Двухполюсники и четырехполюсники уравнения четырехполюсника

Четырехполюсники и многополюсники

Ранее были рассмотрены общие методы расчета линейных электрических цепей, например методы наложения, контурных токов, узловых потенциалов. Применив эти методы, можно найти режим работы любой линейной цепи.

Однако во многих случаях анализа и синтеза электрических цепей важно знать токи только некоторых ветвей и напряжения только между некоторыми узлами. В этом случае расчет цепи упрощается, если цепь разделить на отдельные части, каждая из которых соединена с остальной двумя, тремя, четырьмя или большим числом выводов — полюсов. Так, например, при определении режима в одной единственной ветви всю остальную часть цепи можно рассматривать как двухполюсник. При расчете методом преобразования иногда полезно выделить треугольник сопротивлений, т. е. трехполюсник, который можно заменить трехлучевой звездой сопротивлений (также трехполюсником). Анализ сложных электрических цепей нередко можно выполнить проще, если выделить многополюсники.

В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электрической цепи, т. е. четырехполюсники.

На практике четырехполюсники и цепи, которые целесообразно представить состоящими из нескольких четырехполюсников, применяются прежде всего для передачи и преобразования электрических сигналов, несущих информацию. Тракт передачи информации, или канал связи, как правило, состоит из ряда четырехполюсников, включенных между генератором (передатчиком) сигналов и приемником сигналов. B тракт передачи обычно входят:

• линия связи генератора и приемника, находящихся часто на значительных расстояниях один от другого;
• усилители, в которых увеличивается мощность или, как говорят, уровень сигналов;
• аттенюаторы (ослабители) для снижения уровня сигналов;
• фильтры для разделения сигналов;
• корректирующие контуры, включаемые для устранения искажений сигналов;
• трансформаторы, при помощи которых изменяются сопротивления отдельных участков тракта передачи информации и устраняется гальваническая связь между этими участками.

К четырехполюсникам относятся также некоторые цепи обратной связи электронных генераторов и усилителей, участки линий передачи электрической (электромагнитной) энергии, цепи регулирования различных параметров машин (скорости, давления, напряжения) и т. д.

Таким образом, теория четырехполюсников дает возможность единым методом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей цепи.

Условное изображение четырехполюсника показано на рис. 8.1. Одну пару выводов из четырех (четырех полюсов) назовем первичной, а другую — вторичной и обозначим соответственно цифрами 1-1′ и 2-2′. Для расчета режима выберем положительные направления напряжений и токов, показанные на рис. 8.1.

Рис. 8.1

Будем считать, что источники питания, приемники, двухполюсники, четырехполюсники и вообще любые участки цепи с парными выводами могут присоединяться только к выводам четырехполюсника, которые обозначены одинаковыми цифрами. Такие четырехполюсники называют проходными.

Все четырехполюсники подразделяются еще на две группы: пассивные и активные. В пассивных четырехполюсниках нет зависимых или независимых источников напряжения (ЭДС) или тока, активные четырехполюсники содержат зависимые или независимые источники. Пассивными четырехполюсниками являются, например, линии передачи сигналов, трансформаторы, аттенюаторы, корректирующие контуры. К активным относятся усилители, собранные на транзисторах или электронных лампах, в том числе операционные усилители, лампы бегущей волны и др.

Активные четырехполюсники, содержащие только зависимые источники, называются неавтономными, а включающие и независимые источники, — автономными. Для пассивных проходных четырехполюсников выполняется принцип взаимности. Поэтому они называются обратимыми. Для активных четырехполюсников принцип взаимности выполняется только в частном случае.

Далее предполагается, что напряжения и токи источников питания, которые могут подключаться к выводам 1-1′ и 2-2′, а значит, и напряжения, и токи на всех участках цепи синусоидальные.

На практике устройства, которые анализируются как четырехполюсники, чаще работают в цепях несинусоидального тока, хотя могут быть и в цепях синусоидального, и в цепях постоянного токов. Для применения рассматриваемой здесь теории к цепям несинусоидального тока необходимо исследовать частотные зависимости параметров четырехполюсников. Все расчетные формулы и соотношения могут быть отнесены и к цепям постоянного тока, если положить частоту равной нулю.

