Движение тела в диссипативной среде уравнение движения

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра Физической химии

по лабораторной работе №1

по дисциплине «Физика»

Определение вязкости диссипативной среды (жидкости) по установившейся скорости движения шарика в ней, а также исследование процессов рассеяния энергии в диссипативной среде.

Приборы и принадлежности.

Цилиндрический сосуд с жидкостью, металлические шарики, аналитические весы, масштабная линейка, секундомер.

Рис. 1.1

h₀

Ɩ
В работе используется цилиндрический сосуд (рис. 1.1), на боковой поверхности которого нанесены метки. Измеряя расстояние между метками и время движения шарика в жидкости между ними, можно определить скорость его падения. Шарик опускается в жидкость через впускной патрубок, расположенный в крышке цилиндра.

Основные теоретические положения.

Сила сопротивления среды

(1)

, где v – скорость движения тела, r – коэффициент сопротивления.

Коэффициент сопротивления определяется формулой Стокса

(2)

Критерием характера движения слоев жидкости (ламинарного или турулентного) при падении в ней шарика радиуса R со скоростью υ является число Рейнольдса

(3)

При Re 2300 – турбулентно.

Движение тела в диссипативной среде. Рассмотрим падение шарика в жидкости. В лабораторной работе случае скорость падения шарика невелика, и можно считать, что сила сопротивления пропорциональна первой степени его скорости.

Второй закон Ньютона в случае стационарного движения шарика имеет вид:

(4)

Из полученного уравнения может быть найден коэффициент сопротивления среды:

(5)

, а по формуле Стокса–Эйнштейна – вязкость среды:

(6)

Радиус шарика может быть выражен через его массу .

(7)

, где А – константа, зависящая от плотности жидкости и материала шарика:

(8)

Полная механическая энергия движущегося в жидкости тела в произвольный момент времени определяется выражением:

(9)

Передача энергии жидкой среде, окружающей движущееся тело, происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло. Скорость диссипации энергии (мощность потерь) в установившемся режиме может быть найдена как:

(10)

Уравнение баланса энергии на участке установившегося движения имеет вид:

или (11)

Таблица 1

Таблица 2

Обработка результатов эксперимента.

1. Рассчитаем значение коэффициента A (8) в формуле вязкости (7).

A=1.68

1. Определеим значения установившейся скорости и вязкости жидкости (7).

Таблица 3

, ρ = 8900 кг/м 3 , N_A = 6,02·10 23 моль -1 , μ = 64 г/моль, e = 1.60·10 -19 Кл.

N	1	2	3	4	5
m, мг	77	75	76	74	74	θm=0,5
t, с	5,21	4,57	5,37	4,64	5,06	θt=0,01
	0.033	0.037	0.032	0.037	0.034
	0.16·10 -3	0.19·10 -3	0.16·10 -3	0.19·10 -3	0.17·10 -3
	0.032	0.033	0.034	0.037	0.037
	0.001	0.001	0.003	0
	1.731	1.723	1.732	1.723	1.728
	7.025·10 -3	7.352·10 -3	6.996·10 -3	7.349·10 -3	7.170·10 -3
	1.723	1.723	1.728	1.731	1.732
	0	0.005	0.003	0.001

, результатов, содержащих грубые погрешности, в выборке нет.
Таблица 4

Таблица 4 (продолжение)

				100%
0.0026	0.174·10 -3			8 %
0.0046	7.178·10 -3			0.6 %

Коэффициент сопротивления (5)

Мощность рассеяния (10)

Число Рейнольдса (3)

Количество теплоты, выделяющееся за счет трения шарика о жидкость (10)

1.48 Па·с — стандартное значение вязкости глицерина, 1.78 Па·с – полученное в результате эксперимента.

ДИССИПАТИ́ВНАЯ СРЕДА́

ДИССИПАТИ́ВНАЯ СРЕДА́, рас­пре­де­лён­ная фи­зич. сис­те­ма, в ко­то­рой энер­гия упо­ря­до­чен­ных (мак­ро­ско­пи­че­ских) дви­же­ний или по­лей не­об­ра­ти­мым об­ра­зом пе­ре­хо­дит в энер­гию не­упо­ря­до­чен­ных (хао­ти­че­ских) дви­же­ний или по­лей. Д. с. на­зы­ва­ют так­же по­гло­щаю­щей сре­дой или сре­дой с по­те­ря­ми. Кон­сер­ва­тив­ная сре­да (сре­да без по­терь) яв­ля­ет­ся идеа­ли­за­ци­ей Д. с. со сла­бой дис­си­па­ци­ей. Дис­си­па­ция энер­гии в Д. с. – след­ст­вие об­ще­го за­ко­на воз­рас­та­ния эн­тро­пии, со­глас­но ко­то­ро­му лю­бая замк­ну­тая сис­те­ма стре­мит­ся пе­рей­ти в со­стоя­ние тер­мо­ди­на­мич. рав­но­ве­сия, в ко­то­ром мак­ро­ско­пич. дви­же­ния ис­че­за­ют. По­это­му фак­ти­че­ски дис­си­па­тив­ны все ре­аль­ные сре­ды.

Лабораторная работа: Исследования движения тел в диссипативной среде

ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ДИССИПАТИВНОЙ СРЕДЕ

Лабораторная работа № 1

Санкт-Петербург, 2004
РАБОТА 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ДИССИПАТИВНОЙ СРЕДЕ

Цель работы : Исследование процессов рассеяния энергии в диссипативной системе на примере измерения скорости движения тела в жидкой среде, определение основных характеристик диссипативной системы.

