Электив параметр в уравнениях и неравенствах

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
рабочая программа по алгебре (10 класс) на тему

Предлагаемый курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» является предметно-ориентированным и предназначен для реализации в 10 классе школы для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Решение уравнений, содержащих параметры, — один из труднейших разделов школьного курса. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для овладения ими методами решения некоторых классов заданий с параметрами, для обобщения теоретических знаний.

Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов решения, а также формирование логического мышления и математической культуры у школьников. Курс имеет общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся. Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с параметрами, знать некоторые методы решения заданий с параметрами (по определению, по свойствам функций, графически т. д.)

Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений, способствует подготовке учеников к ЕГЭ.

Данный курс может иметь существенное образовательное значение для изучения алгебры. Он призван способствовать решению следующих задач:

— овладению системой знаний об уравнениях с параметром как о системе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

— формированию логического мышления учащегося;

— вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу.

Ставшие уже традиционными такие формы занятий, как лекция и практикум, тем не менее являются непривычными формами работы старшеклассников. Кроме них желательно использовать такие организационные формы ,как выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального домашнего задания ) или содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как «Допишем учебник», отчетные доклады («Эврика, или Вот что мы нашли!» ).

Содержание курсы предполагает работу с различными источниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №2 им. Е. В. Камышева» г. Гагарин Смоленской области

Педагогического Совета школы

Протокол № 1 от 30.08 2017г.

«Средняя школа №2»

_______/ Чипенюк Н.И./

Приказ №97 от 31.08.2017г.

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

ДЛЯ 10 А КЛАССА

УЧИТЕЛЯ ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ

ФИЛОВОЙ ЕЛЕНЫ ВИКТОРОВНЫ

Количество часов: всего 34, в неделю 1.

2017 – 2018учебный год

Предлагаемый курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» является предметно-ориентированным и предназначен для реализации в 10 классе школы для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Решение уравнений, содержащих параметры, — один из труднейших разделов школьного курса. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для овладения ими методами решения некоторых классов заданий с параметрами, для обобщения теоретических знаний.

Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов решения, а также формирование логического мышления и математической культуры у школьников. Курс имеет общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся. Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с параметрами, знать некоторые методы решения заданий с параметрами (по определению, по свойствам функций, графически т. д.)

Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений, способствует подготовке учеников к ЕГЭ.

Данный курс может иметь существенное образовательное значение для изучения алгебры. Он призван способствовать решению следующих задач:

— овладению системой знаний об уравнениях с параметром как о системе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

— формированию логического мышления учащегося;

— вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу.

Ставшие уже традиционными такие формы занятий, как лекция и практикум, тем не менее являются непривычными формами работы старшеклассников. Кроме них желательно использовать такие организационные формы ,как выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального домашнего задания ) или содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как «Допишем учебник», отчетные доклады («Эврика, или Вот что мы нашли!» ).

Содержание курсы предполагает работу с различными источниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.

В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы :

Введение. Понятия уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром.

1.Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2. Квадратные уравнения и неравенства.

3.Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

4.Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами.

Программа элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами»

Разделы: Математика

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в “Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.”, где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования”. Особое внимание следует обратить на задачи, содержащие параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсу алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах прошлых лет общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами учащимся неизвестно. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю.

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: “Решение задач с параметрами”. Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности — повышенный. В процессе работы возможно перераспределение часов в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Данный курс рассчитан на 12 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач и контрольную работу.

Анализ материалов выпускных экзаменов и Федерального тестирования позволил выделить группу задач, которые составили основу данного курса. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простейших линейных неравенств и уравнений с параметрами до достаточно трудных, конкурсных и олимпиадных задач.

В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из трех частей: лекции (включает и задачи, решаемые учителем), задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельной работы учащихся. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар, самостоятельная работа.

Курс характеризуется рациональным сочетанием аналитической строгости и геометрической наглядности. Он является открытым, в него можно добавить новые темы, развить тематику в старших классах. Программа мобильна, дает возможность сокращения количества решаемых задач по теме.

Данная программа может быть использована в 8-9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, предоставляет возможность сознательного выбора профиля обучения и в дальнейшем специальности.

СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ

Программа является обучающей и содержит:

• пояснительную записку;
• цели курса;
• задачи курса;
• примерное тематическое планирование;
• требования к умениям и навыкам;
• методические рекомендации;
• литература;
• приложение.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Данный курс “Уравнения и неравенства с параметрами” способствует более глубокому усвоению основного курса математики. Материал курса может использоваться учителем на уроках алгебры в 8-9-х классах, на занятиях математического кружка или факультативных занятиях. Курс предназначен для расширенного и углубленного изучения математики и подготовки к выпускным экзаменам за курс общей и средней школы.