Для исследования четырехполюсников необходимо прежде всего установить зависимости между четырьмя величинами, определяющими режим его работы: напряжениями и токами на первичных и вторичных выводах.

Рассмотрим сначала режимы работы неавтономных активных и пассивных проходных четырехполюсников.

Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой двух уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника.

Рис. 8.2

Например, если к вторичным выводам четырехполюсника подключен приемник с сопротивлением нагрузки , а к первичным — источник ЭДС (рис. 8.2, а), то при заданном напряжении на выводах приемника (в частности, при номинальном напряжении приемника) и токе можно определить необходимое напряжение источника питания на первичных выводах и ток источника по уравнениям типа А:

или в матричной форме

где — матрицы-столбцы напряжения и тока соответственно на первичных и вторичных выводах;

— квадратная матрица коэффициентов.

В этих уравнениях коэффициенты определяют сам четырехполюсник и зависят от схемы соединения и параметров составляющего четырехполюсник элементов электрической цепи; — безразмерные коэффициенты; имеет размерность сопротивления, а — проводимости.

Всего можно записать шесть различных по форме, но по существу эквивалентных, т. е. математически равносильных, пар уравнений (число сочетаний из четырех по два).

Уравнения типа Y

где все коэффициенты — проводимости.

Уравнения типа Z

с коэффициентами — сопротивлениями.

Уравнения типа Н

с коэффициентами, размерность которых, как и в первых трех системах уравнений, непосредственно следует из самой записи уравнений.

Исследование характеристик двухполюсников и четырехполюсников

Вы будете перенаправлены на Автор24

Двухполюсники и четырехполюсники

Двухполюсник – это электрическая цепь, в которой содержатся две точки соединения с другими частями.

Простейшие двухполюсники представляют собой идеальные элементы, комбинация которых при расчетах может быть заменена электрической цепью (реальным элементом). К данным двухполюсникам относятся:

1. Источник электродвижущей силы. Данный элемент обладает неограниченной способностью поддержания разности потенциалов между своими точками подключения, а его внутреннее сопротивление равняется нулю.
2. Генератор электрического тока. Данный элемент обладает способностью поддерживать ток, который протекает сквозь него, независимо от характеристик внешней цепи, которая подведена к его точкам подключения, а его внутреннее сопротивление равно бесконечности.
3. Индуктивность. Данный элемент обладает только индуктивностью, а емкость, утечка тока и внутреннее сопротивление отсутствуют.
4. Сопротивление. Данный элемент обладает только сопротивлением, а емкость, ток утечки и индуктивность отсутствуют.
5. Емкость. Данный элемент обладает только емкостью, а индуктивность, внутреннее сопротивление и ток утечки отсутствуют.

Четырехполюсник – это электрическая цепь, у которой имеется четыре точки подключения.

Основными разновидностями четырехполюсников являются:

1. Пассивный четырехполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.
2. Симметричный четырехполюсник, у которого схема одинаков относительно выходных и входных зажимов.
3. Обратимый четырехполюсник, для которого выполняется теорема обратимости (передаточное сопротивление выходных и входных контуров не зависит от того какая пара зажимов входная, а какая выходная).
4. Активный четырехполюсник, в состав которого входят нескомпенсированные источники энергии.

Исследование характеристик четырехполюсников и двухполюсников

Исследование характеристик четырехполюсников и двухполюсников трудоемкий процесс, а его состав зависит от поставленных задач, исходных данных и т.п.. В зависимости от перечисленных факторов процесс их исследования может включать (в случае совместного исследования):

Готовые работы на аналогичную тему

1. Синтез схем (выявление достаточных и необходимых условий для их физической реализации).
2. Расчет входных сопротивлений режимах холостого хода при прямом и обратном включениях, а также при режиме короткого замыкания при прямом и обратном включениях.
3. Нахождение основное матрицы А и построение системной функции исследуемого объекта.
4. Расчет повторных, характеристических, рабочих параметров.
5. Экспериментальная проверка результатов расчетов.
6. Расчет эквивалентной схемы исследуемого объекта.

Исследование двухполюсника или четырехполюсника также может быть ограничено исследованием его определенных характеристик, например, частотных, энергетических, вольтамперных и т.п.

