.

Определите путь , пройденный свободно падающим телом за десятую секунду движения ?

Определите путь , пройденный свободно падающим телом за десятую секунду движения .

Начальная скорость тела равна нулю.

Определите путь пройденный телом за двенадцатую секунду?

Определите путь пройденный телом за двенадцатую секунду.

Вопрос Движение тела на плоскости описывается уравнениями : x = 3 + 2t ; y = — 4 + 3t?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Физика и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

В физике всё относительно. Какую — то меру взяли за единицу измерения, её и используют. Но у любого прибора есть погрешность, они ничтожно малы, но они всё таки есть.

Потому что у каждого прибора есть погрешность измерения.

Ффффхффхфжыбыьвьаьаьаьаьаьазавхыэфф. На скриншоте ответ.

Тангенс угла альфа два равен 7 смотри решение во вложении 28 / 4 = 7.

Поперечной волной является звук В) — продольные волны Все остальное — ни поперечные, ни продольные Ответ : Б).

V ^ 2 = GM / V ^ 2 = 6, 67 * 10 ^ — 11 * 6 * 10 ^ 24 / 6700 * 10 ^ 3 = 6 * 10 ^ 7(м / с) ^ 2 V = 7, 74 * 10 ^ 3м / с Т = 2 * 3, 14 * 6700 * 10 ^ 3 / 7, 74 * 10 ^ 3 = 5436с = 1, 5 год.

M₁ = m₂ = m = 10 кг сила Всемирного тяготения : R = 6, 67 м F = Gm² / R² ; G = 6, 67 10⁻¹¹ Н м² / кг² F = 6, 67 10⁻¹¹ * 100 / 6, 67 * 6. 67 = 0, 15 10⁻⁹ H ; _________________ Ответ : F = 0, 15 10⁻⁹ H. F = .

Модуль равнодействующей по горизонтали : Rx = F₂ — F₄ = 18 — 18 = 0 Н Модуль равнодействующей по вертикали : Rу = F₄ — F₂ = 20 — 12 = 8 Н Общая равнодействующая : F = 8 H Ускорение : a = F / m = 8 / 2 = 4 м / с² Правильный ответ : 4) 4 м / с².

Если не прилагать никакой работы к движущемуся телу, то оно никогда не остановится. Если совершить работу над покойным телом то оно начнёт движение.

Движение тела на плоскости

В школьной физике в основном рассматривают движение тел вдоль прямой – одномерный случай. Реже — на плоскости, когда для описания координат используем две взаимно перпендикулярные оси «Ox» и «Oy», т. е. двумерный случай движения.

В случае поступательного движения на плоскости, мы раскладываем векторы перемещения, скорости и ускорения на проекции по осям. Каждую проекцию при этом можно рассматривать, как случай одномерного движения отдельного тела. Тогда для каждой оси имеется своя скорость, свое ускорение и свое перемещение этого тела.

Примечания:

1. Одним из примеров движения в плоскости может служить движение тела под действием силы тяжести. В этом случае плоскость, по которой движется тело, будет располагаться вертикально.
2. Еще один пример: Заряженная частица влетела в магнитное поле, перпендикулярно вектору магнитной индукции. Движение частицы, также, будет происходить в плоскости.

Перемещение, скорость и ускорение на плоскости

Опишем движение материальной точки на плоскости. В процессе движения изменяются две координаты – «x» и «y». Перемещение тела для двумерного движения можно разделить на две проекции.

На рисунке 1 точка, в которой тело находилось в начале движения, имеет координаты \(\left( x_<0>; y_ <0>\right) \).

Конечная точка, в которую тело сместилось в процессе движения, имеет координаты \(\left( x; y \right) \).

Серая линия – это траектория тела, а вектор перемещения тела обозначен красным цветом.

Разложим вектор перемещения на проекции по осям:

\[ \large \begin S_ = x — x_ <0>\\ S_ = y — y_ <0>\end\]

А после запишем координаты вектора перемещения

Пользуясь известными проекциями на плоскости, мы можем посчитать модуль вектора перемещения:

\[ \large \left| \vec \right| = \sqrt < \left( S_\right)^2 + \left( S_ \right)^2> \]

На перемещение тела было затрачено время t. По известному перемещению мы можем найти скорости и ускорения тела.

Векторы скорости и ускорения тела на плоскости будут иметь две координаты

Физический смысл производной

Этот смысл применяется не только для движения на плоскости, а вообще, к любому движению.

Скорость – это первая производная вектора перемещения, взятая по времени

Запись читается, как «дэ эс по дэ тэ равно вэ».

Ускорение – это вторая производная вектора перемещения, взятая по времени

Эта запись читается, как «дэ два эс по дэ тэ дважды равно а».

