Элементы механики жидкостей уравнение неразрывности уравнение бернулли

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Элементы механики жидкостей и газов

Элементы механики жидкостей и газов

1. Давление. Закон Паскаля. Гидростатическое давление. Сила Архимеда.

2. Уравнение неразрывности.

3. Уравнение Бернулли.

4. Вязкость (внутренне трение).

5. Число Рейнольдса. Принцип подобия.

6. Методы определения вязкости: метод Стокса; формула Пуазейля.

1. Давление – это сила, действующая на единицу площади:

, или, точнее: . (6.1)

Размерность давления .

По закону Паскаля давление в любой точке покоящегося газа или жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передаётся по всему объёму.

Гидростатическое давление жидкости на глубине h под свободной поверхностью жидкости, обусловленное её весом, равно:

. (6.2)

Закон Архимеда : на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

, (6.3)

где – объём погружённой в жидкость части тела. Действие силы Архимеда обусловлено разностью гидростатического давления на разной глубине.

Далее будем рассматривать движущуюся жидкость (газ).

Гидроаэромеханика – это раздел механики , в котором изучаются законы равновесия и движения жидкой (и газообразной) среды и её взаимодействия с телами, обтекаемыми этой средой. Плотность жидкости практически не зависит от давления, поэтому жидкость в гидродинамике считаем несжимаемой. Для газа, вообще говоря, это не так, но опыт показывает, что при не слишком больших скоростях потока сжимаемостью газа можно пренебречь. Гидроаэромеханика использует единый подход для описания поведения жидкостей и газов.

В гидроаэродинамике отвлекаются от молекулярного строения жидкости и рассматривают её как сплошную, непрерывную среду. Частицей среды будем называть малый элемент объёма среды, размеры которого много больше межмолекулярных расстояний, но в то же время столь малы, что в пределах её параметры потока (давление, скорость течения) можно считать одинаковыми.

Для описания течения жидкости задают поле скоростей частиц жидкости, то есть зависимость скоростей частиц от координат (радиус-вектора) и времени: . В случае установившегося (стационарного) течения скорость потока в данной точке от времени не зависит.

Линией тока называется мысленно проведённая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости частиц .

Трубка тока – это поверхность, образованная линиями тока, проведёнными через все точки замкнутого контура. При установившемся течении линии тока не изменяются, и частицы жидкости не пересекают поверхность трубки тока, так как линия тока – это, по существу, траектория частицы.

2. Уравнение неразрывности.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой жидкости. Возьмём трубку тока, ограниченную перпендикулярными к направлению скорости сечениями S 1 и S 2 (рис.6.1), достаточно малыми, чтобы в пределах сечения скорость частиц жидкости можно было считать постоянной: в сечении S1 скорость равна , в сечении S 2 – . Поскольку жидкость несжимаема (ρ= const ), то объём жидкости, поступающий через первое сечение, равен объёму жидкости, вытекающей через второе сечение за тот же промежуток времени :

, (6.4)

, (6.5)

где и – путь, пройденный частицами жидкости в соответствующем сечении за время . Тогда получим:

,

. (6.6)

Соотношение (6.6) – это уравнение неразрывности струи.

Объёмным расходом жидкости называется объём, протекающий через сечение за единицу времени:

. (6.7)

.

Если сечения трубки тока нельзя считать малыми, то для вычисления объёмного расхода нужно интегрировать по сечению трубки тока:

.

Уравнение неразрывности, по существу, означает равенство объёмного расхода в любом сечении трубки тока, если течение стационарно.

Массовым расходом называется масса жидкости, протекающая через сечение за единицу времени:

, (6.8)

.

В реальных жидкостях между отдельными слоями потока есть внутренне трение (вязкость). Но в ряде случаев влиянием вязкости жидкости можно пренебречь (вязкость воды и спирта, например, в обычных условиях очень невелика), а вязкость газа вообще очень незначительна.

Идеальной жидкостью называется жидкость без внутреннего трения (без вязкости).