Исследование частотных характеристик двухполюсников и четырехполюсников

Входные проводимость и сопротивление в общем случае представляют собой функции частоты. К частотным характеристикам относятся: зависимость мнимой или действительной части входного сопротивления (проводимости) от частоты; зависимость модуля входного сопротивления или проводимости от частоты.

Частотные характеристики двухполюсника могут быть получены в результате расчетов (при условии, что известны схема, характер составляющих и их числовые значения) или опытов. Для определения частотных характеристик двухполюсника опытным путем на его вход подается напряжение, частота которого изменяется в широком диапазоне. По результатам измерения подсчитывается модуль входного сопротивления или мнимая (действительная) часть входного сопротивления (проводимость). Частотные характеристики для несложных двухполюсников, в состав которых входят реактивные и резистивные элементы, иногда могут строиться на основании простых физических соображений, касающихся характера изменения сопротивления его отдельных составляющих в функции частоты. Если сделать это достаточно трудно, то используется аналитический метод расчета, либо снятие частотных характеристик опытным путем при помощи специального измерительного оборудования.

При рассмотрении работы четырехполюсника (при известных передаточных характеристиках), например, в цепях синусоидального тока, передаточные характеристики приобретают вид передаточных функций, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в комплексной форме (взаимная проводимость, взаимное сопротивление, передаточные функции по напряжению и току). Рассмотрим схему четырехполюсника на рисунке ниже.

Рисунок 1. Схема четырехполюсника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В данном случае передаточная функция по напряжению будет иметь следующий вид:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выделяя аргумент и модуль передаточной функции, получаем:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Далее получаем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики рассматриваемого четырехполюсника

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Четырехполюсники. Различные виды уравнений четырехполюсника. Системы параметров и их взаимосвязь. Определение коэффициентов четырехполюсников. Схемы замещения (Т — и П — образные)

Четырехполюсники. Различные виды уравнений четырехполюсника. Системы параметров и их взаимосвязь. Определение коэффициентов четырехполюсников. Схемы замещения (Т — и П — образные).

Термины и определения основных понятий

Четырехполюсник — часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов, которые могут быть входными или выходными.

Схема замещения электрической цепи — схема электрической цепи, отобра­жающая свойства цепи при опре­деленных условиях.

Электрическая цепь имеющая два входных и два выходных зажима называется четырехполюсником.

Активные ЧП содержит внутри себя источники электрической энергии. Пассивные ЧП не содержит источники электрической энергии. В дальнейшем рассматриваем только пассивные ЧП.

Примерами ЧП могут служить: линия передачи, трансформатор, электрический фильтр и т. д.

Выводы ЧП к которым подключается источник электрической энергии называются входными, а выводы, к которым присоединяется нагрузка – выходными.

ЧП называется симметричным, если перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет напряжение и ток в остальной части цепи куда он подключен. В противном случае ЧП называется несимметричным.

На рисунке приведена в общем виде схема ЧП. Принятому положительному направлению токов соответствует передача энергии от входных зажимов к выходным зажимам.

Соотношение между напряжениями и токами могут быть записаны в виде следующих уравнений:

1.Форма || Y ||

Здесь все Y –комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность проводимости.

При этом:

2.Форма || Z ||

Здесь все Z — комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность сопротивления.

При этом :

3.Форма ||А||

A , D – безразмерные, В — размерность сопротивления, С – размерность проводимости.

При этом справедливо:

Наличие связи между коэффициентами, а также ;

показывает, что при любой форме записи уравнений ЧП независимыми являются только 3 параметра.

Коэффициенты зависят от схемы внутренних соединений ЧП, от величины сопротивлений схемы и частоты.

Если поменять местами вход и выход ЧП, то

Для симметричного ЧП:

A , B , C , D называются первичными параметрами ЧП.

Определение коэффициентов ЧП ( первичных параметров)

Если внутреннее содержимое ЧП известно, то его коэффициенты можно определить теоретически (расчетным путем).

1 способ. Он состоит в записи уравнений по законам Кирхгофа и последовательным приведением этих уравнений к одной из форм уравнений .