Данный курс освещает задачи с параметрами, которые вызывают учащихся наибольшие трудности. Навыки решения задач с параметрами необходимы всем учащимся, которые стремятся хорошо подготовиться к успешной сдаче выпускных экзаменов, ведь все чаще подобные задачи встречаются в материалах выпускных экзаменов и Федерального Центра тестирования. Данный курс способствует формированию устойчивого интереса учащихся к предмету, исследовательского подхода в решении задач, сознательному овладению учащимися системой математических знаний. Ведь именно решение задач с параметрами открывает перед учащимися большое число эвристических приемов, ценных для математического развития личности и именно задачи такого рода стали неотъемлимым атрибутом материалов экзамена в новой форме.

Курс “Уравнения и неравенства с параметрами” сокращает разрыв между требованиями, которые предъявляет к выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к абитуриенту ВУЗ. Он ориентирует учащихся на выбор профиля, связанного с математикой, а в дальнейшем профессии технического направления.

ЦЕЛИ КУРСА:

ЗАДАЧИ КУРСА:

Требования к знаниям и умениям до изучения курс:

До изучения курса учащиеся должны уметь:

• решать линейные и квадратные уравнения;
• строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;
• решать простейшие иррациональные уравнения с параметром как аналитически, так и графически;
• применять аппарат алгебры для решения прикладных задач;
• иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ТРЕБОВАНИЯ К УМЕНИЯМ И НАВЫКАМ:

Введение элективного курса “Решение задач с параметрами” необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к экзамену, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

В результате изучения курса учащийся должен:

• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
• овладеть исследовательской деятельностью.

Оценка знаний и умений обучающихся проводится с помощью итоговой контрольной работы, которая включает в себя задачи с параметрами из вариантов выпускных экзаменов 9 классов в новой форме.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Тема 1.Знакомство с параметрами.

Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.

Тема 2-3. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейных неравенств с параметром. Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром.

Тема 4. Квадратные уравнения.

Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”).

Тема 5. Квадратные неравенства.

Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа.

Тема 6.Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр

Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.

Тема 7. Графические способы решения заданий с параметрами

Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений.

Тема 8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу

Решение уравнений, неравенств с параметром. Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

Наименование тем курса

Общее количество часов

В том числе (мин)

Форма контроля

лекции

практика

Знакомство с параметрами

Линейные уравнения и неравенств с параметрами

Самостоятельная работа

Системы линейных уравнений с параметрами

Самостоятельная работа

Квадратные уравнения с параметрами

Самостоятельная работа

Квадратные неравенства с параметрами

Самостоятельная работа

Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр

Самостоятельная работа

Графические способы решения заданий с параметрами

Самостоятельная работа

Решение разнообразных задач с параметрами по курсу

Контрольная работа

1. Основные методы решения задач с параметрами

1.1. Задачи с параметром. Первое знакомство. Лекция.

1.2 Типы задач с параметрами. Лекция.

1.3 Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Практикум.

1.4 Аналитический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.5 Геометрический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.6 Метод решения относительно параметра. Практикум.

2. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2.1 Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Лекция.

2.2 Решение линейных уравнений с параметром. Лекция +практикум.

2.3 Решение линейных неравенств с параметром. Лекция +практикум.

3. Системы линейных уравнений с параметрами.

3.1 Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Лекция.

3.2 Решение систем линейных уравнений с параметром. Практикум.

3.3 Решение систем линейных неравенств с параметром. Практикум.

4. Квадратные уравнения.

4.1 Свойство квадратного трехчлена. Семинар.

4.2 Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.3 Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.4 Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Практикум.

4.5 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Практикум.

4.6 Решение квадратных уравнений с параметром первого типа ( “для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Практикум.

4.7 Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”) Практикум.

5. Квадратные неравенства.

5.1 Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Практикум.

5.2 Решение квадратных неравенств с параметром второго типа. Практикум.

5.3 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6. Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

6.1 Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.2 Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6.3 Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.4 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

7. Графические способы решения заданий с параметрами.

7.1 Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Практикум.

7.2 Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Практикум.

7.3 Использование симметрии аналитических выражений. Практикум.

8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу.

8.1 Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.2 Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.3 Решение задач на нахождение области определения функции с параметром. Семинар- практикум.

Заключительное повторение. Контрольная работа.

РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.
2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.
3. Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.
4. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.
5. Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ПЕДАГОГА

1. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
2. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В., Решение задач, содержащих параметры.- М.: Науч.-пед. об-ние “Перспектива”, 1990.- 4.2- 38 с.
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Егерман Е. Задачи с параметрами.- Математика. № 2, 2003.
5. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе. № 5, 2001.
6. Неделяева С. Особенности решения задач с параметрами. –Математика.- 1999 г. № 34- с. 20-23.
7. Циганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9.
8. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
9. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
10. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. — М.: Аркти, 2000.
11. Математика для поступающих в вузы //Сост. А.А.Тырымов. – Волгоград: Учитель, 2005.
12. Математика. Задачи М.И.Сканави. — Минск; В.М.Скакун,1998г.
13. Математика. “Первое сентября”.? 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
14. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
15. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

1. Большой энциклопедический словарь. Математика.- М.: Научное издательство “Большая Российская энциклопедия”, 1998.
2. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
5. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
6. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.

Элективный курс на тему «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Элективный курс «Уравнение и неравенство с параметром».

Пояснительная записка.

Представленный элективный курс имеет предметно-ориентированный характер и предполагает собой реализацию, как в общеобразовательных, так и в профильных 11 классах.

Актуальность данного курса очевидна, исходя из ежегодного использования задач с параметрами в материалах ЕГЭ. Хотя должного внимания данному виду задач в школьной математике до сих пор не уделяется. Тем более при решении задач с параметром, так или иначе, приходиться прибегнуть к решению путем рассуждения, что развивает логическое мышление, а это всегда актуально. Задачи с параметром обычно включают в себя сведенья из разных тем школьной математики, при решении этих задач используются знания, полученные на протяжении всего обучения. Тем самым можно считать, что задачи с параметром являются средством для развития математической логики, которая пригодиться при решении любых других задач, а умение рассуждать понадобиться при изучении высшей математике в Вузе.

Элективный курс рассчитан на преподавание в объеме 34 часов, то есть 1 час в неделю. Изучение элективного курса поможет учащимся выпускного класса не только разобраться в этапах решения одной из самых сложных задач ЕГЭ, но и разовьют навыки исследовательской деятельности, что, несомненно, пригодиться в дальнейшем обучении в Вузе.

Целью данного элективного курса является изучение методов и приемов решения уравнений и неравенств с параметром, а также приобретение исследовательских навыков.

Данный курс призван способствовать решению следующих задач:

овладение системой знаний по решению задач с параметром;

расширение представлений об уравнениях и неравенствах с параметрами;

развитие математических способностей и математической культуры;

развитие логического мышления;

привлечение выпускников к выбору профессии, имеющей математический уклон.

Преобладающими формами обучения являются индивидуальная, фронтальная, реже групповая, а также используются элементы исследовательской деятельности. Используются такие методы обучения как объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, метод проектов. В качестве средств обучения используются печатные и наглядные пособия и электронные образовательные ресурсы. Для контроля знаний используются самостоятельные работы и презентация групповых учебных проектов.

Содержание программы элективного курса.

Введение. Что такое параметр?(1ч)

Определение параметр. Понятие равносильности уравнений. Понятие уравнения с параметром, неравенств с параметром. Виды уравнений и неравенств с параметром. Решение простейших задач с параметром.

Линейные уравнения и неравенства с параметром. (5ч)

Линейные уравнения с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейно-кусочных уравнений. Решение уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Линейные неравенства с параметром. Решение линейных неравенств с параметром.

Квадратные уравнения и неравенства с параметром. (10ч)

Квадратные уравнения с параметром. Решение квадратные уравнения с параметром. Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений с параметром, имеющих дополнительные условия, наложенные на корни уравнения. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Необходимые и достаточные условия для решения конкретных случаев квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Квадратные неравенства с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром. Метод интервалов при решении квадратных неравенств с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго типа. Нахождение заданного количества решений.

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром. (4ч)

Графическое решение уравнений и неравенств. Сечение семейством прямых . Сечение семейством прямых Сечение семейством прямых . Использование графического метода.

Различные виды уравнений и неравенств с параметром. (10ч)

Решение уравнений и неравенств с параметром, содержащих модуль. Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметром. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Метод решения относительно параметра.

Задачи с параметром в едином государственном экзамене. (3ч)

Нетрадиционные задачи с параметром. Задачи с параметром, входящие в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Олимпиадные задачи с параметром.

Заключение. Итоговое занятие (1ч)

Защита групповых учебных проектов.

Параметр в системах уравнений.

Параметр в системах неравенств.

Учебно-тематическое планирование.

Линейные уравнения с параметрами

Линейные уравнения с параметрами и сводимые к ним.

Линейные неравенства с параметрами

Линейные неравенства с параметрами и сводимые к ним

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Квадратные уравнения и неравенства с параметром.

Квадратные уравнения с параметром

Использование теоремы Виета для решения уравнений с параметром

Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой

Квадратные уравнения с параметром первого вида

Квадратные уравнения с параметром второго вида

Квадратные неравенства с параметром

Метод интервалов при решении неравенств с параметром

Решение квадратных неравенств с параметром первого и второго вида

Нахождение заданного количества решений уравнений и неравенств с параметром

Самостоятельная работа по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром.

