Элективный курс по математике уравнения с параметрами

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
рабочая программа по алгебре (10 класс) на тему

Предлагаемый курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» является предметно-ориентированным и предназначен для реализации в 10 классе школы для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Решение уравнений, содержащих параметры, — один из труднейших разделов школьного курса. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для овладения ими методами решения некоторых классов заданий с параметрами, для обобщения теоретических знаний.

Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов решения, а также формирование логического мышления и математической культуры у школьников. Курс имеет общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся. Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с параметрами, знать некоторые методы решения заданий с параметрами (по определению, по свойствам функций, графически т. д.)

Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений, способствует подготовке учеников к ЕГЭ.

Данный курс может иметь существенное образовательное значение для изучения алгебры. Он призван способствовать решению следующих задач:

— овладению системой знаний об уравнениях с параметром как о системе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

— формированию логического мышления учащегося;

— вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу.

Ставшие уже традиционными такие формы занятий, как лекция и практикум, тем не менее являются непривычными формами работы старшеклассников. Кроме них желательно использовать такие организационные формы ,как выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального домашнего задания ) или содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как «Допишем учебник», отчетные доклады («Эврика, или Вот что мы нашли!» ).

Содержание курсы предполагает работу с различными источниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №2 им. Е. В. Камышева» г. Гагарин Смоленской области

Педагогического Совета школы

Протокол № 1 от 30.08 2017г.

«Средняя школа №2»

_______/ Чипенюк Н.И./

Приказ №97 от 31.08.2017г.

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

ДЛЯ 10 А КЛАССА

УЧИТЕЛЯ ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ

ФИЛОВОЙ ЕЛЕНЫ ВИКТОРОВНЫ

Количество часов: всего 34, в неделю 1.

2017 – 2018учебный год

Предлагаемый курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами» является предметно-ориентированным и предназначен для реализации в 10 классе школы для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Решение уравнений, содержащих параметры, — один из труднейших разделов школьного курса. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для овладения ими методами решения некоторых классов заданий с параметрами, для обобщения теоретических знаний.

Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов решения, а также формирование логического мышления и математической культуры у школьников. Курс имеет общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся. Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с параметрами, знать некоторые методы решения заданий с параметрами (по определению, по свойствам функций, графически т. д.)

Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений, способствует подготовке учеников к ЕГЭ.

Данный курс может иметь существенное образовательное значение для изучения алгебры. Он призван способствовать решению следующих задач:

— овладению системой знаний об уравнениях с параметром как о системе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

— формированию логического мышления учащегося;

— вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу.

Ставшие уже традиционными такие формы занятий, как лекция и практикум, тем не менее являются непривычными формами работы старшеклассников. Кроме них желательно использовать такие организационные формы ,как выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального домашнего задания ) или содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как «Допишем учебник», отчетные доклады («Эврика, или Вот что мы нашли!» ).

Содержание курсы предполагает работу с различными источниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.

В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы :

Введение. Понятия уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром.

1.Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2. Квадратные уравнения и неравенства.

3.Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

4.Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами.

Программа элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами»

Разделы: Математика

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в “Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.”, где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования”. Особое внимание следует обратить на задачи, содержащие параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсу алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах прошлых лет общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами учащимся неизвестно. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю.

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: “Решение задач с параметрами”. Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности — повышенный. В процессе работы возможно перераспределение часов в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Данный курс рассчитан на 12 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач и контрольную работу.

Анализ материалов выпускных экзаменов и Федерального тестирования позволил выделить группу задач, которые составили основу данного курса. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простейших линейных неравенств и уравнений с параметрами до достаточно трудных, конкурсных и олимпиадных задач.

В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из трех частей: лекции (включает и задачи, решаемые учителем), задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельной работы учащихся. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар, самостоятельная работа.

Курс характеризуется рациональным сочетанием аналитической строгости и геометрической наглядности. Он является открытым, в него можно добавить новые темы, развить тематику в старших классах. Программа мобильна, дает возможность сокращения количества решаемых задач по теме.

Данная программа может быть использована в 8-9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, предоставляет возможность сознательного выбора профиля обучения и в дальнейшем специальности.

СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ

Программа является обучающей и содержит:

• пояснительную записку;
• цели курса;
• задачи курса;
• примерное тематическое планирование;
• требования к умениям и навыкам;
• методические рекомендации;
• литература;
• приложение.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Данный курс “Уравнения и неравенства с параметрами” способствует более глубокому усвоению основного курса математики. Материал курса может использоваться учителем на уроках алгебры в 8-9-х классах, на занятиях математического кружка или факультативных занятиях. Курс предназначен для расширенного и углубленного изучения математики и подготовки к выпускным экзаменам за курс общей и средней школы.

Данный курс освещает задачи с параметрами, которые вызывают учащихся наибольшие трудности. Навыки решения задач с параметрами необходимы всем учащимся, которые стремятся хорошо подготовиться к успешной сдаче выпускных экзаменов, ведь все чаще подобные задачи встречаются в материалах выпускных экзаменов и Федерального Центра тестирования. Данный курс способствует формированию устойчивого интереса учащихся к предмету, исследовательского подхода в решении задач, сознательному овладению учащимися системой математических знаний. Ведь именно решение задач с параметрами открывает перед учащимися большое число эвристических приемов, ценных для математического развития личности и именно задачи такого рода стали неотъемлимым атрибутом материалов экзамена в новой форме.

Курс “Уравнения и неравенства с параметрами” сокращает разрыв между требованиями, которые предъявляет к выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к абитуриенту ВУЗ. Он ориентирует учащихся на выбор профиля, связанного с математикой, а в дальнейшем профессии технического направления.

ЦЕЛИ КУРСА:

ЗАДАЧИ КУРСА:

Требования к знаниям и умениям до изучения курс:

До изучения курса учащиеся должны уметь:

• решать линейные и квадратные уравнения;
• строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;
• решать простейшие иррациональные уравнения с параметром как аналитически, так и графически;
• применять аппарат алгебры для решения прикладных задач;
• иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ТРЕБОВАНИЯ К УМЕНИЯМ И НАВЫКАМ:

Введение элективного курса “Решение задач с параметрами” необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к экзамену, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

В результате изучения курса учащийся должен:

• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
• овладеть исследовательской деятельностью.

Оценка знаний и умений обучающихся проводится с помощью итоговой контрольной работы, которая включает в себя задачи с параметрами из вариантов выпускных экзаменов 9 классов в новой форме.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Тема 1.Знакомство с параметрами.

Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.

Тема 2-3. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейных неравенств с параметром. Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром.

Тема 4. Квадратные уравнения.

Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”).

Тема 5. Квадратные неравенства.

Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа.

Тема 6.Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр

Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.

Тема 7. Графические способы решения заданий с параметрами

Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений.

Тема 8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу

Решение уравнений, неравенств с параметром. Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

Наименование тем курса

Общее количество часов

В том числе (мин)

Форма контроля

лекции

практика

Знакомство с параметрами

Линейные уравнения и неравенств с параметрами

Самостоятельная работа

Системы линейных уравнений с параметрами

Самостоятельная работа

Квадратные уравнения с параметрами

Самостоятельная работа

Квадратные неравенства с параметрами

Самостоятельная работа

Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр

Самостоятельная работа

Графические способы решения заданий с параметрами

Самостоятельная работа

Решение разнообразных задач с параметрами по курсу

Контрольная работа

1. Основные методы решения задач с параметрами

1.1. Задачи с параметром. Первое знакомство. Лекция.

1.2 Типы задач с параметрами. Лекция.

1.3 Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Практикум.

1.4 Аналитический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.5 Геометрический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.6 Метод решения относительно параметра. Практикум.

2. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2.1 Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Лекция.

2.2 Решение линейных уравнений с параметром. Лекция +практикум.

2.3 Решение линейных неравенств с параметром. Лекция +практикум.

3. Системы линейных уравнений с параметрами.

3.1 Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Лекция.

3.2 Решение систем линейных уравнений с параметром. Практикум.

3.3 Решение систем линейных неравенств с параметром. Практикум.

4. Квадратные уравнения.

4.1 Свойство квадратного трехчлена. Семинар.

4.2 Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.3 Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.4 Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Практикум.

4.5 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Практикум.

4.6 Решение квадратных уравнений с параметром первого типа ( “для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Практикум.

4.7 Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”) Практикум.

5. Квадратные неравенства.

5.1 Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Практикум.

