Электрическое поле постоянного тока его уравнения граничные условия

Электрическое поле постоянного тока его уравнения граничные условия

2. Электрические поля постоянных токов

2.1 Основные уравнения

От электрических полей, создаваемых неподвижными зарядами, перейдем к рассмотрению стационарного движения зарядов в проводниках (постоянный электрический ток).

Основным вектором, который подлежит исследованию, является вектор плотности тока проводимости (или ). Силовые линии вектора плотности тока проводимости подчиняются закону непрерывности, который является следствием первого уравнения Максвелла:

. (2.1)

Выражение (2.1) называют ещё первым законом Кирхгофа, записанным в дифференциальной форме. Движение зарядов осуществляется за счёт действия напряженности электрического поля , а связь между векторами устанавливается законом Ома в дифференциальной форме:

, (2.2)

где — удельная проводимость среды. В ряде случаев вместо проводимости среды используют обратную величину — r = 1 ¤ g , которую называют удельным сопротивлением среды.

В единичном объёме (или точке) выделяется мощность в виде тепла – (закон Джоуля – Ленца):

.

Электрическое поле, существующее внутри проводника, по которому течет постоянный ток, удовлетворяет уравнению

, (2.3)

т.е. поле постоянного тока — потенциально, и может быть определено потенциальной функцией:

. (2.4)

В однородном проводнике = const и из (2.1) как следствие имеем . Поэтому в этом случае потенциал электрического поля также удовлетворяет уравнению Лапласа (1.5).

Граничные условия для векторов поля.

На границе раздела двух проводящих сред нормальная компонента плотности электрического тока является непрерывной функцией, что следует из выражения (2.1). Кроме того, согласно общему условию непрерывности тангенциальной компоненты напряженности поля (1.6) как следствие из (2.2) имеем условие для тангенциальных составляющих вектора . Таким образом, граничные условия для плотности тока записываются как:

, (2.5)

или для напряженности поля

, . (2.6)

На границе проводника с непроводящей средой , т.е. силовые линии вектора плотности тока определяются только тангенциальной составляющей тока, что следует из выражения (2.5).

2.2. Метод электростатической аналогии

Уравнения (2.1) — (2.4) и граничные условия (2.5) обнаруживают формальную аналогию с уравнениями электростатического поля в диэлектриках, отличаясь от них лишь заменой на . Это обстоятельство позволяет находить решения задач о распределении тока в проводящей среде непосредственно по решениям аналогичных электростатических задач (см. 1.3 – 1.6). В частности, формулы для электрической проводимости системы электродов, по которым протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости тех же электродов, так как при изменении проводящей среды диэлектриком ток заменяется зарядом. Объединяя эти выражения, получим пропорцию

.

Это рассмотрение позволяет утверждать, что существует аналогия между электростатическим полем вне объёмных зарядов и стационарным полем постоянного тока в области, где нет сторонних сил. При этом аналогичны параметры:

Электростатическое поле . . . E , j , D , q , , C

Для расчёта поля проводов с током I вблизи плоской границы двух проводящих сред можно применить метод отражений (см. раздел 1.5). Дополнительные токи, заменяющие своим действием взаимное влияние проводящих сред друг на друга, находятся из аналогичных условий:

, . (2.7)

Из выражений (2.7) следует, что коэффициент отражения будет равен единице, если первая среда проводник, вторая диэлектрик ( = 0 ) , а электрод, с которого стекают заряды, находится в первой среде. Коэффициент здесь не рассматривается, так как в диэлектрике отсутствуют токи проводимости.

2.3. Задача растекания тока в проводящей среде

Задача. К сферическому заземлителю (электроду) радиуса м подводится ток А (рис. 2.1а). Заземлитель находится на расстоянии h = 6 м от границы раздела двух сред с разными удельными проводимостями (См/м) и (См/м). Исследовать картину поля.

Рис. 2.1. а) взаимное расположение шарового источника тока и двух проводящих сред; б) физическая модель анализа поля тока для 1-й среды;

в) то же для 2-й среды.

Задача решается методом отражений с учетом метода электростатической аналогии. Поле растекания токов обладает осевой симметрией (нет зависимости от угловой координаты), поэтому вместо декартовой системы координат принята цилиндрическая система — z , r .