(1)

Приведем полученную систему к форме || Z ||:

Из (3): подставим с в (1) и (2)

форма ||Z||

Приведем полученную систему к форме || A ||:

Из (2)

— верно

2 способ: По известным напряжениям и токам в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Покажем, что этим способом мы получили те же результаты:

3 способ: Если внутренне содержимое ЧП неизвестно, то коэффициенты A , B , C , D можно определить по экспериментально найденным входным сопротивлениям ЧП в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Величина входного сопротивления могут быть легко найдена с помощью амперметра, вольтметра и ваттметра.

Для входных зажимов ЧП входное сопротивление:

При ХХ () (1)

При КЗ () (2)

Еще одно уравнение получим из уравнений для обратного включения.

Для обратного включения имеем:

В режиме ОКЗ () (3)

Решим уравнения (1)—(3) относительно какого-либо коэффициента (например А). Для этого выразим коэффициенты В, С, D и подставим полученные значения в уравнение связи.

Для симметричного ЧП A = D и

Поэтому

Для определения коэффициентов симметричного ЧП достаточно провести опыты ХХ и КЗ.

Эквивалентные схемы ЧП.

Т. К.пассивный ЧП характеризуется тремя независимыми параметрами, то его эквивалентная схема должна содержать как минимум три элемента.

На рисунке привидены Т и П-образная эквивалентные схемы.

Найдем А коэффициент Т — схемы:

Выразим Т-схемы через .

Тогда

Или

Аналогично для П-схемы имеем:

Если ЧП симметричный, то А= D и в Т — схеме , а в П — схеме

Коэффициенты A , B , C , D – называются первичными параметрами ЧП

Пассивный ЧП не содержит источников электрической энергии, активные – содержат.

Примеры ЧП: линия передачи, трансформатор, электрический фильтр и т. д.

Выводы ЧП к которым подключается источник электрической энергии называются входными, а выводы с нагрузкой – выходными.

ЧП называется симметричным если перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет напряжение и ток в остальной части цепи куда он подключен.

Соотношение между напряжениями и токами ЧП могут быть записаны в виде следующих уравнений:

Здесь все Y –комплексные коэффициенты пропорциональности имеющие размерность проводимости.

Здесь все Z — комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность сопротивления.

Наличие связи (1) между коэффициентами ЧП, а также Y 12 =- Y 21 , Z 12 =- Z 21 , показывает что при любой записи элементов ЧП независимыми являются только 3 параметра.

A , B , C , D – первичные параметры ЧП.

Если поменять входное и выходное, то

Определение коэффициентов ЧП

Если внутреннее содержимое ЧП известно, то его коэффициенты можно определить аналитически.

I.

C остоит в записи уравнений по законам Кирхгофа и последовательным приведением этих уравнений к одной из форм уравнений ЧП.

II .По известным напряжениям и токам в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Если внутренне содержимое ЧП неизвестно, то коэффициенты A , B , C , D можно определить по экспериментально найденным входным сопротивлениям ЧП В режимах холостого хода и короткого замыкания.

Входное сопротивление R со стороны вторичных зажимов.

Если ЧП симметричен, то Z хх = Z охх , Z кз = Z окз .

Величины входных сопротивлений находятся с помощью А, В и Вг

Эквивалентные схемы ЧП.

Так как пассивный ЧП характеризуется тремя независимыми параметрами, то его эквивалентная схема должна содержать как минимум тир элемента.

Широкое распространение получили Т и П-образные схемы.

Величины входных сопротивлений находятся с помощью амперметра, вольтметра и ваттметра.

1. Что такое четырехполюсник?

2. Что такое активный четырехполюсник?

3. Что такое пассивный четырехполюсник?

4. Приведите примеры четырехполюсников.

5. Какие четырехполюсники называются входными, а какие – выходными?

6. Какие четырехполюсники называются симметричными, а какие – несимметричными?

7. Опишите 3 способа определении коэффициентов четырехполюсников

8. Какие существуют схемы замещения четырехполюсников?

Упражнения и задачи

1. Определить А-параметры четырехполюсника:

а) используя законы Кирхгофа; б) при режимах холостого хода и короткого замыкания.

2. Определить коэффициенты четырехполюсника A , B , C , D Ом.

3. Выразить сопротивления Т — и П-схем замещения четырехполюсника через Z — параметры.

4. Определить коэффициенты четырехполюсника A , B , C , D и сделать проверку.