Также, ускорение – это первая производная скорости по времени

Примечание: Словосочетание «физический смысл производной» следует понимать, как «что такое производная с точки зрения физики»

Перемещение самолета при боковом ветре

Найдем теперь перемещение тела, движущегося в горизонтальной плоскости.

Для решения задачи будем применять законы Ньютона, формулы кинематики и правила сложения векторов.

В горизонтальной плоскости летит самолет. Он движется по прямой с неизменной скоростью \(\vec>\), масса самолета \(m\). В некоторый момент времени подул ветер, перпендикулярно направлению, в котором движется самолет. Порыв ветра длился t секунд. Сила ветра, действующая на самолет, постоянная и равна \(\vec\). Найти координаты вектора конечной скорости самолета и перемещение самолета к тому моменту, когда ветер прекратился.

Решение задачи

Составим рисунок, на нем отметим векторы скорости самолета, силу воздействия на самолет и проведем оси. Координатные оси лежат в горизонтальной плоскости. Будем считать, что сила начала действовать на самолет в начальный момент времени \(t_ <0>= 0 \) секунд.

На рисунке 2 изображены векторы скорости самолета и силы воздействия бокового ветра.

Координаты вектора ускорения

В условии задачи написано, что на самолет действует боковая сила \(\vec\). Используем ее, чтобы записать силовое уравнение для оси Oy:

\[ \large F = m \cdot a_ \]

По второму закону Ньютона, когда ускорение есть, скорость тела будет изменяться. \(a_\) – это проекция ускорения, приобретенного самолетом, она сонаправлена с вектором силы. То есть, направлена вдоль оси Oy. Выразим это ускорение из силового уравнения:

По условию, вдоль оси Ox самолет движется с неизменной скоростью. Из первого закона Ньютона следует, что силы, действующие на самолет вдоль оси Ox, скомпенсированы. Значит, ускорения, направленного вдоль оси Ox, нет.

Таким образом, координаты вектора ускорения самолета будут иметь вид:

Координаты вектора скорости

Зная ускорение, мы можем составить уравнения для скорости тела.

В начальный момент времени скорость имеет такие координаты:

Вектор скорости изменится благодаря наличию вектора ускорения. В конечной точке траектории скорость будет иметь координаты, отличные от начальных:

Найдем координаты вектора конечной скорости. Конечная скорость будет больше начальной, значит, движение равноускоренное.

Запишем в векторном виде связь между начальной и конечной скоростью

Примечание: Складывать можно только векторы, которые измеряются в одинаковых единицах, другими словами, размерности которых совпадают! Мы можем Ньютоны складывать с Ньютонами, метры в секунду складывать с метрами в секунду и т. д.

Из рисунка видно, что вектор конечной скорости отклонился от первоначального направления на угол \( \alpha\). Направление вектора конечной скорости \( \vec \) совпадает с направлением вектора перемещения \( \vec \) самолета.

Координаты вектора конечной скорости — это сумма координат слагаемых векторов.

\[ \large \begin v_ = v_ <0x>+0 \\ v_ = 0 + a_ \cdot t \end\]

Окончательно запишем, вектор конечной скорости обладает такими координатами

\[ \large \vec = \left\ < v_<0x>; a_ \cdot t \right\> \]

Координаты вектора перемещения

Найдем теперь координаты вектора перемещения самолета. Графически траекторию движения самолета можно изобразить отрезком параболы, так, как это сделано на рисунке 4.

На рисунке 4 представлены траектория движения – кривая синяя линия и перемещение самолета – вектор AB, обозначенный красным цветом.

Координаты начальной точки A (0 ; 0).

Координаты конечной точки B \( \left( S_ ; S_ \right) \).

Точка, в которой находился самолет в момент, когда на него подействовала сила ветра, имела координаты (0 ; 0). Это значит, что в нашей задаче вектор перемещения является радиус вектором, его координаты совпадают с координатами его конечной точки B.

Скорость вдоль оси Ox не меняется \( \large v_= v_ <0x>\), поэтому вдоль этой оси движение равномерное.

Перемещение самолета для равномерного движения вдоль оси Ox запишем так

\[ \large S_ = v_ <0x>\cdot t \]

А вдоль оси Oy самолет из начальной точки равноускорено сместится на такую величину

\[ \large S_ = v_ <0y>\cdot t + a_ \cdot \frac> <2>\]

Пользуясь найденными координатами вектора перемещения, найдем его длину

\[ \large \left| \vec \right| = \sqrt < \left( S_\right)^2 + \left( S_ \right)^2> \]

Задача решена. Если будут известны числовые значения начальных данных, ответ можно будет выразить численно.