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Исследование неравенств с параметром с начальными условиями

Различные виды уравнений и неравенств с параметром.

Уравнения с параметром, содержащие модуль

Неравенства с параметром, содержащие модуль

Тригонометрические уравнения с параметром

Тригонометрические неравенства с параметром

Показательные и логарифмические уравнения с параметром

Показательные и логарифмические неравенства с параметром

Иррациональные уравнения с параметром

Иррациональные неравенства с параметром

Метод решения относительно параметра

Самостоятельная работа по теме «Различные уравнения и неравенства с параметром»

Задачи с параметром в едином государственном экзамене.

Практикум по решению задач ЕГЭ

Решение задач ЕГЭ

Итоговый урок. Защита проектов

Заключение.

Задачи с параметром актуальны для изучения в школе, так как они помогают в формировании логического мышления. В ходе решения уравнений и неравенств с параметром фактически проводиться исследование, поэтому можно с уверенностью сказать, что такого рода работа развивает у учащихся навыки исследовательской деятельности. Поиска способа решения того или иного уравнения с параметром требует от учащегося обладания высоким уровнем математического мышления и посильно не каждому рядовому ученику общеобразовательной школы. Поэтому изучение задач с параметром, как и любых других трудных, нестандартных задач всегда будет вопросом актуальным для учащихся профильных школ, а также для выпускников, у которых приоритетным предметом является математика и возможность получить максимальный балл при его сдаче.

В первой главе рассмотрены основные понятия, входящие в цикл понятий о параметре, а также разобраны основные методы решения уравнений и неравенств с параметром.

Вторая глава посвящена решению различных задач с параметром, которые могут встречаться на ЕГЭ, а также в составе олимпиадных заданий. При решении этих представленных уравнений и неравенств с параметром используются различные методы: аналитический, графический, метод решения относительно параметра; применяются знания по решению уравнений и неравенств различного вида, а также дополнительные знания, такие как схема Горнера, равносильные преобразования, переход от уравнения к системе простых неравенств и т.д. Задачи с параметрами являются сложными потому, что не имеют единого алгоритма решения. Из представленных в работе примеров видно, что каждый вид уравнения с параметром требует индивидуальный подход к своему решению. Любые из данных примеров, которые представлены от простого к сложному, требуют тщательного обдумывания, большого внимания и навыков исследования. Каким бы методом не решалась задача, она требует анализа.

Третья глава представляет собой программу элективного курса «Уравнения и неравенства с параметром» рассчитанного на преподавание в объеме 34 часов в 11 классе. В данную программу входят:

пояснительная записка, содержащая актуальность, цель и задачи курса, а также методы, формы и средства обучения;

содержание программы, в которой представлена краткая аннотация каждого раздела;

Правильно подобранная система задач и практически отработанный навык решения – гарантия успешного изучения темы, а возможность соблюдения этих критериев дает элективный курс. Расширенное и более подробное изучение нетрадиционных задач таких, как задачи с параметром, с помощью элективного курса оправданно, так как данный курс развивает математическую логику и логику мышления, что поможет и в решении других задач.

Задачи, содержащие в своем условие параметр, относят к наиболее сложному виду задач представленных в ЕГЭ. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3% [10]. Представленные элективный курс «Уравнения и неравенства с параметром» и разобранные задачи, при использовании в старших классах, помогут не только решить данный вид задач на ЕГЭ, но и научат рассуждать и анализировать любое задание, а не просто бездумно следовать заученному алгоритму. Уверенное решение задач с параметром – это достаточный уровень математической подготовки для школьника, большой шаг к дальнейшему поступлению в Вуз, подспорье в подготовке к математической олимпиаде, конкурсам, ЕГЭ.

Список литературы.

Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 1. – М.: Дрофа, 2009 – 480 с.

Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Математика. Уравнение и неравенство с параметром. Ч. 2. – М.: Дрофа, 2009 – 444 с.

Высотский В. С., Задачи с параметром при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.

Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром — М.: МЦНМО, 2011.- 144 с.

Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.

Мирошин В. В., Решение задач с параметрами. Теория и Практика. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 282 с.

Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208 с.

Шабунин М. И., Прокофьев А. А., Олейник Т. А., Соколова Т. В. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие для 11 класса. – М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010. – 360 с.

Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – М.: МЦНМО, 2007. – 296 с.

Сергеев И. Н., Панферов В. С. ЕГЭ: Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Все задания части 2. – М. Издательство «Экзамен», 2018. – 334 с.

Ерина Т. М. ЕГЭ 2018. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Практическое руководство. – М.: УЧПЕДГИЗ, 2018. – 350 с.

Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения. – М.: ООО «Издательство Оникс»; ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. – 416 с.