Рассмотрим стационарно текущую идеальную жидкость (рис.6.2). Сечения опять будем считать достаточно малыми, так что скорости частиц жидкости в пределах сечения одинаковы, а кроме того, размеры сечения много меньше его высоты h над выбранным уровнем. За время dt жидкость, находящаяся между сечениями, проходящими через точки А и В, заполнит участок между точками A ` и B `.

Поскольку течение стационарно, состояние жидкости между сечениями, проходящими через точки A ` и B , не изменяется, так что этот участок можно не рассматривать и считать, что масса жидкости () за время dt переместилась из положения АА` с высоты h 1 в положение ВВ` на высоту h 2 . Внутреннего трения нет, поэтому работа внешних сил давления идёт только на увеличение механической энергии массы жидкости dm :

. (6.9)

Работа силы давления в сечении S 1 при перемещении на dl 1 :

, (6.10)

так как сила давления , а объём протекшей жидкости . Аналогично работа в сечении S2 при перемещении на dl 2 :

. (6.11)

Знак «минус» указывает на то, что в этом сечении направления силы давления и перемещения противоположны. Работа сил давления, действующих на боковую поверхность цилиндра, равна нулю, так как эти силы перпендикулярны поверхности, а следовательно, и перемещению частиц жидкости.

Далее, начальная механическая энергия массы dm , движущейся со скоростью v 1 и находящейся на высоте h 1 , равна

. (6.12)

Механическая энергия через dt на высоте h 2 аналогично:

, (6.13)

Плотность равна , поэтому

,

. (6.14)

Это – уравнение Бернулли.

Его можно записать так:

, (6.14а)

то есть сумма статического давления p, динамического и гидростатического в любом сечении трубки тока остаётся постоянной. Отсюда, в частности, следует, что в горизонтальной трубе в местах сужения, где скорость потока больше, статическое давление падает.

4. Вязкость (внутренне трение).

Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения, направлены по касательной к поверхности слоёв.

Пусть два слоя (рис.6.3) площади , отстоящих друг от друга на расстояние , движутся со скоростями v 1 и v 2 соответственно, Δ v = v 2 – v 1 . Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями (ось z ), перпендикулярно вектору скорости движения слоев. Величина

,

которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, называется градиентом скорости. Величина силы внутреннего трения , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):

, (6.15)

где – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–» показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.

Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 площади слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (Па. с). В некоторые формулы (например, число Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ. Это отношение получило название коэффициента кинематической вязкости :

. (6.16)

Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (6.16), вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются ньютоновскими. К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению (6.16)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например, растворы полимеров.

Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз. При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое тело.

вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости жидкости с температурой:

, (6.17)

где А – множитель, который зависит от расстояния между соседними положениями равновесия молекул в жидкости и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перескочить из одного положения равновесия в другое, соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно имеет порядок (2÷3).10-20 Дж, поэтому, согласно формуле (16.3), при нагревании жидкости на 100С вязкость её уменьшается на 20÷30%.

Значения коэффициентов вязкости газов существенно меньше, чем жидкостей. С повышением температуры вязкость газа увеличивается (рис.6.4) и при критической температуре становится равной вязкости жидкости.

Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость газов переносом импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа, движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа увеличивается.

Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также уменьшается.

Несмотря на различную природу вязкость жидкостей и газов с макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (6.15). Величину импульса , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в другой слой за время Δ t , можно найти из второго закона Ньютона:

. (6.18)

Из (16.1) и (16.4) получим:

. (6.19)

Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу, перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус» показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более медленный.

5. Число Рейнольдса. Принцип подобия.

Различают два режима течения: ламинарное (слоистое) – без перемешивания слоёв (рис.6.5) и турбулентное (вихревое) – с перемешиванием, то есть в отдельных точках потока скорости отдельных частиц перпендикулярны потоку (рис.6.6).

На рис.6.7 видно, как с увеличением скорости обтекания тела ламинарное течение становится неустойчивым, хаотичным и переходит в турбулентное.

