Элективный курс по математике системы уравнений

Системы уравнений. Элективный курс.
методическая разработка по алгебре на тему

В данной разработке представлены основные методы решения систем алгебраических уравнений, подобраны примеры к каждому из них. Большое количество заданий разного уровня сложности для практических занятий.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Элективный курс, объем 8 часов.

Учитель: Посохина Галина Люциевна.,

МБОУ «СОШ с. Тоора-Хем»

ЦЕЛИ данного курса:

• закрепить навыки учащихся в решении систем уравнений, полученные ими на уроках алгебры;
• познакомить учащихся с новыми методами решения систем уравнений;
• активизировать познавательную деятельность учащихся;
• развивать творческие способности учащихся.

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными ƒ (х,у)=0 и g(х,у)=0 . Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя неизвестными, то говорят, что надо решить систему уравнений

Каждая пара значений неизвестных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. В более общем случае решить систему уравнений – значит найти общие решения двух или более уравнений.

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если эти системы имеют одни и те же решения. Но если обе системы не имеют решений, то они также считаются эквивалентными.

При решении систем уравнений одну из них обычно заменяют другой, более простой, но равносильной первоначальной. При этом нужно следить за тем, чтобы преобразования не привели к потере или появлению лишних корней. В случае появления последних, завершающим этапом должна быть проверка полученных решений.

Основные равносильные преобразования систем уравнений.

1. Если любое из уравнений системы заменить на это же уравнение, умноженное на произвольное, не равное нулю число, то полученная система будет равносильна первоначальной.
2. Если к любому уравнению системы прибавить любое другое уравнение, умноженное на какое угодно число, то полученная система уравнений будет равносильна первоначальной.
3. Любое уравнение системы можно заменить результатом умножения соответствующих частей этого уравнения на любое другое.

Основные методы решения систем алгебраических уравнений.

1. Метод подстановки заключается в следующем:

а) одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражено через х (или х через у);

б) полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение, в результате получают уравнение с одной переменной;

в) находят корни этого уравнения;

г) воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующее значение у (или х).

1. Метод сложения основан на 1 и 2 правилах основных равносильных преобразованиях систем уравнений.

1. Графический метод решения систем уравнений заключается в следующем:

а) надо построить график каждого уравнения системы;

б) найти (точно или приближенно) координаты точек их пересечения, это и будут решения системы уравнений (точные или приближенные).

Сколько точек пересечения у графиков , столько и решений у системы.

1. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

а) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;

б) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Выражение ƒ (х;у) называется симметрическим, если оно при замене переменных х на у, а у на х не изменяется.

Система, все уравнения которой симметрические, называется симметрической.

Она решается методом замены переменных, путем выбора в качестве новых переменных основных симметрических многочленов. В случае двух переменных основными симметрическими многочленами считаются х+у и х ⋅ у. Обозначим u=х+у и v=х ⋅ у. Тогда все остальные симметрические многочлены выражаются через основные.

1. Методы умножения и деления основаны на утверждении:

если обе части уравнения ƒ 2 (х;у)=g 2 (х;у) ни при каких значениях (х;у) одновременно не обращаются в нуль, то системы:

ƒ 1 (х;у)=g 1 (x;y) ƒ 1 (x;y)=g 1 (x;y)

ƒ 2 (x;y)=g 2 (x;y) ƒ 1 (x;y) ⋅ƒ 2 (x;y)=g 1 (x;y) ⋅ g 2 (x;y)

ƒ 1 (x;y)=g 1 (x;y)

ƒ 1 (x;y) g 1 (x;y) — равносильны.

ƒ 2 (x;y) g 2 (x;y)

Пример 1.

Решаем систему методом подстановки.

х = 5 – у,

у 1 = (5 – 1)/2 =2 у 2 = (5 + 1)/2 = 3

х 1 = 5 – 2 = 3 х 2 = 5 – 3 = 2

х + у = 6,

Решаем систему методом сложения.