Для расчета поля в 1-й среде вводится, кроме тока , фиктивный ток согласно (2.7):

.

При этом вторая среда замещается первой (см. рис. 2.1б). Для расчета поля во 2-й среде вводится фиктивный ток

,

а первая среда замещается второй (см. рис. 2.1в).

Поле сферического заземлителя подобно полю шарового заряда, что позволяет воспользоваться выражением (1.20), в котором заряд заменяется на ток , а диэлектрические свойства среды на проводимость :

.

Построим картину поля в пакете MathCAD . В поле рабочего файла указываем исходные данные задачи:

Вычисляем входящие в решение постоянные коэффициенты:

Определяем длины радиус-векторов до точек наблюдения, для чего предварительно следует выбрать систему координат (произвольно). В задаче начало отсчёта переменных r , z смещено влево на расстояние 3 h :

Определяем функции потенциала в первой и второй средах используя метод наложения:

Определяем потенциал поверхности заземлителя (электрода):

Определяем потенциальную функцию для всего исследуемого пространства с учетом её поведения в первой и второй средах:

Так как на поверхности и внутри электрода потенциал постоянен и определяется ранее найденной величиной , окончательно доопределим потенциальную функцию как

Построим график изменения потенциальной функции вдоль оси z при r = 0, для чего предварительно зададим диапазон изменения переменной z :

График изменения потенциальной функции показан на рис. 2.2. Исследуемая функция непрерывна, включая границу раздела сред. Равенство потенциалов на границе эквивалентно выполнению граничного условия (2.6).

Построим график поверхности потенциальной функции и карту линий уровня, которая задана нами ранее как функция двух переменных, для чего указываем границы расчетной области:

Рис. 2.2. График изменения потенциальной функции вдоль оси z при r = 0

Определяем, сколько точек следует отложить по координатным осям:

Введением дискретных аргументов i и j индексируем точки, где определяются значения функции:

Через операцию присваивания определяем значения двумерного массива , определяя его найденной потенциальной функцией ,

и строим график поверхности потенциальной функции (рис. 2.3).

При использовании массива для построения карты линий равного уровня следует скопировать график поверхности (рис. 2.3) или сразу на нем однократно щелкнуть правой кнопкой мыши, выбрать из всплывшего контекстного меню команду “ Format …”. Далее в появившемся окне 3- D Plot Format подраздел General (рис. 1.16) следует сменить тип графика с Surface Plot на Contour Plot .

Для построения карты линий равного уровня можно использовать как массив (рис. 2.4а), так и воспользоваться встроенной функцией CreateMesh (рис. 2.4б):

Рис. 2.3. Пример построения поверхности потенциальной функции ( Surface Plot )

Полученные графики (рис. 2.4) полностью идентичны. В большинстве случаев использование функции CreateMesh более удобно, так как в этом случае (по умолчанию) размерность осей в абсолютных единицах – метрах (рис. 2.4б), а на рис. 2.4а – определяется ранее заданным числом расчетных точек по координатным осям (по оси z определено 80 точек, по оси r — 40).

Рис. 2.4. Карты линий равного уровня потенциальной функции, построенные с применением: а – массива , б — функции CreateMesh

Если значения функции на линиях уровня, при типе графика Contour Plot , не выведены, то следует вызвать окно 3- D Plot Format , выбрать подраздел Special , столбец Contour Options , активировать пункт Numbered – щелкнув в квадратике рядом с ним (появится галочка) и далее “Применить” (рис. 1.17). Нажатие кнопки ОК завершает операцию.

Для построения в Math С AD линии уровня заданного значения следует определить заданную величину как постоянную и воспользоваться встроенной функцией знака s i g n . В качестве примера построим для определенной ранее потенциальной функции эквипотенциаль со значением 2 кВ:

При малом числе расчетных точек полученная эквипотенциальная кривая может иметь ступенчатый вид (рис. 2.5а), в этом случае следует увеличить число расчетных точек. При увеличении числа расчетных точек в 5 раз по сравнению с предыдущим случаем:

получим более приемлемый вид эквипотенциальной кривой (рис. 2.5б).