Для того, чтобы оценить характер течения жидкости, вводится безразмерная величина , называемая числом Рейнольдса.

(6.20)

Здесь – средняя скорость потока, – кинематическая вязкость, – характерный размер (в случае течения жидкости в трубе это диаметр трубы ). Опытные данные показывают, что существует критическое число Рейнольдса, при превышении которого происходит переход из ламинарного режима в турбулентный. Но сама величина не универсальна – она зависит от геометрии системы. Для случая течения жидкости в трубе .

Число Рейнольдса имеет огромное значение при моделировании реальных процессов в лабораторных масштабах. Если для двух течений разных размеров числа Рейнольдса одинаковы, то такие течения подобны, и возникающие в них явления могут быть получены одно из другого изменением масштаба.

6. Методы определения вязкости.

При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления. Происхождение этого сопротивления двояко.

При небольших скоростях , когда за телом нет вихрей (то есть обтекание тела ламинарное), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды. Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т. д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения пропорциональна скорости тела: . Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарика в вязкой среде с небольшой скоростью, когда нет вихрей, приводит к формуле Стокса:

, (6.21)

где – радиус шарика, – скорость его движения, – коэффициент динамической вязкости среды.

Второй механизм сил сопротивления включается при больших скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы, совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела: .

Метод Стокса основан на измерении скорости установившегося движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.

Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.6.8):

1. сила вязкого трения FС по закону Стокса (16.6), направленная вверх, навстречу скорости: ;

2. сила тяжести, направленная вниз:

, (6.22)

где – масса шарика; – плотность шарика; – ускорение свободного падения; – объем шарика, равный:

; (6.23)

3. выталкивающая сила FАрх, согласно закону Архимеда, равная весу вытесненной жидкости:

, (6.24)

где – плотность жидкости.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:

Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна скорости. Поэтому на некотором начальном участке l 0 (рис.6.8) падения шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину участка можно оценить из уравнения движения.

По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента достижения равенства

сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью. По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости жидкости η .

После подстановки в (6.26) выражений (6.22-6.24) получим:

.

Сократим на радиус и сделаем замену ( – диаметр шарика):

;

. (6.27)

Из (6.27) выразим коэффициент динамической вязкости:

. (6.28)

Далее скорость v шарика выражаем через пройденный путь и время падения : :

. (6.29)

Выведенная формула (6.29) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса (6.21), получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема.

б) формула Пуазейля

Ламинарный параллельный поток имеет место, например, при медленном протекании газа в цилиндрической трубе (капилляре) – в этом случае слои представляют собой совокупность бесконечно тонких цилиндрических поверхностей, вложенных одна в другую, имеющих общую ось, совпадающую с осью трубы.

Выделим в капилляре воображаемый цилиндрический объем жидкости (или газа) радиусом и длиной , как показано на рисунке 6.9. Обозначим давления на его торцах и . При установившемся течении суммарная сила давления на цилиндр

уравновесится силой внутреннего трения , которая действует на боковую поверхность цилиндра со стороны внешних слоев газа:

. (6.30)

Сила внутреннего трения определяется по формуле Ньютона (6.15). Учитывая, что (площадь поверхности цилиндра) и скорость уменьшается при удалении от оси трубы, т. е., можно записать:

(6.31)

В этом случае условие стационарности (5.30) запишется в виде:

(6.32)

Интегрируя это равенство, получим

,

где – постоянная интегрирования, которая определяется граничными условиями задачи. При скорость жидкости должна обратиться в нуль:, поскольку сила внутреннего трения о стенку капилляра тормозит смежный с ней слой жидкости. Тогда

. (6.33)

Рис.6.5 иллюстрирует получившуюся квадратичную (параболическую) зависимость скорости частиц жидкости от расстояния до оси капилляра при ламинарном течении.

Подсчитаем объемный расход жидкости , т. е. объем, который протекает за единицу времени через поперечное сечение трубы. Через кольцевую площадку с внутренним радиусом и внешним за время протекает объем жидкости, равный произведению площади этой кольцевой площадки на перемещение частиц жидкости за это время :

;

.