Складывая уравнения системы, получаем:

у = 6 – х =6 – 4 = 2

2х + 3у = 7,

Умножим обе части второго уравнения на 3. Получим систему:

2х + 3у = 7,

Сложив почленно эти уравнения, находим:

Подставив это значение в первое уравнение, получаем у = − 1.

у = ⎪ х – 2 ⎪ − 2 ,

у = ⎪ х – 2 ⎪− 2 – график функции получается из графика функции у = ⎪ х ⎪ сдвигом на 2 единицы вдоль оси Ох и на -2 единицы вдоль оси Оу.

у = (х – 2) 2 + у 2 = 4 – графиком уравнения является окружность с центром в точке (2;0) и радиусом 2 единицы.

у

2

1 2 3 4 х

Точки пересечения (0;0), (2; -2) и (4;0) являются решениями исходной системы уравнений.

Разложим первое уравнение системы на множители.

(х – у) ⋅ (х + у) = 200, ( х – у ) ⋅ 20 = 200, х – у = 10,
х + у = 20; х + у = 20; х + у = 20.

Решаем полученную систему методом алгебраического сложения.

у = 20 – х = 20 – 15 = 5

х 2 + у 2 = 13,

Запишем систему в виде:

Складывая почленно уравнения системы, получим:

х 2 + 2ху +у 2 = 25

х + у = 5, х = 5 – у, х = 5 – у,

х ⋅ у = 6; (5 – у) ⋅ у = 6; у 2 – 5у + 6 = 0;

х + у = -5, х = -5 – у, х = -у – 5,

х ⋅ у = 6; 6 + (5 + у) ⋅ у = 0; у 2 + 5у + 6 = 0;

х = 5 – у,

у 1 = 2,

х = -5 – у,

у 1 = -2,

у 2 = -3.

Ответ: (3; 2), (2; 3), ( -3; -2), ( -2; -3).

х/у + у/х = 13/6,

Положим х/у = а, тогда у/х = 1/а и первое уравнение примет вид

6а 2 – 13а + 6 = 0

D = 169 – 4 ⋅ 36 = 169 – 144 = 25

а 1 = 2/3 а 2 = 3/2

х/у = 2/3, или х/у = 3/2,

х + у = 5; х + у = 5;

у = 3х/2, у = 2х/3,

х + у = 5; х + у = 5;

х = 2, х = 3,

х + ху + у = -1,

Это симметрическая система. Данную систему можно решить методом введения новой переменной.

х + у = а, а + в = -1,

х ⋅ у = в; а – в = 3;

Решая полученную систему методом алгебраического сложения, получаем:

а = 1, в = -2.

х + у = 1,

х ⋅ у = -2; и получаем х = -1,

х = 2,

х 4 /х 2 + ху = 72,

Данную систему можно решить методом деления уравнений.

Преобразуем левые части уравнений:

(х 4 + ху 3 )/у 2 = 72, х ⋅ (х 3 + у 3 )/у 2 = 72,

(у 4 + х 3 у)/х 2 = 9; у ⋅ (у 3 + х 3 )/х 2 = 9.

Разделим почленно полученные уравнения и получим:

х = 2у

х = 2у, х = 2у, х = 2у, х = 2у,

16у 4 /у 2 + 2у 2 = 72; 18у 2 = 72; у 2 = 4; у = 2,

ЗАДАНИЯ для практических занятий.

1. х + у = 4, 5. х +у = 7,

1. 2х +5у = 15, 7. х 2 – у = 14,

3х + 8у = -1. 3х + у = 4.

1. 2х +5у = 15, 8. х + у = 7,

1. у 2 + х 2 = 17, 21. 3х + 2у = 1,

у – 3х – 1 = 0. –х + 5у = -6.

1. х 2 + у 2 = 10, 22. у 2 – ху = -12,

х – у = 2. х 2 – ху = 28.

1. х 2 + у 2 = 13, 23. 2х + у + z = 7,

ху = 6. x + 2y + z = 8,

x + y + 2z = 9.

1. х 3 – у 3 = 7, -3x + 4y +2z = 11.

х 2 + ху + у 2 = 7.