Рис. 2.5. Примеры построения заданной линии равного уровня с малым (а) и с увеличенным (б) числом расчетных точек

Используя возможности пакета Math С AD , найдем с помощью оператора дифференцирования (панель Calculus (рис. 1.11), вызывается через меню View / Toolbars / Calculus ) производные от потенциальной функции, которые (с учётом знака) равны проекциям вектора напряженности поля:

На рис. 2.6 и 2.7 приведены примеры построения графиков изменения компонент напряженности вдоль различных осей, из которых видно, что нормальная составляющая вектора на границе раздела сред изменяется скачком в соответствии с граничным условием (2.6) и изменяет знак при переходе с левого края электрода на правый.

Рис. 2.6. График изменения z -компоненты напряженности вдоль оси z при r = 0

Рис. 2.7. График изменения r -компоненты напряженности вдоль оси r по границе раздела проводящих сред ( z = 3 h )

Составляющие вектора плотности тока могут быть найдены по формуле (2.2)

с учетом удельной проводимости каждой из сред.

В отличие от вектора (рис. 2.6) вектор плотности тока на границе раздела обладает свойством непрерывности (рис. 2.8), так как оба этих вектора для переменной r = 0 определены только своими нормальными составляющими (см. формулы 2.5 и 2.6).

Рис. 2.8. График изменения z -компоненты плотности тока

§14.Постоянный электрический ток

Электрическое поле при наличии постоянных токов.

Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид

(14.1)

При наличии тока в проводнике внутри проводника имеется электрическое поле. Плотность тока по сечению проводника различна и распределена неравномерно. Максимальный ток течет в поверхностном слое, внутри он практически равен нулю, но мы рассматриваем проводники с очень малой площадью поперечного сечения – линейные проводники. Для них считаем, что плотность тока по сечению одинакова и направлена вдоль элемента длины проводника .

(14.2)

Таким образом, в общем случае вопрос о напряженности электрического поля и плотности постоянного тока внутри толстых проводников является сложным. Распределение плотности тока по сечению зависит от ряда факторов и, в частности, от формы проводника. О напряженности поля вблизи поверхности проводника можно высказать более определенные суждения. Вблизи поверхности как напряженность поля, так и плотность тока направлены касательно поверхности. Нормальные к поверхности составляющие этих величин внутри проводника отсутствуют. Из граничного условия заключаем, что (11.29) Вблизи поверхности вне проводника имеется электрическое поле, тангенциальная составляющая напряженности которого равна тангенциальной составляющей напряженности поля внутри проводника (рис. 22). Однако о нормальной составляющей напряженности электрического поля вне проводника отсюда никаких выводов сделать нельзя.

Вопрос об источниках поля.

Чем же порождается электрическое поле внутри проводника, что является источником этого поля? Так как существование постоянного тока в цепи обеспечивается соответствующим источником постоянного тока, например гальваническим элементом, то ясно, что он имеет какое-то отношение к порождению электрического поля. Однако непосредственно он не может породить это поле. Такое утверждение очевидно в случае очень длинного проводника для участков цепи, удаленных от батареи на очень большое расстояние, например на сотни километров. Напряженность электрического поля, которую могут создать заряды полюсов батареи, на этом расстоянии ничтожно мала. Следовательно, батарея не может быть непосредственным источником электрического поля внутри проводника.

Единственным источником постоянного электрического поля может быть только электрический заряд. Поэтому обсуждаемая проблема сводится к вопросу о том, какими зарядами порождается поле внутри проводника и где эти заряды находятся?

Для ответа на этот вопрос необходимо изучить электрическое поле вне проводника. Оказывается, что вне проводника вблизи его поверхности наряду с тангенциальной составляющей напряженности электрического поля имеется также нормальная составляющая . Однако внутри проводника . Следовательно, заключаем, что На поверхности проводника должны существовать заряды, поверхностная плотность которых

. (14.3)

В формуле (14.3) предполагается, что проводник находится в вакууме. Если его погрузить в диэлектрическую среду, то вместе с в формулу (14.3) войдет диэлектрическая проницаемость среды.

Таким образом, на поверхности проводника, по которому течет постоянный электрический ток, имеются электрические заряды. Они и являются источниками электрического поля, которое существует в проводнике и обеспечивает наличие постоянного тока. Поверхностная плотность заряда на различных участках проводника может иметь различные знаки. В однородных проводниках имеются только поверхностные заряды. Следовательно, вблизи поверхности проводника, как напряженность поля, так и плотность тока направлены касательно поверхности, поэтому вблизи поверхности проводника, вне его, имеется электрическое поле, тангенциальная составляющая которого направлена вдоль поверхности проводника.