;

,

. (6.34)

Формулу (6.34) называется формулой Пуазейля. Она позволяет экспериментально определить динамическую вязкость жидкости (газа), измерив объёмный расход и зная разность давлений на концах капилляра и его геометрические параметры.

Основы гидравлики

Уравнение Бернулли — фундамент гидродинамики

Бернулли — вне всякого сомнения — имя, знакомое и специалистам, и обывателям, которые хоть немного интересуются науками. Этот человек оставил ослепительный след в истории познавания человечеством окружающего мира, как физик, механик, гидравлик и просто общепризнанный гений, Даниил Бернулли навсегда останется в памяти благодарных потомков за свои идеи и выводы, которые долгое время существования человечества были покрыты мраком неизведанного.
Открытия и законы, которыми Бернулли осветил путь к познанию истины, являются фундаментальными, и придали ощутимый импульс развитию многих естественных наук. К таковым относится и уравнение Бернулли в Гидравлике, которое он вывел почти три века назад. Данное уравнение является основополагающим законом этой сложной науки, объясняющим многие явления, описанные даже древними учеными, например, великим Архимедом.

Попробуем уяснить несложную суть закона Бернулли (чаще его называют уравнением Бернулли), описывающего поведение жидкости в той или иной ситуации.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, которая ограничена сечениями S₁ и S₂ , (рис. 1) .
(Понятие идеальной жидкости абстрактно, как и понятие всего идеального. Идеальной считается жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т. е. трения между отдельными слоями и частицами подвижной жидкости).
Пусть в месте сечения S₁ скорость течения ν₁ , давление p₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁ . Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения ν₂ , давление p₂ и высота сечения h₂ .

За бесконечно малый отрезок времени Δt жидкость переместится от сечения S₁ к сечению S₁‘ , от S₂ к S₂‘ .

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂ — E₁ идеальной несжимаемой жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

где E₁ и E₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А — это работа, которая совершается при перемещении всей жидкости, расположенной между сечениями S₁ и S₂ , за рассматриваемый малый отрезок времени Δt .
Чтобы перенести массу m от S₁ до S₁‘ жидкость должна переместиться на расстояние L₁ = ν₁Δt и от S₂ до S₂‘ — на расстояние L₂ = ν₂Δt . Отметим, что L₁ и L₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 1 , приписывают постоянные значения скорости ν , давления р и высоты h .
Следовательно,

где F₁ = p₁S₁ и F₂ = — p₂S₂ (сила отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; см. рис. 1).

Полные энергии E₁ и E₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2) , получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, объем, занимаемый жидкостью, всегда остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (5) на ΔV , получим

где ρ — плотность жидкости.

После некоторых преобразований эту формулу можно представить в другом виде:

Поскольку сечения выбирались произвольно, то в общем случае можно записать:

ρv 2 /2 +ρgh +p = const (6) .

Выражение (6) получено швейцарским физиком Д. Бернулли (опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782), швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли по своей сути является интерпретацией закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение хорошо выполняется и для реальных жидкостей, для которых внутреннее трение не очень велико.

Величина р в формуле (6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела) , величина ρν 2 /2 — динамическим давлением, величина ρgh — гидростатическим давлением.

Статическое давление обусловлено взаимодействием поверхности жидкости с внешней средой и является составляющей внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема жидкости (т. е. характеризуется взаимодействием внутренних частиц жидкости, вызванных внешним возмущением — давлением) , а гидростатическое – положением этого объема жидкости в пространстве (зависит от высоты над поверхностью Земли) .
Динамическое давление характеризует кинематическую составляющую энергии этого объема, поскольку зависит от скорости потока, в котором движется рассматриваемый элементарный объем жидкости.

Для горизонтальной трубки тока изменение потенциальной составляющей ρgh будет равно нулю (поскольку h2 – h1 = 0) , и выражение (6) примет упрощенный вид:

ρv 2 /2 + p = const (7) .