25. xy = 12,

1. х + у = 3, 26. х + у + ху = 11,

ху = -4. х + у – ху = 1.

1. √ х + √ у = 8, 27. х 2 + у 2 = 100,

х – у = 16. ху = 48.

1. х – у = 1, 28. х 2 – у = 14,

х 3 – у 3 = 19. 3х + у = 4.

1. ху + х + у = 5, 29. х 2 +у 2 = 20,

х 2 у + ху 2 = 6. ху = 8.

1. х + ху +у = 11, 30. х + у = 8,

х 2 у +ху 2 = 30. х/у +у/х = 50/7.

1. х 2 + у 2 = 10, 31. 2(х + у) – ху = 4,

х + ху + у = 7. 3ху + х + у = 23.

1. (х + у)/(х – у) + (х – у)/(х + у) = 13/6,

1. (х + 3)/(у – 3) + (у – 3)/(х + 3) = 17/4; ху = 4.

1. 2ху – 3х/у = 15, 41. х 3 + у 3 = 65,

ху + х/у = 15. х 2 у + ху 2 = 20.

1. √ х/у — √ у/х = 3/2, 42. х 2 – 5ху + 3у 2 = 17,

х + у + ху = 9. 2х 2 – 7ху + 4у 2 = 26.

1. х 2 + ху = 15, 43. ху – х – у = 1,

у 2 + ху = 10. х + у = 5.

1. у 2 – ху = 3, 44. х 2 – у = 7,

х 2 – ху = -2. х – у = 1.

х + 5ху + у = 4. х + у = 2.

1. (х + у)(х – у) = 0, 46. х 2 + у 2 = 34,

2х – у = 1. ху = 15.

1. х 2 + у 2 = 25, 47. ху – √ х 2 + у 2 = 7,

(х – 3)(у – 5) = 0. ху + √ х 2 + у 2 = 17.

Задания для практических занятий подобраны в большом количестве и разнообразны. Это позволяет осуществлять индивидуальный подход к слушателям курса. Учащимся, быстрее других справившимся с легкими системами, можно предложить более трудные задания.

В конце курса проводится зачетная работа, задания для которой можно выбрать из данных, им подобных или оставшихся, т.к. систем много и вряд ли все они будут решены во время практических занятий.

1. Система тренировочных задач и упражнений по математике / А. Я. Симонов , Д.С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др. – М.: Просвещение, 1991.
2. Готовимся к экзамену по математике. / Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
3. Громов А. И., Савчин В.М. / Математика. Подготовка к письменному экзамену: Учеб. Пособие. – Минск: Интерпрессервис. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.
4. Замыслова А. И. / Репетитор по математике. – Ростов н/Д: Феникс. Серия «Единый госэкзамен». 2003.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Элективный курс «Уравнения. Неравенства. Системы»

Программа элективного курса «Уравнения. Неравенства. Системы.» для 10 — 11 классов. Изучение курса позволяет учащимся более качественно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Элективный курс по алгебре на тему: «Уравнения, неравенства и их системы»

Элективный курс представляет углубленное изучение теоретического материала укрупненными блоками. Курс рассчитан на учеников общеобразовательного класса, желающих основательно подготовиться.

Урок-практикум «Пейзаж и его функции в произведении» в системе уроков элективного курса «Анализ текста литературного произведения»

В старшей школе одной из эффективных форм профильного обучения являются элективные курсы ,которыеспособствуют совершенствованию умений анализа и интерпретации литературного произведения как художестве.

Элективный курс по математике в 5 классе «Решение уравнений. Задачи на составление уравнений»

Курс строится на индуктивной основе с привлечением элементов дедуктивных рассуждений. Теоретический материал курса излагается на наглядно-интуитивном уровне, математические методы и законы формулируют.

Учебно-тематический план элективного курса: «Системы линейных уравнений».

Программы предметно- ориентированных курсов по выбору включают углубление отдельных тем базовых общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки.

Рабочая программа элективного курса «Алгебра плюс: полиномиальные алгебраические уравнения. Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений, неравенств, систем»

Программа состалена на основе авторской программы элективного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики».