Такая же составляющая имеется и вблизи поверхности, и внутри проводника. Существование тока в проводнике обеспечивается тем, что на его концах в течение длительного времени поддерживается ненулевая разность потенциалов. Но сам источник тока не в состоянии обеспечить это поле внутри проводника.

Механизм существования постоянного тока.

Источник тока называется источником сторонних электродвижущих сил (сторонних э. д.с.). По результатам своего действия он представляет собой процесс или устройство, отделяющее положительные заряды от отрицательных. После разделения заряды перемещаются на электроды и по закону Кулона действуют на другие заряды, и т. д. В результате этих коллективных взаимодействий в цепи на поверхности проводников возникает такое распределение зарядов, которое обеспечивает существование внутри проводника соответствующего электрического поля. Таким образом, Роль зарядов на полюсах источника сторонних э. д. с. состоит не в том, чтобы создавать во всех проводника непосредственно соответствующее электрическое поле, а в том, чтобы обеспечить такое распределение поверхностных зарядов на проводниках, которое создает нужное электрическое поле внутри них. А это и обеспечивает существование постоянного тока. Поскольку взаимодействие между зарядами осуществляется посредством электромагнитных сил, процесс образования постоянного тока в цепи после ее замыкания характеризуется скоростью распространения электромагнитных волн, зависящих от распределения емкостей, индуктивностей и других характеристик цепи. В свободном пространстве скорость распространения электромагнитных взаимодействий равна скорости света.

Следовательно, при его подключении к проводнику на поверхности появляются электрические заряды, которые служат источниками электрического поля, причем эти заряды находятся на поверхности проводника и плотность их определяется

. (14.3)

Изменение потенциала вдоль проводника с током.

Поскольку в проводнике при наличии постоянного тока , потенциал изменяется вдоль проводника, т. е. в отличие от электростатики потенциал не является постоянным во всех точках проводника. Однако поле внутри проводника создается неподвижными, постоянными по времени поверхностными зарядами и поэтому так же, как в электростатике, является потенциальным.

Так как в проводнике , то потенциал изменяется вдоль проводника и разность потенциалов между двумя точками равна

. (14.4)

Считаем, что поле постоянно по сечению, тогда , где — длина проводника от точки (1) до точки (2).

Величину Называют напряжением.

Напряженность поля , но , где

. (14.5)

Формула (14.5) определяет омическое сопротивление участка проводника или просто сопротивление участка проводника.

Закон Ома для участка однородной цепи имеет вид

. (14.6)

Для поддержания постоянного тока в цепи в течение длительного времени используются источники постоянного тока. Это аккумуляторы.

Источник тока характеризуется электродвижущей силой (ЭДС)

. (14.7)

Если рассмотреть замкнутую цепь, то благодаря наличию ЭДС в этой цепи существует ток и закон Ома для замкнутой цепи имеет вид

, (14.8)

Где R – внутреннее сопротивление источника тока.

Мы различаем участок однородной цепи, как участок, не содержащий электродвижущей силы и неоднородный участок как участок, содержащий источник тока.

Линейные цепи. Правила Кирхгофа.

Правила Кирхгофа служат для составления системы уравнений, из которой находятся силы тока для разветвленной цепи любой сложности. Они являются записью закона Ома (14.8) для каждого из замкнутых контуров и закона сохранения заряда в каждом узле. Правила знаков для сил тока и э. д. с. В каждом из замкнутых контуров такие же, как для изолированного контура. Направление положительного обхода для всех контуров выбирается одинаковым. Закон сохранения заряда в узлах требует, чтобы сумма сил токов, входящих в узел, была равна сумме сил токов, выходящих из него, иначе говоря, сумма алгебраических значений сил токов в узле должна быть равной нулю. При составлении суммы силы токов, изображаемых стрелками в направлением от узла, берутся, например, со знаком минус, а силы токов, изображаемых стрелками с направлением к узлу, со знаком плюс. Можно, конечно, брать обратные знаки, это не изменит соответствующих уравнений, важно лишь для всех узлов применять одно и то же правило.

Таким образом, правила Кирхгофа гласят:

1. Сумма алгебраических значений сил токов в каждом узле, равна нулю:

. (14.9)

1. Сумма произведений алгебраических значений сил токов на сопротивление соответствующих участков каждого из замкнутых контуров равна сумме алгебраических значений сторонних э. д. с. в каждом замкнутом контуре:

(14.10)

Можно показать, что получающаяся при этом система уравнений является полной и позволяет определить все токи. Эти законы вывел Кирхгоф (1824-1887).

Правила Кирхгофа служат для составления систем уравнений, из которых могут быть найдены силы тока для разветвленной цепи любой сложности.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда – (14.9). Причем токи, входящие в узел со знаком ‘+’, выходящие –‘-’.

Второе правило Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии.

Записав эту систему уравнений для любой разветвленной цепи всегда получаем на одно уравнение больше, чем нужно, т. к. это уравнение является линейно зависимым, т. е. является линейной комбинацией остальных уравнений.

Дано:

Найти:

1)

2)

3)

Можно составить еще одно уравнение , которое является линейной комбинацией уравнения (2) и (3).

При соединении источников в батарею руководствуются следующими соотношениями:

1) последовательное соединение

; (14.7)

2) параллельное соединение

. (14.8)

Три группы формул Максвелла

13.2.11. Три группы формул Максвелла

В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого из них определяется не только зарядом данного тела, но и зарядами всех остальных тел. При этом, если диэлектрическая проницаемость среды не зависит от напряженности электрического поля, то потенциал оказывается линейной функцией зарядов.

В матричной форме система уравнений с потенциальными коэффициентами для n заряженных тел имеет вид: j = aq. (13.37а)

Здесь j и q – матрицы-столбцы, a – квадратная матрица. Каждая матрица имеет n строк.

Эта система и представляет собой первую группу формул Максвелла для электростатики. Она позволяет вычислить потенциалы тел по заданным зарядам.

В частности, для тела с номером k можно записать

(13.37б)

и сами коэффициенты определить с помощью эксперимента (или рассчитать) при следующих условиях.

Если все заряды, кроме , положить равными нулю, то собственный потенциальный коэффициент, как следует из (13.37б), будет равен . В свою очередь, взаимный потенциальный коэффициент можно найти через потенциал того же тела, но при равенстве нулю всех зарядов, кроме : .

Вторую группу формул Максвелла – уравнения с емкостными коэффициентами (коэффициентами электростатической индукции)– нетрудно получить, разрешив систему уравнений (13.37а) относительно зарядов тел. В матричной форме:

Эта группа позволяет вычислить заряды тел по заданным потенциалам.

Из уравнения для k-го тела

. (13.38б)

следует способ определения коэффициентов. Если принять равными нулю потенциалы всех тел, кроме , то собственный емкостный коэффициент равен . Взаимный емкостный коэффициент выражается через заряд того же тела и не равный нулю потенциал тела с номером m, причем потенциалы остальных тел равны нулю: . Очевидно, квадратные матрицы коэффициентов в уравнениях (13.37а) и (13.38а) взаимно обратны:

Третья группа формул Максвелла – уравнения с частичными емкостями – связывает заряды тел с разностями потенциалов между телами (в том числе и с землей, чей потенциал считается равным нулю). Эти уравнения можно получить из второй группы формул перегруппировкой слагаемых. Матричная запись системы уравнений имеет вид:

В уравнении для k-го тела

. (13.39б)

переменные равны: .

Для определения собственной частичной емкости следует принять потенциалы всех тел одинаковыми и определить заряд тела с номером k. Тогда . Если этот результат сравнить с записью в тех же условиях уравнения с емкостными коэффициентами, то легко убедиться, что

. (13.39в)

Чтобы найти взаимную частичную емкость, нужно принять потенциалы всех тел, кроме m — го, равными нулю, иными словами, заземлить и определить заряд k-го тела. Тогда . Очевидно, . При этом, поскольку на заземленном теле наводится заряд противоположного знака по сравнению с , который определяется потенциалом , то все частичные емкости и собственный емкостный коэффициент положительны, а взаимные емкостные коэффициенты отрицательны. Разумеется, положительны и все потенциальные коэффициенты. Кроме того, в соответствии с принципом взаимности

.

Пример 13.11. Двухпроводная линия над землей (рис. 13.11,а).

Известны расстояние между проводами d, высота подвеса над землей h, радиус и длина l каждого из них.

