Элективный курс по теме тригонометрические уравнения

Элективный курс » Методы решения тригонометрических уравнений»
рабочая программа по алгебре (10 класс) на тему

Данная программа курса рассчитана на учащихся 10-х классов, которым интересна математика, кому она понадобится при учебе, подготовке к различного рода экзаменам, в частности, к ЕГЭ. Слушателями этого курса могут быть ученики различного профиля обучения.

Скачать:

Вложение	Размер
elektivnyy_kurs-_abrosimova_v.l.docx	35.89 КБ

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №21 города Сызрани

«Методы решения тригонометрических уравнений»

Составитель:

Абросимова Венера Леонидовна

учитель математики

Авторская программа элективного курса по математике “Методы решения тригонометрических уравнений” составлена на основе примерной программы по алгебре и началам анализа для 10–11-го класса в соответствии с требованиями федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике и методических пособий «Тригонометрические уравнения» Захарова О.В., «Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их преподавания» П.Ф.Севрюков , А.Н.Смоляков. Программа предназначена для учащихся 10 классов, целью которой является прочное овладение программным объёмом знаний и умений и создание условий для углубленного изучения алгебры. Элективные занятия рассчитаны на 1 час в неделю, всего 17часов. Предлагается для изучения во второй половине 10 класса.

Отличительной особенностью данной образовательной программы от примерной программы по алгебре и началам анализа, изучающей раздел “Тригонометрия”, является то, что данный элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, углублению и систематизации знаний по тригонометрии при подготовке к итоговой аттестации. Школьная программа по математике содержит лишь самые необходимые, максимально упрощённые знания по данному разделу. Практика показывает громадный разрыв между содержанием школьной программы по математике и теми требованиями, которые налагаются на учащихся при сдаче ЕГЭ. Поэтому данная программа призвана ликвидировать этот разрыв и подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по разделу “Тригонометрия”.

Курс ориентирован на расширение базового уровня знаний учащихся по математике, является предметно-ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с весьма распространенными методами решения тригонометрических задач, проверить свои способности к математике. Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.

Итоги реализации данной программы подводятся в форме практических и самостоятельных работ, тестов, КИМов, выставки (графиков тригонометрических функций), представления и защиты презентаций. В качестве материалов, дополняющих практическую часть, приведены специализированные наборы уравнений базового и профильного уровня сложности, позволяющие закрепить и проверить навыки овладения каждым из методов.

Образовательная область и предмет изучения.

Математика на протяжении всей истории человечества являлась составной частью человеческой культуры, ключом к познанию окружающего мира, базой научно- технического прогресса. Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Школьное математическое образование способствует овладению конкретными знаниями, необходимыми для ориентации в современном мире, в информационных и компьютерных технологиях, в подготовке к будущей профессиональной деятельности.

Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и других сферах деятельности человека. Учащиеся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут использовать полученные математические знания, необходимо обеспечить высокой математической подготовкой. Разработанный элективный курс “Решение тригонометрических уравнений” будет способствовать достижению этой цели, так как включает ряд вопросов, не входящих в программу по математике средней школы.

Актуальность и педагогическая целесообразность изучаемого курса.

В последние годы в школе возникли проблемы связанные с расхождением между реальными требованиями ЕГЭ в отдельных аспектах и глубиной изучения аналогичных тем в школьной программе. Учителя вынуждены заниматься «натаскиванием» на решение задач ЕГЭ, в результате чего школьник не усваивает необходимые стандарты знаний, а получает только отрывочные сведения. Раздел « Тригонометрия» достаточно сложен для школьников, особенно в части методы решений тригонометрических уравнений. Элективный курс позволит учителю привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

Данная программа предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10-х классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы,- и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что ученики допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания. Данный элективный курс поможет школьникам как при решении заданий уровня С1 в ЕГЭ, так и при решении некоторых олимпиадных задач, предлагаемых в престижных вузах, что учитывается при поступлении в высшее учебное заведение.

Цели и задачи образовательной программы.

