Экономическая интерпретация параметров линейного уравнения регрессии

Экономическая интерпретация коэффициента регрессии

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

К.ф. – м.н., доцент кафедры: Василенко В.В.

Студент: Чмиль А.А., ФиК, 3 Курс

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.).

Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейной регрессии. Табл.2

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

После проведенных расчетов линейная модель имеет вид:

Y = 12,24152 + 0,908871x , коэффициент регрессии составил 0,908871. Экономический смысл параметра регрессии заключается в следующем: с увеличением капиталовложений на 1 единицу выпуск продукции увеличивается на 0,908871 единиц.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.

Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная сумма квадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила:

D_ост = ((Y- Yср.) 2 — (Y(xi) — Yср.) 2 )/ (n – 2) = 1,502474351.

График остатков. Рис.1

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Остатки гомоскедастичны, автокорреляция отсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическое ожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены.

Корреляция остатков и переменной Х. Рис 2.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента (α = 0,05).

Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии:

mb = (Dост. / ∑(x – xср.) 2 ) ½ = 0,042585061

Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии:

tb = b / mb= 21,3424949

При α = 0,05 и числе степеней свободы (n – 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическое значение t – критерия больше табличного, то гипотезу о несущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал для коэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Для коэффициента регрессии b границы составят: 0,908871 – 2,3060*0,042585061 ≤ b ≤ 0,908871+2,3060*0,042585061

0,81067 ≤ b ≤ 1,0070722

Далее определим стандартную ошибку параметра a:

m_a = (Dост.*( ∑x 2 / (n*∑(x – xср.) 2 )) 1/2 = 1,073194241

Мы видим, что фактическое значение параметра а больше, чем табличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра а можно отклонить. Доверительный интервал составит: a± t* ma. Границы параметра составят:

9,766735 ≤ a ≤14,716305

Проверим значимость линейного коэффициента корреляции на основе ошибки коэффициента корреляции:

m_r = ((1 – r 2 ) / (n – 2)) 1/2 = 0,046448763

Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется:

t_r = (r / (1 – r 2 )) * (n – 2) 1/2 = 21,3424949

Значение t_r фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости α = 0,05 и степени свободы (n – 2), коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f – критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

R 2 = Rxy 2 = 0,98274 – детерминация.

F = (R 2 /(1 – R 2 ))*((n – m – 1)/m) = 455,5020887

Fтабл. 5,32 2 / ∑(x – x_ср ) 2 ) 1/2 = 1,502474351*(1+(1/10)+ ((31,2 – 23,5) 2 / 828,50)) 1/2 = 1,6262596 млн.руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 90% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

γ_{ур min} = 40,598295 – 3,7501546 = 36,848141 млн.руб.

γ_{ур max} = 40,598295 + 3,7501546 = 44,348449 млн.руб.

Среднее значение показателя составит:

Y_p = (36,848141 + 44,348449) / 2 = 40,598295 млн.руб.

Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза

График фактических и прогнозируемых параметров. Рис.3

Составить уравнения нелинейной регрессии:

Построить графики построенных уравнений регрессии.

Y(x) = 54,1842 + (-415,755) * 1/x – гиперболическое уравнение регрессии.

Y(x) = 4,746556 * X 0,625215 – степенное уравнение регрессии.

Y(x) = 17,38287 * 1,027093 X показательное уравнение регрессии.

Графикимоделей представлены ниже на рисунках 4,5 и 6.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициент эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.

Коэффициенты (индексы) детерминации:

R 2 _показ = R_xy = 0,959136358

Э_гип = -b / (a * x + b) = 0,484804473

Э_степ = b = 0,625215

Э_показ = x * lnb = 0,628221

Средние относительные ошибки аппроксимации:

А = 1/n * ∑ |y – y_xi | * 100%

Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна в экономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибки аппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Это говорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, она предлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений).

Список использованной литературы

1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курашева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192.: ил.

2. Эконометрика. Учебник для вузов.; Под ред. чл. – кор. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344.

Экономическая интерпретация параметров модели

Рис. 4.1. Интерпретация параметров модели

Коэффициенты корреляции и детерминации в линейной модели парной регрессии. Если все точки лежат на построенной прямой, то регрессия Y на Х «идеально» объясняет поведение зависимой переменной. Обычно поведение Y лишь частично объясняется влиянием переменной Х.

