Показательное уравнение регрессии
В случае b = e (примерное значение экспоненты e ≈ 2.718281828 ), показательное уравнение регрессии называется экспоненциальным и записывается как y=a·e x .
Здесь b — темп изменения в разах или константа тренда, которая показывает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней.
Пример . Необходимо изучить зависимость потребительским расходами на моторное масло (у) и располагаемым личным доходом (х).
| log(y) 2 | x·log(y) | |||
| 622.9 | 1.59 | 388004.41 | 2.53 | 989.93 |
| 658 | 1.65 | 432964 | 2.72 | 1084.82 |
| 700.4 | 1.7 | 490560.16 | 2.91 | 1194.01 |
| 740.6 | 1.72 | 548488.36 | 2.97 | 1275.88 |
| 774.4 | 1.72 | 599695.36 | 2.97 | 1334.11 |
| 816.2 | 1.67 | 666182.44 | 2.78 | 1361.18 |
| 853.5 | 1.61 | 728462.25 | 2.59 | 1373.66 |
| 876.8 | 1.55 | 768778.24 | 2.39 | 1356.9 |
| 900 | 1.53 | 810000 | 2.33 | 1373.45 |
| 951.4 | 1.61 | 905161.96 | 2.59 | 1531.22 |
| 1007.9 | 1.69 | 1015862.41 | 2.84 | 1699.72 |
| 1004.8 | 1.44 | 1009623.04 | 2.06 | 1441.97 |
| 1010.8 | 1.44 | 1021716.64 | 2.06 | 1450.58 |
| 1056.2 | 1.53 | 1115558.44 | 2.33 | 1611.82 |
| 1105.4 | 1.48 | 1221909.16 | 2.2 | 1637.77 |
| 1162.3 | 1.55 | 1350941.29 | 2.39 | 1798.73 |
| 1200.7 | 1.55 | 1441680.49 | 2.39 | 1858.16 |
| 1209.5 | 1.36 | 1462890.25 | 1.85 | 1646.1 |
| 1248.6 | 1.28 | 1559001.96 | 1.64 | 1599.37 |
| 1254.4 | 1.28 | 1573519.36 | 1.64 | 1606.8 |
| 1284.6 | 1.39 | 1650197.16 | 1.92 | 1780.83 |
| 20439.4 | 32.32 | 20761197.38 | 50.1 | 31007.03 |
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Линейная относительно параметров регрессии
Тест
Задание № 1
Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что остатки …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) не подчиняются закону больших чисел
2) подчиняются закону нормального распределения
3) не подчиняются закону нормального распределения
4) подчиняются закону больших чисел
Задание № 2
Графическое изображение наблюдений на декартовой плоскости координат называется полем …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
2) корреляции
3) случайных воздействий
Задание № 3
В линейном уравнении парной регрессии 
коэффициентом регрессии является значение …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) параметров 
и 
2) параметра
3) переменной 
4) параметра
Задание № 4
Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов строится на основании:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) таблицы исходных данных
2) отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
3) предсказанных значений результативного признака
4) отклонений фактических значений объясняющей переменной от ее теоретических значений
Задание № 5
Свойствами оценок МНК являются:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) эффективность, состоятельность и смещенность
2) эффективность, несостоятельность и несмещенность
3) эффективность, несостоятельность и смещенность
4) эффективность, состоятельность и несмещенность
Задание № 6
В нелинейной модели парной регрессии 
функция 
является:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
4) нелинейной
Задание № 7
Предпосылки метода наименьших квадратов исследуют поведение …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) параметров уравнения регрессии
2) неслучайных величин
3) остаточных величин
4) переменных уравнения регрессии
Задание № 8
Величина параметра в уравнении парной линейной регрессии характеризует значение …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) факторной переменной при нулевом значении результата
2) результирующей переменной при нулевом значении случайной величины
3) факторной переменной при нулевом значении случайного фактора
4) результирующей переменной при нулевом значении фактора
Задание № 9
Если предпосылки метода наименьших квадратов нарушены, то …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) полученное уравнение статистически незначимо
2) оценки параметров могут не обладать свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности
3) коэффициент регрессии является несущественным
4) коэффициент корреляции является несущественным
Задание № 10
В исходном соотношении МНК сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) приравнивается к нулю
2) минимизируется
4) приравнивается к системе нормальных уравнений
Задание № 11
Предпосылкой метода наименьших квадратов не является условие …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) гомоскедастичности остатков
2) случайный характер остатков
3) отсутствие автокорреляции в остатках
4) неслучайный характер остатков
Задание № 12
В основе метода наименьших квадратов лежит …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) равенство нулю суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
2) минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его средних значений
3) минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
4) максимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
Задание № 13
Метод наименьших квадратов не применим для …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) уравнений, нелинейных по оцениваемым параметрам
2) полиномиальных уравнений множественной регрессии
3) линейных уравнений множественной регрессии
4) линейных уравнений парной регрессии
Задание № 14
Относительно формы зависимости различают …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) простую и множественную регрессию
2) положительную и отрицательную регрессию
3) непосредственную и косвенную регрессию
4) линейную и нелинейную регрессию
Задание № 15
Предпосылкой метода наименьших квадратов является …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) присутствие автокорреляции между результатом и фактором
2) отсутствие корреляции между результатом и фактором
3) присутствие автокорреляции в остатках
4) отсутствие автокорреляции в остатках
Задание № 16
Если оценка параметра эффективна, то это означает …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) максимальную дисперсию остатков
2) уменьшение точности с увеличением объема выборки;
3) равенство нулю математического ожидания остатков
4) наименьшую дисперсию остатков
Задание № 17
При выборе спецификации модели парная регрессия используется в случае, когда …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) среди множества факторов, влияющих на результат, можно выделить лишь случайные факторы
2) среди множества факторов, влияющих на результат, можно выделить несколько факторов
3) среди множества факторов, влияющих на результат, можно выделить доминирующий фактор
4) среди множества факторов, влияющих на результат, нельзя выделить доминирующий фактор
Задание № 18
Если между экономическими показателями существует нелинейная связь, то …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) нецелесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии
2) целесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии
3) целесообразно использовать линейное уравнение парной регрессии
4) необходимо включить в модель другие факторы и использовать линейное уравнение множественной регрессии
Задание № 19
По теореме Гаусса-Маркова оценки коэффициентов регрессии, построенной обычным методом наименьших квадратов, среди всех линейных оценок будут являться…
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Эффективными
Задание № 20
Метод наименьших квадратов предназначен для оценки параметров линейной эконометрической модели на основании результатов наблюдений, содержащих…
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) систематические ошибки
2) ошибки спецификации
3) ошибки измерения
4) случайные ошибки
Задание № 21
Выберите среди приведенных утверждение, являющееся одной из предпосылок МНК
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) дисперсия остатков является величиной постоянной 
2) дисперсия остатков является величиной зависящей от объясняющих переменных 
3) дисперсия остатков является величиной пропорциональной математическому ожиданию зависимой переменной 
4) дисперсия остатков не является величиной постоянной 
Задание № 22
Пусть оценивается регрессия 
. Известна оценка b параметра 
, тогда оценка параметра 
может быть вычислена по формуле:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание № 23
Полиномиальной является эконометрическая модель вида…
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание № 24
Остаток регрессионной модели представляет собой оценку…
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Случайной ошибки
2) свободного члена
3) коэффициента регрессии
4) факторной переменной
Задание № 25
Разность фактического и теоретического значений результирующей переменной регрессионной модели называется…
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Остатком
2) размахом выборки
3) амплитудой колебаний
4) средним отклонением
Задание № 26
Для линейной регрессионной зависимости система нормальных уравнений…
Выберите один из 4 вариантов ответа:
линейная относительно параметров регрессии
2) линейная относительно переменных уравнения регрессии
3) нелинейная относительно параметров регрессии
4) линейная относительно остатка уравнения регрессии
Задание № 27
Название метода «метод наименьших квадратов» подразумевает, что сумма квадратов отклонений значений результирующего признака от теоретических должна быть…
Выберите один из 4 вариантов ответа:
Минимальной
2) меньше средней ошибки аппроксимации
3) меньше уровня значимости, принятого при проверке статистических гипотез
Задание № 28
Для уравнения 
значение коэффициента корреляции составило 2. Следовательно . . .
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) значение коэффициента корреляции рассчитано с ошибкой
2) теснота связи в 2 раза сильнее, чем для функциональной связи
3) связь функциональная
4) при увеличении фактора на единицу значение результата увеличивается в 2 раза.