5.2 Решение квадратных неравенств с параметром второго типа. Практикум.

5.3 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6. Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

6.1 Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.2 Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6.3 Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.4 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

7. Графические способы решения заданий с параметрами.

7.1 Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Практикум.

7.2 Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Практикум.

7.3 Использование симметрии аналитических выражений. Практикум.

8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу.

8.1 Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.2 Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.3 Решение задач на нахождение области определения функции с параметром. Семинар- практикум.

Заключительное повторение. Контрольная работа.

РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.
2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.
3. Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.
4. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.
5. Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ПЕДАГОГА

1. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
2. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В., Решение задач, содержащих параметры.- М.: Науч.-пед. об-ние “Перспектива”, 1990.- 4.2- 38 с.
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Егерман Е. Задачи с параметрами.- Математика. № 2, 2003.
5. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе. № 5, 2001.
6. Неделяева С. Особенности решения задач с параметрами. –Математика.- 1999 г. № 34- с. 20-23.
7. Циганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9.
8. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
9. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
10. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. — М.: Аркти, 2000.
11. Математика для поступающих в вузы //Сост. А.А.Тырымов. – Волгоград: Учитель, 2005.
12. Математика. Задачи М.И.Сканави. — Минск; В.М.Скакун,1998г.
13. Математика. “Первое сентября”.? 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
14. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
15. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

1. Большой энциклопедический словарь. Математика.- М.: Научное издательство “Большая Российская энциклопедия”, 1998.
2. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
5. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
6. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.

Элективный курс «Уравнения с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Рассмотрено» «Согласовано» «Утверждаю»

Руководитель ШМО Заместитель Руководитель

_____Г.И.Шайхуллина руководителя по УВР МБОУ«СОШ с.Тумутук»

Протокол № ____ от МБОУ«СОШ с. Тумутук» ___________Б.С.Харрасов

«____» _______2015 г. ______Ф.Ф.Кашапова Приказ № ______от

«____» _______2015 г «_____» _______2015 г

Уравнения и неравенства с параметрами

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

Шакирова Зильфира Азгамовна ,

первая квалификационная категория

по математике 11 класс, 1 ч в неделю, всего 34 ч

Рассмотрено на заседании

2015-2016 учебный год

Цель профильного обучения в старших классах — обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

При проведении занятий на первое место выходят следующие формы организации работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Рекомендуемые методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;

Выявить и развить математические способности;

Подготовить к ЕГЭ и к обучению в вузе

Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.

Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы

Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.

Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами.

Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр.

Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами.

Овладеть навыками исследовательской деятельности.

Структура курса планирования учебного материала

Первоначальные сведения. 2ч

Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч

Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч

Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч

Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч

Тригонометрия и параметры. 2ч
Иррациональные уравнения. 2ч

Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
Рациональные уравнения. 2ч

Графические приемы решения. 2ч

Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

количество решений уравнений;

уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями

Текстовые задачи с использованием параметра. 3 ч

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, рассмотреть понятие «параметр», его существенный признак и двойственная природа, особенности записи ответов при решении заданий с параметром.

Решить уравнение с параметром — это значит найти все те и только те значения параметра, при которых задача имеет решения.

Условимся считать, что параметры в уравнениях принимают действительные значения, в задачах с параметрами отыскиваются действительные решения.

Другими примерами равенств с параметрами могут служить общие виды функций, изучаемых в основной школе.

— линейная функция y = k x + b , (k, b — параметры, x , y — переменные);

— квадратичная функция y = a x ²+ b x + c , где а≠0 ( a , b , c -параметры, x , y -переменные).

Задачи с параметрами мы встречаем и в геометрии. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид , где x , y — координаты точек — переменные, r — радиус окружности – параметр.

Моделируя различного вида задачи, можно получить различного вида уравнения, для которых нужно уметь выбирать ответы.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

1. Алгоритм решения уравнений вида Ах=В.

Решением является любое действительное число

При А=0,

Единственное решение

При

2. Рассмотреть примеры.