Целью элективного курса является:

Образовательные:

Привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений;

Изучение нестандартных методов решения тригонометрических уравнений;

Расширение и углубление знаний в вопросах исследования тригонометрических функций с помощью графиков;

Обеспечить повторение, обобщение материала;

Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений;

Эффективная математическая подготовка учащихся 10-х классов;

Развивающие:

Способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделение главного, переноса знаний в новую ситуацию;

Развитие мышления и речи, внимания и памяти;

Расширение математического кругозора;

Воспитательные:

Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуре;

воспитание творческой личности, умеющей интегрироваться в системе мировой математической культуры;

Задачи курса:

акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию за курс полной общеобразовательной средней школы;

сформировать представление о новых методах решения тригонометрических уравнений;

дать представление об уравнениях с обратными тригонометрическими функциями и некоторых методах их решения;

сформировать навыки применения свойств тригонометрических функций и соотношение между тригонометрическими функциями при преобразовании тригонометрических выражений, при решении тригонометрических уравнений, при решении нестандартных задач;

развивать способности учащихся к математической деятельности;

способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных программой;

помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;

Требования к знаниям учащихся

В результате изучения курса учащиеся приобретут:

представление об идеях математики в познании действительности;

знания основных методов решения тригонометрических уравнений;

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений;

применять теоретические знания при решении нестандартных задач;

применять математическую символику;

логически мыслить, рассуждать, делать умозаключения, аргументировать полученные результаты;

участвовать в дискуссии, отстаивать своё мнение в поиске решения задач с использованием алгоритмов;

работать с различными источниками информации;

характеризовать основания для применения формул и выбор метода упрощения тригонометрических выражений;

определять необходимость преобразований для упрощения и вычисления тригонометрических выражений;

обосновывать выбор соответствующих преобразований;

моделировать ход преобразования тригонометрического выражения применяя различные способы, методы и приемы;

строить план преобразования тригонометрических выражений;

обосновывать рациональность выбранного способа решения;

Формы и методы обучения

Методы обучения и контроля, используемые в данном элективном курсе предлагаются разнообразные, это не только традиционные способы подачи материала, уроки- лекции, уроки- семинары, но и самостоятельная работа учащихся с учебной и научно- популярной литературой и электронными источниками информации, работу с поисковыми системами. Для закрепления материала проводятся семинары по обсуждению теории, практикумы по решению математических задач. Основной формой учебного процесса должна стать исследовательская деятельность учащихся, используемая не только на занятиях в классе, но и в ходе самостоятельной работы, которая организуется через использование различного дидактического материала:

работу с дидактическим материалом и тестами;

решение предложенных задач с последующей проверкой и разбором вариантов решения;

Для воплощения целей и задач курса целесообразно применять технологии, включающие школьников в активную учебно- познавательную деятельность, обеспечивающие личностное развитие каждого ученика процессе самостоятельного построения им новых знаний.

Учебно-тематический план элективного курса

Решение тригонометрических уравнений. Разложение на множители.

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. Однородные уравнения.

Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

Решение уравнений с применением формул понижения степени.

Решение уравнений с применением тройного аргумента.

Решение уравнений умножением на некоторую тригонометрическую функцию.

Решение заданий ЕГЭ

Содержание изучаемого элективного курса

Тема 1. Решение тригонометрических уравнений. Разложение на множители.(1 час)

Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений: метод замены переменной, метод разложения на множители.

Основная цель — расширить и углубить знания и умения, связанные с тождественными преобразованиями тригонометрических выражений.

Тема 2. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. Однородные уравнения.(2 часа)

Решать тригонометрические уравнения; различать тип тригонометрического уравнения и находить способ решения; иметь представление о решении тригонометрических неравенств; решать простейшие системы тригонометрических уравнений.

Основная цель — научить применять равносильные преобразования при решении уравнений и систем уравнений; научить применять преобразования, приводящие к уравнению-следствию, с обязательной проверкой корней уравнения-следствия, научить применять различные методы решения тригонометрических уравнений.