Приборы и принадлежности : цилиндрический сосуд с жидкостью, металлические шарики, аналитические весы, масштабная линейка, секундомер.

В работе используется цилиндрический сосуд (рис. 1), на котором нанесены метки. Измеряя расстояние между метками и время падения шарика в жидкости, можно определить скорость его падения. Шарик опускается в жидкость через впускной патрубок, расположенный в крышке цилиндра.

Сила сопротивления движению в вязкой среде. В вязкой среде на движущееся тело действует сила сопротивления, направленная против скорости тела. При небольших скоростях (существенно меньших скорости распространения звуковых волн в данной среде) эта сила обусловлена вязким трением между слоями среды и пропорциональна скорости тела

,

где v – скорость движения тела, r – коэффициент сопротивления, зависящий от формы, размеров тела и от вязкости среды h.

Для шара радиуса R коэффициент сопротивления определяется формулой Стокса

.

При движении тела в вязкой среде происходит рассеяние (диссипация) его кинетической энергии. Слои жидкости, находящиеся на разном расстоянии от движущегося тела имеют различную скорость. Слой жидкости, находящийся в непосредственной близости от поверхности движущегося тела, имеет ту же скорость, что и тело, по мере удаления скорость частиц жидкости уменьшается. В этом состоит явление вязкого трения, в результате которого энергия тела передается слоям окружающей среды в направлении, перпендикулярном движению тела.

Движение тела в диссипативной среде. Движение тела массой m под действием постоянной силы F при наличии сопротивления среды описывается следующим уравнением:

.

В данной работе тело движется под действием силы тяжести, уменьшенной в результате действия выталкивающей силы Архимеда, т.е.

,

где r_с и r_т – плотности среды и тела, соответственно. Таким образом, уравнение движения преобразуется к виду

.

Если начальная скорость движения тела равна нулю, то равна нулю и сила сопротивления, поэтому начальное ускорение

.

С увеличением скорости сила сопротивления возрастает, ускорение уменьшается, обращаясь в нуль при равенстве движущей силы и силы сопротивления. Дальше тело движется равномерно с установившейся скоростью v _¥ (теоретически для достижения установившейся скорости требуется бесконечно большое время)

.

Аналитическое решение уравнения движения при нулевой начальной скорости выражается формулой

,

где t — время релаксации. Соответствующая зависимость скорости движения тела в диссипативной среде от времени представлена на рис. 2.

Время релаксации t можно определить различным образом. Например, из графика на рис. 2 следует, что если бы тело двигалось все время равноускоренно с ускорением, равным начальному ускорению a ₀ , то оно достигло бы установившейся скорости за время, равное t.

Превращение энергии в диссипативной системе .

Полная энергия движущегося тела в произвольный момент времени определяется выражением

,

где h – высота расположения тела над дном сосуда. В установившемся режиме

.

Передача энергии жидкой среде, окружающей движущееся тело, происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло, идет процесс диссипации энергии. Скорость диссипации энергии (мощность потерь) в установившемся режиме

.

Учитывая, что m / t = r , получим уравнение баланса энергии на участке установившегося движения

.

Указания по выполнению наблюдений

1. Масштабной линейкой измерить расстояние Dh между средней и нижней меткой на боковой поверхности сосуда.
2. На аналитических весах взвесить поочередно 5 шариков, и записать массу каждого шарика в таблицу Протокола наблюдений.
3. Поочередно опуская шарики в жидкость через впускной патрубок, измерить секундомером время прохождения каждым шариком расстояния между двумя метками на боковой поверхности сосуда. Результаты записать в таблицу Протокола наблюдений.
4. На панели макета установки указаны значения плотности жидкости в сосуде и плотности материала шариков. Эти данные также следует записать в Протокол наблюдений.

Задание на подготовку к работе

1. Выполните индивидуальное домашнее задание №2
2. Изучите описание лабораторной работы.
3. Выведите формулу для определения коэффициента сопротивления r , полагая что известно значение установившейся скорости v_¥ . Выведите также формулу погрешности Dr .
4. Выведите формулу для определения коэффициента вязкости h на основе рассчитанного коэффициент сопротивления r , массы и плотности материала шариков.
5. Подготовьте бланк Протокола наблюдений, основываясь на содержании раздела «Указания по проведению наблюдений». Разработайте и занесите в бланк Протокола наблюдений таблицу результатов наблюдений.

Задание по обработке результатов

1. По данным таблицы результатов наблюдений определите значения установившихся скоростей шариков. Рассчитайте значения коэффициентов сопротивления r для каждого опыта и инструментальную погрешность полученных результатов.
2. Определите коэффициент вязкости h исследуемой жидкости. Найдите его среднее значения и погрешность полученного результата.
3. Промежуточные вычисления и окончательные результаты, полученные в п. 1, 2 сведите в таблицу.
4. Для одного из опытов определите мощность рассеяния и проверьте баланс энергии на участке установившегося движения.
5. Также для одного из опытов найдите время релаксации t, постройте графики скорости и ускорения от времени.
6. Результаты, полученные в п. 3 и 4, следует округлить, основываясь на значениях погрешностей величин, рассчитанных ранее.