Определить потенциальные коэффициенты и емкость единицы длины линии с учетом влияния земли.

Длину проводов будем полагать достаточно большой, чтобы поле можно было считать плоскопараллельным. А радиус провода по сравнению с высотой подвеса и расстоянием между проводами достаточно малым, чтобы не учитывать смещения электрических осей проводов относительно геометрических.

Для определения потенциальных коэффициентов воспользуемся методом зеркальных изображений (рис. 13.11,б). Пусть известен заряд первого провода q, а заряд второго провода равен нулю. Тогда зеркальное изображение первого провода имеет заряд – q. Найдем потенциалы проводов, используя формулу (13.26), в которой заменим .

Очевидно, .

Отсюда легко находятся потенциальные коэффициенты:

.

Уравнения для двух заряженных проводов имеют вид:

.

Чтобы определить емкость линии с учетом влияния земли, следует принять (при этом, очевидно, и ). Тогда

.

Подставляя значения коэффициентов, найдем и емкость единицы длины линии .

Если высота подвеса гораздо больше расстояния между провода ми, то полученное выражение приводится к формуле (13.36).

13.3. Электрическое поле постоянных токов

в проводящей среде

13.3.1. Уравнение Лапласа

Постоянный ток в окружающей среде создает как электрическое, так и магнитное поле. Если рассматривать электрическую составляющую, то из полной системы уравнений электромагнитного поля в расчет следует взять только три. Тождество позволяет из уравнения (13.1б) получить принцип непрерывности электрического тока:

. (13.40)

Вне источников электрической энергии уравнение (13.2б) упрощается:

. (13.41)

Свойства проводящей среды в каждой точке учитываются законом Ома в дифференциальной форме:

. (13.42)

Уравнение (13.41) говорит о том, что, как и в электростатике, электрическое поле постоянного тока в проводящей среде – безвихревое, а значит, потенциальное. Поэтому и в данном случае справедлива формула (13.12):

Подстановка этого выражения в (13.42), а последнего в (13.40) приводит к уравнению Лапласа (13.15): Для того, чтобы решить это уравнение, нужно знать граничные условия, в первую очередь однородные – на поверхности раздела двух сред.

13.3.2. Граничные условия на поверхности раздела двух сред

с различными удельными проводимостями

Выделим точку на поверхности раздела двух проводников, через которую протекает ток, и рассмотрим электрическое поле вблизи нее. Как и в разделе 13.2.3, окружим эту точку некоторой замкнутой цилиндрической поверхностью. Причем будем считать, что высота цилиндра гораздо меньше диаметра оснований. На рис. 13.12,а контур abcda – это след цилиндрической поверхности в плоскости чертежа, которая проходит через ось цилиндра. Вычислим ток сквозь эту поверхность и воспользуемся принципом непрерывности (13.40). Учитывая соотношение размеров цилиндра, током сквозь боковую поверхность можно пренебречь, подсчитав лишь ток сквозь поверхности оснований и приравняв его нулю:

.

Поверхности оснований столь малы, что в их пределах векторы и не меняются. В результате интегрирования скалярных произведений векторов с учетом их расположения по отношению к нормали , получим: . Тогда

(13.43)

Итак, в точке, лежащей на поверхности раздела двух проводящих сред, нормальные составляющие вектора плотности электрического тока равны.

Теперь окружим ту же точку прямоугольным контуром abcda в плоскости чертежа (рис. 13.12,б) и подсчитаем циркуляцию вектора Е, сохранив соотношение ab = cd > bc = da. Напомним, что источники энергии не попадают в контур интегрирования, поэтому в соответствии с формулой (13.11а) получим. Если считать и отрезки ab и cd столь малыми, что в их пределах векторы и не меняются, то интегралы от скалярных произведений с учетом расположения векторов по отношению к нормали n1n2 перейдут в равенство: . Отсюда

(13.44)

В точке, лежащей на поверхности раздела двух проводящих сред, касательные составляющие вектора напряженности электрического поля равны. Это условие также означает, что при переходе через поверхность раздела двух диэлектриков потенциал изменяется плавно, без скачков.