Рис. 4.2. Диаграмма Венна

Линейный коэффициент парной корреляции:

Если b>0, то r_yx>0; если b 2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы;

t – случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с заданной вероятностью.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Каков экономический смысл коэффициента регрессии?

2. Какой смысл может иметь свободный коэффициент уравнения регрессии?

3. Какова связь между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии в линейной модели парной регрессии?

4. Каков статистический смысл коэффициента детерминации?

5. Как записывается баланс для сумм квадратов отклонений результативного признака?

6. Что происходит, когда общая СКО равна остаточной? В каком случае общая СКО равна факторной?

7. Что такое число степеней свободы? Чему равны числа степеней свободы для различных СКО в парной регрессии?

8. Как используется F-статистика в регрессионном анализе?

9. Как F-статистика связана с коэффициентом детерминации в парной регрессии?

10. Как рассчитать критерий Стьюдента для коэффициента регрессии в линейной модели парной регрессии?

11. В чем суть предсказания индивидуальных значений зависимой переменной?

Задача 1. Пусть имеется следующая модель парной регрессии, построенная по 20 наблюдениям: . При этом — 0,5.

Задание: построить доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели с вероятностями 0,9 и 0,95.

Задача 2. Анализируется зависимость между доходами горожан (X), имеющими индивидуальные домовладения, и рыночной стоимостью их домов (Y). По случайной выборке из 120 горожан данной категории получены результаты:

27343; 115870; 75200;

1620340; 250431.

Задание: найти оценку коэффициента регрессии и построить 95% доверительный интервал для коэффициента регрессии.

Контрольная работа: Уравнения линейной регрессии

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

по дисциплине «Эконометрика»

По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

1. Линейная модель имеет вид:

Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Расчет значения параметров представлен в табл. 2.

t	y	x	yx
1	43	33	1419	1089	42,236	0,764	0,584	90,25	88,36	0,018
2	27	17	459	289	27,692	-0,692	0,479	42,25	43,56	0,026
3	32	23	736	529	33,146	-1,146	1,313	0,25	2,56	0,036
4	29	17	493	289	27,692	1,308	1,711	42,25	21,16	0,045
5	45	36	1620	1296	44,963	0,037	0,001	156,25	129,96	0,001
6	35	25	875	625	34,964	0,036	0,001	2,25	1,96	0,001
7	47	39	1833	1521	47,69	-0,69	0,476	240,25	179,56	0,015
8	32	20	640	400	30,419	1,581	2,500	12,25	2,56	0,049
9	22	13	286	169	24,056	-2,056	4,227	110,25	134,56	0,093
10	24	12	288	144	23,147	0,853	0,728	132,25	92,16	0,036
∑	336	235	8649	6351	12,020	828,5	696,4	0,32
Средн.	33,6	23,5	864,9	635,1

Определим параметры линейной модели

Линейная модель имеет вид

Коэффициент регрессии показывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн. руб.

2. Вычислим остатки , остаточную сумму квадратов , найдем остаточную дисперсию по формуле:

Расчеты представлены в табл. 2.

Рис. 1. График остатков ε.

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.

0,584
2,120	0,479
0,206	1,313
6,022	1,711
1,615	0,001
0,000	0,001
0,527	0,476
5,157	2,500
13,228	4,227
2,462	0,728
31,337	12,020

d1=0,88; d2=1,32 для α=0,05, n=10, k=1.

,

значит, ряд остатков не коррелирован.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).

для ν=8; α=0,05.

Расчет значения произведен в табл. 2. Получим:

Так как , то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.

5. Найдем коэффициент корреляции по формуле

Расчеты произведем в табл. 2.

Значит,. Т.о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. .

Коэффициент детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, α=0,05

т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Расчеты произведены в табл. 2.

,

значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е Fтабл (10,692>5,32),

значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 14,45%.

8. б) Построим степенную модель, которая имеет вид

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Расчет неизвестных параметров произведем в табл. 5.

t	y	x	Y	Х	YХ
1	43	33	1,633	1,519	2,481	2,307	42,166	0,834	0,696	0,019
2	27	17	1,431	1,23	1,760	1,513	27,930	-0,930	0,865	0,034
3	32	23	1,505	1,362	2,050	1,855	33,697	-1,697	2,880	0,053
4	29	17	1,462	1,23	1,798	1,513	27,930	1,070	1,145	0,037
5	45	36	1,653	1,556	2,572	2,421	44,507	0,493	0,243	0,011
6	35	25	1,544	1,398	2,159	1,954	35,488	-0,488	0,238	0,014
7	47	39	1,672	1,591	2,660	2,531	46,775	0,225	0,051	0,005
8	32	20	1,505	1,301	1,958	1,693	30,896	1,104	1,219	0,035
9	22	13	1,342	1,114	1,495	1,241	23,644	-1,644	2,703	0,075
10	24	12	1,380	1,079	1,489	1,164	22,498	1,502	2,256	0,063
∑	336	235	15,127	13,380	20,422	18,192	12,296	0,346
Cредн	33,6	23,5	1,513	1,338	2,042	1,819

Получим

Перейдем к исходным переменным путем потенцирования данного уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (436,448>5,32), значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,46%. Модель точная.