Рабочая программа элективного курса 10-11 класса «Уравнения, неравенства и их системы повышенной сложности».

Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат уравнения, неравенства и их системы, методы решения которых не рассматриваются в основном курсе обучения математике. Спо.

Элективный курс «Уравнения и системы уравнений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Ляховская средняя общеобразовательная школа»

«Уравнения и системы уравнений»

Автор: Муртазина Елена Феофановна

2012-2013 учебный год

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем:

И засуху предсказывал, и ливни.

Поистине его познанья дивны.

Задача предпрофильной подготовки учащихся заключается в том, чтобы создать условия для воспитания нового поколения, имеющего уровень образования, соответствующий условиям информационного общества, создание возможности самореализации в обществе. Для этого их необходимо увлечь наукой, помочь обнаружить в себе математические способности, пробудить интерес к математике у тех, кто его до сих пор не испытывал. Владеть математикой необходимо, так как в технической, инженерной профессии, в любой отрасли естественнонаучного знания без неё не обойтись, а без интереса к предмету по-настоящему ею не овладеть.

Теория уравнений занимает ведущее место в курсе алгебры и математики в целом. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

Элективный курс «Уравнения и системы уравнений» предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса. Курс предназначен для дополнения и углубления базового образования по математике.

Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить теорему Виета для уравнений любой степени. Умение выполнять действие деления многочленов облегчит в дальнейшем решение таких задач математического анализа, как нахождение асимптот, вычисление производных и интегралов.

Изучение теоремы о рациональных корнях многочлена даёт общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит значительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств.

Цели и задачи курса:

познакомить учащихся с основами теории многочленов;

сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;

расширить математический кругозор учащихся;

сформировать способность к осознанному выбору дальнейшего профиля обучения в старшей школе.

Освоение содержания программы курса способствует интеллектуальному, творческому развитию школьников. При реализации программы содержания курса учитываются все особенности и индивидуальные возможности учащихся. Все правила и выводы формул без громоздких выкладок. Курс даёт возможность повысить интерес к изучению предмета, приобрести навыки обобщения, навыки самостоятельной работы. Для усвоения курса достаточно базовых знаний учащихся по предмету.

Программа основывается преимущественно на активных методах обучения. Обучение ведется по принципу деятельностного подхода.

Применяются различные формы организации занятий: лекции, практикумы, семинары, работа в группах.

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: самостоятельная работа; срезы знаний и умений в процессе обучения; итоговый контроль. Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы, защиту рефератов.

Во время практикума учащиеся работают в группах, обсуждаю ход решения друг с другом. В результате правильное решение руководитель группы оформляет на доске, учащиеся других групп анализируют решения.

Готовясь к семинарскому занятию, учащиеся получают вопросы для подготовки. Дома идет изучение вопросов семинарского занятия.

Для изучения курса отводится 12 часов (12 учебных недель по 1 часу в неделю).

По окончании изучения курса учащиеся должны уметь:

выполнять действия над многочленами;

применять теорию многочленов к нахождению корней рационального уравнения с целыми коэффициентами;

использовать теорему Виета для решения задач;

решать уравнения, используя основные методы решения: разложение на множители, введение новой переменной, переход от уравнения A(x)=B(x) к уравнению вида f(A(x))=f(B(x));

применять алгоритмы решения возвратных уравнений;

решать системы уравнений.

Учебно – тематический план

Многочлены от одной переменной.

Понятие многочлена. Действия над многочленами.

Теорема Безу. Корни многочлена.

Многочлены с целыми коэффициентами.

Уравнения с одной переменной. Основные определения. Следствие уравнения. Равносильные уравнения.

Основные методы решения уравнений.

Системы уравнений. Основные

Решение уравнений и систем уравнений.

Самостоятельная работа, работа в группах

Защита курсовых работ и рефератов

Тема 1. Многочлены от одной переменной. Понятие многочлена. Действия над многочленами.

Первое занятие предусматривает собой вводную беседу, рассматриваются основные понятия многочлена и действия над многочленами. Теоретическая часть закрепляется выполнением упражнений по данной теме.

Тема 2. Теорема Безу. Корни многочлена.

Доказать теорему Безу и рассмотреть её следствия. Выполнение практических заданий.

Тема 3. Формулы Виета.

Рассмотреть формулы Виета. Выполнить ряд упражнений на закрепление.

Тема 4. Многочлены с целыми коэффициентами.

Доказать теорему о нахождении целых корней многочлена. Рассмотреть кратность корней многочлена. Выполнить упражнения на закрепление материала.

Тема 5. Решение уравнений.

Данное занятие проводится в форме семинара и практических занятий.

На семинарских занятиях заслушать доклады учащихся по теме «История математики» (Этьен Безу, Франсуа Виет). На практических занятиях закрепить умения и навыки учащихся при решении уравнений.

Тема 6. Уравнения с одной переменной.

Дать основные определения. Рассмотреть следствие уравнения и равносильные уравнения. Теоретическую часть закрепить практическими занятиями.

Тема 7. Основные методы решения уравнений.

Изучить основные методы решения уравнений такие как разложение на множители; введение новой переменной; переход от уравнения A ( x )= B ( x ) к уравнению вида f ( A ( x ))= f ( B ( x )). Практическая часть.

Тема 8. Иррациональные уравнения.

Дать основные понятия иррациональным уравнениям. Доказать теорему, используемую при переходе от иррационального уравнения к рациональному. Закрепление теоретической части. Выполнение упражнений.

Тема 9. Системы уравнений.

Данное занятие проводится как форме семинара, так и форме практикума. На семинарских занятиях рассмотреть основные определения систем уравнений, способы решения систем уравнений. Практикум: решение систем уравнений различными способами.

Тема 10. Решение уравнений и систем уравнений.

Выполнение самостоятельной работы и работы в группах.

Тема 11. Контрольная работа.

Тема 12. Защита курсовых работ и рефератов.

Литература для учащихся:

Галицкий М.А., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов М.Просвещение,2001.

Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс М. Мнемозина, 2009.

Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др.; Под ред. Виленкина Н.Я. Алгебра для 8 кл.: Учебное пособие для учащихся М.: Просвещение, 1995.

Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С., Симонов А.С., Кудрявцев А.И.; Под ред. Виленкина Н.Я. Алгебра для 9 кл.: Учебное пособие для учащихся М.:Просвещение,1998.

Литература для учителя:

Деменчук В.В. Многочлены и микрокалькулятор. – Минск: Высшая школа, 1988.

Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. – 2-е изд.- М.: Просвещение, 1990.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 классов средней школы-М.: Просвещение, 1989.

Сборник задач по математике (для факультативных занятий в 9-10 классах)/ Под ред. З.А.Скопеца. –М.: Просвещение, 1971.

Примерные темы курсовых работ и рефератов:

Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

Решение иррациональных уравнений.

О равносильности уравнений.

Многочлены с комплексными коэффициентами.

Графическое решение систем уравнений.

Тема 1: Действия над многочленами:

Разделить с остатком следующие многочлены:

а) (х 5 -6х 3 +2х 2 -4):(х 2 -х+1);

2. При каком значении k выполняется без остатка деление (х 3 +6х 2 + k х+12): (х+4)?

Тема 2: Теорема Безу. Корни многочлена.

Какую кратность имеет корень х=2 многочлена х 5 -5х 4 +7х 3 -2х 2 +4х-8?

Составьте алгоритм для отыскания кратности корня многочлена.

При каких a и b число (-2) является корнем кратности 2 для многочлена х 5 +ах 2 +bх+1?

Тема 3: Формулы Виета.

Составьте кубический многочлен, имеющий корень 5 кратности 1 и корень -4 кратности 2.

Напишите квадратный трехчлен, корни которого равны квадратам корней трехчлена х 2 -7х+13.

Напишите квадратный трехчлен, корни которого обратны корням трехчлена х 2 +11х+3.

Тема 4: Многочлены с целыми коэффициентами.

Найдите целые корни многочлена:

а) х 5 -2х 3 -8х 2 +13х-24;

б) х 5 +2х 3 -12х 2 -38х-24;

в) х 5 +х 4 -6х 3 -14х 2 -11х-3.

2. Сократите дробь: х 3 -х 2 -х+1

х 4 –х 3 -3х 2 +5х-2

Тема 6: Следствие уравнения. Равносильные уравнения (теоретический материал):

Введем следующие определения:

называют следствием уравнения

если каждый корень уравнения (2) удовлетворяет уравнению (1).

Иными словами, если для некоторого числа а выполняется равенство A(a)=B(a), то выполняется равенство C ( a )= D ( a ).

Уравнение, получаемое из заданного путём приведения подобных членов, раскрытия скобок, сокращения дробей, является следствием данного уравнения.

Пример 1. Уравнение х 2 +2х-8=0 является следствием уравнения

3х 2 -2х 2 +4/х-2 – 4/х-2 + (2х-8)(х+4)/х+4 =0, (3)

так как получается из него с помощью следующих операций: приведение подобных членов 3х 2 и -2х 2 , приведение к нулю разности 4/х-2 – 4/х-2, сокращение дроби (2х-8)(х+4)/х+4 на х+4.

Если решено уравнение (1), т.е. следствие данного уравнения (2), то корни уравнения (2) содержатся среди найденных чисел. Чтобы отобрать корни уравнения (2), надо проверить найденные корни уравнения (1), подставив их в уравнение (2). В некоторых случаях задача отбора корней облегчается знанием ОДЗ данного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить.

Например, решая уравнение х 2 +2х-8=0 из примера 1, находим корни х₁=2 и х₂=-4. Но эти корни не удовлетворяют заданному уравнению, так как при х=2 не имеет числового значения слагаемое 4/х-2, а при х=-4 обращается в нуль знаменатель слагаемого (2х-8)(х+4)/х+4. Значит, уравнение (3) не имеет корней.

При решении уравнений полезны следующие утверждения, позволяющие строить уравнения-следствия:

Т е о р е м а 1. Пусть выражение С(х) имеет числовое значение для всех х их ОДЗ уравнения A ( x )= B ( x ). (4)

я вляются следствиями уравнения (4).

Доказательство. Пусть α – корень уравнения (4). Тогда выполняется числовое равенство A(α)= B (α). Поскольку при х=α имеют числовые значения и А(α), и В(α), то α принадлежит ОДЗ уравнения (4). Значит, при х= α имеет числовое значение С(α) и выражение С(х). Прибавляя С(α) к обеим частям равенства А(α)=В(α), получаем верное равенство А(α)+С(α)= =В(α) +С(α). Оно показывает, что α является корнем и уравнения (5). Значит, всякий корень уравнения (4) удовлетворяет уравнению (5), т.е. (5) – следствие уравнения (4). Утверждение об уравнении (6) можно доказать аналогично.

Если нарушено условие существования значений С(х), то при добавлении к обеим частям уравнения слагаемого С(х) может получиться уравнение, не являющееся следствием заданного. Например, уравнение 2х+ 1/х-4 =8 + 1/х-4 не является следствием уравнения 2х=8. В самом деле, число 4 является корнем уравнения 2х=8, но не удовлетворяет уравнению 2х + 1/х-4 = 8 + 1/х-4.

Серьёзной ошибкой, которую часто делают при решении уравнений, является деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Получающееся при этом уравнение не является обычно следствием заданного, т.е. при таком делении происходит потеря корней.

Пример 2. Одним из корней уравнения 6х(х-3)=12(х-3) является число 3. Если разделить обе части уравнения на х-3 (как говорят, сократить уравнение на х-3), то получится уравнение 6х=12. Оно имеет лишь один корень 2. Корень 3 при сокращении потерян.

Проверки корней можно избежать, если при переходе к новому уравнению мы не только не теряем корней, но и не приобретаем новых.

О п р е д е л е н и е 2. Два уравнения называют равносильными, если каждый корень первого из них удовлетворяет второму уравнению, а каждый корень второго уравнения удовлетворяет первому.

Иными словами, два уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого.