Тема 3. Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.(2 часа)

Формулы сложения, приведения, двойного аргумента, понижения степени. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

Основная цель — о бучающиеся должны знать основные формулы тригонометрии, методы решения тригонометрических уравнений, должны уметь использовать основные формулы при решении уравнений.

Тема 4. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Метод введения вспомогательного аргумента.

Основная цель — обучающиеся должны уметь решать тригонометрические уравнения методом введения вспомогательного аргумента, различать тип тригонометрического уравнения и находить способ решения.

Тема 5. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.( 2часа)

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Основная цель — применение формул при преобразовании тригонометрических выражений, практическая деятельность при решении уравнений.

Тема 6. Решение уравнений с применением формул понижения степени.(2часа)

Формулы сложения, приведения, двойного аргумента, понижения степени. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение,- и произведения в сумму.

Основная цель — ученики должны знать основные формулы тригонометрии, методы решения тригонометрических уравнений, должны уметь использовать основные формулы при решении уравнений.

Тема 7. Решение уравнений с применением тройного аргумента.(2 часа)

Формула тройного угла

Основная цель — познакомиться с тригонометрическими формулами тройного угла, повторить формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного и половинного угла. Применение формул при решении уравнений.

Тема 8. Решение уравнений умножением на некоторую тригонометрическую функцию.(2 часа)

Метод умножения на тригонометрическую функцию, метод введения вспомогательного угла.

Основная цель — преобразование тригонометрических выражений, решение тригонометрических уравнений методом умножения на некоторую тригонометрическую функцию. Учащиеся должны знать основные методы решения тригонометрических уравнений, анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений.

Тема 9. Решение заданий ЕГЭ.(2 часа)

Основная цель — формирование навыков решения тригонометрических уравнений различных видов (квадратные относительно одной из тригонометрических функций, однородные уравнения первой и второй степени, уравнения решаемые разложением на множители, методом универсальной подстановки и др.) Учащиеся должны знать основные методы решения тригонометрических уравнений, анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений.

Элективный курс «Тригонометрические уравнения»

Содержимое публикации

Министерство образования и науки РФ

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Приволжский межрегиональный центр повышения квалификации

и профессиональной переподготовки работников образования

Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ

Элективный курс

«Тригонометрические уравнения»

Корниловой Л.И., учителем математики высшей кв. категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №2» ЕМР РТ

«Методы решения тригонометрических уравнений»

ГЛАВА 1.Общие методы решения тригонометрических уравнений

1.1. Теоретические основы решения тригонометрических уравнений. …… ..4

1.2.1. Простейшие тригонометрические уравнения……………………………5

1.2.2. Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным..7 1.2.3. Разложение на множители……………………………………………….. 7

1.2.4. Решение уравнений с помощью формул понижения степени………… 9

1.2.5. Однородные тригонометрические уравнения. … 9

1.2.6. Уравнения, решаемые введением вспомогательного угла……………..11

1.2.7. Равенство одноименных тригонометрических функций……………….12

1.2.8. Симметрические тригонометрические уравнения……. 12

1.2.9. Метод универсальной подстановки……………………………………. 13

1.2.10. Частные методы решения тригонометрических уравнений. 14

ГЛАВА 2. Программа элективного курса по математике

2.1. Пояснительная записка……………………. 20

2.2. Цели изучения курса «Тригонометрические уравнения»………………..21

2.3. Требования к знаниям и умениям……………………………… …………24

2.5. Учебно-тематический план…………………………………… ………. .25

2.6.Планируемые результаты обучения ……………………………………….27

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….36

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Упражнения для самостоятельной работы………………37

Модернизация общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определённой суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей.

Большую роль в формировании математических способностей играют элективные курсы (курсы по выбору), которые по своему определению являются индивидуальными образовательными программами и рассчитаны на конкретного ученика. Они предназначены для поддержки соответствующего профиля обучения и демонстрации возможностей предмета математики. Поэтому должны подбираться или разрабатываться с учетом интересов, способностей и жизненных планов учеников. Среди этих требований, приоритетными в изучении элективных курсов считаются междисциплинарная интеграция, содействие становлению целостного мировоззрения, практическая ориентированность, обучение через опыт и сотрудничество, учет индивидуальных потребностей учащихся. Поэтому в этой системе обучения ведущими должны стать активные поисковые методы и формы работы: исследовательские, проектные, информационные.

Элективные курсы решают также проблему фундаментальности математического образования, так как ее современное понимание включает не только готовые знания, но и опыт творческой деятельности и эмоционально-ценностных отношений. Они решают и многие другие задачи профильного обучения. Это положительная мотивация обучения математике, повышение общей математической культуры, установление связи между различными частями математики, изучение математики в прикладном аспекте, реализация деятельностного подхода в обучении. В рамках элективного курса есть возможность обучения работе с дополнительной литературой, написанию рефератов, проектов.

Учащиеся овладевают элементами исследовательской деятельности, связанной с поиском, отбором, анализом, обобщением материалов и представлением результатов.

Работа элективных курсов, направлена на формирование исследовательских, проектных компетентностей учащихся.

Одним из таких курсов является элективный курс «Тригонометрические уравнения».

Раздел « Тригонометрические уравнения» курса математики наиболее сложный для учащихся. Одной из причин этого является недостаточное количество программных часов, отведенное на изучение этого раздела, а также поверхностное изложение некоторых важных вопросов, связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней.

Целью элективного курса является: коррекция базовых математических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний в вопросах решения тригонометрических уравнений; развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся. Дает возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с методами решения тригонометрических уравнений, подготовиться к различного рода экзаменам, в частности к ЕГЭ. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.

ГЛАВА 1.Общие методы решения тригонометрических уравнений

1.1. Теоретические основы.

Определение:Тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sinx = a (где ), с os х=а, (где ), tg х=а (где -а+),с tg х=а (где -а+),(содержащие неизвестные под знаками тригонометрических функций).

Неизвестным в тригонометрическом уравнении является угол. Понятие решить «тригонометрическое уравнение» не отличается от аналогичных понятий в теории алгебраических уравнений.

При решении тригонометрического уравнения сначала определяют тригонометрическую функцию аргумента. а так как каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение имеет неограниченное множество решений в силу периодичности тригонометрической функции. Лишь в том случае, когда имеется какое-либо дополнительное условие, данное задачей, число решений ограничивается

1.2. Основные виды тригонометрических уравнений

1.2.1. Простейшие тригонометрические уравнения

Приведем основные формулы решения простейших тригонометрических уравнений:

1.2.2. Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным

1.2.3. Разложение на множители

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

ƒ (х)=ƒ₁(х)ƒ₂(х)…ƒ n (х), то всякое решение уравнения

ƒ(х)=0 (1) является решением совокупности уравнений

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции ƒ(х).

Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в данную область допустимых значений.

Решить уравнение (3)

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество ( sin 2 x + cos 2 x =1) , уравнение представим в виде

(2 sinx — cosx )(1+ cosx )=1- cos 2 х ;

(2 sinx — cosx )(1+ cosx )= (1- cosx ) (1+ cosx ). (4)

Грубой ошибкой, которую часто допускают, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на (1+ cosx ), ибо при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

(2 sinx — cosx -1+ cosx )(1+ cosx ) = 0;

1+ cosx =0, cosx =-1, х=+,

2 sinx -1=0 sinx =, x =(-1) k + ,

1.2.4. Решение уравнений с помощью формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени:

Решить уравнение sin 2 х+ sin 2 2 x — sin 2 3 x — sin 2 4 x =0.

Решение. Применив формулу (1) получим

( cos 8 x — cos 2 x )+( cos 6 x — cos 4 x )=0;

-2sin3x sin5x-2sinx sin5x=0;

4 sin 5 x sin 2 x sinx =0.

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

Sin 5 x =0, sin 2 x =0, cosx =0, которые имеют соответственно следующие множества решений

Решения из множества x=, при ,содержатся в множестве x =,(), а в множестве x =, ()

1.2.5. Однородные тригонометрические уравнения

а₀ sin n αx + a ₁ sin n -1 α x * cosαx + a ₂ sin n -2 αx * cos 2 α x +..+ a _n _-1 sinαx * cos n -1 αx + cos n αx =0,(1)

где а_{0 ,}а_1, …а _n — действительные числа, называются однородными уравнениями степени n относительно функций sinαx и cosαx .

К квадратичным уравнениям этого вида относятся уравнения А sin 2 α x + Bsinαx cosαx + Ccos 2 α x + Esin 2α x + Fcos 2α x + D =0, (2)

При этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

sin 2 αx =2 sinαx cosαx , cos 2 αx = cos 2 α — sin 2 α x , а также тождество sin 2 α x + cos 2 α x =1.

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнения sinαx =0 или cosαx =0 не являются корнями уравнения (1) так как, если, например cosαx =0, то из уравнения (1) следует, что и sinαx =0,что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, и левую и правую части уравнения (1) можно разделить на cos 2 α x и ввести подстановку у= t gα x .

Решить уравнение sinx -2 cosx =0 (3)

Решение. Уравнение (3) является однородным уравнением первой степени. Разделив обе части на cosx ,получим равносильное уравнение tgx =2. Откуда находим семейство х= arctg 2+ πk , kZ , представляющее собой решение исходного уравнения (3).

Ответ х=arctg2+πk, kZ.

1.2.6. Уравнения, решаемые введением вспомогательного угла

1.2.7. Равенство одноименных тригонометрических функций

Решить уравнение cos 2 x = cos 4 x

4 x =2 x +2Пк или 4 x =-2 x +2П m ;

Решения х=Пк, входят в .

1.2.8. Симметрические тригонометрические уравнения

Уравнения вида f ( sinxcosx ; sin 2 x )=0, где f -рациональная функция от указанных в скобках аргументов могут быть сведены к уравнению относительно неизвестного y = sinxcosx , тогда sinx cosx =»+» берется при замене y = sinx + cosx и знак «-« для y = sinx — cosx . Исходное уравнение приводится к уравнению f ( y )=0.

Решить уравнение. с os x + sin x + sin x cos x = 1 (1)

Замена 1. Обозначим sin x +cos x = y (2). Обе части уравнения (2) возведем в квадрат. Получим (sin x + cos x) 2 = y 2 , (sinx + 2sin x cos x + cosx) = y 2

1+ 2sin x cos x = y 2 ;

2sin x cos x = y-1

Подставим значения Sin x + cos x =y и Sin x cos x =

в исходное уравнение (1). Получим уравнение относительно переменной у.

y+2y-3=0 D=16 y=1 y=-3

Возвращаемся к исходным данным s in x + cos x =y

sin x + cos x =1 или sin x + cos x = -3-решений нет

sin ( x +) = 1; sin ( x +) = ; x += +2П n или x +=П -+2П n ;

x = 2П n или x = +2П n .

Ответ: x = 2П n , x = +2П n , n

1.2.9. Решение уравнений методом универсальной подстановки

Тригонометрическое уравнение R ( sinkx , cosnx , tgmx , ctglx )=0 (1), где R -рациональная функция, k , l , n , mZ , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sinx , cosx , tgx , ctgx после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t = tg с помощью формулуниверсальной тригонометрической подстановки ,

Следует отметить, что применение формул (2) может привести к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках, поэтому в таких точках нужна проверка, являются ли углы корнями исходного уравнения.

Решение. По условию задачи Применив формулы (2) и сделав замену , получим .

1.2.10. Частные методы решения тригонометрических уравнений

1. Использование областей существования функций.

Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие- либо преобразования уравнения (неравенства), достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

-1 = -1 – верное равенство, значит, число 7 является решением исходного уравнения.

2. Использование ограниченности функций (области значений).

Пусть множествоМ естьобщая часть областей существования функцийи g (х) и пусть для любого справедливы неравенства f (х) и g (х)где А – некоторое число. Тогда уравнение f (х) = g (х) равносильно системе уравнений

Решение. Так как то уравнение можно переписать в виде

Поскольку для любого действительного химеем

то уравнение (1) равносильно системе уравнений

Система равносильна совокупности систем уравнений

Решения первой системы есть второй Все эти решения и будут решениями исходного уравнения.

3. Использование свойств синуса и косинуса

Решение уравнений вида

гдеи В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа, может быть сведено к решению систем уравнений, если использовать ограниченность синуса и косинуса. Для решения таких уравнений применяют способ «рассуждений с числовыми значениями».

Решить уравнение (1)

Решение. Если число х_о – решение уравнения (1), то так как в противном случае было бы справедливо неравенство >1, что невозможно. Но если то из уравнения (1) следует, что sin х _o = -1. Поэтому любое решение уравнения (1) является решением системы уравнений

Любое решение системы (2) есть решения уравнения (1). Следовательно, уравнение

(1) равносильно системе (2). Решим эту систему. Первое уравнение системы (2) имеет решениеВсе они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются всеми решениями системы (2) и равносильного ей уравнения.

4. Использование числовых неравенств

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений.

Часто применяются неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(причем равенство здесь возможно лишь при а = b ), и его следствие:

(причем тогда и только тогда, когда а = 1).

Решение.Так как для каждого х справедливы неравенства и

то из неравенства где следует, что для каждого х

Так как равенство возможно лишь при а = b (а > 0), то исходное уравнение равносильно уравнению

Уравнение (1) равносильно уравнению или уравнению все решения которого составляют серию решений

Следовательно, исходное уравнение, равносильное уравнению (1), имеет ту же серию решений

5. Графический метод.

Решение.Построим графики обеих частей уравнения: и

Графики не пересекаются, и следовательно, уравнение не имеет корней.

Докажем, что данное уравнение не имеет корней. Действительно, при любом x имеют место неравенства

и т.е. что и требовалось доказать.

Ответ: нет решений.

6.Уравнения, содержащие суперпозиции.

Решение.Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Учитывая, что имеем

ГЛАВА 2. Программа элективного курса по математике

Программа элективного курса cоставлена на основе федерального компонента государственного стандарта, утвержденного приказом министерства образования РФ от 5.03.2004 года №1089,примерной образовательной программы по математике ( c оставитель Э.Д. Днепров, А.Г.Аркадьев. -М.: Дрофа, 2009г.), авторской программы (составитель Бурмистрова Т.А., Москва, «Просвещение», 2008 год).

Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в учебный год.

Разработка программы данного курса обусловлена непродолжительным изучением темы «Решение тригонометрических уравнений» на первом этапе среднего (полного) общего образования, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценное представление об алгоритмах решения тригонометрических уравнений, особенно о тех, где используются тригонометрические формулы и их преобразования. Восновной школе рассматриваются только свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, необходимые для преобразования тригонометрических выражений: знаки по четвертям, сохранение значения при изменении угла на целое число оборотов, чётность косинуса и нечётность синуса, тангенса и котангенса, уделяется внимание переходу от радианной меры угла к градусной мере и наоборот; в 10 классе на изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» программой предусмотрено 14 часов; в 11 классе в теме «Уравнения, неравенства, системы» (24 часа) рассматриваются не только тригонометрические уравнения, но и показательные и логарифмические уравнения, неравенства и системы.

Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике в требованиях к уровню подготовки к выпускнику предусматривает умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Но тема «Решение тригонометрических уравнений» входит в материалы итоговой аттестации за курс полной средней школы, в заданиях ЕГЭ.

Практика показывает, что решение тригонометрических уравнений вызывает у учащихся затруднения. После школьной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И наконец, всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, физика, химия, техника, информатика и многое другое). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

сформировать у учащихся понимание необходимости знаний алгоритмов решения тригонометрических уравнений для дальнейшего изучения тригонометрических неравенств и систем уравнений, при решении задач по геометрии, физике, астрономии;

способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию математического стиля мышления при решении элементарных тригонометрических уравнений, которые необходимы при решении более сложных типов тригонометрических уравнений;

формировать представления о решениях тригонометрических уравнений, как составной части решения тригонометрических неравенств, систем уравнений;

способствовать повышению уровня самостоятельности учащихся при работе с учебным материалом, развивать точную, информативную речь, формировать умение обосновывать свою точку зрения.

Практическая математическая компетентностьпредполагает, что выпускник основной школы умеет:

решать уравнения вида: sin x = a , cos x = a , tg x = a и знает решение их частных случаев;

знает различные приёмы решения линейных, квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к ним;

применяет графический метод для решения уравнений, для определения принадлежности корней рассматриваемому промежутку, отбора корней;

владеет системой функциональных понятий, знает тригонометрические функции, предусмотренные минимумом содержания обучения, их свойств и графиков;

применяет обратные тригонометрические функции для проверки полученных решений уравнений.

Социально–личностная компетентность предполагает:

овладение стилем мышления, характерным для математика, его доказательностью, строгостью;

умение логически обосновывать ход преобразований, применять различные способы решения уравнений и уметь выдвигать гипотезы в решении уравнений;

умение ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, использовать графический язык математики и свободно переходить от алгебраического метода решения уравнений к графическому методу;

умение использовать разнообразные информационные источники для подготовки к занятию;

5) умение осуществлять алгоритмическую деятельность и конструировать новые умения для решения более сложных задач.

Общекультурная компетентность предполагает, что ученик:

1) понимает, что решение тригонометрических уравнений является неотъемлемой частью раздела «Тригонометрия», её знание необходимо для решения тригонометрических неравенств и систем уравнений;

2) понимает, что решение тригонометрических уравнений возникло из потребностей человеческой практики и продолжает развиваться;

3) понимает, что математическая символика и формулы тригонометрии позволяют описывать общие свойства решения не только тригонометрических уравнений, но и систем уравнений, неравенств не только в алгебре, но и в геометрии, физике и астрономии.

сформировать умения решать простейшие тригонометрические уравнения;

освоить приёмы решения различных типов тригонометрических уравнений;

научить учащихся решать уравнения более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности;

помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 34 часа; предполагает знание алгоритма решения типовых уравнений и уравнений более высокой сложности.

Анализ содержания темы «Решение тригонометрических уравнений» позволил выделить типы уравнений и алгоритм их решения, которые и составили основу изучаемого курса. Предлагаемые уравнения различны по уровню сложности.

Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от элементарных до конкурсных.

Все задания направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и графической наглядностью.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать и дополнять тематику.

Программа может быть использована в 11 классе при подготовке к ЕГЭ, в классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся. Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут быть толчком к развитию интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

2.3. ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ И УМЕНИЯМ

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным;

решать тригонометрические уравнения разложением на множители, используя различные способы разложения на множители (группировка, формулы сокращенного умножения, вынесение за скобки);

решать однородные тригонометрические уравнения I , II степени;

решать тригонометрические уравнения с использованием формул понижения степени;

решать симметрические тригонометрические уравнения;

решать тригонометрические уравнения, содержащие модуль;

решать тригонометрические уравнения, содержащие радикал;

решать тригонометрические уравнения, содержащие обратную тригонометрическую функцию.

2.4 ФОРМЫ КОНТРОЛЯ

Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как лекция и семинар, групповая, индивидуальная, работа в парах, исследовательская и проектная деятельность учащихся, практикумы и консультации. Результатом предложенного курса должно быть успешное решение заданий ЕГЭ по теме “Тригонометрия”. Итоги реализации данной программы подводятся в форме практических и самостоятельных работ, тестов, КИМов.

Результатом учебной деятельности является исследовательская работа по темам «Геометрическая интерпретация при решении тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических уравнений с отбором корней в заданиях ЕГЭ».

2.5. Тематическое планирование учебного материала

Рабочая программа элективного курса Приёмы решения тригонометрических уравнений.docx

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Название программы элективного курса:

«Способы решения тригонометрических уравнений»

Составитель Имамова А.М.

Направленность: Углубление отдельных тем обязательных предметов федерального компонента и обязательных предметов по выбору

Раздел « Тригонометрические уравнения» курса «Алгебра и начала анализа» 10 класса наиболее сложный для учащихся. Одной из причин этого является недостаточное количество программных часов, отведенное на изучение этого раздела, а также поверхностное изложение некоторых важных вопросов, связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней.

Настоящая рабочая программа элективного курса по математике в 10 классе «Приёмы решения тригонометрических уравнений» (академическое углубление) составлена на основе программы элективного курса по теме «Тригонометрия»(Шахмейстер А.Х. Тригонометрия.- 3-е изд., стереотипное.- М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2013.-752с.).

Элективный курс предназначен для учащихся 10 классов любого уровня математической подготовки, так как и углубляет школьную программу по теме «Тригонометрические уравнения», и расширяет систему задач, предложенную в учебнике.

Актуальность: согласно «Концепции развития математического образования в Российской Федерации», «потребности будущих специалистов в математических знаниях и методах на современном этапе учитываются недостаточно… Качественное математическое образование необходимо каждому для его успешной жизни в современном обществе». Знание различных приёмов решения тригонометрических уравнений и умение их применять на практике обеспечит готовность учащихся к применению тригонометрии в других областях: физике и технике, продолжению обучения в высших учебных заведениях.

С рассмотренными в ходе изучения курса заданиями приходит понимание трудных для восприятия математических понятий и идей тригонометрии.

Новизна: изучение данного курса даёт возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с методами решения тригонометрических уравнений, подготовиться кразличного рода экзаменам, в частности к ЕГЭ. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.

Разнообразный и разноуровневый подбор примеров и задач является уникальной кладовой педагогического и методического опыта преподавания сложных тем курса тригонометрии в школе. Особенно тщательно разработаны следующие трудные темы: периодичность,обратные тригонометрические функции, тригонометрические уравнения и системы тригонометрических уравнений.

Наличие большого количества разноплановых примеров и графиков позволит учащимся «прочувствовать» сложные понятия и нестандартные идеи, «увидеть» их естественное применение.

Адаптивность: изучение данной программы курса предполагает наличие базовых знаний учащихся школьного курса геометрии «Планиметрия 9» и вычислительных навыков.

Целью изучения данного курса является обеспечение углубленного изучения темы «Тригонометрические уравнения» и подготовки учащихся к ЕГЭ и продолжению образования в высших учебных заведениях.

Многие идеи, заложенные в систему примеров, тренировочных самостоятельных, карточек заданий, могут быть использованы для подготовки к экзаменам и олимпиадам.

Элективные занятия рассчитаны на 2 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в первом полугодии учебного года.

Задачи элективного курса:

1) сформировать у учащихся понимание необходимости знаний алгоритмов решения тригонометрических уравнений для дальнейшего изучения тригонометрических неравенств и систем уравнений, при решении задач по геометрии, физике, астрономии;

2) способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию математического стиля мышления при решении элементарных тригонометрических уравнений, которые необходимы при решении более сложных типов тригонометрических уравнений;

3) формировать представления о решениях тригонометрических уравнений, как составной части решения тригонометрических неравенств, систем уравнений;

4) способствовать повышению уровня самостоятельности учащихся при работе с учебным материалом, развивать точную, информативную речь, формировать умение обосновывать свою точку зрения.

Планируемые образовательные результаты

В результате изучения курса

· решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным;

· решать тригонометрические уравнения разложением на множители, используя различные способы разложения на множители (группировка, формулы сокращенного умножения, вынесение за скобки);

· решать тригонометрические уравнения с использованием формул двойного угла и половинного угла;

· решать тригонометрические уравнения, используя формулы приведения;

· решать тригонометрические уравнения, используя теоремы сложения;

· решать системы тригонометрических уравнений;

· решать тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Тема 1.Вычисление значений тригонометрических функций любого угла. (4 часа)

Связь между тригонометрическими функциями и комплексными числами. Тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрическая функция числового аргумента t это одноимённая тригонометрическая функция угла в t радиан.