Кроме того, из формул (13.42)–( 13.44) следует еще одно условие:

. (13.45)

13.3.3. Граничные условия на поверхности раздела

проводника и диэлектрика

Повторив рассуждения предыдущего раздела применительно к точке, лежащей на поверхности раздела проводника и диэлектрика (рис. 13.1,в), убедимся в том, что и здесь справедливо равенство касательных составляющих напряженности электрического поля (13.44).

При этом и вектор плотности тока на поверхности проводника имеет только касательную составляющую (постоянный ток в диэлектрике не течет), так что

(13.46)

Разумеется, в диэлектрике существует и нормальная составляющая напряженности электрического поля, причем, как правило, гораздо большей величины, чем нормальная. Но она не связана с протеканием тока внутри проводника.

13.3.4. Аналогия между электрическим полем тока

в проводящей среде и электростатическим полем в диэлектрике

Если сравнить выражения, описывающие эти два поля (табл. 13.4), то нетрудно заметить, что они отличаются лишь обозначениями. Это так называемая математическая аналогия.

Электрическое поле тока

(r = 0)

Аналогами являются потенциал j, напряжение U и вектор напряженности электрического поля Е в обеих средах (здесь и обозначения одинаковы). Вектор плотности электрического тока d, ток I и удельная проводимость g соответствуют вектору D, потоку вектора электрического смещения и абсолютной диэлектрической проницаемости . Если же подсчитать ток и поток сквозь замкнутую поверхность, то аналогами окажутся источник тока J и заряд q, а также коэффициенты пропорциональности – проводимость и емкость:

Отсюда (при одинаковой геометрии системы) следует соотношение

Существенно отличаются лишь граничные условия на поверхности раздела проводника и диэлектрика. Если в электростатике и то для поля тока и Это важно при использовании метода зеркальных изображений. Если в электростатике зеркальным изображениям тел придавались заряды те же по величине, что и у реальных тел, но противоположного знака, то зеркальные изображения проводящих тел должны иметь ток того же направления. Только в этом случае поле в однородной среде будет обладать такой симметрией, которая нужна для выполнения граничных условий реальной задачи.

На формальном соответствии уравнений, часть из которых приведена в табл. 13.4 основан так называемый метод электростатической аналогии. С одной стороны, этот метод позволяет использовать при расчете поля в проводящей среде готовые решения аналогичных задач электростатики. С другой, – можно заменить экспериментальное исследование электростатического поля (весьма сложное из-за искажений, вносимых зондом) экспериментами в проводящей среде, где подобные искажения несущественны. Рассмотрим обе возможности подробнее.

Пример 13.12. Поле металлического заземлителя в форме полушария, расположенного у поверхности земли (рис. 13.13,а).

Известны радиус м, ток J = 10 А, удельная проводимость грунта См/м.

Определить сопротивление заземления и шаговое напряжение.

Ток стекает через металлический электрод (заземлитель) в грунт, равномерно растекается в толще земли, чтобы собраться у другого заземлителя, включенного в цепь общего источника. Чтобы свести задачу к расчету поля в однородной среде воспользуемся методом зеркальных изображений. Очевидно, заданные условия полностью сохраняются в нижней полуплоскости системы, изображенной на рис. 13.13,б. Но в соответствии с методом электростатической аналогии решение этой новой задачи должно быть подобно расчету поля уединенного заряженного шара (рис. 13.2,б).

В частности, используя формулу емкости из примера 13.7 и соотношение (13.47), можно подсчитать проводимость шарового заземлителя:

.

Проводимость одного полушария, естественно, вдвое меньше. Поэтому сопротивление заземления равно

Ом.

Под шаговым напряжением понимается разность потенциалов между точками на поверхности земли, находящимися на расстоянии шага человека друг от друга. Обычно принимают это расстояние равным м. Очевидно, наибольшее значение напряжения получается между точками a и b на рис. 13.13,а. И здесь на помощь приходит формула (13.23), в которой следует заменить q на 2J и на g. Результат:

В.

Электростатическое поле удобно изучать на модели, выполненной в проводящей среде. Электромоделирование основано на очевидном факте. Если систему металлических электродов, имеющих разные потенциалы, залить раствором солей, проводимость которого на несколько порядков меньше проводимости самих электродов, то положение эквипотенциальных поверхностей не изменится.