От уравнения (5) можно вернуться к уравнению (4), прибавив к обеим частям слагаемое – С(х) (которое тоже имеет числовое значение для всех х из ОДЗ). Если, кроме того, С(х) ≠0 в ОДЗ уравнения (4), то от уравнения (6) можно вернуться к уравнению (4), разделив обе части

уравнения на С(х) (из-за того, что С(х)≠0, потери корней при этом не произойдет). Поэтому справедлива еще одна теорема.

Т е о р е м а 2. Если С(х) имеет числовые значения для всех х из ОДЗ уравнения (4), то это уравнение равносильно уравнению (5). Если, кроме того, С(х) не обращается в нуль в ОДЗ уравнения (4), то уравнение (4) равносильно уравнению(6).

Программа элективного курса «Системы уравнений» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Кайпинская основная общеобразовательная школа

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА

ТЕМА: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»

Составила: Панкевич Людмила Анатольевна,

стаж работы 40 лет.

Программа является обучающей и содержит:

требования к усвоению курса

Данный курс «Системы уравнений» предусматривает изучение отдельных вопросов, непосредственно примыкающих к основному курсу математики и углубляющих его путем включения более сложных задач, исторических сведений, нового для учащихся метода решения систем, материала занимательного характера при расширении теоретического материала.

Материал этого курса может использоваться как на уроках, так и на занятиях кружка или факультатива. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков решения систем уравнений и формированию интереса к предмету, но и подтолкнет к самостоятельной работе по приобретению знаний.

В ходе решения задач развиваются творческая и прикладная стороны мышления, воображение; курс повышает общую культуру ученика путем знакомства с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку.

Целями данного курса являются:

1.овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для продолжения образования..

2.интеллектуальное развитие учащихся и формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности, необходимых для жизни в современном обществе.

3.показать некоторые нестандартные методы решения систем уравнений.

Для достижения поставленных целей в процессе изучения курса решаются следующие задачи

1.Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2.Научить решать системы уравнений методом сравнения, методом Гаусса, с помощью формулы Крамера и определителей.

3.Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и повысить уровень математической культуры.

Требования к уровню усвоения курса.

Данный курс рассчитан на 18 часов для учащихся 9 класса; предполагает систематизацию и обобщающее повторение темы алгебры «Системы линейных уравнений», а также расширение учебного материала за счет изучения ранее не известных учащимся методов решения систем уравнений, исторического материала.

Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, семинар, практическая работа. Уровень сложности заданий варьируется от простых до конкурсных. Все занятия направлены на развитие интереса к предмету путем расширения представлений об изучаемом материале, на изучение новых методов. При изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, достаточно, чтобы учащиеся знали:

1.Основные алгоритмы решения систем уравнений.

2.Определение количества решений системы.

1.Применять алгоритмы при решении систем уравнений.

2.Понимали графическую интерпретацию решения систем уравнений.

3.Применяли полученные знания при решении текстовых задач.

Наименование тем курса

Урок вводного повторения:. «Системы уравнений и способы их решения»

Замена системы уравнений другой системой

Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований

Определители и матрицы. Теорема Крамера. Исследование и решение систем с помощью определителей

1.творческая дом. с\р

2.с\р с послед. проверкой

Равносильность систем и метод Гаусса

Решение текстовых задач с помощью составления систем уравнений

Урок коррекции знаний

ТЕМА 1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ \2ч\

Система уравнений с двумя переменными. Решение систем двух линейных уравнений методом сложения и подстановки. Графический метод решения систем. Исследование количества решений системы.

Метод обучения: беседа, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: трехуровневая самостоятельная работа.

ТЕМА 2 ЗАМЕНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДРУГОЙ СИСТЕМОЙ\ 1ч\

Симметрическая система. Решение системы с помощью замены переменных Замена системы с помощью операций над уравнениями \сложение вычитание, умножение, деление\.

Форма занятий: беседа, практическая работа.

Метод обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: самостоятельная работа.