8. в) Составим показательную модель, уравнение которой имеет вид:

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

t	y	x	Y	Yx
1	43	33	1,633	53,889	1089	42,343	0,657	0,432	0,015
2	27	17	1,431	24,327	289	27,220	-0,220	0,048	0,008
3	32	23	1,505	34,615	529	32,126	-0,126	0,016	0,004
4	29	17	1,462	24,854	289	27,220	1,780	3,168	0,061
5	45	36	1,653	59,508	1296	46,001	-1,001	1,002	0,022
6	35	25	1,544	38,600	625	33,950	1,050	1,102	0,030
7	47	39	1,672	65,208	1521	49,974	-2,974	8,845	0,063
8	32	20	1,505	30,100	400	29,571	2,429	5,900	0,076
9	22	13	1,342	17,446	169	24,374	-2,374	5,636	0,108
10	24	12	1,380	16,560	144	23,710	0,290	0,084	0,012
∑	336	235	15,127	365,107	6351	26,233	0,399
Средн	33,6	23,5	1,513	36,511	635,1

Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 96,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,99%. Модель точная.

9. Сравним полученные модели.

Модель регрессии			F-критерий
Линейная	0,992	0,984	492	3,2
Гиперболическая	0,756	0,572	10,692	14,45
Степенная	0,991	0,982	436,448	3,46
Показательная	0,981	0,962	202,528	3,99

Наилучшей моделью является линейная модель (по максимуму критерия корреляции, детерминации, F-критерия и минимальной средней ошибке аппроксимации).

Рис. 3. Построенные уравнения регрессии.

Для каждого варианта даны по две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

a) CФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации

Для проверки на достаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Составим матрицу из коэффициентов

Определитель матрицы не равен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-е уравнение точно идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).

2+1=3 — необходимое условие идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).

1+1=2 — необходимое условие идентификации выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-е уравнение точно идентифицируемо.

Т.о, если все 3 уравнения идентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.

б) СФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1).

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Достаточное условие не выполнено, уравнение не идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Необходимое условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Достаточное условие не выполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.

Т.к. 1-е и 3-е уравнения не идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.

Ответ: а) СФМ идентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения используем систему нормальных уравнений.

Расчеты произведем в табл. 2.3.

n	y1	y2	x1	x2
1	77,5	70,7	1	12	77,5	1	12	930	144	70,7	848,4
2	100,6	94,9	2	16	201,2	4	32	1609,6	256	189,8	1518,4
3	143,5	151,8	7	20	1004,5	49	140	2870	400	1062,6	3036
4	97,1	120,9	8	10	776,8	64	80	971	100	967,2	1209
5	63,6	83,4	6	5	381,6	36	30	318	25	500,4	417
6	75,3	84,5	4	9	301,2	16	36	677,7	81	338	760,5
∑	557,6	606,2	28	72	2742,8	170	330	7376,3	1006	3128,7	7789,3
средн.	92,933	101,033	4,667	12

Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений.

Решение этих уравнений дает значения d11=5,233; d12=5,616.

1-e уравнение ПФМ имеет вид:

Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения используем следующую систему нормальных уравнений

Расчеты произведем в табл. 2.3.

Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений, получим

Решение этой системы дает значения d21=9,288; d22=4,696.

2-е уравнение ПФМ имеет вид

Для перехода от ПФМ к СФМ найдем х2 из второго уравнения.

Подставив это выражение в 1-е уравнение, найдем структурное уравнение.

т.о. b12=1,196; a11=-5,875.

Найдем х1 из 1-го уравнения ПФМ

Подставив это выражение во 2-е уравнение ПФМ, найдем структурное уравнение.

т.о. b21=1,775; a22=-5,272

Свободные члены СФМ находим из уравнений

линейныйрегрессия детерминация аппроксимация квадрат