Поэтому для моделирования электростатического поля обычно используются так называемые электролитические ванны. В такую ванну, выполненную из изолирующего материала и заполненную раствором (электролитом), помещаются металлические электроды, форма которых подобна форме заряженных тел в электростатическом поле

(рис. 13.14). Размеры модели выбираются такими, чтобы можно было пренебречь влиянием стенок ванны.

Потенциалы определяются с помощью зонда (З), который вместе с нуль-индикатором (НИ) включается в диагональ моста, плечами которого служат части реостата (Р) и участки электролита между электродами (А и Б). Во избежание электролиза измерения проводятся при синусоидальном напряжении источника низкой (50–400 Гц) частоты, а в качестве комбинации электрод – электролит используются медь – раствор медного купороса или нержавеющая сталь дистиллированная (или

очищенная водопроводная) вода. Возможно использование и твердых моделей. Это может быть либо специальная проводящая бумага, либо так называемая сеточная модель, в которой проводящая среда заменена набором сопротивлений.

13.4. магнитное поле постоянных токов

13.4.1. Скалярный и векторный магнитные потенциалы

Магнитное поле выявляется по силовому воздействию на неподвижные проводники с токами. Сила, действующая в магнитном поле с индукцией B на элемент dl проводника с током I, определяется законом Ампера: , причем направление вектора dl совпадает с направлением тока (рис. 13.15). Все три вектора в этом выражении взаимно перпендикулярны друг другу.

Уравнения магнитного поля постоянных токов в дифференциальной форме выведены в разделе 1б, 13.4б, 13.7):

, ,

Первое из этих уравнений говорит о том, что в областях, занятых током, магнитное поле имеет вихревой характер. А вне этих областей, где , магнитное поле безвихревое и, значит, потенциальное. Иными словами, вектор напряженности магнитного поля можно представить в виде

(13.48)

Тогда откуда следует уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала jм:

(13.49)

Для областей, занятых током, это уравнение не годится. Там можно ввести новую функцию – векторный магнитный потенциал А, который связан с вектором магнитной индукции соотношением

В этом случае тождественно удовлетворяется принцип непрерывности магнитного потока: . Тогда

= d.

Если, не нарушая соотношения (13.50), в последнем выражении принять div A = 0, то из него следует уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала А:

(13.51а)

Естественно, в областях, незанятых током (d = 0), оно переходит в уравнение Лапласа

(13.51б)

Уравнения (13.51а) и (13.51б) – векторные. Каждое из них распадается на три скалярных, связывающих между собой проекции векторов А и d на оси декартовой системы координат:

Отметим, что с использованием векторного магнитного потенциала существенно упрощается вычисление магнитного потока. Действительно, . Теорема Стокса позволяет преобразовать поверхностный интеграл в контурный, который вычислять гораздо проще:

. (13.53)

Здесь напрашивается чисто формальное сопоставление с законом полного тока (13.1а): линии вектора А охватывают магнитный поток подобно тому, как линии вектора Н охватывают ток.

Общей задачей расчета магнитного поля постоянных токов является определение вектора напряженности магнитного поля или вектора магнитной индукции в каждой точке пространства по заданному распределению тока. Эта задача решается определением векторного потенциала как функции координат. Если сравнить уравнения Лапласа–Пуассона (13.13) и (13.15) для электростатики с уравнениями (13.51а, б), то легко заметить их очевидное сходство. Продолжая аналогию, можно частному решению для распределенных по объему зарядов из (13.31) сопоставить соответствующее выражение для проекции векторного потенциала:

,

где R – расстояние от элемента объема dV с током до точки, в которой определяется . Если ток I протекает по проводнику, размеры поперечного сечения которого S значительно меньше, чем расстояние R, то после замены ddV = dSdl = Idl можно найти векторный потенциал, создаваемый током такого провода длиной l:

, (13.54)

Кстати, из этого соотношения с учетом формулы (13.47) следует известный из курса физики закон Био–Савара:

(13.55)

Здесь 1R – единичный вектор, направленный вдоль R от элемента тока в рассматриваемую точку.

В областях, не занятых током, более простым может оказаться решение уравнения Лапласа для скалярного магнитного потенциала (13.49) с последующим использованием формулы (13.48). Разумеется, для этого подходят все методы, рассмотренные при исследовании электростатического поля.

Для выбора нужного решения уравнений в частных производных нужно знать граничные условия, в первую очередь на поверхности раздела сред с различными магнитными свойствами.