ТЕМА 3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ, АНАЛОГИЙ ИЛИ ЗАИМСТВОВАНИЙ \2ч\

Теорема Виета \обратная\. Решение биквадратных уравнений .Разложение многочлена на множители .Ассоциации с разными элементами уравнений.

Метод обучения: беседа, тренировочные упражнения.

Форма контроля: домашняя самостоятельная работа.

ТЕМА 4 ФОРМУЛЫ КРАМЕРА \1ч\

Историческая справка о Крамере. Вывод формул Крамера. Решение и исследование систем с помощью формул Крамера.

Форма занятия: лекция

Метод обучения : тренинг.

ТЕМА 5 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. ТЕОРЕМА КРАМЕРА.ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.\4ч\

Матрица, ее элементы и принцип составления. Определитель второго порядка. Совместные и несовместные системы. Теорема Крамера и ее использование для решения систем. Исследование систем линейных уравнений.

Формы занятий: практикум, семинар .

Методы обучения: беседа, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: творческая работа.

ТЕМА 6 РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ И МЕТОД ГАУССА.\2ч\

Равносильные системы. Замена одного из уравнений системы суммой двух уравнений. Метод Гаусса.

Формы занятий: лекция, практикум .

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: самостоятельная работа.

ТЕМА 7 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.\4ч\

Решение задач методом составления систем уравнений.

Методы обучения: беседа. выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

ТЕМА 8 ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА\1ч\

Трехуровневый письменный зачет.

ТЕМА 9 УРОК КОРРЕКЦИИ.\1ч\

Форма занятия: семинар — практикум.

Данный элективный курс «Системы уравнений» дает полный объем знаний, умений и навыков, которыми должен овладеть ученик. В этот объем входят как знания, предусмотренные программой общеобразовательной школы, так и выходящие за ее рамки. Учащиеся должны научиться решать системы более высокого уровня сложности, причем не нужно этого требовать от всех учеников. Задания предусмотрены трех видов сложности ,и их выбор зависит от желания самого ученика. Цель курса — помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.

Не все системы уравнений легко и просто решаются методами, изучаемыми в школе, поэтому для расширения знаний по этой теме подобраны системы, которые можно решить другими способами. Кроме того, уделяется достаточно внимания на применение систем.

Поурочные домашние задания разного уровня являются обязательными для всех. Активным учащимся предлагаются задания творческого характера, также домашние самостоятельные работы. Проверочные работы рассчитаны на часть урока \кроме итогового зачета \ Задания выбираются по усмотрению учителя в зависимости от подготовленности учеников.

Курс является открытым: в него можно добавили какие-то вопросы не рассматривать, главное чтобы курс соответствовал возможностям слушателей.

ВОЗМОЖНЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНОК

Поскольку уровень подготовки и интерес к математике у всех учеников различный, то все задания предлагаются разноуровневые .

Оценка «отлично» ставится, если ученик освоил теоретический материал и свободно им владеет, решает задания высокого \3\уровня,выполняет задания творческого характера, умеет пользоваться теоретическим материалом, изученным самостоятельно, владеет математической культурой.

Оценка «хорошо»-ученик освоил основные методы решения систем, справляется с решением заданий второго уровня, выполняет домашние задания \ без проявления явных творческих способностей \,имеет положительные результаты при применении систем в решении задач.

Оценка «удовлетворительно»-ученик освоил наиболее простые способы решения систем без воспроизведения теории, успешно выполняет задания первого уровня.

Оценка «неудовлетворительно»-не проявил ни прилежания, ни заинтересованности, не справляется с решением заданий первого уровня.

Н.П.Антонов, М.Я.Выгодский, В.В.Никитин А.И.Санкин «Сборник задач по элементарной математике» «Наука», Москва,1972

Н.И.Зильберберг «Алгебра-9» Для углубленного изучения математики. Псков.1993

С.К. Росошек, Л.Б.Хают, И.Е.Малова «Системы уравнений». Издательство Томского университета Москва,1996

И.С.Фрадков «Учимся решать задачи» АО «КАРЭКО» Петрозаводск,1995

И.Ф. Шарыгин «Решение задач» Учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений-М. Просвещение,1994