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

Если т.е. и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим или — неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим или — верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ: при и — единственное решение уравнения:

при — нет решений

при — любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

,

,

,

Если т.е. и , тогда получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи: а) 2в – 1 = 0, т.е. то подставив это значение параметра в уравнение, получим — верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим или — неверное числовое равенство,

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

3. Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим

Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой

Рассмотрим случаи: а) 4 – а = 0, т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим — верное числовое равенство, следовательно,

решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим или — неверное числовое равенство,

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

4. Если и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим

— неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений

Ответ: при и — единственное решение уравнения:

при , или , — любое действительное число

при , или , — нет решений.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

1.На доске записаны следующие неравенства:

а)

б)

в)

Задание. Решите неравенства и запишите ответ.

2.Сформулируйте свойства неравенств, которые использованы при решении.

Неравенства вида axb axb , где a и b действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное, называются линейными неравенствами.

В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо числовая прямая, либо пустое множество.

3.. Решение линейных неравенств вида a х> b .

если a>0, то .

если a то .

если a=0 и b то .

Если a =0 и b 0, то решений нет.

Пример 1. Решите неравенство ах>1.

1) если a >0, то

2) если a a =0, то решений нет.

4. Решение линейных неравенств вида a х b .

если a>0, то .

если a то .

если a=0 и b>0, то .

если a =0 и b 0, то решений нет.

Пример 2. Решите неравенство ах a >0, то

2) если a a =0, то .

5. Решение линейных неравенств вида axb .

если a>0, то .

если a то .

если a=0 и b0, то .

если a =0 и b >0, то решений нет.

Пример 3. Решите неравенство ax 4.

1) если a >0, то

2) если a a =0, то решений нет.

6. Решение линейных неравенств вида ax b

если a>0, то .

если a то .

если a =0 и b 0, то .

если a =0 и b 6.

1) если a >0, то ;

2) если a a =0, то .

7. Решить неравенства.

если m -1>0, т.е. m >1, то ,

2 если m -1 m m -1=0, т.е. m =1, то .

если a -1>0, т.е. a >1, то ,

2. если a -1 a a -1=0, т.е. а=1, то решений нет.

При каких значениях параметра b уравнение имеет положительный корень?

Так как корень х>0, то 0,8 b +14>0; 0,8 b >-14; b >-1,75.

Ответ: при b >-1,75

IV. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

Тождество

Свойства функций и

При каких значениях a , b , c и Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.

5. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

2.Решить уравнения: 1) a x ² + 2 x + 4=0,

Ответ: 1) x =-2 при а=0; х=-4 при а=1/4; при ; не имеет корней при а >1/4 .2) х=-1/4 при а=-3; х=1, х=-3/2

при а=-4,а=1; при ; не имеет корней при .

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

Квадратичная функция задаётся формулой y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является парабола.

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы. Если а >0 , то они направлены вверх, если а 0, то общих точек две.

Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

Пусть для функции y=ax²+bx+c, гдепараметры, x и y — переменные. Числа и – нули функции, D = b– 4ac, D > 0, , = — — абсцисса вершины параболы. В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

V II . Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения

VIII. Производная и ее применение.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

IX. Нестандартные задачи.

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений высших степеней с параметром

Х. Текстовые задачи с использованием параметра.

Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.

В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.

Планирование

Предмет: Элективный курс

Учитель: Шакирова Зильфира Азгамовна

Нагрузка в неделю: 1час

Нагрузка в год: 35 часов (1 час резерв)

Тип урока или вид урока

Основные понятия уравнений с параметрами.

Основные понятия неравенств с параметрами.

Простейшие уравнения, содержащие параметр

Уравнения с параметрами (первой степени).

Неравенства с параметрами (первой степени).

Неравенства с параметрами (первой степени).

Уравнения с параметрами (второй степени).

Уравнения с параметрами (второй степени).

Уравнения с параметрами (второй степени).

Уравнения с параметрами (второй степени).

Уравнения с параметрами (второй степени).

Неравенства с параметрами (второй степени).

Неравенства с параметрами (второй степени).

Неравенства с параметрами (второй степени).

Рациональные уравнения с параметрами.

Рациональные уравнения с параметрами.

Графические приемы при решении уравнений и неравенств.

Графические приемы при решении уравнений и неравенств.

Свойства квадратичной функции.

Свойства квадратичной функции.

Текстовые задачи с использованием параметра.

Текстовые задачи с использованием параметра.

Текстовые задачи с использованием параметра.

Иррациональные уравнения с параметрами.

Иррациональные уравнения с параметрами.

Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями.

Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями.