Элективный курс решение уравнений 11 класс

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств »
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

В данном элективном курсе рассмотрены различные способы решения рациональных, логарифмических, показательных, тригонометрических, иррациональных уравнений и неравенств. А также уравнения и неравенства с модулем. Программа рассчитана на учеников 11 классов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Авторская программа элективного курса

для учащихся 11 класса

«Решение уравнений и неравенств»

высшей квалификационной категории

Аксанова Ильсияр Исмагиловна

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»

Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического направления.

Данный курс «Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов.

В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:

умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;

• умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;
• умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
• мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение уравнений и неравенств.

На изучение вопросов, представленных в программе отводится 35 часов, 1 час в неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности.

• формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;
• освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;
• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;
• развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.

• систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;
• обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;
• формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений и неравенств;
• развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
• формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;
• оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

• лекционно-семинарская система обучения;
• модульное обучение;
• исследовательский метод в обучении;
• индивидуальные формы работы;
• дифференцированное обучение.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных.

Требования к уровню освоения содержания курса:

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• имеют представление о роли математики в познании действительности;
• умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;
• знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;
• умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;
• умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;
• умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.

Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.

Авторская программа элективного курса по математике «В мире уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат уравнения и неравенства, методы решения которых не рассматриваются в основном курсе обучения математике. Способов решения уравнений множество, и выпускник средней школы должен владеть значительным их количеством.

Элективный курс «В мире уравнений и неравенств» направлен на углубленное изучение отдельных разделов основного курса математики и предусматривает изучение нестандартных методов решения, а также составления задач путем применения исследовательской деятельности. Программа курса основывается преимущественно на методах активного обучения (творческих, исследовательских, проектных), предусматривает полноту и завершенность содержательных линий.

Сформировать у учащихся навыки решения заданий повышенной сложности:

• уравнения высших степеней разными способами (умение выбрать наиболее рациональный из них);
• уравнений и неравенств, содержащих модули;
• уравнений и неравенств, содержащих радикалы;
• уравнений и неравенств, содержащих параметры;
• искусственные приемы решения уравнений.

Задачи курса:

• интеграция знаний по разнообразию методов решения уравнений и неравенств;
• помощь в самоопределении учащихся путем погружения в ситуацию самостоятельного выбора индивидуальной образовательной траектории;
• активизация познавательной деятельности школьников;
• повышение информационной и коммуникативной компетентности учащихся;
• поощрение самостоятельной работы учащихся с научной литературой;
• обеспечение педагогических условий для расцвета личности школьника, его творческого потенциала;
• подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Требования к уровню подготовленности учащихся:

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

• решать нестандартные уравнения и неравенства, используя специальные математические методы;
• решать сюжетные задачи;
• производить прикидку и оценку результатов вычислений;
• при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, использовать приемы, рационализирующие вычисления;
• работать с различными источниками информаций;
• обосновывать свою точку зрения;
• демонстрировать личные достижения.

Учебно-тематический план

ВСЕГО:

Содержание курса

ТЕМА 1. Алгебраические уравнения и неравенства (6ч)

Решение уравнений и неравенств с использованием разложения на множители. Числа Ферма.

Метод неопределенных коэффициентов при решении алгебраических уравнений.

Метод введения параметров.

Комбинирование различных способов решения. Неопределенные уравнения.

Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями.

Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений:

• угадывание корня уравнения с последующим обоснованием;
• использование симметричности уравнений;
• использование суперпозиции функции;
• исследование уравнений на промежутках действительной оси.

Решение алгебраических неравенств. Обобщенный метод интервалов.

ТЕМА 2. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, модули (6ч)

Решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком корня. Возведение в степень.

Умножение уравнения или неравенства на функцию.

Решение уравнений, содержащих несколько модулей. Использование свойств абсолютной величины.

ТЕМА 3. Способ замены неизвестных при решении уравнений (6ч)

Решение рациональных уравнений методом замены неизвестных.

Решение дробно — рациональных уравнений разных видов методом замены неизвестного.

Решение иррациональных уравнений различных видов разными способами.

Метод сведения решения иррациональных уравнений к решению тригонометрического уравнения.

Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

ТЕМА 4. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций (6ч)

Использование ограниченности функции при решении уравнений и неравенств.

Использование свойств синуса и косинуса при решении тригонометричеких уравнений.

Использование числовых неравенств при решении уравнений.

Применение производной. Использование монотонности функции при решении уравнений и неравенств. Использование наибольшего и наименьшего значений функции.

Применение теоремы Лагранжа для решения нестандартных уравнений и неравенств.

ТЕМА 5. Текстовые задачи алгебры и их решение с помощью уравнений и неравенств (6ч).

Решение задач на:

• дроби и проценты;
• смеси и сплавы;
• движение;
• работу;
• арифметическую и геометрическую прогрессии;
• числа.

ТЕМА 6. Творческая мастерская.

Составление и решение заданий по всему курсу.

Работа над итоговым проектом.

Индивидуальные и групповые консультации по темам проектов.

Литература.

1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. Для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.

2. Высоцкий И.Р. и др. Единый государственный экзамен 2010. Универсальные материалы для подготовки учащихся (ФИПИ-М.: Интеллект-Центр, 2010) .

3. Водинчар М.И. и др. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений. Математика в школе 2001г № 4.

4. Кац М. Проценты. Старшекласснику и абитуриенту М.: Математика

( приложение к газете » Первое сентября» № 20. 2004г).

5. Олехник С.Н. и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. — М.: Изд-во Московского университета, 1991.Кочагин В.В. ЕГЭ 2010. Математика: репетитор — М.: Эксмо, 2009.

6. Симонов А.С. Сложные проценты. Математика в школе 1998г № 5.

7. Тырымов А.А. Математика для поступающих в вузы. Часть 2. Способы решений основных типов задач, предлагаемых на письменных экзаменах. Системы уравнений и неравенств, задачи на составление уравнений. — Волгоград: Учитель, 2000.

8. Хазанкин Р.Г. и др. Математическая подготовка и развитие школьников в условиях ЕГЭ. — Уфа: НОУ «Уральский РЭК», 2004.

9. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

Рабочая программа элективного курса по алгебре в 11 классе «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

элективного курса в 11 классе

«Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

Предлагаемый элективный курс поддерживает на должном уровне изучение

одного из основных школьных предметов и может с успехом использоваться в классах любого профиля. Курс предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на 34 часа.

Среди школьных предметов математика занимает совершенно особое место, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности. Следование математической логике может помочь при решении разного рода «нематематических» проблем, например, в рассуждениях касающихся философии, политики и даже обыденной жизни.

Знания и умения, выработанные на уроках математики, необходимы и при изучении других школьных предметов, где используется аппарат этой науки.

Элективные курсы по математике позволяют, не выходя за рамки учебной нагрузки, развивать содержание базового курса, перейти на более высокий уровень знаний, получить дополнительные навыки, необходимые при сдаче ЕГЭ, а также помогают готовить учащихся к осознанному выбору будущей профессии.

Элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений и неравенств» направлен на расширение и углубление знаний учащихся по отдельным разделам основного курса математики и предусматривает изучение общих методов решения уравнений и неравенств, но на более сложных задачах и с рассмотрением большего количества случаев, а также знакомит учащихся с нестандартными методами решения. При изучении данного курса у учащихся появится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании.

Целесообразность данного курса состоит и в том, что его содержание и форма организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей.

Изучение данного курса определяется и тем, что экзамен по математике является обязательным для всех школьников. ЕГЭ по математике — процедура серьезная, требующая специальной подготовки, и большинству учащихся нужна не только хорошая оценка, а достаточно высокое количество баллов для поступления в вуз. Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат уравнения и неравенства, методы решения которых не рассматриваются в школьном курсе математики. Способов решения уравнений множество, и выпускник средней школы должен владеть значительным их количеством.

Элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, играет большую роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Воспитательный эффект курса заключается в формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, аккуратность.

Материал курса разбит на 5 модулей, каждый из которых посвящен специальному виду уравнений и неравенств. Выделена тема «Тригонометрические уравнения и неравенства». При их решении используются общие правила решения алгебраических уравнений и неравенств, но тригонометрические уравнения и неравенства обладают рядом специфических особенностей: четность-нечетность, периодичность, выполнение ряда формул. На этой специфике построены эффективные методы решения. Уравнения и неравенства классифицируются не только по внешнему виду, так как большинство уравнений и неравенств, предлагаемых на ЕГЭ, а особенно на конкурсном экзамене в ВУЗы, трудно отнести к какому-то одному виду. Чаще всего они смешанные: там есть и тригонометрия, и логарифмы, и иррациональность и т. п.

Значительное место в программе отведено самостоятельному решению задач, анализу способов их решения. Задания носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

расширить знания учащихся о методах решения уравнений и неравенств и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения;

сформировать умения и навыки в решении уравнений и неравенств повышенной сложности;

научить учащихся осуществлять выбор рационального метода решения и обосновывать сделанный выбор;

развивать познавательную активность учащихся при изучении нового типа задач;

повысить уровень математической подготовки учащихся.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

формирование навыков анализа и систематизации ранее приобретенных знаний учащихся при проектировании решения новых нестандартных задач;

развитие логического мышления, алгоритмической культуры и интуиции;

развитие у учащихся интереса к математике;

развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей;

развитие навыков организации умственного труда и самообразования;

воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности.

На занятиях используются следующие методы обучения :

метод проблемного изучения материала;

Формы организации учебного процесса:

работа в группе;

Основой проведения занятий служит технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс самостоятельного построения им нового знания и позволяет учителю проводить разноуровневое обучение. Занятия должны носить проблемный характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

основные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств;

теоретические основы способов решения.