Задание № 29
Уравнение регрессии 
характеризует ________ зависимость.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) обратно пропорциональную
4) прямо пропорциональную
Задание № 30
Оценка значимости уравнения в целом осуществляется по критерию:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) Фишера
Задание № 31
Критическое значение критерия Стьюдента определяет:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) максимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о существенности параметра
2) максимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о несущественности параметра
3) минимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о равенстве нулю значения параметра
4) минимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о несущественности параметра
Задание № 32
Линеаризация подразумевает процедуру …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) приведения уравнения множественной регрессии к парной;
2) приведения нелинейного уравнения к линейному виду
3) приведения линейного уравнения к нелинейному виду;
4) приведения нелинейного уравнения относительно параметров к уравнению, линейному относительно результата
Задание № 33
При помощи модели степенного уравнения регрессии вида 
не может быть описана зависимость …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) выработки от уровня квалификации
2) заработной платы от выработки
3) объема предложения от цены
4) выработки от трудоемкости
Задание № 34
Замена 
не подходит для уравнения …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1)
2) 
3) 
4) 
Задание № 35
При хорошем качестве модели допустимым значением средней ошибки аппроксимации является …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 5-7%
Задание № 36
Нелинейным является уравнение:
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание № 37
Построена модель парной регрессии зависимости предложения от цены . Влияние случайных факторов на величину предложения в этой модели учтено посредством …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) константы
2) параметра
3) случайной величины
4) случайной величины 
Задание № 38
При расчете значения коэффициента детерминации используется отношение:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) математических ожиданий
2) остаточных величин
3) параметров уравнения регрессии
4) дисперсий
Задание № 39
Случайными воздействиями обусловлено 12% дисперсии результативного признака, следовательно, значение коэффициента детерминации составило:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
3) 0,88
Задание № 40
Спецификация модели нелинейная парная (простая) регрессия подразумевает нелинейную зависимость и …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) независимую переменную
2) пару существенных переменных
3) пару независимых переменных
4) пару зависимых переменных
Задание № 41
Значение линейного коэффициента корреляции характеризует тесноту ________ связи.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
2) линейной
4) множественной линейной
Задание № 42
Для нелинейных уравнений метод наименьших квадратов применяется к …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) не преобразованным линейным уравнениям
2) обратным уравнениям
3) преобразованным линеаризованным уравнениям
4) нелинейным уравнениям.
Задание № 43
К линейному виду нельзя привести:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) линейную модель внутренне линейную
2) нелинейную модель внутренне нелинейную
3) линейную модель внутренне нелинейную
4) нелинейную модель внутренне линейную
Задание № 44
Критические значения критерия Фишера определяются по:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) уровню значимости и степеням свободы факторной и остаточной дисперсий
2) уровню значимости и степени свободы общей дисперсии
3) уровню значимости
4) степени свободы факторной и остаточной дисперсий
Задание № 45
По результатам исследования было выявлено, что рентабельность производства падает с увеличением трудоемкости. Какую спецификацию уравнения регрессии можно использовать для построения модели такой зависимости?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1)
2) 
3) 
4) 
Задание № 46
Замена 
, 
подходит для уравнения:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 
2) 
3) 
4)
Задание № 47
Нелинейное уравнение регрессии означает нелинейную форму зависимости между:
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) фактором и случайной величиной
2) результатом и факторами
3) результатом и параметрами
Задание № 48
Факторная дисперсия служит для оценки влияния:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) как учтенных факторов, так и случайные воздействия
2) учтенных явно в модели факторов
3) величины постоянной составляющей в уравнении
4) случайных воздействий
Задание № 49
Экспоненциальным не является уравнение регрессии:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 
2) 
3) 
4)
Задание № 50
Уравнение регрессии может быть реализовано при помощи подстановки:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 
2) 
3)
4) 
Задание № 51
Линеаризация не подразумевает процедуру …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) включение в модель дополнительных существенных факторов
2) приведение нелинейного уравнения к линейному
3) замены переменных
4) преобразования уравнения
Задание № 52
Нелинейную модель зависимостей экономических показателей нельзя привести к линейному виду, если …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) нелинейная модель является внутренне нелинейной
2) нелинейная модель является внутренне линейной
3) линейная модель является внутренне нелинейной
4) линейная модель является внутренне линейной
Задание № 53
Для существенного параметра расчетное значение критерия Стьюдента …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
2) больше табличного значения критерия
3) не больше табличного значения критерия
4) меньше табличного значения критерия
Задание № 54
Расчетное значение критерия Фишера определяется как ___________факторной дисперсии и остаточной, рассчитанных на одну степень свободы
Выберите один из 4 вариантов ответа:
4) отношение
Задание № 55
Оценка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется по критерию …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) Ингла-Гренджера (Энгеля-Грангера)
2) Стьюдента
Задание № 56
Какой критерий используют для оценки значимости коэффициента корреляции:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) F — критерий Фишера
T — критерий Стьюдента
3) критерий Пирсона
4) 
— критерий Дарбина-Уотсона
Задание № 57
Согласно методу наименьших квадратов минимизируется следующее выражение:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание № 58
Оценки параметров регрессии (свойства оценок МНК) должны быть:
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
Несмещенными
Эффективными
Состоятельными
Задание № 59
В уравнении линейной парной регрессии параметр означает:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов
2) среднее изменение результативного признака при изменеии факторного признака на 1%
Парная регрессия и корреляция
1. Парная регрессия и корреляция
1.1. Понятие регрессии
Парной регрессией называется уравнение связи двух переменных у и х
где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Различают линейные и нелинейные регрессии.