Выражение p + ρν 2 /2 называется полным давлением.

Таким образом, содержание уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении можно сформулировать так: удельная механическая энергия при установившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости, представляющая собой сумму удельной потенциальной энергии положения и давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная.

Все члены уравнения Бернулли измеряются в линейных единицах.

В гидравлике широко применяют термин напор, под которым подразумевают механическую энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса (удельную энергию потока или неподвижной жидкости) .
Величину v 2 /2g называют скоростным (кинетическим) напором, показывающим, на какую высоту может подняться движущаяся жидкость за счет ее кинетической энергии.
Величину h_п = p/ρg называют пьезометрическим напором, показывающим на какую высоту поднимается жидкость в пьезометре под действием оказываемого на нее давления.
Величину z называют геометрическим напором, характеризующим положение центра тяжести соответствующего сечения движущейся струйки над условно выбранной плоскостью сравнения.

Сумму геометрического и пьезометрического напоров называют потенциальным напором, а сумму потенциального и скоростного напора — полным напором.

На основании анализа уравнения Бернулли можно сделать вывод, что при прочих неизменных параметрах потока (жидкости или газа) величина давления в его сечениях обратно пропорциональна скорости, т. е. чем выше давление, тем меньше скорость, и наоборот.
Это явление используется во многих технических конструкциях и устройствах, например, в карбюраторе автомобильного двигателя (диффузор), в форме крыла самолета. Увеличение скорости воздушного потока в диффузоре карбюратора приводит к созданию разрежения, всасывающего бензин из поплавковой камеры, а специальная форма сечения самолетного крыла позволяет создавать на его нижней стороне зону повышенного давления, способствующего появлению подъемной силы.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Поскольку напор измеряется в линейных величинах, можно дать графическую (геометрическую) интерпретацию уравнению Бернулли и его составляющим.

На графике (рис. 2) представлена горизонтальная плоскость сравнения 0-0 , относительно которой геометрический напор будет в каждом сечении равен вертикальной координате z центра тяжести сечения (линия геометрического напора проходит по оси струйки) .
Линия К-К , характеризующая потенциальный напор струйки, получена сложением геометрического и пьезометрического напора в соответствующих сечениях (т. е. разница координат точек линии К-К и соответствующих точек оси струйки характеризует пьезометрический напор в данном сечении) .
Полный напор характеризуется линией MN , которая параллельна плоскости сравнения О-О , свидетельствуя о постоянстве полного напора H’_e (удельной механической энергии) идеальной струйки в любом ее сечении.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают силы трения между ограничивающими поток поверхностями и между слоями внутри самой жидкости. Для преодоления этих сил трения расходуется энергия, которая превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущейся жидкостью. По этой причине графическое изображение уравнения Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от аналогичного графика для реальной жидкости.
Если обозначить h_f потери напора (удельной энергии) струйки на участке длиной L , то уравнение Бернулли для реальной жидкости примет вид:

Для реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению течения жидкости, т. е. его графическая интерпретация имеет вид не прямой линии, а некоторой кривой МЕ (рис. 3) . Заштрихованная область характеризует потери напора.

Падение напора на единице длины элементарной струйки, измеренной вдоль оси струйки, называют гидравлическим уклоном:

Гидравлический уклон положителен, если напорная линия снижается по течению жидкости, что всегда бывает при установившемся движении.

Для практического применения уравнения Бернулли необходимо распространить его на поток реальной жидкости:

где α₁ , α₂ — коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости.
На практике обычно принимают α₁ = α₂ = α : для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах α = 2, для турбулентного режима α = 1,04. 1,1.

Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности ( S₁v₁Δt = S₂v₂Δt ) видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, которая имеет различные сечения, скорость жидкости больше в более узких местах (где площадь сечения S меньше) , а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно увидеть, установив вдоль трубы ряд манометров.

Данный опыт показывает, что в манометрической трубке В , которая прикреплена к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С , которые прикреплены к широкой части трубы, что соответствует уравнению Бернулли.