решать уравнения и неравенства различными методами;

анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;

самостоятельно работать с математической литературой;

проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата;

представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях.

Повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности.

Текущий контроль осуществляется по результатам выполнения учащимися практических заданий на уроках и дома, промежуточный контроль после изучения каждого блока, в виде зачетной работы с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития. Смысл профильного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема».

Итоговое занятие планируется провести в форме семинара с презентацией задач по каждой теме.

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком радикала

Показательные уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение комбинированных уравнений и неравенств

Тема 1 . Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком радикала.

Учащиеся должны знать:

основные определения и факты из теории уравнений и неравенств: равносильность уравнений и неравенств, уравнение-следствие, совокупность уравнений, система уравнений;

понятие области определения и множества решения уравнения;

определение и свойства корня п -ой степени;

формулы сокращенного умножения.

Учащиеся должны уметь:

выполнять преобразования выражений, содержащих радикалы;

решать рациональные уравнения;

решать простейшие иррациональные уравнения.

Общие методы решения уравнений и неравенств: возведение в степень, замена переменной. Решение уравнений с помощью умножения на сопряженный множитель. Решение уравнений на основании свойств монотонности функций, четности и ограниченности. Тригонометрическая замена. Решение уравнений с кубическими корнями. Решение уравнений сведением к системам. Решение иррациональных неравенств.

Тема 2. Показательные уравнения и неравенства.

Учащиеся должны знать:

определение и свойства показательной функции;

определение и свойства степенной функции;

определение и свойства степени с рациональным и действительным показателем.

Учащиеся должны уметь:

выполнять преобразование выражений, содержащих степени и корни;

решать простейшие уравнения и неравенства.

Основные методы решения показательных уравнений и неравенств: приведение обеих частей уравнения к общему основанию, разложение на множители, введение новой переменной, логарифмирование. Решение уравнений и неравенств при помощи свойств монотонности функций. Сведение к однородному и рациональным уравнениям

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени.

Тема 3. Логарифмические уравнения и неравенства.

Учащиеся должны знать:

определение и свойства логарифмов;

определение и свойства логарифмической функции.

Учащиеся должны уметь:

выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;

решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства.

Методы решения логарифмических уравнений и неравенств: определение логарифма, использование свойств логарифмов, формулы перехода к новому основанию, логарифмирование, потенцирование, разложение на множители, введение новой переменной.

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов и показателях степеней.

Тема 4. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Учащиеся должны знать:

определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса;

определение и свойства тригонометрических функций;

определение и основные свойства обратных тригонометрических функций;

формулы для решения тригонометрических уравнений.

Учащиеся должны уметь:

выполнять преобразования тригонометрических выражений;

решать простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Уравнения, решаемые разложением на множители. Решение однородных и сводящихся к ним уравнений. Использование основных формул тригонометрии, решение уравнений с помощью преобразований. Решение уравнений с использованием ограниченности функций синус и косинус. Решение линейных тригонометрических уравнений: способ универсальной тригонометрической подстановки, способ вспомогательного угла.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях.

Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Тема 5. Решение комбинированных уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств с использованием основных свойств функций. Решение уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств. Применение производной.

Уравнения и неравенства с дополнительными условиями.

Литература для учителя:

1. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Математика 10,11. Решение задач. М.: Просвещение, 2007

2. А.Ж.Жафяров. Математика 10-11. Профильный уровень. М.: Просвещение, 2007.

3. А.А. Максютин. Математика-10. Самара, 2002.

4. С.М. Никольский и др. Алгебра и начала анализа, 11 класс (для углубленного изучения).

5. А.Г. Мордкович. Решаем уравнения.М.: Школа-Пресс, 1995

6. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко.Уравнения и неравенства. Нестандартные методы их решения. 10-11 классы.М.: Дрофа, 2001

7. А.Х. Шахмейстер. Логарифмы. С.-Петербург: ЧеРо-на Неве, 2005, под ред. Б.Г. Зива.

8. А.Х. Шахмейстер. Иррациональные уравнения и неравенства. С.-Петербург: ЧеРо-на Неве, 2004, под ред. Б.Г. Зива.

9. П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. М.: Ставрополь: Сервисшкола, 2006.

10. В.В.Арлазоров, А.В. Татаринцев и др. Лекции по математике для физико-математических школ. М.: Издательство ЛКИ, 2008.

Литература для учащихся:

Московский интеллектуальный марафон. М.:2000.

Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф Лысенко. Ростов-на-Дону: Легион, 2007-11-25

ЕГЭ по математике 2003-04г., 2004-05 г., 2005-06 г.

Евсюк С.Л. Решение задач повышенной сложности. Минск: Мисанта, 2003.

В.П. Супрун. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Минск. Полымя. 1998.