Линейная регрессия описывается уравнением: y = a + b × x +e .
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примеры регрессий, нелинейных по объясняющим переменным, но ли-
нейных по оцениваемым параметрам:
· полиномы разных степеней 
· равносторонняя гипербола: 
Примеры регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам:
· степенная 
· показательная 
· экспоненциальная 
Наиболее часто применяются следующие модели регрессий:
– прямой 
– гиперболы 
– параболы 
– показательной функции 
– степенная функция 
1.2. Построение уравнения регрессии
Постановка задачи. По имеющимся данным n наблюдений за совместным
изменением двух параметров x и y <(xi,yi), i=1,2. n> необходимо определить
аналитическую зависимость ŷ=f(x), наилучшим образом описывающую данные наблюдений.
Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа (предполагает решение двух задач):
– спецификация модели (определение вида аналитической зависимости
– оценка параметров выбранной модели.
1.2.1. Спецификация модели
Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.
Применяется три основных метода выбора вида аналитической зависимости:
– графический (на основе анализа поля корреляций);
– аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;
– экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии Dост или средней ошибки аппроксимации , рассчитанных для различных
моделей регрессии (метод перебора).
1.2.2. Оценка параметров модели
Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений ŷx при тех же значениях фактора x минимальна, т. е.
В случае линейной регрессии параметры а и b находятся из следующей
системы нормальных уравнений метода МНК:
(1.1)
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой
(1.2)
Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x, y) → (x’, y’), система нормальных уравнений имеет
вид (1.1) в преобразованных переменных x’, y’.
Коэффициент b при факторной переменной x имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на 1 единицу измерения.
Линеаризующее преобразование: x’ = 1/x; y’ = y.
Уравнения (1.1) и формулы (1.2) принимают вид
Линеаризующее преобразование: x’ = x; y’ = lny.
Модифицированная экспонента: 
, (0 K и со знаком «–» в противном случае.
Степенная функция: 
Линеаризующее преобразование: x’ = ln x; y’ = ln y.
Показательная функция: 
Линеаризующее преобразование: x’ = x; y’ = lny.
Логарифмическая функция:
Линеаризующее преобразование: x’ = ln x; y’ = y.
Парабола второго порядка: 
Парабола второго порядка имеет 3 параметра a0, a1, a2, которые определяются из системы трех уравнений
1.3. Оценка тесноты связи
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент
парной корреляции rxy для линейной регрессии (–1 ≤ r xy ≤ 1)
и индекс корреляции ρxy для нелинейной регрессии 
Имеет место соотношение
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации r2xy (для линейной регрессии) или индекс детерминации (для нелинейной регрессии).
Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.
Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать
показатель (коэффициент, индекс) детерминации R2 либо среднюю ошибку аппроксимации.
Чем выше показатель детерминации или чем ниже средняя ошибка аппроксимации, тем лучше модель описывает исходные данные.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение
расчетных значений от фактических
Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если
значение не превышает 10–12 %.
1.4. Оценка значимости уравнения регрессии, его коэффициентов,
Оценка значимости всего уравнения регрессии в целом осуществляется с
помощью F-критерия Фишера.
F-критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение
фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия
Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной
дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы
где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных.
Для линейной регрессии m = 1 .
Для нелинейной регрессии вместо r 2 xy используется R2.
Fтабл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы k1 = m, k2 = n – m – 1 (для линейной регрессии m = 1) и уровне значимости α.
Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу
при условии, что она верна. Обычно величина α принимается равной 0,05 или
Если Fтабл Fфакт, то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции применяется
t-критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого
Согласно t-критерию выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия tфакт для оцениваемых коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки
Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента
корреляции определяются по формулам
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики
tтабл и tфакт принимают или отвергают гипотезу Но.
tтабл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данной степени свободы k = n–2 и уровне значимости α.
Связь между F-критерием Фишера (при k1 = 1; m =1) и t-критерием Стьюдента выражается равенством
Если tтабл tфакт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или 
.
Значимость коэффициента детерминации R2 (индекса корреляции) определяется с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение критерия Fфакт определяется по формуле
Fтабл определяется из таблицы при степенях свободы k1 = 1, k2 = n–2 и при
заданном уровне значимости α. Если Fтабл
http://lektsii.org/6-58358.html
http://pandia.ru/text/78/146/82802.php