Так как динамическое давление зависит от скорости движения жидкости (газа) , то уравнение Бернулли можно использовать для измерения скорости потока жидкости. Принципиально это свойство жидкости для определения скорости потока реализовано в так называемой трубке Пито – Прандтля (обычно ее называют трубкой Пито ) .

Трубка Пито – Прандтля ( см. рис. 2 ) состоит из двух тонких стеклянных трубок, одна из которых изогнута под прямым углом (Г-образно) , а вторая — прямая.
Одним из свободных концов каждая трубка присоединена к манометру.
Изогнутая трубка имеет открытый свободный конец, направленный против тока и принимающий напор потока жидкости, а вторая погружена в поток перпендикулярно току, и скорость потока на давление внутри трубки не влияет, т. е. внутри этой трубки действует лишь статическая составляющая давления жидкости.
Разница между давлением в первой трубке (полное давление) и второй трубке (статическое давление) , которую показывает манометр, является динамическим давлением, определяемым по формуле:

Определив с помощью трубки Пито — Прандтля динамическое давление в потоке жидкости, можно легко вычислить скорость этого потока:

Уравнение Бернулли также используют для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, с маленьким отверстием в боковой стенке на некоторой глубине ниже уровня жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₁ выхода ее из отверстия) и применим уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р₁ = р₂ , то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности мы знаем, что ν₁/ν₂ = S₂/S₁ , где S₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия.
Если S₁ значительно превышает S₂ , то слагаемым ν₁ 2 /2 можно пренебречь и тогда:

Это выражение получило название формулы Торричелли.
Формулу Торричелли можно использовать для подсчета объемного (или массового) расхода жидкости, истекающего из отверстия в сосуде с поддерживаемым постоянно уровнем под действием атмосферного давления.
При этом используется формула Q = vS (для определения массового расхода – m = ρvS ) , по которой определяется расход жидкости за единицу времени.

Если требуется узнать расход жидкости за определенный промежуток времени t , то его определяют, умножив расход за единицу времени на время t .

Следует отметить, что такая методика расчета расхода реальной жидкости через отверстие в стенке сосуда дает некоторые погрешности, обусловленные физическими свойствами реальных жидкостей, поэтому требует применения поправочных коэффициентов (коэффициентов расхода) .

Пример решения задачи на определение расхода жидкости

Определить примерный объемный расход воды, истекающей из отверстия диаметром 10 мм, проделанном в вертикальной стенке широкого сосуда на высоте h = 1 м от верхнего, постоянно поддерживаемого, уровня воды за 10 секунд.
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2 .
Коэффициент расхода воды через отверстие — µ_s = 0,62.

По формуле Торричелли определим скорость истечения воды из отверстия:

v = √2gh = √2×10×1 ≈ 4,5 м/с.

Определим расход воды Q за время t = 10 секунд:

Q = µ_svSt = 0,62×4,5×3,14×0,012/4 × 10 ≈ 0,0022 м 3 ≈ 2,2 литра.

На практике расход жидкости в трубопроводах измеряют расходомерами, например, расходомером Вентури. Расходомер Вентури (см рис. 2) представляет собой конструкцию из двух конических патрубков, соединенных цилиндрическим патрубком. В сечениях основной трубы и цилиндрического патрубка устанавливают трубки-пьезометры, которые фиксируют уровень жидкости, обусловленный полным давлением в потоке.

При прохождении жидкости через сужающийся конический патрубок часть потенциальной энергии потока преобразуется в кинетическую, и, наоборот, – при прохождении потока по расширяющемуся коническому патрубку, кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет. Это сказывается на скорости движения жидкости по рассматриваемым участкам. Перепад высоты уровня жидкости в пьезометрах позволяет рассчитать среднюю скорость потока жидкости на рассматриваемых участках и вычислить объемный расход по внутреннему сечению трубы.
В расходомерах учитываются потери напора в самом приборе при помощи коэффициента расхода прибора φ .